Mostrar código-fonte de Pons asinorum

[[Ficheiro:Byrne_Preface-15.png|direita|miniaturadaimagem|217x217px|O pons asinorum na edição de Byrne de ''Os Elementos'' mostrando parte da prova de Euclides.]]
'''''Pons asinorum'''''  (<small>latim pronúncia:&#x20;</small><small></small><span class="IPA" title="Representation in the International Phonetic Alphabet (IPA)">[ˈpons asiˈnoːrʊm]</span>; {{IPAc-en|lang|ˈ|p|ɒ|n|z|_|ˌ|ae|s|ɨ|ˈ|n|ɔər|ə|m}})("ponte de burros") é uma expressão latina usada em geometria e também para explicitar uma metáfora. Ela indica um raciocínio, uma proposta ou um conjunto de propostas que, embora perfeitamente demonstrados, permanecem mal compreendidas.<ref>[http://www.merriam-webster.com/dictionary/pons%20asinorum Pons asinorum - Definition and More from the Free Merriam]</ref>'

Em [[geometria]], a afirmação de que os ângulos opostos a lados iguais de um triângulo isósceles são eles próprios iguais é conhecido como o '''''pons asinorum''''' . Esta declaração é a Proposição 5 do Livro 1 em ''[[Os Elementos]]'' de [[Euclides]], e também é conhecido como o '''teorema do triângulo isósceles'''. O inverso também é verdadeiro: se dois ângulos de um triângulo são iguais, então os lados opostos são também iguais.

== Provas ==
[[Ficheiro:IsoscelesTriangleProofByProclus.svg|direita|miniaturadaimagem|195px|Prova de Proclus]]
[[Ficheiro:Euclid_1_5_en.svg|direita|miniaturadaimagem|244px|Os Elementos de Euclides, Livro 1 proposição 5; pons asinorum]]

=== Euclides e Proclus ===
A afirmação de Euclides da pons asinorum inclui uma segunda conclusão que se os lados iguais do triângulo são estendidos abaixo da base, então os ângulos entre as extensões e a base também são iguais. A prova de Euclides envolve o desenho de linhas auxiliares para estas extensões. Mas, como o comentarista de Euclides [[Proclo|Proclus]] apontou, Euclides nunca usa a segunda conclusão e sua prova poderia ser simplificada ao desenhar as linhas auxiliares para os lados do triângulo em vez disso, e o resto da prova se procedendo mais ou menos da mesma maneira. Tem havido muita especulação e debate do porquê, dado que torna a prova mais complicada, Euclides acrescentou a segunda conclusão do teorema. Uma explicação plausível, dada por Proclus, é que a segunda conclusão pode ser usada em possíveis objeções às provas posteriores de proposições onde Euclides não abrange todos os casos.<ref>Heath pp. 251–255</ref> A prova baseia-se fortemente no que hoje é chamado de [[Congruência (geometria)|congruência]], a proposição anterior em ''Os Elementos''.

== Em produto interno ==
O teorema do triângulo isósceles se apoia mais no [[produto interno]] do que os números [[Número real|reais]] ou [[Número complexo|complexos]]. Em tais espaços, é preciso um formulário que diz de vetores ''x'', ''y'' e ''z'' que se<ref>J. R. Retherford, ''Hilbert Space'', [[Cambridge University Press]], 1993, page 27.</ref>
: <math> x + y + z = 0\text{ and }\|x\| = \|y\|,\, </math>
então,
: <math> \|x - z\| = \|y - z\|.\, </math>
Já que
: <math> \|x - z\|^2 = \|x\|^2 - 2x\cdot z + \|z\|^2,\, </math>
e
: <math> x\cdot z = \|x\|\|z\|\cos\theta\, </math>
onde ''θ'' é o ângulo entre os dois vetores, a conclusão do produto interno em forma de teorema é equivalente à declaração sobre a igualdade de ângulos.

== Uso como metáfora ==
Uso do termo pons asinorum como uma metáfora incluem:
* O termo ''pons asinorum'', em ambos os seus significados, como ponte e como um teste, é utilizado como uma metáfora para encontrar o termo médio de um [[silogismo]].
* Pons Asinorum é um nome dado a uma configuração particular à um [[Cubo de Rubik]].<ref name="PUb">A. F. West & H. D. Thompson "On Dulcarnon, Elefuga And Pons Asinorum as Fanciful Names For Geometrical Propositions" ''The Princeton University bulletin'' Vol. 3 No. 4 (1891) p. 84</ref>

{{Referências}}

==Ligações externas==
*[http://planetmath.org/PonsAsinorum Pons asinorum] em [[PlanetMath|PlanetMath.org]]<span>.</span>
*[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI5.html Apresentação de D. E. Joyce de ''Os Elementos ''de Euclides]

[[Categoria:Geometria euclidiana]]
[[Categoria:História da matemática]]
[[Categoria:Palavras, frases e expressões em latim]]
[[Categoria:Teoremas em geometria plana]]