Mostrar código-fonte de Paridade do zero

[[Imagem:Scale of justice 2.svg|thumb|alt=Balança vazia|Os pratos da balança contêm zero objetos, divididos em dois grupos iguais.]]
A expressão '''paridade do zero''' refere-se ao fato de o número [[0 (número)|zero]] ser considerado um número par. Em outras palavras, sua [[Números pares e ímpares|paridade]] — a qualidade de um [[número inteiro]] ser par ou ímpar — é par. A maneira mais simples de provar que zero é par é checar se ele se encaixa na definição de [[número par]]: é um número inteiro, múltiplo de [[dois|2]], especificamente <math>0\times2</math>. Como resultado disso, zero compartilha todas as propriedades que caracterizam os números pares: 0 é [[Divisor|divisível]] por 2, é avizinhado de ambos os lados por números ímpares, é obtido através da [[Adição|soma]] de um inteiro com ele mesmo (<math>0+0=0</math>) e um conjunto com 0 objetos pode ser separado em dois conjuntos de mesmo tamanho.

Zero também se encaixa nos padrões formados por outros números pares. As regras aritméticas de paridade, tais como <math>par - par = par</math>, requerem que 0 seja par. Zero é o [[elemento neutro]] do [[Grupo (matemática)|grupo]] de inteiros pares, e é o caso inicial a partir do qual outros [[números naturais]] pares são [[Definição recursiva|recursivamente definidos]]. Aplicações dessa recursão, da [[teoria dos grafos]] até a [[geometria computacional]], requerem a paridade de zero. Não somente 0 é divisível por 2, como também é divisível por toda [[Potência de dois|potência de 2]], o que é extremamente relevante para o [[sistema de numeração binário]] usado por computadores. Nesse sentido, 0 é o número "mais par" de todos.<ref name="arnold-wong">{{harvnb|Arnold|1919|p=21}} "Pelo mesmo teste zero supera todos os números em 'paridade'."; {{harvnb|Wong|1997|p=479}} "Portanto, o inteiro {{nowrap|1=''b''000⋯000 = 0}} é o mais 'par'."</ref>

Entre o público geral, a paridade do zero pode ser uma fonte de confusão. Em experimentos psicológicos de [[tempo de reação]], muitas pessoas são mais lentas em identificar 0 como par do que identificar a paridade de 2, 4, 6 ou 8, por exemplo. Alguns estudantes de matemática — e alguns professores — pensam que zero é ímpar, ou ambos (par ''e'' ímpar), ou nenhum dos dois. Pesquisadores em [[educação matemática]] dizem que esses equívocos podem se tornar oportunidades de aprendizado. Estudar igualdades como <math>0 \times 2=0</math> pode sanar dúvidas de estudantes sobre se 0 é um [[número]] e sobre usá-lo na [[aritmética]]. Discussões de classe podem levar estudantes a avaliar os princípios básicos do raciocínio matemático, tais como a importância das definições. Analisando a paridade desse número excepcional é um exemplo precoce de um tema que permeia a matemática: a [[abstração (matemática)|abstração]] de um conceito familiar para uma configuração desconhecida mais complexa.

== Por que zero é par ==
A definição mais difundida de "número par" pode ser usada para [[Prova matemática|provar]] diretamente que zero é um número par. Um número é chamado "par" se for um inteiro múltiplo de 2. Como um exemplo, o motivo de 10 ser par é que ele é obtido através da multiplicação entre 2 e 5. Da mesma forma, zero é um inteiro múltiplo de 2 (a saber, <math>0\times2=0</math>), portanto zero é par.<ref>{{harvnb|Penner|1999|p=34}}: [[Lema (matemática)|Lema]] B.2.2, ''O inteiro 0 é par e não é ímpar''. Penner usa o símbolo matemático ∃, a [[quantificação existencial]], para estabelecer a prova: "Para ver que 0 é par, nós devemos provar que {{nowrap|1=∃''k'' (0 = 2''k''),}} e isto segue da igualdade {{nowrap|1=0 = 2 ⋅ 0}}."</ref>

Também é possível explicar porque zero é par sem se referir a definições formais.<ref>{{harvnb|Ball|Lewis|Thames|2008|p=15}} discute este desafio para professores das séries primárias, que querem dar razoes matemáticas para fatos matemáticos, mas cujos estudantes nem usam a mesma definição, nem poderiam entendê-la se fosse introduzida.</ref> As seguintes explicações fazem uso da ideia de que zero é par através de conceitos fundamentais sobre números. A partir destes fundamentos, pode-se prover argumentos racionais para a própria definição — e sua aplicação ao zero.

=== Explicações básicas ===
[[Imagem:012345Pairs.svg|thumb|alt=Na esquerda, caixas com 0, 2 e 4 objetos brancos em pares; na direita, 1, 3 e 5 objetos, com objetos não pareados em vermelho.|A caixa com 0 objetos não tem nenhum objeto vermelho sobrando.<ref>Compare {{harvnb|Lichtenberg|1972|p=535}} Fig. 1</ref>]]
Zero é um número, e números são usados para [[Contagem (matemática)|contagem]]. Dado um conjunto de objetos, utiliza-se um número para descrever quantos objetos estão no conjunto. Zero representa a conta de ''nenhum objeto'' no conjunto; em termos mais formais, é o número de objetos no [[conjunto vazio]]. O conceito de paridade é usado para fazer grupos de dois objetos. Se os objetos em um conjunto puderem ser agrupados em duplas, com nenhum objeto sobrando, então o número de objetos é par. Se um objeto é deixado sem par, então o número de objetos no conjunto é ímpar. O conjunto vazio tem zero duplas e nenhum objeto é deixado sem par, portanto zero é par.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=535–536}} " ... números respondem a questão 'Quantos?' para o conjunto de objetos ... zero é o número propriedade do conjunto vazio ... Se os elementos de cada conjunto são marados em grupos de dois ... então o número desse conjunto é um número par."</ref>

