Mostrar código-fonte de Operador de diferença

Em [[matemática]], um '''operador de diferença''' transforma uma [[função (matemática)|função]] <math>f(x)</math> para outra função, <math>f(x + a) - f(x + b)</math>.<ref name=geral>
{{citar periódico
 |primeiro1   = Philippe
 |último1    = Flajolet
 |authorlink2 = Robert Sedgewick (computer scientist)
 |primeiro2   = Robert
 |último2    = Sedgewick
 |url         = http://www-rocq.inria.fr/algo/flajolet/Publications/mellin-rice.ps.gz
 |título     = Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals
 |periódico  = Theoretical Computer Science
 |volume      = 144
 |número     = 1–2
 |ano         = 1995
 |páginas    = 101–124
 |doi         = 10.1016/0304-3975(94)00281-M
}}{{Ligação inativa|1={{subst:DATA}} }}.
</ref>

O '''operador de diferença anterior'''

:<math>\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)</math>

ocorre freqüentemente no cálculo de [[Método das diferenças finitas|diferenças finitas]], onde ele desempenha um papel formalmente similar àquele da [[derivada]], mas utilizado em circunstâncias distintas. As [[Relação de recorrência|equações de diferença]] podem freqüentemente serem resolvidas com técnicas muito similares àquelas para resolver [[Equação diferencial|equações diferenciais]].

Analogamente, existe o '''operador de diferença posterior'''

:<math>\nabla f(x)=f(x)-f(x-1).</math>

Quando restrito às funções [[Polinómio|polinomiais]] <math>f</math>, o operador de diferença anterior é um [[operador delta]], i.e., um [[Transformação linear|operador linear]] sobre polinômios que reduz o grau por 1.

== Diferença enésima ==

A diferença anterior enésima de uma função <math>f(x)</math> é dada por<ref name=geral />

:<math>[\Delta^n f](x)= \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^{n-k} f(x+k)</math>

onde <math>{n \choose k}</math> é o [[coeficiente binomial]]. Diferenças anteriores aplicadas a uma [[Seqüência matemática|seqüência]] são algumas vezes chamadas de [[transformada binomial]] da seqüência, e, como tal, tem um número de propriedades combinatórias interessantes.

Diferenças anteriores podem ser estimadas usando a [[integral Nörlund-Rice]]. A representação  integral para estes tipos de séries é interessante porque o integral pode freqüentemente ser estimado usando [[expansão assintótica]] ou técnicas de [[ponto de sela]]; para contrastar, a série de diferença anterior pode ser extremamente difícil para estimar numericamente, porque os coeficientes binomiais crescem rapidamente para <math>n</math>.

== A série de Newton ==

A '''série de Newton''' ou '''equação da diferença anterior de Newton''', que recebe esse nome devido a [[Isaac Newton]], é o relacionamento<ref name=geral />

:<math>f(x+a)=\sum_{k=0}^\infty\frac{[\Delta^k f](a)}{k!}(x)_k

= \sum_{k=0}^\infty {x \choose k} [\Delta^k f](a)
</math>

que serve para qualquer função [[Polinómio|polinomial]] <math>f</math> e para algumas, mas não todas, as [[Função analítica|funções analíticas]]. Aqui,

:<math>{x \choose k}</math>

é o [[coeficiente binomial]], e

:<math>(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)</math>

é o "[[Símbolo de Pochhammer]]" ou "[[fatorial]] menor" e o [[produto vazio]] (''x'')<sub>0</sub> definido para ser 1.  Note também a similaridade formal deste resultado com o [[teorema de Taylor]]; esta é uma das observações que levam à ideia de [[cálculo umbral]].

Em análise com [[Número p-ádico|números p-ádicos]], o [[teorema de Mahler]] afirma que a suposição que <math>f</math> é uma função polinomial pode ser enfraquecida de todos os modos para a suposição que <math>f</math> é meramente contínua.

O [[teorema de Carlson]] provê as [[Necessidade e suficiência|condições necessárias e suficientes]] para uma série de Newton ser única, se ela existe. Porém, uma série de Newton no geral não existirá.

A série de [[Newton]], junto com a [[Fórmula de Stirling|série de Stirling]] e a [[série de Selberg]], é um caso especial da geral [[Diferença polinomial|série de diferença]], todas quais são definidas em termos de diferenças anteriores escaladas.

