Mostrar código-fonte de Pontos de Lagrange

[[Imagem:Lagrange points simple.svg|thumb|upright=1.35|Pontos de Lagrange no sistema [[Sol]]-[[Terra]] (sem escala). A [[órbita]] da Terra aqui é no sentido [[anti-horário]]]]
[[Imagem:Lagrange points2.svg|thumb|Um gráfico de contorno do [[potencial efetivo]] devido à gravidade e à [[força centrífuga]] de um sistema de dois corpos em um referencial rotativo. As setas indicam os gradientes descendentes do potencial em torno dos cinco pontos de Lagrange, em direção a eles (<span style="color:red;">vermelho</span>) e longe deles (<span style="color:blue;">azul</span>). Contra-intuitivamente, os pontos L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> são os [[Pontos extremos de uma função|pontos altos]] do potencial. Nos próprios pontos, essas forças são equilibradas]]
[[Imagem:Animation of Wilkinson Microwave Anisotropy Probe trajectory.gif |thumb |upright=1.35|right|Um exemplo de uma nave espacial em Sol-Terra L2{{legenda|magenta|[[Wilkinson Microwave Anisotropy Probe|WMAP]]}}{{legenda|RoyalBlue|[[Terra]]}}]]
{{Astrodinâmica}}
Na [[mecânica celeste]], os '''pontos de Lagrange''' (também conhecidos como '''pontos de lagrangeanos''' ou '''pontos de libração''') são pontos de equilíbrio para objetos de pequena massa sob a influência [[Gravidade|gravitacional]] de dois corpos massivos em [[órbita]]. Matematicamente, isso envolve a solução do [[Problema de três corpos#Problema restrito de três corpos|problema restrito de três corpos]].<ref name="Lagrange Cornish" />

Normalmente, os dois corpos massivos exercem uma força gravitacional desequilibrada em um ponto, alterando a órbita do que quer que esteja naquele ponto. Nos pontos de Lagrange, as forças gravitacionais dos dois grandes corpos e a [[força centrífuga]] se equilibram.<ref>{{citar web |url=https://scienceworld.wolfram.com/physics/LagrangePoints.html|título=Lagrange Points|primeiro=Eric|último=Weisstein|website=Eric Weisstein's World of Physics}}</ref> Isso pode tornar os pontos de Lagrange uma excelente localização para satélites, pois poucas [[Manutenção de órbita estacionária|correções de órbita]] são necessárias para manter a órbita desejada.

Para qualquer combinação de dois corpos orbitais, existem cinco pontos de Lagrange, L<sub>1</sub> a L<sub>5</sub>, todos no plano orbital dos dois grandes corpos. Existem cinco pontos de Lagrange para o sistema Sol-Terra e cinco pontos de Lagrange ''diferentes'' para o sistema Terra-Lua. L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub> e L<sub>3</sub> estão na linha que passa pelos centros dos dois grandes corpos, enquanto L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> atuam cada um como o terceiro [[vértice]] de um [[triângulo equilátero]] formado com os centros dos dois grandes corpos.

Quando a proporção de massa dos dois corpos é grande o suficiente, os pontos L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> são pontos estáveis, o que significa que os objetos podem orbitá-los e que eles têm a tendência de atrair objetos para eles. Vários [[planeta]]s têm [[asteroides troianos]] perto de seus pontos L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> em relação ao [[Sol]]; [[Júpiter (planeta)|Júpiter]] tem mais de um milhão desses troianos.

Alguns pontos de Lagrange estão sendo usados para [[exploração espacial]]. Dois importantes pontos de Lagrange no sistema Sol-Terra são L<sub>1</sub>, entre o Sol e a [[Terra]], e L<sub>2</sub>, na mesma linha no lado oposto da Terra; ambos estão bem fora da [[órbita da Lua]]. Atualmente, um [[satélite artificial]] chamado [[Deep Space Climate Observatory]] (DSCOVR) está localizado em L<sub>1</sub> para estudar o [[vento solar]] vindo do Sol em direção à Terra e monitorar o clima da Terra, tirando imagens e enviando-as de volta.<ref>{{citar web |url=https://solarsystem.nasa.gov/missions/DSCOVR/in-depth/ |título=DSCOVR: In-Depth |website=NASA Solar System Exploration |publicado=NASA |acessodata=2021-10-27}}</ref> O [[Telescópio Espacial James Webb]], um poderoso [[observatório espacial]], está localizado em L<sub>2</sub>.<ref>{{citar web |url=https://webb.nasa.gov/content/about/orbit.html |título=About Orbit |website=NASA |acessodata=2022-01-01 }}</ref> Isso permite que o grande protetor solar do satélite proteja o telescópio da luz e do calor do Sol e da Terra (e da [[Lua]]).

== História ==
Os três pontos colineares de Lagrange (L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>) foram descobertos por [[Leonhard Euler]] por volta de 1750, uma década antes de [[Joseph-Louis Lagrange]] descobrir os dois restantes.<ref>{{citar livro |título=Dynamical Systems, the Three-Body Problem, and Space Mission Design |último1=Koon |primeiro1=W. S. |primeiro2=M. W. |último2=Lo |primeiro3=J. E. |último3=Marsden |primeiro4=S. D. |último4=Ross |url=http://www.cds.caltech.edu/~marsden/books/Mission_Design.html |data=2006 |página=9 |acessodata=2008-06-09 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20080527145955/http://www.cds.caltech.edu/~marsden/books/Mission_Design.html |arquivodata=2008-05-27 |urlmorta=sim }} (16MB)</ref><ref name="E327">{{citar livro|autorlink=Leonhard Euler|primeiro=Leonhard|último=Euler |url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E327.pdf |título=De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium |data=1765}}</ref>

Em 1772, Lagrange publicou um "Ensaio sobre o [[problema dos três corpos]]". No primeiro capítulo, ele considerou o problema geral dos três corpos. A partir disso, no segundo capítulo, ele demonstrou duas soluções especiais de padrão constante, a colinear e a equilátera, para quaisquer três massas, com [[órbitas circulares]].<ref name="gallica.bnf.fr">{{citar livro|último= Lagrange |primeiro= Joseph-Louis |autorlink= Joseph-Louis Lagrange |título= Œuvres de Lagrange |data= 1867–1892 |publicado= Gauthier-Villars |capítulo= Tome 6, Chapitre II: Essai sur le problème des trois corps |páginas = 229–334 |capítulourl= http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229225j/f231.image.r=Oeuvres+de+Lagrange.langFR |língua=fr}}</ref>

== Pontos de Lagrange ==
{{VT|Lista de objetos em pontos de Lagrange}}
Os cinco pontos de Lagrange são rotulados e definidos da seguinte forma:

