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{{ver desambiguação}}
[[Imagem:Parabola.svg|direita|thumb|196px|Uma parábola]]
'''Parábola''' (do [[Língua grega|grego]]: ''παραβολή'') é uma [[seção cônica]] gerada pela interseção de uma [[superfície cônica]] de segundo grau e um [[plano (matemática)|plano]] paralelo à reta geratriz do [[cone]], sendo que o plano não contém esta. Equivalentemente, uma parábola é a curva plana definida como o [[conjunto (matemática)|conjunto]] dos [[ponto (matemática)|pontos]] que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma [[reta (matemática)|reta]] dada (chamada de diretriz).<ref name=Giongo>{{citar livro|autor=[[Affonso Rocha Giongo]]|título=Curso de Desenho Geométrico|editora=Nobel|ano=1974|páginas=|id=Capítulo: Retificação da circunferência 78 p.}}</ref><ref name=":1">{{citar web|URL = http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/conicas/index.html|título = Sítio de internet do curso Cálculo e Geometria Analítica da UFRGS - Cônicas|data = |acessadoem = 24/10/2014|autor = |publicado = Instituto de Matemática da UFRGS}}</ref> Aplicações práticas são encontradas em diversas áreas da física e da engenharia como no projeto de [[Antena parabólica|antenas parabólicas]], [[radar]]es, [[Luzes automotivas|faróis de automóveis]].

== Definições e visão geral ==
[[Imagem:Parabola animada.gif|thumb|Parábola de foco <math>F(p,0)</math> e diretriz <math>x = -p</math>.]]
=== Equações da geometria analítica ===
Uma parábola é o [[conjunto]] de [[Ponto (matemática)|pontos]] no [[Plano (geometria)|plano]] que são equidistantes de um ponto dado <math>F</math> (foco) e uma [[reta]] dada <math>r</math> (diretriz) que não contém <math>F</math>.<ref>{{citar web|URL = http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html|título = Parabola - from Wolfram MathWorld|data = |acessadoem = 24/10/2014|autor = |publicado = Wolfram Research, Inc.}}</ref> Assim, em [[coordenadas cartesianas]], uma parábola de foco <math>F(p, 0)</math> e reta diretriz <math>r: x = -p</math> tem equação<ref name="Boulos-266">{{Citar livro|nome=Paulo |sobrenome=Boulos |coautor= Camargo, Ivan de |título=Geometria Analítica |subtítulo=Um Tratamento Vetorial |edição=2 |local=São Paulo |editora=McGrall-Hill |ano=1987 |isbn= 0074500465| página=266 }}</ref>

: <math>y^2 = 4px.</math>

Uma parábola é dita estar em uma posição padrão quando seu foco está sobre o [[Abscissa|eixo das abscissas]] ou sobre o [[Ordenada|eixo das ordenadas]] e sua diretriz é, respectivamente, paralela ao eixo das ordenadas ou ao eixo das abscissas. A equação de uma parábola em uma posição padrão é chamada de equação padrão. Assim, além da equação acima, temos que:

: <math>x^2 = 4py</math>

é, também, uma equação padrão. Esta caracteriza uma parábola de foco <math>F(0, p)</math> e diretriz <math>r: y = -p.</math> De fato, por definição, <math>P(x, y)</math> pertence à parábola se, e somente se:

: <math>d(P, F) = d(P, r)</math>

onde, <math>d(\cdot, \cdot)</math> denota a [[distância euclidiana]]. Assim, para uma parábola de foco <math>F(p, 0)</math> e diretriz <math>r:x=-p,</math> temos:

: <math>\sqrt{(x-p)^2 + y^2} = \sqrt{(x+p)^2} \Leftrightarrow (x-p)^2 + y^2 = (x+p)^2</math>

que é equivalente à equação <math>y^2 = 4px</math>. O procedimento é análogo para uma parábola de foco <math>F(0, p)</math> e diretriz <math>r:y=-p,</math> mostrando que, neste caso, <math>x^2 = 4py</math>.

O eixo de simetria de uma parábola é definido como a reta que passa por seu foco <math>F</math> e é [[Perpendicularidade|perpendicular]] a sua reta diretriz <math>r.</math> O vértice de uma parábola é definido pela intersecção da parábola com seu eixo de simetria. Notemos que nas equações acima <math>|p|</math> corresponde a distância do vértice ao foco, bem como, à diretriz.