Essas ideias podem ser ilustradas ao desenhar-se objetos em duplas. É difícil retratar duplas, ou enfatizar a não existência de um objeto sobrando, então desenhar outros grupos e compará-los com o conjunto com zero duplas ajuda a compreender melhor a ideia. Por exemplo, no grupo de cinco objetos, existem duas duplas e, de modo mais importante, há um objeto sobrando, então 5 é ímpar. No grupo de quatro objetos, por outro lado, não há nenhum objeto sobrando, portanto 4 é par. No grupo de apenas um objeto, não existe nenhuma dupla, e existe um objeto sobrando, portanto 1 é ímpar. No grupo de zero objetos, não há nenhum objeto sobrando, portanto 0 é par.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=535–536}} "Zero grupos de estrelas são circuladas. Nenhuma estrela sobra. Assim sendo, zero é um número par."</ref>

Existe outra definição concreta da paridade: se os objetos em um conjunto podem ser colocados em dois grupos de mesmo tamanho, então o número de objetos é par. A definição é equivalente a primeira. De novo, zero é par, pois o conjunto vazio pode ser dividido em dois grupos de zero itens cada.{{sfn|Dickerson|Pitman|2012|p=191}}

Números também podem ser visualizados como pontos em uma [[reta numérica]]. Quando números pares e ímpares são distinguidos uns dos outros, o padrão torna-se óbvio, especialmente se [[Número negativo|números negativos]] são incluídos:

[[Imagem:EvenOddNumberLine.svg|center|alt=Integers −4 through 10; even numbers are open circles; odd numbers are dots]]

Os números pares e ímpares alternam-se. Começando em qualquer número par, contar duas unidades para a esquerda ou para a direita alcança-se outro número par, e não há qualquer razão para ignorar o zero.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|p=537}}; compare sua Fig. 3. "Se os números pares são identificados em alguma maneira especial ... não existe razão alguma para omitir zero do padrão."</ref>

Com a introdução da [[multiplicação]], a paridade pode ser abordada de uma maneira mais formal usando expressões aritméticas. Todo inteiro é ou da forma <math>(2\times\square) + 0</math> ou da forma <math>(2\times\square) + 1</math>; o primeiro caso representa os números pares e o segundo representa os ímpares. Por exemplo, 1 é ímpar porque <math>1 = (2\times0) + 1</math>, e 0 é par porque <math>0 = (2\times 0) + 0</math>. Fazer uma tabela desses fatos reforça o argumento criado pela imagem da reta numérica acima.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=537–538}} "Em um nível mais avançado ... números expressos como {{nowrap|(2 × ▢) + 0}} são números pares ... zero se encaixa muito bem nesse padrão."</ref>
{| class="wikitable"
!Número inteiro
|<math>-4</math>
|<math>-3</math>
|<math>-2</math>
|<math>-1</math>
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|<math>2</math>
|<math>3</math>
|<math>4</math>
|-
!Decomposição única
|<math>2\times(-2)+\color{red}{0}</math>
|<math>2\times(-2)+\color{ProcessBlue}{1}</math>
|<math>2\times(-1)+\color{red}{0}</math>
|<math>2\times(-1)+\color{ProcessBlue}{1}</math>
|<math>2\times(0)+\color{red}{0}</math>
|<math>2\times(0)+\color{ProcessBlue}{1}</math>
|<math>2\times(1)+\color{red}{0}</math>
|<math>2\times(1)+\color{ProcessBlue}{1}</math>
|<math>2\times(2)+\color{red}{0}</math>
|-
!Paridade
|<font color="red">Par</font>
|<font color="blue">Ímpar</font>
|<font color="red">Par</font>
|<font color="blue">Ímpar</font>
|<font color="red">Par</font>
|<font color="blue">Ímpar</font>
|<font color="red">Par</font>
|<font color="blue">Ímpar</font>
|<font color="red">Par</font>
|}

=== Definindo paridade ===
A [[definição]] precisa de um termo matemático, tal como "par" significando "inteiro que é múltiplo de dois", é em última análise uma [[Convenção (norma)|convenção]]. Diferentemente de "par", alguns termos matemáticos são propositalmente construídos para excluir casos [[Trivialidade (matemática)|triviais]] ou [[Degeneração (matemática)|degenerados]]. [[Número primo|Números primos]] são um exemplo famoso. Antes do [[século XX]], definições de primalidade eram inconsistentes, e matemáticos importantes como [[Christian Goldbach|Goldbach]], [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]], [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], [[Arthur Cayley|Cayley]], e [[Leopold Kronecker|Kronecker]] classificavam 1 como primo.{{sfn|Caldwell|Xiong|2012|pp=5–6}} A definição moderna de "número primo" é "inteiro positivo com exatamente 2 [[divisor]]es", então 1 não é primo. Esta definição pode ser racionalizada ao perceber que ela é mais adequada aos teoremas que dizem respeito aos números primos. Por exemplo, o [[teorema fundamental da aritmética]] é mais facilmente enunciável quando 1 não é considerado primo.<ref>{{harvnb|Gowers|2002|p=118}} "A exclusão aparentemente arbitrária de 1 da definição de primo ... não expressa um fato profundo sobre os números: simplesmente é uma convenção útil, adotada, de modo que existe apenas uma maneira de fatorizar qualquer número dado em números primos." Para um mais discussão mais detalhada, veja {{harvnb|Caldwell|Xiong|2012}}.</ref>