=== Ponto L<sub>1</sub> ===
O ponto L<sub>1</sub> encontra-se na linha definida entre as duas grandes massas ''M''<sub>1</sub> e ''M''<sub>2</sub>. É o ponto onde a atração gravitacional de ''M''<sub>2</sub> e a de ''M''<sub>1</sub> se combinam para produzir um equilíbrio. Um objeto que [[orbita]] o [[Sol]] mais próximo do que a [[Terra]] normalmente teria um [[período orbital]] mais curto do que a Terra, mas isso ignora o efeito da atração gravitacional da Terra. Se o objeto estiver diretamente entre a Terra e o Sol, a [[gravidade da Terra]] neutraliza parte da atração do Sol sobre o objeto, aumentando o período orbital do objeto. Quanto mais próximo da Terra o objeto estiver, maior será esse efeito. No ponto L<sub>1</sub>, o período orbital do objeto torna-se exatamente igual ao período orbital da Terra. L<sub>1</sub> está a cerca de 1.5 milhão de kms, ou 0.01 [[Unidade astronômica|UA]], da Terra na direção do Sol.<ref name="Lagrange Cornish">{{citar web|último1=Cornish|primeiro1=Neil J. |data=1998 |título=The Lagrange Points |publicado=WMAP Education and Outreach |url=http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.pdf|arquivourl=https://web.archive.org/web/20150907090116/http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.pdf|arquivodata=7 de setembro de 2015|urlmorta=sim|acessodata=15 de dezembro de 2015}}</ref>

=== Ponto L<sub>2</sub> ===
O ponto L<sub>2</sub> está na linha que passa pelas duas grandes massas além da menor das duas. Aqui, as forças gravitacionais combinadas das duas grandes massas equilibram o efeito centrífugo em um corpo em L<sub>2</sub>. No lado oposto da [[Terra]] ao [[Sol]], o [[período orbital]] de um objeto normalmente seria maior que o da Terra. A atração extra da [[gravidade da Terra]] diminui o período orbital do objeto e, no ponto L<sub>2</sub>, esse período orbital torna-se igual ao da Terra. Como L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub> está a cerca de 1.5 milhão de kms ou 0.01 [[Unidade astronômica|UA]] da Terra (longe do Sol). Um exemplo em L<sub>2</sub> é o [[Telescópio Espacial James Webb]], projetado para operar perto da Terra-Sol em L<sub>2</sub>.<ref name="stsci.edu">{{citar web |url=http://www.stsci.edu/jwst/overview/design/orbit|arquivourl=https://wayback.archive-it.org/all/20140203174537/http://www.stsci.edu/jwst/overview/design/orbit|urlmorta=sim|arquivodata=3 de fevereiro de 2014 |título=L2 Orbit|publicado=Space Telescope Science Institute|acessodata=28 de agosto de 2016}}</ref> Exemplos anteriores incluem o [[Wilkinson Microwave Anisotropy Probe]] e seu sucessor, [[Planck (sonda espacial)|''Planck'']].

=== Ponto L<sub>3</sub> ===
O ponto L<sub>3</sub> encontra-se na linha definida pelas duas grandes massas, além da maior das duas. Dentro do sistema Sol-Terra, o ponto L<sub>3</sub> existe no lado oposto do [[Sol]], um pouco fora da [[órbita]] da [[Terra]] e um pouco mais próximo do centro do Sol do que a Terra. Essa colocação ocorre porque o Sol também é afetado pela [[gravidade da Terra]] e, portanto, orbita em torno do [[baricentro]] dos dois corpos, que está bem dentro do corpo do Sol. Um objeto à distância da Terra ao Sol teria um [[período orbital]] de um ano se apenas a gravidade do Sol fosse considerada. Mas um objeto no lado oposto do Sol e da Terra e diretamente alinhado com ambos "sente" a gravidade da Terra aumentando ligeiramente a do Sol e, portanto, deve orbitar um pouco mais longe do baricentro da Terra e do Sol para ter o mesmo período de um ano. É no ponto L<sub>3</sub> que a atração combinada da Terra e do Sol faz com que o objeto orbite com o mesmo período da Terra, na verdade orbitando uma massa Terra+Sol com o baricentro Terra-Sol em um dos focos de sua órbita.

=== Ponto L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> ===
[[Imagem:L4 diagram.svg|thumb|right|200px|Acelerações gravitacionais em L<sub>4</sub>]]
Os pontos L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> estão nos terceiros vértices dos dois [[triângulos equiláteros]] no plano da [[órbita]] cuja base comum é a linha entre os centros das duas massas, de modo que o ponto esteja 60° à frente de (L<sub>4</sub>) ou atrás de (L<sub>5</sub>) a massa menor em relação à sua órbita em torno da massa maior.

=== Estabilidade ===
Os pontos triangulares (L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub>) são equilíbrios estáveis, desde que a razão de {{sfrac|''M''<sub>1</sub>|''M''<sub>2</sub>}} seja maior que 24.96.<ref group="note" name="exact_stability_threshold">Na verdade (25 + 3{{sqrt|69}})/2 ≈ {{val|24.9599357944}} {{OEIS|A230242}}</ref> Este é o caso do sistema Sol-Terra, do sistema Sol-Júpiter e, por uma margem menor, do sistema Terra-Lua. Quando um corpo nesses pontos é perturbado, ele se afasta do ponto, mas o fator oposto daquele que é aumentado ou diminuído pela perturbação (seja a gravidade ou a velocidade induzida pelo [[momento angular]]) também aumentará ou diminuirá, curvando o caminho do objeto em uma [[órbita]] estável em forma de [[Feijão-roxo|feijão]] em torno do ponto (como visto no quadro de referência co-rotativo).<ref name="cornish">{{citar web|url= https://wmap.gsfc.nasa.gov/media/ContentMedia/lagrange.pdf |título=The Lagrange Points |data=1998|publicado=NASA}}, Neil J. Cornish, with input from Jeremy Goodman</ref>

Os pontos L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub> e L<sub>3</sub> são posições de [[Equilíbrio mecânico|equilíbrio instável]]. Qualquer objeto orbitando em L<sub>2</sub> ou L<sub>3</sub> tenderá sair da órbita; portanto, é raro encontrar objetos naturais lá, e as [[sondas espaciais]] que habitam essas áreas devem empregar uma quantidade pequena, mas crítica, de [[Manutenção de órbita estacionária|manutenção de estação]] para manter sua posição.

== Objetos naturais em pontos de Lagrange ==
{{artigo principal|Lista de objetos em pontos de Lagrange}}
Devido à estabilidade natural de L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub>, é comum que objetos naturais sejam encontrados orbitando nesses pontos de Lagrange de sistemas planetários. Os objetos que habitam esses pontos são genericamente referidos como '[[Troiano (astronomia)|troianos]]' ou 'asteroides troianos'. O nome deriva dos nomes que foram dados aos [[asteroide]]s descobertos orbitando nos pontos Sol-Júpiter L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub>, que foram tirados de personagens mitológicos que aparecem na ''[[Ilíada]]'' de [[Homero]], um [[Poesia épica|poema épico]] ambientado durante a [[Guerra de Troia]]. Asteroides no ponto L<sub>4</sub>, à frente de [[Júpiter (planeta)|Júpiter]], são nomeados em homenagem a personagens gregos na ''Ilíada'' e referidos como o "[[Lista de asteroides troianos (campo grego)|campo grego]]". Aqueles no ponto L<sub>5</sub> recebem o nome de personagens troianos e são chamados de "[[Lista de asteroides troianos (campo troiano)|campo troiano]]". Ambos os campos são considerados tipos de corpos troianos.