[[Imagem:Parabola showing focus and reflective property.png|196px|thumb|direita|Um gráfico mostrando as propriedade reflexivas,a diretriz (em verde), e as linhas conectando o foco e e diretriz à parábola (em azul)]]Observamos que, por [[translação]], obtemos a equação de uma parábola com vértice V<math>(h,k),</math> foco <math>F(h+p, k)</math> e diretriz <math>r: x = h - p</math> por:

: <math>(y - k)^2 = 4p(x-h).</math>

Analogamente, uma parábola com vértice V<math>(h,k),</math> foco <math>F(h, k+p)</math> e diretriz <math>r: y = k - p</math> é descrita pela equação:

: <math>(x - h)^2 = 4p(y - k).</math>

De maneira geral, uma parábola é uma curva no [[plano cartesiano]] definida por uma equação [[polinômio irredutível|irredutível]] de coeficientes reais da forma:

: <math>a x^2 + 2b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0</math>

com <math>b^2 = ac,</math> <math>a + c \neq 0</math>. O fato da equação ser [[irredutível]] significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.

=== Outras definições geométricas{{Carece de fontes|data=junho de 2017}} ===
[[Imagem:Conicas2.PNG|200px|thumb|Parábola como seção cônica.]]

Uma parábola também pode ser caracterizada com uma [[secção cônica]] com uma [[excentricidade (matemática)|excentricidade]] igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são [[similar]]es.

Uma parábola também pode ser obtida como o [[limite]] de uma sequência de [[elipse]]s onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada a seção do segmento de uma elipse que possui um foco no [[infinito]]. A parábola é a [[geometria inversiva|transformada inversa]] de um [[cardióide]].

Se girarmos uma parábola através de seu eixo em um gráfico de três dimensões temos uma forma conhecida como o [[parabolóide]] de revolução.

== Dedução das equações ==
[[Imagem:Parabola vertical symmetry.png|thumb|Exemplo de uma parábola com eixo de simetria vertical.]]
=== Em coordenadas cartesianas ===

==== Eixo vertical de simetria ====
Estas deduções se baseiam em uma parábola com eixo vertical de simetria, com  vértice <math>V</math><math>(h, k)</math> e distância <math>p</math> entre o vértice e o foco. Por convenção, se o vértice estiver abaixo do foco p é [[Número positivo|positivo]], caso contrário p é [[Número negativo|negativo]].<ref name=":1" />

Como, por definição, um ponto <math>P(x, y)</math> na parábola dista do foco <math>F(h, k+p)</math> tanto quanto da reta diretriz <math>r: y = k-p,</math> podemos escrever:

: <math>d(P, F) = d(P, r) \Rightarrow \sqrt{(x - h)^2 + (y - k - p)^2} = |y - k + p|</math>

onde, <math>d(\cdot, \cdot)</math> denota a [[distância euclidiana]] e <math>|\cdot|</math> denota a [[Função modular|função valor absoluto]]. Lembrando que <math>|x| = \sqrt{x^2}</math> para qualquer <math>x</math> real, temos:

:<math>(x - h)^2 + (y - k - p)^2 = (y - k + p)^2</math>

: <math>(x - h)^2 = (y - k + p)^2 - (y - k - p)^2</math>

: <math>(x - h)^2 = 4 p (y - k)</math>

a qual é a equação padrão procurada.

Comumente, esta equação aparece reescrita na forma de um trinômio do segundo grau:

: <math>y = ax^2 + bx + c</math>

onde:

: <math>a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k;</math> <math>h = \frac{-b}{2a}; \ \ k = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}.</math>

Muitas vezes é útil descrever uma parábola via [[equações paramétricas]]. Tomando <math>x = x(t),</math> por exemplo <math>x(t) = 2pt + h,</math> e substituindo na equação padrão, obtemos <math>y = y(t).</math> Isto nos fornece a seguinte parametrização de uma tal parábola:

: <math>\left\{ \begin{array}{ll} x(t) = 2pt + h\\ y(t) = pt^2 + k \end{array}\right. , \quad t\in\mathbb{R}.</math>

Observamos que a parametrização de <math>x,</math> i.e. <math>x = x(t),</math> é arbitrária, sendo que diferentes escolhas levam a um conjunto diferente de equações paramétricas.

==== Eixo horizontal de simetria ====
[[Imagem:Parabola horizontal symmetry.png|thumb|Exemplo de uma parábola com eixo de simetria horizontal.]]
Analogamente, uma parábola com eixo horizontal de simetria, vértice <math>V(h,~k)</math> e distância <math>p</math> entre o vértice e o foco tem equação padrão:
: <math>(y - k)^2 = 4p(x - h)</math>
Notemos que esta pode ser reescrita no trinômio de segundo grau:

: <math>x = ay^2 + by + c</math>

tomando:

: <math>a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-k}{2p}; \ \ c = \frac{k^2}{4p} + h;</math> <math>h = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}; \ \ k = \frac{-b}{2a}.</math>

Tomando <math>y = y(t)</math>, <math>y(t) = 2pt + k</math>, e substituindo na equação padrão, obtemos as seguintes equações paramétricas para uma tal parábola:

: <math>\left\{\begin{array}{ll}x(t) = pt^2 + h \\ y(t) = 2pt + k\end{array}\right.,\quad \forall t\in\mathbb{R}</math>

=== Em coordenadas polares ===
[[Imagem:Parabola polar.jpeg|thumb|294x294px|Esboço da parábola <math>r(1 + \cos(\theta)) = 2a</math> com <math>a = 5/2</math>.]]
Em [[coordenadas polares]], uma parábola com o foco na origem e reta diretriz <math>x = -2a</math> é dada pela equação<ref>{{citar web|URL = http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/conicas.pdf|título = Seções Cônicas|data = 2001|acessadoem = 25/10/2014|autor = Reginaldo J. Santos|publicado = }}</ref>:

: <math>r = \frac{2a}{1 - \cos(\theta)}</math>

De fato, tomando <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math> e <math>\cos(\theta) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}</math> e substituindo na equação polar, obtemos:

: <math>y^2 = 4a(x + a)</math>

que é a equação padrão da parábola de vértice <math>V(-a,0)</math> e reta diretriz <math>x = -2a</math>.

=== Forma em coordenadas gaussianas ===
A forma em coordenadas gaussianas é dada por:{{Carece de fontes|data=junho de 2017}}

: <math>(\tan^2\phi,2\tan\phi)</math>

e possui a normal <math>(\cos\phi,\mathrm{sen}\,\phi)</math>.

== Equação Quadrática ==
De forma geral, uma parábola é descrita por uma [[equação quadrática]] de coeficientes reais da forma:

: <math>ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0</math>

com <math>b^2 = ac</math> e <math>a+c \neq 0</math>. A presença do termo cruzado <math>xy</math> (i.e., <math>b \neq 0</math>) indica que a parábola tem eixo de simetria transversal em relação aos eixos canônicos <math>x, y</math>.
[[Imagem:Parabola rotacionada.jpeg|thumb|400x400px|Esboço de uma parábola em posição não padrão. Aqui, <math>\lambda_1 = 0</math>, <math>\lambda_2 = 10</math>, a rotação é dada por<math>u = -\frac{\sqrt{10}}{10}x + \frac{3\sqrt{10}}{10}y</math> e <math>v = \frac{3\sqrt{10}}{10}x + \frac{\sqrt{10}}{10}y</math> e a translação é dada por <math>u' = u + 2</math> e <math>v' = v - 1</math>.]]
Tal equação pode ser escrita na seguinte forma matricial<ref name=":0">{{citar livro|título = Álgebra Linear com Aplicações|sobrenome = KOLMAN|nome = BERNARD|edição = 9|local = |editora = LTC|ano = 2013|página = |isbn = 9788521622086}}</ref>:

: <math>\mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{b}\mathbf{x} + f = 0</math>

onde <math>\mathbf{x} = \left[\begin{array}{l}x\\y\end{array}\right]</math> é o vetor real bidimensional das incógnitas,

: <math>A = \left[\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right]</math>

é uma [[Matriz simétrica|matriz real simétrica]] de [[autovalores]] reais <math>\lambda_1</math> e <math>\lambda_2</math>, sendo exatamente um deles nulo,

: <math>\mathbf{b} = \left[d~~e\right]</math>

é o vetor real bidimensional, e <math>f</math> é um escalar real.

=== Rotação ===
Uma parábola cujo eixo de simetria não é paralelo ao eixo das abscissas nem ao eixo das ordenadas pode ser descrita como uma rotação de uma parábola em uma posição padrão. Notemos que a matriz <math>A</math> é [[Matriz diagonalizável|ortogonalmente diagonalizável]],<ref name=":0" /> i.e.:

: <math>P^T A P = \left[\begin{array}{ll}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right]</math>

onde <math>P = \left[\mathbf{v}_1 ~~ \mathbf{v}_2 \right]</math> é a [[matriz ortogonal]], cujas colunas são autovetores <math>\mathbf{v}_1</math>, <math>\mathbf{v}_2</math> associados aos autovalores <math>\lambda_1</math> e <math>\lambda_2</math>, respectivamente.

Fazendo a mudança de variável:

: <math>\mathbf{x} = P\mathbf{y},\quad\mathbf{y} = \left[\begin{array}{l}u\\v\end{array}\right]</math>,

podemos escrever a equação da parábola nas novas variáveis <math>u, v</math> como:

: <math>\mathbf{y}^T \left(P^T A P\right)\mathbf{y} + \left(\mathbf{b}P\right)\mathbf{y} + f = 0</math>

a qual representa uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo <math>u</math>, dado pelo autovetor <math>\mathbf{v_1}</math>, ou ao eixo <math>v</math>, dado pelo autovetor <math>\mathbf{v}_2</math>.