Seria possível similarmente redefinir o termo "par" de forma que não mais inclua o zero. Contudo, neste caso, a nova definição tornaria mais difícil enunciar teoremas que dizem respeito aos números pares. O efeito pode ser visto em regras algébricas que regem os números pares e ímpares.<ref name="Partee">{{harvnb|Partee|1978|p=xxi}}</ref> As regras mais relevantes dizem respeito a [[adição]], [[subtração]] e [[multiplicação]]:
: par ± par = par
: ímpar ± ímpar = par
: par × inteiro = par
Inserindo valores apropriados no lado esquerdo dessas regras, pode-se produzir 0 no lado direito:
: <math>2 - 2 = 0</math>
: <math>-3 + 3 = 0</math>
: <math>4\times0=0</math>
As regras acima tornar-se-iam incorretas caso zero não fosse par.<ref name="Partee" /> Na melhor das hipóteses, elas teriam que ser modificadas. Por exemplo, um guia de estudo de teste afirma que números pares são caracterizados como inteiros múltiplos de dois, mas zero não é "nem par nem ímpar".<ref name="MarkAlanStewart">{{harvnb|Stewart|2001|p=54}} Estas regras são dadas, mas elas não são citadas textualmente.</ref> Consequentemente, essas regras contêm exceções:<ref name="MarkAlanStewart" />
: par ± par = par '''(ou zero)''' 
: ímpar ± ímpar = par '''(ou zero)''' 
: par × inteiro '''não nulo''' = par
Fazer uma exceção para zero na definição de paridade força a criação de tais exceções nas regras para números pares. Sob outra perspectiva, tomar as regras obedecidas por números pares positivos e requerer que elas continuem a ser válidas para inteiros força a definição usual e a paridade de zero.<ref name="Partee" />

== Contextos matemáticos ==
Incontáveis resultados em [[teoria dos números]] são embasadas pelo teorema fundamental da aritmética e pelas propriedades algébricas de números pares, logo as escolhas descritas acima têm amplas consequências. Por exemplo, o fato de números positivos terem [[Fatoração de inteiros|fatoração]] única significa que pode ser determinado se um número tem um número par ou ímpar de fatores primos distintos. Uma vez que 1 não é primo, e também não tem fatores primos, é um [[Produto vazio|produto de 0]] primos distintos; como 0 é um número par, 1 tem um número par de fatores primos distintos. Isso implica que a [[função de Möbius]] assume o valor <math>\mu(1)=1</math>, o que é necessário para ela ser uma [[função multiplicativa]] e para a [[fórmula de inversão de Möbius]] funcionar.<ref>{{harvnb|Devlin|1985|pp=30–33}}</ref>

=== Não sendo ímpar ===
Um número inteiro <math>n</math> é ímpar se existe um número inteiro <math>k</math> tal que <math>n=2k+1</math>. Uma maneira de provar que zero não é ímpar é [[Prova por contradição|por contradição]]: se <math>0=2k+1</math>, então <math>k = -1/2</math>, que não é um inteiro.{{sfn|Penner|1999|p=34}} Um resultado clássico da [[teoria dos grafos]] diz que um [[grafo]] de ordem ímpar (que tem um número ímpar de vértices) sempre tem ao menos um [[Grau (teoria dos grafos)|vértice de grau par]]. (A declaração por si só requer que zero seja par: o [[grafo nulo]] tem ordem par e um [[Vértice (teoria dos grafos)|vértice isolado]] tem grau par.)<ref name=Berlinghoff>{{harvnb|Berlinghoff|Grant|Skrien|2001}} Para vértices isolados veja p. 149; para grupos veja p.311.</ref> Para provar o enunciado, é na verdade mais fácil provar um resultado mais forte: qualquer grafo de ordem ímpar tem um ''número ímpar'' de vértices de grau par. A aparição deste número ímpar é explicada por um resultado ainda mais geral, conhecido como o [[lema do aperto de mão]]: qualquer grafo tem um número par de vértices de grau ímpar.<ref>{{harvnb|Lovász|Pelikán|Vesztergombi|2003|pp=127–128}}</ref>

O [[lema de Sperner]] é uma aplicação mais avançada da mesma estratégia. O lema declara que um certo tipo de [[Coloração de grafos|coloração]] em uma [[Triangulação (geometria)|triangulação]] de um [[Simplex (topologia)|simplex]] tem um subsimplex que contém todas as cores. Em vez de diretamente construir tal subsimplex, é mais conveniente provar que existe um número ímpar de tais subsimplexes através de um argumento [[Indução matemática|indutivo]].<ref>{{harvnb|Starr|1997|pp=58–62}}</ref> Uma declaração mais forte do lema então explica porque este número é ímpar: ele naturalmente pode ser separado em <math>(n+1)+n</math> quando são consideradas as duas possíveis [[Sentido (matemática)|orientações]] de um simplex.<ref>{{harvnb|Border|1985|pp=23–25}}</ref>

=== Alternação par-ímpar ===
[[Imagem:RecursiveEven.svg|thumb|alt=0->1->2->3->4->5->6->... em cores alternadas|Definição recursiva da paridade de números naturais.]]

O fato de zero ser par, aliado ao fato de que números pares e ímpares alternam-se, é suficiente para determinar a paridade de todos os outros [[números naturais]]. Tal ideia pode ser formalizada em uma [[definição recursiva]] do conjunto de números naturais:
*0 é par;
*<math>(n+1)</math> é par se e somente se <math>n</math> não é par.
Essa definição tem a vantagem conceitual de depender somente dos fundamentos mínimos dos números naturais: a existência de 0 e de [[Função sucessora|sucessores]]. Como tal, é útil para sistemas de lógica de computador como [[LF logical framework|LF]] e o [[Isabelle|provador de teoremas Isabelle]].<ref>{{harvnb|Lorentz|1994|pp=5–6}}; {{harvnb|Lovas|Pfenning|2008|p=115}}; {{harvnb|Nipkow|Paulson|Wenzel|2002|p=127}}</ref> Com essa definição, a paridade de zero não é um [[teorema]], mas um [[axioma]]. De fato, "zero é um número par" pode ser interpretado como um dos [[axiomas de Peano]], dos quais os números naturais pares são um modelo.<ref>{{harvnb|Bunch|1982|p=165}}</ref> Uma construção similar estende a definição de paridade para [[números ordinais]] transfinitos: todo [[ordinal limite]] é par, incluindo o zero, e os sucessores de ordinais pares são ímpares.<ref name="Salzmann">{{harvnb|Salzmann|Grundhöfer|Hähl|Löwen|2007|p=168}}</ref>