Como o [[Sol]] e Júpiter são os dois objetos mais massivos do [[Sistema Solar]], existem mais troianos Sol-Júpiter do que para qualquer outro par de corpos. No entanto, um número menor de objetos é conhecido nos pontos de Lagrange de outros sistemas orbitais:

* Os pontos Sol-Terra L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> contêm [[Nuvem de poeira interplanetária|poeira interplanetária]] e pelo menos dois asteroides, {{mpl|2010 TK|7}} e {{mpl|2020 XL|5}}.<ref>{{citar web|url=https://www.space.com/12443-earth-asteroid-companion-discovered-2010-tk7.html|título=First Asteroid Companion of Earth Discovered at Last|primeiro=Charles Q.|último=Choi 2011-07-27T17:06:00Z|website=Space.com|data=27 de julho de 2011}}</ref><ref>{{citar web |url=https://www.nasa.gov/home/hqnews/2011/jul/HQ_11-247_WISE_Trojan.html|título=NASA - NASA's Wise Mission Finds First Trojan Asteroid Sharing Earth's Orbit|website=www.nasa.gov}}</ref><ref name="Hui2021">{{citar periódico|primeiro1= Man-To |último1= Hui|primeiro2= Paul A. |último2= Wiegert|primeiro3= David J. |último3= Tholen|primeiro4= Dora |último4= Föhring|título= The Second Earth Trojan 2020 XL5|publicação= The Astrophysical Journal Letters|data= novembro 2021|volume = 922|número= 2|páginas = L25|doi = 10.3847/2041-8213/ac37bf|arxiv = 2111.05058|bibcode = 2021ApJ...922L..25H|s2cid = 243860678}}</ref>
* Os pontos Terra-Lua L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> contêm concentrações de poeira interplanetária, conhecidas como [[nuvens de Kordylewski]].<ref>{{citar periódico|título=Celestial mechanics and polarization optics of the Kordylewski dust cloud in the Earth-Moon Lagrange point L5 - Part I. Three-dimensional celestial mechanical modelling of dust cloud formation |primeiro1=Judit |último1=Slíz-Balogh |primeiro2=András |último2=Barta |primeiro3=Gábor |último3=Horváth |publicação=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society |volume=480 |número=4 |páginas=5550–5559 |data=2018 |doi=10.1093/mnras/sty2049|arxiv=1910.07466 |bibcode=2018MNRAS.480.5550S }}</ref><ref>{{citar periódico|título=Celestial mechanics and polarization optics of the Kordylewski dust cloud in the Earth-Moon Lagrange point L5. Part II. Imaging polarimetric observation: new evidence for the existence of Kordylewski dust cloud |primeiro1=Judit |último1=Slíz-Balogh |primeiro2=András |último2=Barta |primeiro3=Gábor |último3=Horváth |publicação=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society |volume=482 |número=1 |páginas=762–770  |data=2019 |doi=10.1093/mnras/sty2630|arxiv=1910.07471 |bibcode=2019MNRAS.482..762S |doi-access=free }}</ref> A estabilidade nesses pontos específicos é muito complicada pela influência gravitacional solar.<ref>{{citar periódico|url=http://www.rfreitas.com/Astro/SearchIcarus1980.htm |título=A Search for Natural or Artificial Objects Located at the Earth–Moon Libration Points |primeiro1=Robert |último1=Freitas |primeiro2=Francisco |último2=Valdes |publicação=[[Icarus (journal)|Icarus]] |volume=42 |número=3 |páginas=442–447 |data=1980 |doi=10.1016/0019-1035(80)90106-2 |bibcode=1980Icar...42..442F}}</ref>
* Os pontos Sol-Netuno L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> contêm várias dezenas de objetos conhecidos, os [[troianos de Netuno]].<ref name="ntrojans">{{citar web | título=List Of Neptune Trojans |publicado=Minor Planet Center | url=http://www.minorplanetcenter.org/iau/lists/NeptuneTrojans.html | acessodata=2010-10-27|arquivourl= https://web.archive.org/web/20110725075646/http://www.minorplanetcenter.org/iau/lists/NeptuneTrojans.html |arquivodata= 2011-07-25 | urlmorta=não}}</ref>
* [[Marte (planeta)|Marte]] tem quatro [[troianos de Marte]] aceitos: [[5261 Eureka]], {{mpl|1999 UJ|7}}, {{mpl|1998 VF|31}} e {{mpl|2007 NS|2}}.
* A lua de [[Saturno (planeta)|Saturno]], [[Tétis (satélite)|Tétis]], tem duas luas menores de Saturno em seus pontos L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub>, [[Telesto (satélite)|Telesto]] e [[Calipso (satélite)|Calipso]]. Outra lua de Saturno, [[Dione (satélite)|Dione]] também tem dois coorbitais Lagrange, [[Helene (satélite)|Helene]] em seu ponto L<sub>4</sub> e [[Polideuces (satélite)|Polideuces]] em L<sub>5</sub>. As luas vagam [[Azimute|azimutalmente]] sobre os pontos de Lagrange, com Polideuces descrevendo os maiores desvios, movendo-se até 32° de distância do ponto Saturno-Dione no L<sub>5</sub>.
* Uma versão da [[hipótese do grande impacto]] postula que um objeto chamado [[Theia]] se formou no ponto Sol-Terra L<sub>4</sub> ou L<sub>5</sub> e colidiu com a [[Terra]] depois que sua [[órbita]] se desestabilizou, formando a [[Lua]].<ref name=belbruno-2005>{{citar periódico |primeiro1=E. |último1=Belbruno |primeiro2=J. Richard |último2=Gott III | título=Where Did The Moon Come From? |publicação=The Astronomical Journal | volume=129 |número=3 |páginas=1724–1745 |data=2005 | doi=10.1086/427539 | arxiv=astro-ph/0405372 | bibcode=2005AJ....129.1724B| s2cid=12983980 }}</ref>
* Em [[estrelas binárias]], o [[lóbulo de Roche]] tem seu ápice localizado em L<sub>1</sub>; se uma das [[estrela]]s se expandir além de seu lóbulo de Roche, ela perderá matéria para sua [[estrela companheira]], conhecida como [[transbordamento do lóbulo de Roche]].

Objetos que estão em [[órbitas de ferradura]] às vezes são erroneamente descritos como troianos, mas não ocupam pontos de Lagrange. Objetos conhecidos em órbitas de ferradura incluem [[3753 Cruithne]] com a Terra e as luas de Saturno, [[Epimeteu (satélite)|Epimeteu]] e [[Jano (satélite)|Jano]].