=== Translação ===
Uma parábola de vértice <math>V(h,k)</math> pode ser vista como uma translação de uma parábola de vértice na origem. Ou seja, fazendo a mudança de variável:

: <math>\mathbf{z} = \left[\begin{array}{l}u'\\ v'\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}u\\ v\end{array}\right] - P^T\left[\begin{array}{l}h\\ k\end{array}\right]</math>

obtemos a equação padrão da parábola escrita nas variáveis <math>u', v'</math>.

== Propriedade Refletora ==
[[Imagem:Parabel 2.svg|thumb|Propriedade refletora de uma parábola.]]
Para uma superfície parabólica que seja construída com material [[Reflexão (física)|reflexivo]], um feixe de partículas paralelas ao eixo de simetria é direcionado para o seu foco.<ref>{{citar livro|título = A matemática do ensino médio - volume 1|sobrenome = Lima|nome = Elon Lages|edição = |local = |editora = SBM|ano = 2006|página = |isbn = 8585818107}}</ref>

De fato, consideramos, sem perda de generalidade, a parábola <math>x^2 = 4py</math> ilustrada na figura ao lado. Nela, <math>F(0,p)</math> denota seu foco, <math>A(0,0)</math> seu vértice e <math>E(x, 4py)</math> o [[Ângulo de incidência|ponto de incidência]] de um feixe de partículas paralelo ao eixo de simetria dessa parábola. A reta paralela ao eixo de simetria que contém a trajetória da onda tem interseção com o eixo das abscissas no ponto <math>D(x, 0)</math> e com a diretriz da parábola no ponto <math>C(x, -p)</math>. Observamos que o segmento <math>FC</math> tem interseção com o eixo das abscissas no ponto <math>B\left(\frac{x}{2}, 0\right)</math>, i.e. no ponto médio entre os pontos <math>A</math> e <math>D</math>.  Por essa razão e mais o fato de que <math>F</math> e <math>C</math> são equidistantes do eixo das abscissas, vemos que <math>BEF</math> e <math>CEB</math> são triângulos congruentes. Notamos, agora, que a reta que passa pelos pontos <math>B</math> e <math>E</math> têm inclinação <math>\text{arc tg}\left(\frac{|DE|}{|BD|}\right) = \text{arc tg } (8px )</math> e, portanto, é a reta tangente à parábola no ponto <math>E</math>, pois <math>y' = 8px</math> neste ponto. Assim, se <math>\alpha</math> é o ângulo de incidência do feixe com a reta tangente no ponto <math>E</math> (equivalentemente, com um elemento [[infinitesimal]] do [[comprimento do arco]] da parábola no mesmo ponto) , temos que o feixe é refletido pela parábola com o mesmo ângulo. Pela congruência dos triângulos <math>BEF</math> e <math>CEB</math>, vemos que a onda refletida alcança o ponto <math>F</math>, i.e. o foco da parábola.

=== Aplicações práticas ===
Algumas aplicações dessa propriedade podem ser vistas no uso de [[Refletor parabólico|refletores parabólicos]], como para captação de som a grandes distâncias com um [[microfone]] parabólico<ref>{{citar livro|título=Sound and Recording|ultimo=MCCORMICK|primeiro=TIM|editora=Focal Press|ano=2009|página=60|páginas=}}</ref>, que utiliza o refletor para coletar e focar [[ondas sonoras]] em um [[transdutor]], conceito similar ao da [[antena parabólica]]. Esses microfones conseguem captar sons muitos distantes na direção em que é apontado e normalmente é utilizado para gravar sons da natureza e para espionagem.{{Referências}}

== Bibliografia ==
* [[Theodoro Braga|Braga, Theodoro]] - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
* [[Benjamim de Carvalho|Carvalho, Benjamim]] - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
* [[Affonso Rocha Giongo|Giongo, Affonso Rocha]] - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
* [[Denis Mandarino|Mandarino, Denis]] - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
* Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
* Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

== Ver também ==
* [[Cone]]
* [[Lugar geométrico]]
* [[Movimento parabólico]]
* [[Paraboloide]]

== Ligações externas ==
{{Commons|Parabola}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html MathWorld: Parabola] {{en}} 
* [https://www.dropbox.com/s/aa71ogpk8xski1j/gaalt1.pdf Reginaldo J. Santos. ''Matrizes Vetores e Geometria Analítica'']
* {{Citar livro|nome=Jacir J. |sobrenome=Venturi |título=Cônicas e Quádricas |edição= 5 |local= Curitiba |editora=Unificado |ano=2003 |páginas=246 |isbn= 8585132485 |url=http://www.geometriaanalitica.com.br/livros/cq.pdf }}
* [http://www.stefanelli.eng.br/webpage/v_parabola.html Vídeo 3D de um plano seccionando um cone e definindo a curva cônica parábola]

[[Categoria:Seções cônicas]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]