[[Imagem:RecursiveEvenPolygon.svg|left|thumb|alt=Polígono não convexo penetrado por uma seta, legendado 0 do lado de fora, 1 do lado de dentro, 2 do lado de fora, etc.|Ponto em um teste de polígono]]
O teste clássico do [[ponto em polígono]] da [[geometria computacional]] aplica as ideias acima. Para determinar se um ponto jaz dentro do [[polígono]], cria-se uma [[Linha (matemática)|semirreta]] do infinito para o ponto e é contado o número de vezes que ela cruza a borda do polígono. O número de cruzamentos é par [[se e somente se]] o ponto estiver fora do polígono. Este [[algoritmo]] funciona pois se o raio nunca cruza o polígono, então seu número de cruzamentos é zero, que é par, e o ponto está do lado de fora. Toda vez que a semirreta cruza o polígono, o número de cruzamentos alterna entre par e ímpar, e o ponto na sua extremidade alterna entre estar dentro e estar fora do polígono.<ref>{{harvnb|Wise|2002|pp=66–67}}</ref>

[[Imagem:RecursiveEvenBipartite.svg|thumb|alt=Um grafo com 9 vértices, cores alternadas, legendados por distância do vértice na esquerda|Construção de uma bipartição]]
Em teoria dos grafos, um [[grafo bipartido]] é um grafo cujos vértices são separados em duas cores, tais que vértices vizinhos tenham cores diferentes. Se um grafo [[Conectividade (teoria dos grafos)|conectado]] não tem [[Ciclo (teoria de grafos)|ciclos]] ímpares, então uma bipartição pode ser construída escolhendo-se um vértice base <math>v</math> e colorindo todo vértice em branco ou preto, dependendo se a sua [[Distância (teoria dos grafos)|distância]] de <math>v</math> for par ou ímpar. Uma vez que a distância entre <math>v</math> e si próprio é 0, e 0 é par, o vértice base é colorido diferentemente dos seus vizinhos, que repousam à distância de 1.<ref>{{harvnb|Anderson|2001|p=53}}; {{harvnb|Hartsfield|Ringel|2003|p=28}}</ref>

=== Padrões algébricos ===
[[Imagem:EvenIntegersSubgroup.svg|left|thumb|alt=Inteiros -4 até +4 arranjados em uma espiral, com uma linha reta correndo através dos pares|2'''Z''' (azul) como um subgrupo de '''Z''']]
Em [[álgebra abstrata]], os inteiros pares formam várias [[Estrutura algébrica|estruturas algébricas]] que requerem a inclusão do zero. O fato de que a [[identidade aditiva]] (zero) é par, aliado à paridade das somas e dos [[inverso aditivo]] de números pares e à [[associatividade]] da adição, significa que os inteiros pares formam um [[Grupo (matemática)|grupo]]. Além disso, o grupo de inteiros pares sob adição é um subgrupo de todos os inteiros; isto é um exemplo elementar do conceito de subgrupo.<ref name=Berlinghoff /> A observação anterior de que a regra "par — par = par" força 0 a ser par é parte de um padrão geral: qualquer subconjunto [[Conjunto vazio|não-vazio]] de um grupo aditivo que é [[Fechamento|fechado sob]] subtração precisa ser um subgrupo e, em particular, deve conter a [[Elemento neutro|identidade]].<ref>{{harvnb|Dummit|Foote|1999|p=48}}</ref>

Como os inteiros pares formam um subgrupo dos inteiros, eles [[Partição de um conjunto|particionam]] os inteiros em [[coclasse]]s. Essas coclasses podem ser descritas como as [[Classe de equivalência|classes de equivalência]] da seguinte [[relação de equivalência]]: <math>x\sim y</math> se <math>(x-y)</math> é par. Aqui, a paridade de zero é diretamente manifestada como a [[Relação reflexiva|reflexividade]] da [[relação binária]] <math>\sim</math>.<ref>{{harvnb|Andrews|1990|p=100}}</ref>

Analogamente, o [[grupo alternante]] é um subgrupo de índice 2 no [[grupo simétrico]] de ''n'' letras. Os elementos do grupo alternante, chamados de [[permutação par|permutações pares]], são produtos de números pares de transposições. A [[função identidade]], um [[produto vazio]] sem transposições, é uma [[permutação]] par já que zero é par; ela é o elemento identidade do grupo.<ref>{{harvnb|Tabachnikova|Smith|2000|p=99}}; {{harvnb|Anderson|Feil|2005|pp=437–438}}</ref>

A regra "par × inteiro = par" significa que os números pares formam um [[Ideal (teoria dos anéis)|ideal]] no [[Anel (matemática)|anel]] dos inteiros, e a relação de equivalência acima pode ser descrita como [[Aritmética modular|equivalência módulo tal ideal]]. Em particular, inteiros pares são exatamente aqueles inteiros <math>k</math> que satisfazem <math>k\equiv 0 \ (mod \ 2)</math>. Esta formulação é útil para investigar as [[Raiz (matemática)|raízes]] inteiras de [[Função polinomial|polinômios]].<ref>{{harvnb|Barbeau|2003|p=98}}</ref>

=== Ordem 2-aditiva ===
Há um sentido em que alguns múltiplos de 2 são "mais pares" do que outros. Múltiplos de 4 são chamados [[Par singular e par duplo|duplamente pares]], já que eles podem ser divididos por 2 duas vezes. Não somente zero é divisível por 4, como também tem a propriedade única de ser divisível por todas as [[Potência de dois|potências de 2]], superando todos os outros números em "paridade".<ref name="arnold-wong"/>

Uma consequência desse fato aparece na [[Ordenação bit-reversa|ordenação bit-invertida]] de [[Inteiro (ciência da computação)|tipos de dados inteiros]] utilizada por alguns algoritmos de computador, como a [[transformada rápida de Fourier]] de [[Algoritmo FFT de Cooley-Tukey|Cooley-Tukey]]. Esta ordenação tem a propriedade de que quanto mais para a esquerda o primeiro 1 ocorre na [[Sistema de numeração binário|expansão binária]] de um número, ou quanto mais vezes ele for divisível por 2, mais cedo ele aparecerá. A bit-inversão de zero ainda é zero; ele pode ser dividido por 2 qualquer número de vezes, e sua expansão binária não contém nenhum 1, então ele sempre vem primeiro.<ref>{{harvnb|Wong|1997|p=479}}</ref>