== Detalhes físicos e matemáticos ==
[[Imagem:Lagrangian points equipotential.png|thumb|link={{filepath:Lagrangian_points_equipotential.gif}}|Visualização da relação entre os pontos de Lagrange (vermelho) de um [[planeta]] (azul) orbitando uma [[estrela]] (amarelo) no sentido [[anti-horário]] e o [[potencial efetivo]] no plano que contém a [[órbita]] (modelo de folha de borracha cinza com contornos roxos de igual potencial)<ref>{{citar periódico|título=The Roche Problem: Some Analytics|primeiro=Zakir F.|último=Seidov|data=1 de março de 2004|publicação=The Astrophysical Journal|volume=603|número=1|páginas=283–284|doi=10.1086/381315|arxiv=astro-ph/0311272|bibcode=2004ApJ...603..283S|s2cid=16724058}}</ref><br />[[:Imagem:Lagrangian points equipotential.gif|Clique para animação]]]]
Os pontos de Lagrange são as soluções de padrão constante do [[Problema de três corpos|problema restrito de três corpos]]. Por exemplo, dados dois corpos maciços em [[órbita]]s em torno de seu [[baricentro]] comum, há cinco posições no espaço onde um terceiro corpo, de [[massa]] comparativamente desprezível, poderia ser colocado de modo a manter sua posição relativa aos dois corpos maciços. Isso ocorre porque as forças gravitacionais combinadas dos dois corpos maciços fornecem a força centrípeta exata necessária para manter o [[movimento circular]] que corresponde ao seu movimento orbital.

Alternativamente, quando visto em um [[Sistema de referência em rotação|referencial rotativo]] que corresponde à [[velocidade angular]] dos dois corpos em co-órbita, nos pontos de Lagrange, os [[campos gravitacionais]] combinados de dois corpos maciços equilibram a [[Força inercial centrífuga|pseudo-força centrífuga]], permitindo que o terceiro corpo menor permaneça estacionário (neste quadro) em relação aos dois primeiros.

=== L<sub>1</sub> ===
A localização de L<sub>1</sub> é a solução para a seguinte equação, a gravitação fornecendo a força centrípeta:

<math display="block">\frac{M_1}{(R-r)^2}-\frac{M_2}{r^2}=\left(\frac{M_1}{M_1+M_2}R-r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}</math>

onde ''r'' é a distância do ponto L<sub>1</sub> do objeto menor, ''R'' é a distância entre os dois objetos principais e ''M''<sub>1</sub> e ''M''<sub>2</sub> são as massas do objeto grande e pequeno, respectivamente. A quantidade entre parênteses à direita é a distância de L<sub>1</sub> do centro de massa. A solução para ''r'' é a única raiz real da seguinte [[Equação do quinto grau|função quíntica]]

<math display="block">x^5 - (2 + \mu) x^4 + (1 + 2\mu) x^3 - (1 - \mu)x^2 + 2 (\mu - 1) x + \mu -1 = 0</math>

onde

<math display="block"> \mu = \frac{M_1}{M_1+M_2} </math>

e

<math display="block"> x = \frac{r}{R} </math>

No entanto, se a massa do objeto menor (''M''<sub>2</sub>) for muito menor que a massa do objeto maior (''M''<sub>1</sub>), então L<sub>1</sub> e L<sub>2</sub> estão aproximadamente a distâncias iguais ''r'' do objeto menor, igual ao raio da [[esfera de Hill]], dado por:

<math display="block">r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}</math>

Também podemos escrever isso como:

<math display="block">\frac{M_2}{r^3}\approx 3\frac{M_1}{R^3}</math>

Como o efeito de [[Força de maré|maré]] de um corpo é proporcional à sua massa dividida pela distância ao cubo, isso significa que o efeito de maré do corpo menor no ponto L<sub>1</sub> ou no ponto L<sub>2</sub> é cerca de três vezes aquele corpo. Podemos também escrever:

<math display="block">\rho_2(d_2/r)^3\approx 3\rho_1(d_1/R)^3</math>

onde ρ<sub>1</sub> e ρ<sub>2</sub> são as densidades médias dos dois corpos e <math>d_1</math> e <math>d_2</math> são seus diâmetros. A razão entre o diâmetro e a distância dá o ângulo subentendido pelo corpo, mostrando que, vistos a partir desses dois pontos de Lagrange, os tamanhos aparentes dos dois corpos serão semelhantes, especialmente se a densidade do menor for cerca de três vezes a do maior, como no caso da [[Terra]] e do [[Sol]].

Esta distância pode ser descrita como sendo tal que o [[período orbital]], correspondente a uma [[órbita circular]] com esta distância como raio em torno de ''M''<sub>2</sub> na ausência de ''M''<sub>1</sub>, é o de ''M''<sub>2</sub> em torno de ''M''<sub>1</sub>, dividido por {{sqrt|3}} ≈ 1.73:

<math display="block">T_{s,M_2}(r) = \frac{T_{M_2,M_1}(R)}{\sqrt{3}}.</math>

=== L<sub>2</sub> ===
[[Imagem:L2 rendering.jpg|thumb|right|upright=1.35|O ponto de Lagrange L<sub>2</sub> para o sistema Sol-Terra]]
A localização de L<sub>2</sub> é a solução para a seguinte equação, a gravitação fornecendo a força centrípeta:

<math display="block">\frac{M_1}{(R+r)^2}+\frac{M_2}{r^2}=\left(\frac{M_1}{M_1+M_2}R+r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}</math>

com parâmetros definidos como para o caso L<sub>1</sub>. A equação quíntica correspondente é

<math display="block">r^5 + r^4 (3 - \mu) + r^3 (3 - 2\mu) - r^2 (\mu) - r (2\mu) - \mu = 0</math>

Novamente, se a massa do objeto menor (''M''<sub>2</sub>) for muito menor que a massa do objeto maior (''M''<sub>1</sub>), então L<sub>2</sub> está aproximadamente no raio da [[esfera de Hill]], dado por:

<math display="block">r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}</math>

As mesmas observações sobre influência das marés e tamanho aparente se aplicam ao ponto L<sub>1</sub>. Por exemplo, o raio angular do [[Sol]] visto de L<sub>2</sub> é arcsin({{val|695.5|e=3}}/{{val|151.1|e=6}}) ≈ 0.264°, enquanto o da [[Terra]] é arcsin(6371/{{val|1.5|e=6}}) ≈ 0.242°. Olhando para o Sol de L<sub>2</sub>, vê-se um [[eclipse anular]]. É necessário que uma [[sonda espacial]], como [[Gaia (sonda espacial)|Gaia]], siga uma [[órbita de Lissajous]] ou uma [[órbita de halo]] em torno de L<sub>2</sub> para que seus [[painéis solares]] recebam [[luz solar]].

