Mostrar código-fonte de Ortogonalidade hiperbólica

{{Descrição curta|Relação de espaço e tempo na teoria da relatividade}}

[[File:Orthogonality and rotation.svg|thumb|350px|A [[ortogonalidade]] euclidiana é preservada pela rotação no diagrama esquerdo; a ortogonalidade hiperbólica em relação à hipérbole (B) é preservada pela rotação hiperbólica{{Ill|en||Squeeze mapping|nlk=true}} no diagrama à direita]]

Em [[geometria]], a relação de '''ortogonalidade hiperbólica''' entre duas retas separadas pelas assíntotas de uma [[hipérbole]] é um conceito usado na [[Relatividade restrita|relatividade especial]] para definir eventos simultâneos. Dois eventos serão simultâneos quando estiverem em uma linha hiperbolicamente ortogonal a uma linha de tempo específica. Essa dependência de uma certa linha do tempo é determinada pela velocidade e é a base para a [[relatividade da simultaneidade]].

== Geometria ==

Duas linhas são '''ortogonais hiperbólicas''' quando são [[Reflexão (matemática)|reflexões]] uma da outra sobre a assíntota de uma dada [[hipérbole]]. Duas hipérboles particulares são frequentemente usadas no plano:

{{Lista ordenada | list-style-type = upper-alpha|1=''xy'' = 1 com ''y'' = 0 como assíntota.

Quando refletida no eixo x, uma linha ''y'' = ''mx'' torna-se ''y'' = −''mx''.
Nesse caso, as linhas são ortogonais hiperbólicas se suas [[Declive|inclinações]] forem inversas aditivas{{Ill|en||Additive inverse|nlk=true}}.|2=''x''<sup>2</sup> − ''y''<sup>2</sup> = 1 com ''y'' = ''x'' como assíntota.

Para linhas ''y'' = ''mx'' com −1 < ''m'' < 1, quando ''x'' = 1/''m'', então ''y'' = 1.

O ponto (1/''m'', 1) na linha é refletido através de ''y'' = ''x'' para (1, 1/''m'' ). 

Portanto, a linha refletida tem inclinação 1/''m'' e as inclinações das linhas ortogonais hiperbólicas são [[Inverso multiplicativo|recíprocas]] uma da outra.}}

A relação de ortogonalidade hiperbólica realmente se aplica a classes de retas paralelas no plano, onde qualquer reta particular pode representar a classe. Assim, para uma dada hipérbole e assíntota ''A'', um par de retas (''a'', ''b'') é ortogonal hiperbólico se existe um par (''c'', ''d'') tal que <math>a \rVert c ,\  b \rVert d </math>, e ''c'' é a reflexão de ''d'' em ''A''.

Semelhante à perpendularidade de um raio de círculo para a [[Tangente (geometria)|tangente]], um raio para uma hipérbole é ortogonal hiperbólico para uma tangente para a hipérbole.<ref name=L&W/><ref>{{Cite web |author=Bjørn Felsager |year=2004 |url=http://www.dynamicgeometry.com/Documents/advancedSketchGallery/minkowski/Minkowski_Overview.pdf |title=''Through the looking glass – A glimpse of Euclid’s twin geometry, the Minkowski geometry'' |archive-url=https://web.archive.org/web/20110716173907/http://www.dynamicgeometry.com/documents/advancedSketchGallery/minkowski/Minkowski_Overview.pdf |archive-date=2011-07-16 |publisher=''ICME-10'' |place=Copenhagen |pages=6 & 7 |language=en }}.</ref>

Uma [[forma bilinear]] é usada para descrever a ortogonalidade na geometria analítica, com dois elementos ortogonais quando sua forma bilinear desaparece. No plano dos [[Número complexo|números complexos]] <math>z_1 =u + iv, \quad z_2 = x + iy</math>, a forma bilinear é <math>xu + yv</math>, enquanto no plano dos [[Número complexo hiperbólico|números hiperbólicos]] <math>w_1 =  u + jv,\quad w_2 =  x +jy,</math> a forma bilinear é <math>xu - yv .</math>