Embora 0 seja divisível por 2 mais vezes do que qualquer outro número, não é tão direto o processo de quantificar exatamente quantas vezes isso ocorre. Para qualquer inteiro ''n'' diferente de zero, pode-se definir a ordem 2-aditiva de ''n'' como sendo o número de vezes que ''n'' é divisível por 2. Esta descrição não funciona para 0; não importa quantas vezes ele seja dividido por 2, sempre pode ser dividido por 2 novamente. Em vez disso, a convenção é configurar a ordem 2-aditiva de 0 como sendo [[Infinito|infinita]] como um [[Caso Especial|caso especial]].<ref>{{harvnb|Gouvêa|1997|p=25}} De um primo ''p'' geral: "A razão aqui é que nós podemos certamente dividir 0 por ''p'', e a resposta é 0, que podemos dividir por ''p'' ..." (elipses no original)</ref> Esta convenção não é particular à ordem 2-aditiva; é um dos axiomas de uma [[Valoração (álgebra)|valoração]] aditiva em álgebras superiores.<ref>{{harvnb|Krantz|2001|p=4}}</ref>

As potências de dois — 1, 2, 4, 8, ... — formam uma [[Sequência (matemática)|sequência]] simples de números de ordem 2 crescente. Nos números 2-aditivos, tais sequências [[Limite de uma sequência|convergem]] de fato para zero.<ref>{{harvnb|Salzmann|Grundhöfer|Hähl|Löwen|2007|p=224}}</ref>

== Educação ==
[[File:Pesquisa paridade zero.png|thumb|right|500px|Respostas em porcentagem através do tempo.<ref name="Frobisher41">{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}</ref>]]
O assunto da paridade de zero é frequentemente tratado nos primeiros dois ou três anos do [[ensino primário]], à medida que o conceito de números pares e ímpares é introduzido e desenvolvido.<ref>Este é o prazo nos Estados Unidos, Canadá, Grã Bretanha, Austrália e Israel; veja {{harvnb|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007|p=85}}.</ref>

=== Conhecimento dos estudantes ===
A tabela à direita<ref name="Frobisher41" /> retrata as crenças das crianças sobre a paridade do zero à medida que progridem do Ano 1 ao Ano 6 do sistema educacional inglês. Os dados são de Len Frobisher, que realizou um par de levantamentos de crianças em escolas na Inglaterra. Frobisher estava interessado em saber como o conhecimento da paridade de um único dígito se traduz no conhecimento da paridade de múltiplos dígitos, e o zero aparece proeminente nos resultados.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|pp=31 (Introdução); 40–41 (O número zero); 48 (Implicações para o ensino)}}</ref>

Em uma pesquisa preliminar com cerca de 400 crianças de sete anos, 45% delas escolheram ''par'' ao invés de ''ímpar'' quando perguntadas sobre a paridade do zero.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|pp=37, 40, 42}}; os resultados são da pesquisa realizada no meio das férias de verão de 1992.</ref> Uma pesquisa posterior ofereceu mais escolhas: ''nenhum dos dois'', ''ambos'' e ''não sei''. Desta vez, o número de crianças na mesma faixa etária que identificou zero como par caiu para 32%.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}} "A porcentagem de crianças do segundo ano decidindo que zero é um número par é muito menor que no estudo anterior, 32 porcento contra 45 porcento"</ref> O acerto na decisão de que o zero é par inicialmente aumenta e então se estabiliza por volta de 50% nos Anos 3 a 6.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}} "O sucesso em decidir que zero é um número par não continua a crescer com a idade, com aproximadamente uma em duas crianças dos anos 2 a 6 colocando um tiquetaque na caixa dos 'pares' ..."</ref> Em comparação, a tarefa mais fácil, identificar a paridade de um único dígito, atinge cerca de 85% de sucesso.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|pp=40–42, 47}}; estes resultados são do estudo de fevereiro de 1999, incluindo 481 crianças, de três escolas em uma variedade de níveis de conhecimento.</ref>

Em entrevistas, Frobisher suscitou o raciocínio dos alunos. Um aluno de quinto ano decidiu que 0 era par porque foi encontrado na tabela de multiplicação do 2. Uma dupla de alunos de quarto ano percebeu que zero pode ser dividido em duas partes iguais. Outro quartanista raciocinou que como "1 é ímpar, se eu descer é par".<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, atribuído a "Jonathan"</ref> As entrevistas também revelaram os equívocos por trás de respostas incorretas. Um aluno de segundo ano estava "bastante convencido" de que zero era ímpar, comentando "é o primeiro número que você conta" em sua resposta.<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, atribuído a "Joseph"</ref> Um quartanista referiu-se a 0 como "nenhum" e pensou que não era nem ímpar nem par, já que "não era um número".<ref>{{harvnb|Frobisher|1999|p=41}}, atribuido a "Richard"</ref> Em outro estudo, Annie Keith observou uma classe de 15 estudantes do segundo ano{{efn|No sentido estadunidense ou canadense do termo.}} que se convenceram de que zero era um número par com base na alternância ímpar-par e na possibilidade de dividir um grupo de zero coisas em dois grupos de igual tamanho.<ref>{{harvnb|Keith|2006|pp=35–68}} "Havia pouco desentendimento com a ideia de que zero era um número par. Os estudantes convenceram os poucos que não tinham certeza com dois argumentos: O primeiro argumento era que os números entram em um padrão ... ímpar, par, ímpar, par, ímpar, par ... e uma vez que dois é par e um é ímpar, então o número antes de um, que não é uma fração, seria zero. Então, zero precisaria ser par; O segundo argumento foi que, se uma pessoa tem zero coisas e as colocou em dois grupos iguais, haveria zero em cada grupo. Os dois grupos teriam a mesma quantidade: zero."</ref>