=== L<sub>3</sub> ===
A localização de L<sub>3</sub> é a solução para a seguinte equação, a gravitação fornecendo a força centrípeta:

<math display="block">\frac{M_1}{\left(R-r\right)^2}+\frac{M_2}{\left(2R-r\right)^2}=\left(\frac{M_2}{M_1+M_2}R+R-r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}</math>

com os parâmetros ''M''<sub>1</sub>, ''M''<sub>2</sub> e ''R'' definidos como para os casos L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub> e ''r'' agora indica a distância de L<sub>3</sub> da posição do objeto menor, se ele fosse girado 180 graus em torno do objeto maior, enquanto ''r'' positivo implicando que L<sub>3</sub> é mais perto do objeto maior do que do objeto menor. Se a massa do objeto menor (''M''<sub>2</sub>) for muito menor que a massa do objeto maior (''M''<sub>1</sub>), então:<ref>{{citar web|url=https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec18.pdf |título=Widnall, Lecture L18 - Exploring the Neighborhood: the Restricted Three-Body Problem}}</ref>

<math display="block">r\approx R\frac{7M_2}{12 M_1}</math>

=== L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> ===
{{VT|Troiano (astronomia)}}
A razão pela qual esses pontos estão em equilíbrio é que em L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> as distâncias para as duas massas são iguais. Consequentemente, as forças gravitacionais dos dois corpos massivos estão na mesma proporção que as massas dos dois corpos e, portanto, a força resultante atua através do [[baricentro]] do sistema; além disso, a geometria do triângulo garante que a aceleração [[Regra do paralelogramo|resultante]] seja para a distância do baricentro na mesma [[Razão (matemática)|proporção]] que para os dois corpos massivos. Sendo o baricentro o centro de massa e o centro de rotação do sistema de três corpos, essa força resultante é exatamente a necessária para manter o corpo menor no ponto de Lagrange em [[Equilíbrio dinâmico|equilíbrio]] orbital com os outros dois corpos maiores do sistema (de fato, o terceiro corpo precisa ter massa desprezível). A configuração triangular geral foi descoberta por [[Joseph-Louis Lagrange]] trabalhando no [[problema de três corpos]].

=== Aceleração radial ===
[[Imagem:Radial acceleration Earth-Moon Lagrangian.svg|thumb|right|550px|Aceleração radial líquida de um ponto que orbita ao longo da linha Terra-Lua]]
A aceleração radial a de um objeto em [[órbita]] em um ponto ao longo da linha que passa por ambos os corpos é dada por:

<math display="block">a = -\frac{G M_1}{r^2}\sgn(r)+\frac{G M_2}{(R-r)^2}\sgn(R-r)+\frac{G\bigl((M_1+M_2) r-M_2 R\bigr)}{R^3}</math>

onde ''r'' é a distância do grande corpo ''M''<sub>1</sub>, ''R'' é a distância entre os dois objetos principais e sgn(''x'') é a [[função sinal]] de ''x''. Os termos desta função representam respectivamente: força de ''M''<sub>1</sub>; força de ''M''<sub>2</sub>; e força centrípeta. Os pontos L<sub>3</sub>, L<sub>1</sub> e L<sub>2</sub> ocorrem onde a aceleração é zero, veja o gráfico à direita. A aceleração positiva é a aceleração para a direita do gráfico e a aceleração negativa é para a esquerda; é por isso que a aceleração tem sinais opostos em lados opostos dos poços de gravidade.

== Estabilidade ==
[[Imagem:Roche_potential.stl|thumb|upright=1.5|link=http://viewstl.com/classic/?embedded&url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/86/Roche_potential.stl&shading=smooth&orientation=bottom&bgcolor=black|[[STL (formato de arquivo)|Modelo STL 3D]] do potencial de Roche de dois corpos em [[órbita]], renderizado metade como uma superfície e metade como uma malha]]
Embora os pontos L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub> e L<sub>3</sub> sejam nominalmente instáveis, existem [[órbita]]s periódicas quase estáveis chamadas [[Órbita de Halo|''órbitas de halo'']] em torno desses pontos em um sistema de três corpos. Um [[sistema dinâmico]] completo de ''n''-corpos, como o [[Sistema Solar]], não contém essas órbitas periódicas, mas contém órbitas quase periódicas (ou seja, limitadas, mas não repetidas com precisão) seguindo trajetórias da [[curva de Lissajous]]. Essas órbitas quase periódicas de [[Órbita de Lissajous|Lissajous]] são o que a maioria das missões espaciais em pontos de Lagrange usaram até agora. Embora não sejam perfeitamente estáveis, um esforço modesto de [[Manutenção de órbita estacionária|manutenção da estação]] mantém uma [[sonda espacial]] em uma órbita de Lissajous desejada por um longo tempo.

Para missões Sol-Terra-L<sub>1</sub>, é preferível que a sonda espacial esteja em uma órbita de Lissajous de grande amplitude (100.000-200.000 km) em torno de L<sub>1</sub> do que permanecer em L<sub>1</sub>, porque a linha entre o [[Sol]] e a [[Terra]] tem aumento da [[interferência]] solar nas comunicações Terra-sonda espacial. Da mesma forma, uma órbita de Lissajous de grande amplitude em torno de L<sub>2</sub> mantém uma sonda fora da sombra da Terra e, portanto, garante a iluminação contínua de seus [[painéis solares]].

Os pontos L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> são estáveis desde que a massa do corpo primário (por exemplo, a Terra) seja pelo menos 25<ref group="note" name=exact_stability_threshold/> vezes a massa do corpo secundário (por exemplo, a [[Lua]]),<ref name="Fitzpatrick">{{citar web|último1=Fitzpatrick|primeiro1=Richard|título=Stability of Lagrange Points|url=http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newtonhtml/node126.html|website=Newtonian Dynamics|publicado=University of Texas}}</ref><ref name="Greenspan">{{citar web|último1=Greenspan|primeiro1=Thomas|título=Stability of the Lagrange Points, L4 and L5|url=http://www.math.cornell.edu/~templier/junior/final_paper/Thomas_Greenspan-Stability_of_Lagrange_points.pdf|data=7 de janeiro de 2014|acessodata=28 de fevereiro de 2018|arquivodata=18 de abril de 2018|arquivourl=https://web.archive.org/web/20180418011225/http://www.math.cornell.edu/~templier/junior/final_paper/Thomas_Greenspan-Stability_of_Lagrange_points.pdf|urlmorta=sim}}</ref> e a massa do secundário é pelo menos 10 vezes do terciário (por exemplo, o satélite). A Terra tem mais de 81 vezes a massa da Lua (a Lua tem 1.23% da massa da Terra).<ref name = "Pitjeva">{{citar periódico|último1=Pitjeva|primeiro1=E.V.|último2=Standish|primeiro2=E.M.| título=Proposals for the masses of the three largest asteroids, the Moon-Earth mass ratio and the Astronomical Unit|publicação=Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy|data=2009-04-01|volume=103|número=4|páginas=365–372| doi=10.1007/s10569-009-9203-8| bibcode = 2009CeMDA.103..365P |s2cid=121374703|url=https://zenodo.org/record/1000691}}</ref> Embora os pontos L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> sejam encontrados no topo de uma "colina", como no gráfico de contorno de [[potencial efetivo]] acima, eles são, no entanto, estáveis. A razão para a estabilidade é um efeito de segunda ordem: à medida que um corpo se afasta da posição exata de Lagrange, a [[aceleração de Coriolis]] (que depende da velocidade de um objeto em órbita e não pode ser modelada como um mapa de contorno)<ref name="Greenspan" /> curva a trajetória em um caminho ao redor (em vez de longe) do ponto.<ref name="Greenspan" /><ref>Cacolici, Gianna Nicole, ''et al.,'' "[http://math.arizona.edu/~gabitov/teaching/141/math_485/Final_Report/Lagrange_Final_Report.pdf Stability of Lagrange Points: James Webb Space Telescope"], University of Arizona. Retrieved 17 Sept. 2018.</ref> Como a fonte de estabilidade é a força de Coriolis, as órbitas resultantes podem ser estáveis, mas geralmente não são planas, mas "tridimensionais": elas se situam em uma superfície deformada que cruza o plano da eclíptica. As órbitas em forma de rim normalmente mostradas aninhadas em torno de L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> são as projeções das órbitas em um plano (por exemplo, a eclíptica) e não as órbitas 3-D completas.