: Os vetores ''z''<sub>1</sub> e ''z''<sub>2</sub> no plano dos números complexos e ''w''<sub>1</sub> e ''w''<sub>2</sub> no plano dos números hiperbólicos são ditos respectivamente ''ortogonais euclidianos'' ou ''ortogonais hiperbólicos'' se seus respectivos produtos internos [formas bilineares] forem zero.<ref>{{Cite web |last=Sobczyk |first=G. |year=1995 |url=http://garretstar.com/secciones/publications/docs/HYP2.PDF |title=''Hyperbolic number plane'' |publisher=''College mathematics journal'' |volume=26 |pages=268 – 280 |language=en }}</ref>

A forma bilinear pode ser calculada como a parte real do produto complexo de um número pelo conjugado do outro. Então

: <math>z_1 z_2^* + z_1^* z_2 = 0</math> acarreta perpendicularidade no plano complexo , enquanto
: <math>w_1 w_2^* + w_1^* w_2 = 0</math> implica que os ''w''s são ortogonais hiperbólicos .

A noção de ortogonalidade hiperbólica surgiu na [[geometria analítica]], em consideração de diâmetros conjugados de elipses e hipérboles.<ref>{{Cite web |author=Barry Spain |year=1957 |url=http://catalog.hathitrust.org/Record/000660610 |title=''Analytical conics'' – ''Ellipse'' §33 e ''Hyperbola'' §41 |pages=38 e 49 |publisher=''[[HathiTrust]]'' |language=en }}</ref> Se ''g'' e ''g′'' representam as inclinações dos diâmetros conjugados, então <math>g g' = - \frac{b^2}{a^2}</math> no caso de uma elipse e <math>g g' =  \frac{b^2}{a^2}</math> no caso de uma hipérbole. Quando ''a'' = ''b'', a elipse é um círculo e os diâmetros conjugados{{Ill|en||Conjugate diameters|nlk=true}} são perpendiculares enquanto a hipérbole é retangular e os diâmetros conjugados são hiperbólicos ortogonais.

Na terminologia da [[geometria projetiva]], a operação de tomar a linha ortogonal hiperbólica é uma [[Involução (matemática)|involução]]. Suponha que a inclinação de uma linha vertical seja denotada por ∞ de modo que todas as linhas tenham uma inclinação na [[Reta real estendida projetivamente|linha real estendida projetivamente]]. Então, qualquer que seja a hipérbole (A) ou (B) usada, a operação é um exemplo de [[Involução (matemática)#Geometria projetiva|involução hiperbólica]] em que a assíntota é invariante. Linhas hiperbolicamente ortogonais estão em diferentes setores do plano, determinadas pelas assíntotas da hipérbole, portanto a relação de ortogonalidade hiperbólica é uma relação heterogênea{{Ill|en||Binary_relation#Heterogeneous_relation|nlk=true}} em conjuntos de linhas no plano.

== Simultaneidade ==

Desde os fundamentos de [[Hermann Minkowski]] para o estudo do [[espaço-tempo]] (em 1908), o conceito de pontos em um plano do espaço-tempo sendo hiperbólicos ortogonais a uma linha do tempo (tangente a uma [[Linha de universo|linha de mundo]]) tem sido usado para definir '''simultaneidade''' de eventos em relação à linha do tempo, ou [[relatividade da simultaneidade]]. No desenvolvimento de Minkowski, a hipérbole do tipo (B) acima está em uso.<ref>{{Citation |author=Minkowski, Hermann |year=1909 |title=[[s:de:Raum und Zeit (Minkowski)|''Raum und zeit'']] |journal=Physikalische zeitschrift |volume=10 |pages=75 – 88 |language=de }}
:* Várias traduções para o inglês no Wikisource: [[s:en:Space and Time|''Space and time'']]</ref>  Dois vetores ({{Var|x}}{{Subscrito|1}}, {{Var|y}}{{Subscrito|1}}, {{Var|z}}{{Subscrito|1}}, {{Var|t}}{{Subscrito|1}}) e ({{Var|x}}{{Subscrito|2}}, {{Var|y}}{{Subscrito|2}}, {{Var|z}}{{Subscrito|2}}, {{Var|t}}{{Subscrito|2}} são '''normais''' (significando ortogonais hiperbólicos) quando