Pesquisas mais aprofundadas foram realizadas por Esther Levenson, Pessia Tsamir e Dina Tirosh, que entrevistaram um par de estudantes de sexto ano que estavam tendo alto desempenho em sua aula de matemática. Um estudante preferiu as explicações dedutivas das alegações matemáticas, enquanto o outro preferiu exemplos práticos. Ambos os alunos inicialmente pensaram que 0 não era nem ímpar, nem par, por diferentes motivos. Levenson et al. demonstrou como o raciocínio dos alunos refletiu seus conceitos de zero e divisão.<ref>{{harvnb|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007|pp=83–95}}</ref>
{| class="wikitable" style="margin:0.5em 0 1.3em 1.4em; float:right"
!Afirmações feitas por estudantes<ref name="BallFig">{{harvnb|Ball|Lewis|Thames|2008|p=27}}, Figure 1.5 "Mathematical claims about zero."</ref>
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|"''Zero não é nem par nem ímpar.''"
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|"''Zero poderia ser par.''"
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|"''Zero não é ímpar.''"
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|"''Zero tem que ser par.''"
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|"''Zero sempre será um número par.''"
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|"''Zero é especial.''"
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[[Deborah Loewenberg Ball]] analisou as ideias de alunos da terceira série sobre números pares e ímpares e o zero, que eles tinham acabado de discutir com um grupo de alunos do quarto ano. Os alunos discutiram a paridade de zero, as regras para os números pares, e como a matemática é feita. As afirmações sobre zero assumiram muitas formas, como mostrado na lista à direita.<ref name="BallFig" /> Ball e seus coautores argumentaram que o episódio demonstrou como os alunos podem "fazer matemática na escola", ao contrário da redução usual da disciplina à solução mecânica de exercícios.{{sfn|Ball|Lewis|Thames|2008|p=16}}

Um dos temas da literatura de pesquisa é a tensão entre as [[Imagem conceitual e definição conceitual|imagens conceituais]] dos alunos sobre a paridade e suas definições conceituais.<ref>{{harvnb|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007}}; {{harvnb|Dickerson|Pitman|2012}}</ref> Ambos os alunos do sexto ano de Levenson et al. definiram números pares como múltiplos de 2 ou números divisíveis por 2, mas inicialmente não conseguiram aplicar essa definição a zero, porque não tinham certeza de como multiplicar ou dividir zero por 2. O entrevistador eventualmente os levou a concluir que zero era par; os alunos tomaram diferentes rotas para essa conclusão, com base em uma combinação de imagens, definições, explicações práticas, e explicações abstratas. Em outro estudo, David Dickerson e Damien Pitman examinaram o uso de definições por cinco estudantes de graduação em matemática. Eles descobriram que os alunos de graduação conseguiram em grande parte aplicar a definição de "par" a zero, mas ainda não estavam convencidos por esse raciocínio, uma vez que entrava em conflito com suas imagens conceituais.{{sfn|Dickerson|Pitman|2012}}

=== Conhecimento dos professores ===
Pesquisadores de [[educação matemática]] na [[Universidade de Michigan]] tem incluído o prompt verdadeiro-ou-falso "0 é um número par" em um banco de dados de mais de 250 perguntas projetadas para medir o conhecimento do conteúdo de professores. Para eles, a questão exemplifica "conhecimento comum ... que qualquer adulto bem educado deveria ter", e é "ideologicamente neutro" na medida em que a resposta não varia entre a matemática tradicional e a matemática reformada. Em um estudo de 2000 a 2004 com 700 professores de ensino primário nos [[Estados Unidos]], o desempenho geral nessas questões previu melhorias significativas nos resultados dos exames padronizados dos alunos após terem feito as aulas com esses professores.<ref>{{harvnb|Ball|Hill|Bass|2005|pp=14–16}}</ref> Em um estudo mais aprofundado de 2008, os pesquisadores encontraram uma escola onde todos os professores achavam que zero não era nem ímpar, nem par, incluindo um professor que era considerado exemplar em todas as medidas. O equívoco foi espalhado por um instrutor de matemática em seu prédio.{{sfn|Hill|Blunk|Charalambous|Lewis|2008|pp=446–447}}

É incerto quantos professores mantém equívocos sobre o zero. Os estudos de Michigan não publicaram os dados por questões individuais. Betty Lichtenberg, professora associada de educação matemática na [[Universidade do Sul da Flórida]], em um estudo de 1972 informou que, quando um grupo de futuros professores da escola primária receberam um teste verdadeiro-ou-falso incluindo o item "Zero é um número par", eles achavam que era uma "pegadinha", com cerca de dois terços respondendo "Falso".<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|p=535}}</ref>

=== Implicações para instrução ===
Matematicamente, provar que zero é par é uma questão simples de aplicar uma definição, mas é necessária mais explicação no contexto da educação. Um problema diz respeito aos fundamentos da prova; A definição de "par" como "múltiplo inteiro de 2" nem sempre é apropriada. Um aluno nos primeiros anos de ensino primário pode ainda não ter aprendido o que "inteiro" ou "múltiplo" significa, e muito menos como se multiplicar com 0.<ref>{{harvnb|Ball|Lewis|Thames|2008|p=15}}. Veja também as notas de Ball para discussão futura de definições apropriadas.</ref> Além disso, indicar uma definição de paridade para todos os números inteiros pode parecer um atalho conceitual arbitrário se os únicos números pares investigados até então tiverem sido os positivos. Isso pode ajudar a reconhecer que, à medida que o conceito de número é estendido de inteiros positivos para incluir o zero e inteiros negativos, propriedades de número como a paridade também são estendidas de forma não trivial.<ref>Como concluído por {{harvnb|Levenson|Tsamir|Tirosh|2007|p=93}}, referenciando {{harvnb|Freudenthal|1983|p=460}}</ref>