== Valores do Sistema Solar ==
[[Imagem:Lagrange_points_of_planets_relative_to_sun.svg|thumb|upright|link={{filepath:Lagrange_points_of_planets_relative_to_sun.svg}}|Sol-planeta em Lagrange aponta para a escala (Clique para pontos mais claros)]]
Esta tabela lista valores de amostra de L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub> e L<sub>3</sub> dentro do [[Sistema Solar]]. Os cálculos assumem que os dois corpos orbitam em um círculo perfeito com separação igual ao [[semieixo maior]] e nenhum outro corpo está próximo. As distâncias são medidas a partir do centro de massa do corpo maior (mas veja [[baricentro]] especialmente no caso da [[Lua]] e [[Júpiter (planeta)|Júpiter]]) com L<sub>3</sub> mostrando uma direção negativa. As colunas de porcentagem mostram a distância da [[órbita]] em comparação com o semieixo maior. Por exemplo, para a Lua, L<sub>1</sub> está a 326.400 km do centro da [[Terra]], que é 84.9% da distância Terra-Lua ou 15.1% "na frente de" (na direção da Terra) da Lua; L<sub>2</sub> está localizado a 448.900 km do centro da Terra, que é 116.8% da distância Terra-Lua ou 16.8% além da Lua; e L<sub>3</sub> está localizado a −381.700 km do centro da Terra, que é 99.3% da distância Terra-Lua ou 0.7084% dentro (em direção à Terra) da posição 'negativa' da Lua.

{| class="wikitable"
|+Pontos de Lagrange no Sistema Solar
!scope=col| corpo par
!scope=col| Semieixo maior, SMA (&times;10<sup>9</sup>&thinsp;m)
!scope=col| L<sub>1</sub> (&times;10<sup>9</sup> m)
!scope=col| 1 − L<sub>1</sub>/SMA (%)
!scope=col| L<sub>2</sub> (&times;10<sup>9</sup> m)
!scope=col| L<sub>2</sub>/SMA − 1 (%)
!scope=col| L<sub>3</sub> (&times;10<sup>9</sup> m)
!scope=col| 1 + L<sub>3</sub>/SMA (%)
|-
!scope=row | Terra–Lua
| {{val|0.3844}}
| {{val|0.32639}}
| {{val|15.09}}
| {{val|0.4489}}
| {{val|16.78}}
| {{val|-0.38168}}
| {{val|0.7084}}
|-
!scope=row | Sol–Mercúrio
| {{val|57.909}}
| {{val|57.689}}
| {{val|0.3806}}
| {{val|58.13}}
| {{val|0.3815}}
| {{val|-57.909}}
| {{val|0.000009683}}
|-
!scope=row | Sol–Vênus
| {{val|108.21}}
| {{val|107.2}}
| {{val|0.9315}}
| {{val|109.22}}
| {{val|0.9373}}
| {{val|-108.21}}
| {{val|0.0001428}}
|-
!scope=row | Sol–Terra
| {{val|149.598}}
| {{val|148.11}}
| {{val|0.997}}
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|-
!scope=row | Sol–Marte
| {{val|227.94}}
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| {{val|-227.94}}
| {{val|0.00001882}}
|-
!scope=row | Sol–Júpiter
| {{val|778.34}}
| {{val|726.45}}
| {{val|6.667}}
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| {{val|6.978}}
| {{val|-777.91}}
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|-
!scope=row | Sol–Saturno
| {{val|1426.7}}
| {{val|1362.5}}
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| {{val|-1426.4}}
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|-
!scope=row | Sol–Urano
| {{val|2870.7}}
| {{val|2801.1}}
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|-
!scope=row style="white-space:nowrap"| Sol–Netuno
| {{val|4498.4}}
| {{val|4383.4}}
| {{val|2.557}}
| {{val|4615.4}}
| {{val|2.602}}
| {{val|-4498.3}}
| {{val|0.003004}}
|}

== Aplicações de voos espaciais ==
{{artigo principal|Lista de objetos em pontos de Lagrange}}
=== Sol–Terra ===
[[Imagem:ACE at L1.png|thumb|300px|O satélite [[Advanced Composition Explorer|ACE]] em uma [[órbita]] ao redor do Sol-Terra em L<sub>1</sub>]]
[[Imagem:The orbits of Gaia and Webb ESA23998736.png|thumb|[[Gaia (sonda espacial)|Gaia]] (amarelo) e [[Telescópio Espacial James Webb]] (azul) orbitam em torno do Sol-Terra em L<sub>2</sub>]]
Sol–Terra L<sub>1</sub> é adequado para fazer observações do sistema Sol-Terra. Os objetos aqui nunca são sombreados pela [[Terra]] ou pela [[Lua]] e, ao observar a Terra, sempre visualizam o hemisfério iluminado pelo [[Sol]]. A primeira missão deste tipo foi a missão [[International Cometary Explorer|International Sun Earth Explorer 3]] (ISEE-3) de 1978, usada como um monitor interplanetário de alerta precoce de tempestades para distúrbios solares.<ref name="nasa_sse">{{citar web |url=http://solarsystem.nasa.gov/missions/profile.cfm?MCode=ISEEICE |título=ISEE-3/ICE |publicação=Solar System Exploration |publicado=NASA |acessodata=8 de agosto de 2015 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20150720021218/http://solarsystem.nasa.gov/missions/profile.cfm?MCode=ISEEICE |arquivodata=20 de julho de 2015 |urlmorta=sim }}</ref> Desde junho de 2015, o DSCOVR orbita o ponto L<sub>1</sub>. Por outro lado, também é útil para [[telescópios solares]] baseados no espaço, porque fornece uma visão ininterrupta do Sol e qualquer [[clima espacial]] (incluindo o [[vento solar]] e [[ejeções de massa coronal]]) atinge L<sub>1</sub> até uma hora antes da Terra. As missões solares e heliosféricas atualmente localizadas em torno de L<sub>1</sub> incluem o [[Solar and Heliospheric Observatory]], [[WIND (satélite)|Wind]] e o [[Advanced Composition Explorer]]. As missões planejadas incluem a [[Interstellar Mapping and Acceleration Probe]] (IMAP) e o [[NEO Surveyor]].

