Mostrar código-fonte de Operador de Laplace-Beltrami

Em [[geometria diferencial]], o [[operador de Laplace]] pode ser generalizado para operar em funções definidas em superfícies no [[espaço euclidiano]] e, mais em geral, em [[Variedade de Riemann|variedades Riemannianas]] e [[Variedade pseudoriemanniana|pseudo-Riemanniana]]. Este operador mais geral é conhecido pelo nome de '''operador de Laplace-Beltrami''', em homenagem a [[Pierre Simon Laplace|Laplace]] e [[Eugenio Beltrami|Beltrami]]. Como o [[Laplaciano]], o operador de Laplace-Beltrami é definido como a [[divergência]] de [[gradiente]], e um [[Transformação linear|operador linear]] tendo funções em funções. O operador pode ser estendido para operar em [[tensor]]es como o desvio da [[derivada covariante]]. Alternativamente, o operador pode ser generalizado para operar em [[Forma diferencial|formas diferenciais]] usando a [[derivada exterior]]<ref>{{citar livro|autor=Flanders, Harley|título=Differential forms with applications to the physical sciences|editora=Dover Publications|ano=1989|páginas=20|id=0-486-66169-5 }}</ref> e de divergência. O operador resultante é chamado de operador de Laplace-de Rham (em homenagem a [[Georges de Rham]]).<ref>{{citar web|url=http://www.puc-rio.br/pibic/relatorio_resumo2012/relatorios_pdf/ctc/MAT/MAT-Alice%20Herrera%20de%20Figueiredo.pdf|título=O OPERADOR DE LAPLACE-BELTRAMI DISCRETO E APLICAÇÕES EM MALHAS|autor=Alice Herrera de Figueiredo|data=2012|publicado=PIBIC - Programa Institucional de Iniciação Científica do CNPq|acessodata=}}</ref>

==Operações==

O operador de Laplace-Beltrami, como o [[Laplaciano]], é a [[divergência]]<ref>{{citar livro |autor1=Martins, E. R.|autor2=Capelas de Oliveira, E. |título= Equações diferenciais, metodo de separação de variáveis e os sistemas de Stäckel |local-publicação= Campinas (SP) |ano= 2006 |editora=  Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica}}</ref> do [[gradiente]]<ref name="UEA">{{citar web|url=http://www.ebah.com.br/content/ABAAAADPUAI/calculo-ii|título=Cálculo II|autor1=Pereira, Agnaldo Souza|autor2=Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de|data=01/01/2007|publicado=Universidade do Estado do Amazonas|acessodata=}}</ref>:
:<math>\Delta f = \operatorname{div}\; \operatorname{grad} f.</math>

Uma fórmula explícita em [[coordenadas locais]]<ref>{{citar web|URL=http://www.math.uga.edu/~clayton/courses/660/660_9.pdf|título=GEOMETRY HW 9|autor=CLAY SHONKWILER|outros=Primavera [[2004]]|publicado=|acessodata=}}{{Ligação inativa|data=maio de 2019 }}</ref> é possível.

Suponha primeiro que ''M'' é uma [[Variedade de Riemann|variedade Riemanniana]] [[Orientabilidade|orientada]]. A orientação permite que se especifique uma forma de volume definida em ''M'', dada em um sistema de coordenadas orientado ''x''<sup>''i''</sup> por:
:<math>\mathrm{vol}_n := \sqrt{|g|} \;dx^1\wedge \ldots \wedge dx^n</math>

onde os ''dx<sup>i</sup>'' são as [[Forma monolinear|1-formas]]<ref>{{citar livro|título=Gravitation|autor =J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne|publicado=W.H. Freeman & Co|ano=1973|página=57|isbn=0-7167-0344-0}}</ref> que formam a [[base dual]]<ref name="refname1">Leonid P. Lebedev. Michael J. Cloud &, Victor A. Eremeyev, ''Tensor Analysis With Applications to Mechanics''., World Scientific, 2010, ISBN 9789814313124</ref> para os [[vetor (matemática)|vetores]] de base.<ref>{{citar livro|autor =Tu, Loring W.|capítulo=Vector fields|título=An Introduction to Manifolds|publicado=Springer|ano=2010|isbn=978-1-4419-7399-3|página=149|url=http://books.google.com/books?id=PZ8Pvk7b6bUC&pg=PA149}}</ref>

:<math>\partial_i := \frac {\partial}{\partial x^i}</math>

e <math>\wedge</math> é o [[produto exterior]].<ref>{{citar livro|autor =R. Penrose|título=The Road to Reality|publicado= Vintage books|ano=2007 | isbn=0-679-77631-1}}</ref> Neste caso {{nowrap|1={{!}}''g''{{!}} := {{!}}det(''g<sub>ij</sub>''){{!}}}} é o [[Função modular|valor absoluto]] da [[determinante]] do [[tensor métrico]] ''g''<sub>''ij''</sub>.

{{Referências|col=3}}

{{esboço-matemática}}
{{esboço-geometria}}

[[Categoria:Geometria riemanniana]]
[[Categoria:Geometria algébrica]]
[[Categoria:Geometria diferencial]]
[[Categoria:Operadores diferenciais]]