==Cognição numérica==
[[Imagem:Nuerk figure 4 bare.svg|thumb|alt=Números de 0 a 8, repetidos duas vezes em um arranjo complexo; Os 0s estão no topo, separados por uma linha pontilhada|Análise estatística de dados experimentais, mostrando a separação de 0. Nesta análise espacial, apenas o agrupamento de dados é importante; os eixos são arbitrários.<ref>{{harvnb|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|p=851}}: "Também pode ser visto que zero difere fortemente de todos os outros números, independentemente de ser respondido com a mão esquerda ou direita. (Veja a linha que separa zero dos outros números)"</ref>]]

Os adultos que acreditam que o zero é par podem, no entanto, não estar familiarizados em rotulá-lo como par, o suficiente para retardá-los significativamente em um experimento de [[tempo de reação]]. Stanislas Dehaene, pioneira no campo da [[cognição numérica]], liderou uma série desses experimentos no início da década de 1990. Um [[Sistema de numeração|numeral]] ou o [[Numeral (linguística)|nome de um número]] é exibido para o sujeito em um monitor, e um computador registra o tempo que o sujeito leva para pressionar um dos dois botões para identificar o número como par ou ímpar. Os resultados mostraram que 0 foi mais lento para ser processado pelos sujeitos do que outros números pares. Algumas variações do experimento encontraram atrasos de até 60 [[milissegundo]]s, ou cerca de 10% do tempo médio de reação — uma pequena, mas significativa diferença.<ref>Veja os dados em {{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993}}, e resumido por {{harvnb|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|p=837}}.</ref>

Os experimentos de Dehaene não foram projetados especificamente para investigar o zero, mas para comparar modelos concorrentes de como a informação de paridade é processada e extraída. O modelo mais específico, a hipótese de cálculo mental, sugere que as reações a 0 devem ser rápidas; 0 é um número pequeno, e é fácil calcular <math>0\times2=0</math> (Os indivíduos calculam e nomeiam o resultado da multiplicação por zero mais rápido do que a multiplicação por números não-nulos, embora sejam mais lentos para verificar resultados propostos como <math>2\times0=0</math>). Os resultados dos experimentos sugeriram que algo bastante diferente estava acontecendo: a informação de paridade foi aparentemente recuperada da memória, juntamente com um conjunto de propriedades relacionadas, tais como ser [[número primo]] ou uma [[potência de dois]]. Tanto a sequência de potências de dois quanto a sequência de números pares positivos 2, 4, 6, 8, ... são categorias mentais bem distinguidas cujos membros são prototipicamente pares. Zero não pertence a nenhuma lista, daí as respostas mais lentas.<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|pp=374–376}}</ref>

Repetidos experimentos mostraram um atraso em relação ao zero para sujeitos com várias idades e origens nacionais e linguísticas, confrontados com nomes de números em forma de numeral, soletrados e soletrados em uma imagem espelhada. O grupo de Dehaene encontrou um fator diferenciador: conhecimentos matemáticos. Em uma de suas experiências, os alunos da [[Escola Normal Superior de Paris]] foram divididos em dois grupos: aqueles de estudos literários e aqueles que estudam matemática, física ou biologia. O desaceleramento em 0 foi "essencialmente encontrado no grupo [literário]" e, de fato, "antes do experimento, alguns sujeitos [literários] não tinham certeza se era par ou ímpar e tinham que lembrar a definição matemática".<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|pp=376–377}}</ref>

Esta forte dependência da familiaridade enfraquece de novo a hipótese de cálculo mental.<ref>{{harvnb|Dehaene|Bossini|Giraux|1993|p=376}} "Em algum sentido intuitivo, a noção de paridade é familiar apenas para números maiores do que 2. Na verdade, antes do experimento, alguns sujeitos L não tinham certeza se 0 era ímpar ou par e precisava ser lembrado da definição matemática. A evidência, em resumo, sugere que, em vez de ser calculado on-line, usando um critério de divisibilidade por 2, a informação de paridade é recuperada da memória juntamente com várias outras propriedades semânticas ... Se uma memória semântica for acessada em julgamentos de paridade, então as diferenças interindividuais devem ser encontradas dependendo da familiaridade dos sujeitos com conceitos de números".</ref> O efeito também sugere que não é apropriado incluir zero em experimentos onde os números pares e ímpares são comparados como um grupo. Como diz um estudo, "a maioria dos pesquisadores parece concordar que zero não é um número par típico e não deve ser investigado como parte da linha mental dos números".<ref>{{harvnb|Nuerk|Iversen|Willmes|2004|pp=838, 860–861}}</ref>

==Contextos cotidianos==
Alguns dos contextos onde a paridade de zero aparece são puramente retóricos. A questão fornece material para fóruns na [[Internet]] e sites de perguntas.<ref>{{harvnb|The Math Forum participants|2000}}; {{harvnb|Straight Dope Science Advisory Board|1999}}; {{harvnb|Doctor Rick|2001}}</ref> O linguista Joseph Grimes acredita que perguntar "zero é um número par?" para casais é uma boa maneira de fazê-los discordar.<ref>{{harvnb|Grimes|1975|p=156}} "...pode-se colocar as seguintes questões para casais do seu conhecimento: (1) é zero um número par? ... Muitos casais discordam..."</ref> As pessoas que pensam que zero não é nem par nem ímpar podem usar a paridade de zero como prova de que cada regra tem um [[contraexemplo]],<ref>{{harvnb|Wilden|Hammer|1987|p=104}}</ref> ou como um exemplo de uma "pegadinha".<ref>{{harvnb|Snow|2001}}; {{harvnb|Morgan|2001}}</ref>