Sol–Terra L<sub>2</sub> é um bom local para observatórios espaciais. Como um objeto em torno de L<sub>2</sub> manterá a mesma posição relativa em relação ao Sol e à Terra, a blindagem e a calibração são muito mais simples. É, no entanto, um pouco além do alcance da [[Umbra, penumbra e antumbra|umbra]] da Terra,<ref>Tamanho angular do [[Sol]] a 1 [[Unidade astronômica|UA]] + 1.5 milhão de km: 31.6', tamanho angular da Terra a 1.5 milhão de km: 29.3'</ref> então a [[radiação solar]] não é completamente bloqueada em L<sub>2</sub>. As sodas espaciais geralmente orbitam em torno de L<sub>2</sub>, evitando [[eclipse]]s parciais do Sol para manter uma temperatura constante. De locais próximos a L<sub>2</sub>, o Sol, a Terra e a Lua estão relativamente próximos no céu; isso significa que um guarda-sol grande com o telescópio no lado escuro pode permitir que o telescópio esfrie passivamente até cerca de 50 [[Kelvin|K]], isso é especialmente útil para [[astronomia infravermelha]] e observações do [[Radiação cósmica de fundo em micro-ondas|fundo cósmico de micro-ondas]]. O [[Telescópio Espacial James Webb]] foi posicionado em uma [[órbita de halo]] sobre L<sub>2</sub> em 24 de janeiro de 2022.

Sol–Terra L<sub>1</sub> e L<sub>2</sub> são [[pontos de sela]] e exponencialmente instáveis com [[constante de tempo]] de aproximadamente 23 dias. Os satélites nestes pontos irão se desviar em alguns meses, a menos que sejam feitas correções de curso.<ref name="cornish" />

Sol–Terra L<sub>3</sub> era um lugar popular para colocar uma "[[Contra–Terra]]" em [[ficção científica]] [[Revista pulp|pulp]] e [[revistas em quadrinhos]], apesar do fato de que a existência de um corpo planetário neste local tinha sido entendida como uma impossibilidade uma vez que a mecânica orbital e as perturbações de os planetas nas órbitas uns dos outros passaram a ser compreendidos muito antes da Era Espacial; a influência de um corpo do tamanho da Terra em outros planetas não teria passado despercebida, nem o fato de que os focos da elipse orbital da Terra não estariam em seus lugares esperados, devido à massa da contra–Terra. O Sol–Terra L<sub>3</sub>, no entanto, é um ponto de sela fraco e exponencialmente instável com constante de tempo de aproximadamente 150 anos.<ref name="cornish" /> Além disso, não poderia conter um objeto natural, grande ou pequeno, por muito tempo porque as forças gravitacionais dos outros planetas são mais fortes que a da Terra (por exemplo, [[Vênus (planeta)|Vênus]] chega a 0.3 [[Unidade astronômica|UA]] deste L<sub>3</sub> a cada 20 meses).

Uma sonda espacial orbitando perto do Sol–Terra L<sub>3</sub> seria capaz de monitorar de perto a evolução das regiões ativas de [[manchas solares]] antes que elas girassem para uma posição geoefetiva, de modo que um aviso antecipado de sete dias pudesse ser emitido pelo [[Space Weather Prediction Center]] do [[Administração Oceânica e Atmosférica Nacional|NOAA]]. Além disso, um satélite próximo ao Sol–Terra L<sub>3</sub> forneceria observações muito importantes não apenas para previsões da Terra, mas também para suporte ao espaço profundo (previsões de [[Marte (planeta)|Marte]] e para missões tripuladas a [[asteroides próximos à Terra]]). Em 2010, as trajetórias de transferência de sondas espaciais para o Sol–Terra L<sub>3</sub> foram estudadas e vários projetos foram considerados.<ref name="transferslibthree">{{citar periódico|título=Spacecraft trajectories to the L<sub>3</sub> point of the Sun–Earth three-body problem |publicação=Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy |último1=Tantardini|primeiro1=Marco |último2=Fantino|primeiro2=Elena |primeiro3=Yuan |último3=Ren |primeiro4=Pierpaolo |último4=Pergola |primeiro5=Gerard |último5=Gómez |primeiro6=Josep J. |último6=Masdemont |data=2010 |doi=10.1007/s10569-010-9299-x |volume=108 |número=3 |páginas=215–232|bibcode = 2010CeMDA.108..215T |s2cid=121179935 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00568378/file/PEER_stage2_10.1007%252Fs10569-010-9299-x.pdf }}</ref>

=== Terra–Lua ===
Terra–Lua L<sub>1</sub> permite acesso comparativamente fácil às [[órbita]]s lunares e terrestres com mudança mínima na velocidade e isso tem como vantagem posicionar uma [[estação espacial]] habitável destinada a ajudar no transporte de carga e pessoal para a [[Lua]] e vice-versa. A missão [[SMART-1]]<ref>[http://www.moontoday.net/news/viewsr.html?pid=14345 SMART-1: On Course for Lunar Capture | Moon Today – Your Daily Source of Moon News<!-- Bot generated title -->] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051102120549/http://www.moontoday.net/news/viewsr.html?pid=14345 |data=2 de novembro de 2005 }}</ref> passou pelo Ponto de Lagrange L<sub>1</sub> em 11 de novembro de 2004 e entrou na área dominada pela influência gravitacional da Lua.

Terra–Lua L<sub>2</sub> foi usado para um [[satélite de comunicações]] cobrindo o lado oculto da Lua, por exemplo, [[Queqiao]], lançado em 2018,<ref name="magpie-earth-moon-l2">{{citar revista |último=Jones |primeiro=Andrew |título=Chang'e-4 relay satellite enters halo orbit around Earth-Moon L2, microsatellite in lunar orbit |url=https://spacenews.com/change-4-relay-satellite-enters-halo-orbit-around-earth-moon-l2-microsatellite-in-lunar-orbit/ |revista=SpaceNews |data=2018-06-14}}</ref> e seria "um local ideal" para um [[Depósito de propelente orbital|depósito de propelente]] como parte do espaço proposto baseado em depósito arquitetura de transporte.<ref name="aiaa20100902_p4">{{citar web |último1=Zegler |primeiro1=Frank |título=Evolving to a Depot-Based Space Transportation Architecture |url=http://www.ulalaunch.com/uploads/docs/Published_Papers/Exploration/DepotBasedTransportationArchitecture2010.pdf |publicação=AIAA SPACE 2010 Conference & Exposition |publicado=AIAA |acessodata=2011-01-25 |primeiro2=Bernard |último2=Kutter |data=2010-09-02 |página=4 |citação=L<sub>2</sub> is in deep space far away from any planetary surface and hence the thermal, micrometeoroid, and atomic oxygen environments are vastly superior to those in LEO. Thermodynamic stasis and extended hardware life are far easier to obtain without these punishing conditions seen in LEO. L<sub>2</sub> is not just a great gateway—it is a great place to store propellants. ...&nbsp;L<sub>2</sub> is an ideal location to store propellants and cargos: it is close, high energy, and cold. More importantly, it allows the continuous onward movement of propellants from LEO depots, thus suppressing their size and effectively minimizing the near-Earth boiloff penalties. |arquivourl=https://web.archive.org/web/20140624125633/http://www.ulalaunch.com/uploads/docs/Published_Papers/Exploration/DepotBasedTransportationArchitecture2010.pdf |arquivodata=2014-06-24 |urlmorta=sim }}</ref>