==Operador diferenças divididas==

Definimos operador diferenças divididas por<ref name=Odd>[http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/Iniciacao_Cientifica/interpolacao/teoria/1_Interpol_polinomial_Met_Lagrange_Newton.pdf Interpolação polinomial - Met. Lagrange e Newton]</ref><ref>{{Citar web |url=http://www.inf.ufpr.br/silvia/numerico/IV2.pdf |titulo=Interpolação |acessodata=2014-12-05 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20150924034634/http://www.inf.ufpr.br/silvia/numerico/IV2.pdf |arquivodata=2015-09-24 |urlmorta=yes }}</ref>


: <math>\left\{\begin{matrix}
 f[x_0] = f(x_0) , & \mbox{Ordem 0} \\
 f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} =  \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} & \mbox{Ordem 1 } \\
 f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} , & \mbox{Ordem 2} \\
 f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} , & \mbox{Ordem 3} \\
  \vdots &  \\
 f[x_0, x_1, x_2,  \dotsb ,x_n] = \frac{f[x_1, x_2, \dotsb ,x_n] - f[x_0, x_1, x_2, \dotsb , x_{n-1}]}{x_n - x_0} , & \mbox{Ordem n}
\end{matrix}
\right.</math>

Afirmamos que <math>f[x_0, x_1, x_2,  \dotsb ,x_k]</math> é a [[diferença dividida]] de ordem <math>k</math> da dada função <math>f(x_0)</math> sobre os <math>k + 1</math> pontos, distintos e conhecidos: <math>x_0, x_1, x_2, \dotsb ,x_k</math>.

:<math>
\begin{array}{c|cccccc}
x & \mbox{Ordem 0} & \mbox{Ordem 1} & \mbox{Ordem 2} & \mbox{Ordem 3} & \dotsb & \mbox{Ordem n} \\
\hline
x_0 & f[x_0] &  &  &  &  &  \\
    &        & f[x_0, x_1] &  &  &  &  \\
x_1 & f[x_1] &  &  f[x_0, x_1, x_2]  &  &  &  \\ 
    &        & f[x_1, x_2] &  & f[x_0, x_1, x_2, x_3] &  &  \\ 
x_2 & f[x_2] &  & f[x_1, x_2, x_3] &  &  &  \\ 
    &   & f[x_2, x_3] &  & f[x_1, x_2, x_3, x_4] &  &  \\ 
x_3 & f[x_3] &  & f[x_2, x_3, x_4] &  &  &  f[x_0, x_1, x_2, \dotsb , x_n] \\
    &        & f[x_3, x_4] &  & \vdots &  &    \\
x_4 & f[x_4] &  & \vdots &  &  &    \\
    &        &  &  & f[x_{n-3}, x_{n-2}, x_{n-1}, x_n]  &  &    \\
\vdots &  \vdots &  & f[x_{n-2} , x_{n-1}, x_n] &  &  &    \\
    &        & f[x_{n-1}, x_n] &  &  &  &    \\
x_n & f[x_n] &  &  &  &  &
\end{array}
</math>

===Exemplo===

:<math>
\begin{array}{c|ccccc}
x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
f(x) & 1 & 1 & 0 & -1 & -2
\end{array}
</math>

A diferença dividida é:<ref name=Odd />

:<math>
\begin{array}{c|cccccc}
x & \mbox{Ordem 0} & \mbox{Ordem 1} & \mbox{Ordem 2} & \mbox{Ordem 3} & \mbox{Ordem 4} \\
\hline
-1 & 1 &  &  &  &  \\
   &  & 0 &  &  &  \\
0 & 1 &  & -\frac{1}{2} &  & \\ 
  &   & -1 &  & \frac{1}{6} & \\ 
1 & 0 &  & 0 &  & -\frac{1}{24} \\ 
  &   & -1 &  & 0 &  \\ 
2 & -1 &  & 0 &  &  \\
  &    & -1 &  &  &  \\
3 & -2 &  &  &  &
\end{array}
</math>

Como Obtemos esses valores

:<math>f[x_0, x_1] = \frac{ f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{ 1 - 1}{0 - (-1)} = 0</math>
:<math>f[x_1, x_2] = \frac{ f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{ 0 - 1}{1 - 0} = -1</math>
:<math>  \vdots </math>
:<math>f[x_0, x_1, x_2] = \frac{ f[x_1,x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{-1 - 0}{1 - (-1)} = \frac{-1}{2}</math>
:<math>f[x_1, x_2, x_3] = \frac{ f[x_2,x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{-1 - (-1)}{2 - 0} = 0</math>
:<math>  \vdots </math>
:<math>f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{ f[x_1, x_2,x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{0 - (\frac{-1}{2})}{2 - (-1)} = \frac{1}{6}</math>


==Ver também==
{{div col}}
*[[Interpolação polinomial]]
*[[Polinómio de Newton]]
*[[Polinômio de Lagrange]]
*[[Relação de recorrência]]
{{div col end}}

{{Referências}}

{{Esboço-matemática}}
{{Isaac Newton}}
{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Operador Diferença}}
[[Categoria:Análise matemática]]
[[Categoria:Diferenças finitas| ]]