Por volta do ano 2000, os meios de comunicação notaram um par de marcos incomuns: "19/11/1999" foi a última data de calendário composta por todos os dígitos ímpares que vai ocorrer por muito tempo (a próxima data composta somente por números ímpares será 11/11/3111), e "02/02/2000" foi a primeira data toda par a ocorrer em muito tempo (a data composta somente por dígitos pares anterior foi 28/08/888, se o [[calendário gregoriano]] puder ser usado retroativamente a sua promulgação).<ref>{{harvnb|Steinberg|1999}}; {{harvnb|Siegel|1999}}; {{harvnb|Stingl|2006}}</ref> Como esses resultados fazem uso de 0 sendo par, alguns leitores discordaram da ideia.<ref>{{harvnb|Sones|Sones|2002}} "Segue que zero é par, e que 20/02/2000 quebra o quebra-cabeça. No entanto, sempre é surpreendente o quanto as pessoas estão incomodadas ao chamar zero de par... "; {{harvnb | Column 8 readers | 2006a}}" '... de acordo com matemáticos, o número zero, juntamente com números negativos e frações, é nem par nem ímpar", escreve Etan ..."; {{harvnb | Column 8 readers | 2006b}} "'Eu concordo que zero é par, mas o Professor Bunder é sábio para "provar" afirmando que 0 = 2 x 0? Por essa lógica (de um PhD em lógica matemática, não menos), como 0 = 1 x 0, também é ímpar! O professor disputará isso e, logicamente, ele tem uma base sólida para fazê-lo, mas podemos estar usando este tópico um pouco fino ... "</ref>

Em testes padronizados, se uma questão pergunta sobre o comportamento de números pares, pode ser necessário ter em mente que zero é par.<ref>{{harvnb|Kaplan Staff|2004|p=227}}</ref> As publicações oficiais relativas aos testes [[Exame de Admissão para Graduados em Administração|GMAT]] e [[GRE]] estabelecem que 0 é par.<ref>{{harvnb|Graduate Management Admission Council|2005|pp=108, 295–297}}; {{harvnb|Educational Testing Service|2009|p=1}}</ref>

A paridade de zero é relevante para o rodízio ímpar-par, em que os motoristas de carros podem dirigir ou comprar gasolina em dias alternados, de acordo com a paridade do último dígito em suas placas. A metade dos números em uma determinada gama termina em 0, 2, 4, 6, 8 e a outra metade em 1, 3, 5, 7, 9, então faz sentido incluir 0 com os outros números pares. No entanto, em 1977, um sistema de racionamento de Paris levou à confusão: em um dia ímpar, a polícia evitou multar motoristas cujas placas terminavam em 0, porque não sabiam se 0 era par ou não. Para evitar tal confusão, a legislação pertinente às vezes estipula que zero é par;<ref>{{harvnb|Arsham|2002}}; As aspassão atribuídas ao ''[[heute]]'' broadcast de 1º de outubro de 1977. A conta de Arsham é repetida por {{harvnb|Crumpacker|2007|p=165}}.</ref> Tais leis foram aprovadas em [[Nova Gales do Sul]]<ref>{{harvnb|Sones|Sones|2002}} "O matemático de Penn State, George Andrews, que lembra um tempo de racionamento de gás na Austrália ... Então alguém no parlamento de Nova Gales do Sul afirmou que isso significava que as placas que terminavam em zero nunca poderiam obter gás, porque 'zero não é ímpar ou par". Assim, o parlamento de Nova Gales do Sul decidiu que, para fins de racionamento de gás, zero é um número par!'"</ref> e [[Maryland]].<ref>Uma lei de 1980 de Maryland especifica: "(a) Em datas de calendário numeradas pares gasolina deverá somente ser comprada por operadores de veículos tendo placas de registro personalizadas contendo nenhum número e placas de registro com o último dígito terminando em um número par. Isto não deve incluir placas de rádio amador. Zero é um número par; (b) Em datas numeradas ímpares ..." aspas parciais tomadas de Laws of the State of Maryland, Volume 2 -
 1974 do ''Department of Legislative Reference'', disponível [https://books.google.com/books?q=%22ham+radio+operator+plates.+Zero+is+an+even+number%22 aqui], p. 3236}}</ref> Em [[São Paulo (cidade)|São Paulo]], o [[Rodízio de veículos de São Paulo|rodízio]] é feito de forma distinta e não parece levar em conta essa questão sobre a paridade do zero: na segunda-feira ficam proibidos de circular em determinada área carros de placas 1 e 2, na [[terça-feira]], os carros de finais de placa 3 e 4 não circulam, na quarta-feira os de final 5 e 6, na quinta-feira os de final 7 e 8 e finalmente na sexta-feira, os de final 9 e 0.<ref>{{citar web|url=http://cetsp1.cetsp.com.br/pdfs/rodizio/Decreto37085.pdf|titulo=Decreto nº 37.085 - de 3 de outubro de 1997|data=3 de outubro de 1997|acessodata=11 de julho de 2017|publicado=Prefeitura de São Paulo apud site da CET|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Nos navios da Marinha dos Estados Unidos, os compartimentos de números pares ficam ao lado da porta, mas o número zero é reservado para compartimentos que cruzam a linha central do navio. Ou seja, os números são lidos 6-4-2-0-1-3-5 da porta a [[estibordo]].<ref>{{harvnb|Cutler|2008|pp=237–238}}</ref> No jogo da [[roleta]], o número 0 não conta como par ou ímpar, dando ao cassino uma vantagem em tais apostas.<ref>{{harvnb|Brisman|2004|p=153}}</ref> Da mesma forma, a paridade de zero pode afetar as recompensas em apostas quando o resultado depende de algum número aleatório ser ímpar ou par, e resulta ser zero.<ref>{{harvnb|Smock|2006}}; {{harvnb|Hohmann|2007}}; {{harvnb|Turner|1996}}</ref>

O jogo de "[[par ou ímpar]]" também é afetado: se ambos os jogadores lançam zero dedos, o número total de dedos é zero, então o jogador par ganha.<ref>{{harvnb|Diagram Group|1983|p=213}}</ref> Um manual para professores sugere jogar este jogo como uma forma de introduzir as crianças no conceito de que 0 é divisível por 2.<ref>{{harvnb|Baroody|Coslick|1998|p=1.33}}</ref>

{{Notas}}
{{Referências}}

==Bibliografia==
{{Div col|3}}
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{{Refend}}
{{Div col fim}}

== Ligações externas ==
* {{Commonscat em linha|Parity of zero}}

{{Portal3|Matemática}}
{{artigo destacado}}

[[Categoria:Aritmética elementar]]
[[Categoria:Zero]]