Terra–Lua L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> são os locais das [[Nuvens de Kordylewski|nuvens de poeira de Kordylewski]].<ref name="kordylewski">{{citar revista |último=Kordylewski |primeiro=K. |título=Photographische Untersuchungen des Librationspunktes L5 im System Erde-Mond |url=https://adsabs.harvard.edu/full/1961AcA....11..165K |revista=Acta Astronomica, Vol. 11, p.165 |data=1961|volume=11 |página=165 |bibcode=1961AcA....11..165K }}</ref> O nome da [[Sociedade L5|Sociedade L<sub>5</sub>]] vem dos pontos de Lagrange L<sub>4</sub> e L<sub>5</sub> no sistema Terra–Lua propostos como locais para seus enormes habitats espaciais rotativos. Ambas as posições também são propostas para satélites de comunicação cobrindo a Lua, assim como satélites de comunicação em [[órbita geossíncrona]] cobrem a Terra.<ref name="TychoESAmoonlight">{{citar revista |último=Hornig |primeiro=Andreas |título=TYCHO: Supporting Permanently Crewed Lunar Exploration with High-Speed Optical Communication from Everywhere |url=https://ideas.esa.int/servlet/hype/IMT?userAction=Browse&templateName=&documentId=e3f5e00bb992b91a4378e46176b02376 |revista=ESA |data=2022-05-01}}</ref><ref name="TychoVideo">{{citar revista |último=Hornig |primeiro=Andreas |título=TYCHO mission to Earth-Moon libration point EML-4 @ IAC 2013 |url=https://www.youtube.com/watch?v=7RJSLFP7yyA |revista=IAC2013 |data=2013-10-06}}</ref>

=== Sol–Vênus ===
Cientistas da [[Fundação B612]] estavam<ref name=cancel1>{{citar web|url=https://spacenews.com/b612-studying-smallsat-missions-to-search-for-near-earth-objects/|título=B612 studying smallsat missions to search for near Earth objects|data=20 de junho de 2017|website=SpaceNews.com}}</ref> planejando usar o ponto L<sub>3</sub> de [[Vênus (planeta)|Vênus]] para posicionar seu planejado [[telescópio espacial Sentinel]], que visava olhar para trás em direção à órbita da [[Terra]] e compilar um catálogo de [[asteroides próximos à Terra]].<ref>{{citar web|url=https://b612foundation.org/sentinel-mission/ |arquivourl=https://web.archive.org/web/20120630034544/http://b612foundation.org/sentinel-mission/ |urlmorta=sim |arquivodata=30 de junho de 2012 |título=The Sentinel Mission |publicado=B612 Foundation |acessodata=1 de fevereiro de 2014}}</ref>

=== Sol–Marte ===
Em 2017, a ideia de posicionar um escudo [[dipolo magnético]] no ponto Sol–Marte L<sub>1</sub> para uso como uma magnetosfera artificial para [[Marte (planeta)|Marte]] foi discutida em uma conferência da [[NASA]].<ref>{{citar web|url=https://phys.org/news/2017-03-nasa-magnetic-shield-mars-atmosphere.html|título=NASA proposes a magnetic shield to protect Mars' atmosphere|website=phys.org}}</ref> A ideia é que isso protegeria a atmosfera do planeta da radiação do [[Sol]] e dos [[ventos solares]].

== Ver também ==
{{div col}}
* [[Configuração coorbital]]
* [[Problema de Euler dos três corpos]]
* [[Gegenschein]]
* [[Roseta de Klemperer]]
* [[Sociedade L5|Sociedade L<sub>5</sub>]]
* [[Colonização do ponto de Lagrange]]
* [[Mecânica de Lagrange]]
* [[Lista de objetos em pontos de Lagrange]]
* [[Elevador espacial lunar]]
* [[Efeito Oberth]]
{{div col end}}

== Notas explicativas ==
{{reflist|group=note}}

{{referências}}

== Ligações externas ==
{{Commons category|Lagrange points}}
* Joseph-Louis, Comte Lagrange, from Oeuvres Tome 6, "Essai sur le Problème des Trois Corps"—[https://web.archive.org/web/20160506112535/http://www.ltas-vis.ulg.ac.be/cmsms/uploads/File/Lagrange_essai_3corps.pdf Essai (PDF)]; source [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229225j.image.r=Lagrange%2C+Joseph-Louis%2C.langEN.f231.pagination Tome 6 (Viewer)]
** "Essay on the Three-Body Problem" by J-L Lagrange, translated from the above, in [http://www.merlyn.demon.co.uk/essai-3c.htm merlyn.demon.co.uk] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190623015513/http://www.merlyn.demon.co.uk/essai-3c.htm |data=2019-06-23 }}.
* [http://eulerarchive.maa.org/pages/E304.html Considerationes de motu corporum coelestium]—[[Leonhard Euler]]—transcription and translation at [http://www.merlyn.demon.co.uk/euler304.htm merlyn.demon.co.uk] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200803041106/http://www.merlyn.demon.co.uk/euler304.htm |data=2020-08-03 }}.
* [https://www.esa.int/Enabling_Support/Operations/What_are_Lagrange_points What are Lagrange points?]—[[European Space Agency]] page, with good animations
* [https://web.archive.org/web/20030605101737/http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.html Explanation of Lagrange points]—Neil J. Cornish
* [https://map.gsfc.nasa.gov/mission/observatory_l2.html A NASA explanation]—also attributed to Neil J. Cornish
* [http://math.ucr.edu/home/baez/lagrange.html Explanation of Lagrange points]—John Baez
* [https://people.cs.nctu.edu.tw/~tsaiwn/sisc/runtime_error_200_div_by_0/www.merlyn.demon.co.uk/gravity4.htm Geometry and calculations of Lagrange points]—J R Stockton
* [http://www.phy6.org/stargaze/Slagrang.htm Locations of Lagrange points, with approximations]—David Peter Stern
* [http://orbitsimulator.com/formulas/LagrangePointFinder.html An online calculator to compute the precise positions of the 5 Lagrange points for any 2-body system]—Tony Dunn
* [http://www.astronomycast.com/physics/ep-76-lagrange-points/ ''Astronomy Cast''—Ep. 76: "Lagrange Points"] by Fraser Cain and [[Pamela L. Gay|Pamela Gay]]
* [https://www.haydenplanetarium.org/tyson/essays/2002-04-the-five-points-of-lagrange.php The Five Points of Lagrange] by [[Neil deGrasse Tyson]]
* [http://www.nasa.gov/mission_pages/WISE/news/wise20110727.html Earth, a lone Trojan discovered]
* See the Lagrange Points and Halo Orbits subsection under the section on Geosynchronous Transfer Orbit in [https://solarsystem.nasa.gov/basics/chapter5-1#critical NASA: Basics of Space Flight, Chapter 5]

{{Órbitas}}
{{Voo espacial}}
{{controle de autoridade}}

[[Categoria:Troianos (astronomia)]]
[[Categoria:Mecânica lagrangiana]]