: <math>c^{2} \ t_1 \ t_2 - x_1 \ x_2 - y_1 \ y_2 - z_1 \ z_2 = 0.</math>

Quando {{Var|c}} = 1 e os {{Var|y}}s e {{Var|z}}s são zero, {{Var|x}}{{Subscrito|1}} &ne; 0, {{Var|t}}{{Subscrito|2}} &ne; 0, então <math>\frac{c \ t_1}{x_1} = \frac{x_2}{c \ t_2}</math>.

Dada uma hipérbole com assíntota ''A'', sua reflexão em ''A'' produz a ''hipérbole conjugada''. Qualquer diâmetro da hipérbole original é refletido em um diâmetro conjugado{{Ill|en||Conjugate diameters|nlk=true}}. As direções indicadas pelos diâmetros conjugados são tomadas para os eixos do espaço e do tempo na relatividade. Como [[Edmund Taylor Whittaker|E. T. Whittaker]] escreveu, em 1910, "[a] hipérbole é inalterada quando qualquer par de diâmetros conjugados são tomados como novos eixos, e uma nova unidade de comprimento é tomada proporcional ao comprimento de qualquer um desses diâmetros."<ref>[[Edmund Taylor Whittaker|E. T. Whittaker]] (1910), [[A History of the Theories of Aether and Electricity|''A history of the theories of aether and electricity'']], Dublin: ''Longmans, Green and Co.''{{Ill|en||Longman|nlk=true}} (ver página 441)</ref> Com base neste [[princípio da relatividade]], ele então escreveu a transformação de Lorentz na forma moderna usando [[Rapidez (relatividade)|rapidez]].

[[Edwin Bidwell Wilson]] e [[Gilbert Newton Lewis|Gilbert N. Lewis]] desenvolveram o conceito dentro da [[geometria sintética]], em 1912. Eles observaram que "em nosso plano, nenhum par de linhas perpendiculares [hiperbólicas-ortogonais] é mais adequado para servir como eixos coordenados do que qualquer outro par"<ref name=L&W>Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "''The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics''", ''Proceedings of the [[Academia de Artes e Ciências dos Estados Unidos|American academy of arts and sciences]]'' (em inglês), volume 48, páginas 387 – 507, esp. 415 {{Doi|10.2307/20022840}}</ref>

== Referências ==

<references/>

* [[George David Birkhoff|G. D. Birkhoff]] (1923) ''Relativity and modern physics'' (em inglês), páginas 62,3, [[Harvard University Press|''Harvard university press'']].
* Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) ''Mathematics of Minkowski space'' (em inglês), ''[[Birkhäuser Verlag]]'', Basel. Ver página 38, ''Pseudo-orthogonality''.
* Robert Goldblatt{{Ill|en||Robert Goldblatt|nlk=true}} (1987) ''Orthogonality and spacetime geometry'', capítulo 1: ''A trip on Einstein's train'', ''Universitext Springer-Verlag'' {{ISBN|0-387-96519-X}} {{MathSciNet|id=0888161}}
* {{Cite book |title=Gravitation |url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003 <!-- |url-access=limited -->|author1=J. A. Wheeler |author2=C. Misner |author3=K. S. Thorne |publisher=''W. H. Freeman & Co'' |page=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/n82 58] |year=1973 |isbn=0-7167-0344-0 |language=en }}

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