Mostrar código-fonte de Pontos extremos de uma função

{{mais fontes|ci|data=Maio de 2011}}
[[Imagem:Polynomialdeg4.svg|thumb|Esta função tem um mínimo global em ''x=-3'', um máximo local em ''x=0'' e um mínimo local em ''x=2''.]]
Em [[matemática]], especialmente na [[análise real]], os pontos de '''máximo''' e '''mínimo''', também chamados de '''pontos extremos''' de uma [[função (matemática)|função]] são pontos do [[Domínio (matemática)|domínio]] onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que <math>M</math> e <math>m</math> são valores máximos e mínimos apenas se existem pontos no domínio <math>x_m</math> e <math>x_M</math> tais que:
:<math>m=f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M)=M</math>, para todo <math>x</math> no domínio.

Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda [[função real]] definida em um conjunto [[espaço compacto|compacto]] assume tanto um máximo como um mínimo.

Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local, que são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma [[Vizinhança (matemática)|vizinhança]] do ponto contida no domínio.

== Definição ==
Uma [[Função (matemática)|função]] real <math>f  </math> definida no [[Domínio (matemática)|domínio]] de X tem um '''ponto máximo''' '''global''' em x* se <math>f(x^*) \ge f(x)</math> para todo x em X. Similarmente, a função tem um '''ponto mínimo global''' em x* se <math>f(x^*) \le f(x)</math> para todo x em X.

O valor da função no ponto máximo é chamado de '''valor máximo''' da função e o valor da função no ponto mínimo é chamado de '''valor mínimo''' da função.

Se o domínio X é um espaço métrico então f tem um '''ponto máximo local''' no ponto x* se existir algum Ɛ 0  de modo que f(x*)  f(x) para todo x em X dentro da distância Ɛ de x*. Similarmente, a função tem um '''ponto mínimo local''' no x* se f(x*)  f(x) para todo x em X dentro da distância Ɛ de x*. Uma definição similar pode ser usada quando X é um [[espaço topológico]], desde que a definição possa somente ser reescrita em termos de sua vizinhança. Note que um ponto máximo global é sempre um ponto máximo local, e igualmente para pontos mínimos.

Uma função [[Função contínua|contínua]] real com um domínio compacto sempre tem um ponto máximo e mínimo. Um importante exemplo é uma função cujo domínio é um [[Intervalo (matemática)|intervalo]] aberto de [[Número real|números reais]] (e limitado)  (veja o gráfico acima).

== Máximos e mínimos ==
Encontrar o máximo e mínimo global é o objetivo da [[Otimização|otimização matemática]]. Se uma função é contínua em um intervalo fechado, então o teorema do valor extremo máximo e mínimo global existe. Além disso, o máximo global (ou mínimo) também pode ser um máximo local (ou mínimo) no interior do domínio, ou deve estar no limite do domínio. Então o método de encontrar o máximo global (ou mínimo) é através de todo máximo local (ou mínimo) no inteiro e também nos pontos máximos (ou mínimos) dos limites, e admitir o maior ou menor. Métodos dos intervalos fechados, para calcular máximos e mínimos absolutos de uma função <math>f:[a, b]</math> pertence ao conjunto dos números reais, '''IR''' devemos:

1.     Derivar <math>f(x)</math> e encontrar <math>C</math>, com <math>f'(C)=0</math>

2.     Encontrar os valores <math>C</math>, onde <math>f'(C)</math> não existe.

3.     Calcular <math>f(a)</math> e <math>f(b)</math>.

4.     Comparar <math>f(a)</math> e <math>f(b)</math> e os valores <math>f(C)</math>:

·        O maior é o máximo absoluto

·        O menor é o mínimo absoluto.



EX: <math>f (x) = x^3-3x^2+1</math>                                                <math>[-1/2.4]</math>     

<nowiki>*</nowiki>Primeiro passo derivar a função.

<math>f'(x) = 3x^2-6x</math>

<nowiki>*</nowiki> segundo passo achar o valor de x quando a derivada é 0 (achar as raízes da derivada)

<math>f'(x)=0</math>

<math>3x^2-6x= 0</math>

<math>3x(x-2)=0</math>




Usando a regra de [[Equação quadrática|Bhaskara]], para que o resultado seja igual a zero, ou 3x =0, ou (x – 2) = 0

portanto as raízes são

<math>x_1 = 0</math> e <math>x_2=2</math>

<nowiki>*</nowiki>Terceiro passo, substituir o ponto do intervalo <math>[-1/2.4]</math>, na função.

<math>f (x) = x^3-3x^2+1</math>

<nowiki>*</nowiki>Quarto passo, substituir os valores das raízes da derivada na função

Onde

<math>f (x) = x^3-3x^2+1</math>

(4) ponto máximo absoluto                    (2) ponto mínimo absoluto

(17) máximo absoluto                            (-3) mínimo absoluto

O extremo local de uma função [[Derivada|diferenciável]] pode ser encontrada através do [[Teste de primalidade de Fermat|teorema de Fermat]], em que encontra os pontos críticos. Um modo é distinguir aonde o ponto critico é máximo local ou mínimo local usando o teste da primeira derivada, ou o teste de várias derivadas, dando uma suficiente diferenciabilidade.

== Funções com mais de uma variável  ==
[[Ficheiro:Modell einer Peanoschen Fläche -Schilling XLIX, 1-.jpg|miniaturadaimagem|[[Superfície de Peano]], um contraexemplo para o critério de máximo local do século XIX]]
Para funções de mais do que uma variável as mesmas condições se aplicam. Por exemplo, na figura a direita, a condição necessária para o máximo local são similares a utilizadas para uma função com somente uma variável. A primeira [[derivada parcial]] em z (a variável a ser maximizada) é zero no máximo. A segunda derivada parcial é negativa. Isto é necessário, porém não é uma condição suficiente para um máximo local porque há a possibilidade de um ponto mínimo. Para resolver essas condições para o máximo, a função z tem que ser completamente diferenciável. O teste da segunda derivada parcial pode ajudar classificar o ponto em que é máximo relativo ou mínimo relativo. Em contraste, há diferenças entre funções de uma variável e funções de mais do que uma variável na identificação do extremo global. Por exemplo, se um limite de uma função [[diferenciável]] f definidade em um intervalo fechado na linha dos reais tem um único ponto crítico, no qual é um mínimo local, então este é também um mínimo global (usando o [[Teorema do valor intermediário]] e o [[Teorema de Rolle]] prova isto por redução pelo absurdo). Em duas ou mais dimensões, estes argumentos falham, como a função mostra

<math>f(x,y)= x^2 + y^2 (1-x)^3,              x,y  \in R</math>

O ponto critico é (0,0) no qual é o mínimo local com <math>f(0,0) = 0</math>. No entanto, este não pode ser um global, porque <math>f(2,3) = -5</math>.

== Exemplos<ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=aproxmaxmin+x*sin(x)|titulo=Faça exemplos com '''O Monitor'''|acessodata=2016-03-25|obra=omonitor.io}}</ref> ==
* <math>f(x)=x^2</math> definida na reta admite um mínimo em <math>x=0</math> mas não admite máximo.
* <math>f(x)=x^3</math> não tem mínimo ou máximo global. Entretanto a primeira derivada <math>3x^2 </math> é 0 em <math>x=0  </math>, este é um [[ponto de inflexão]].
* <math>f(x)= |x|</math> tem um mínimo global em <math>x=0  </math> que não pode ser encontrado pelas derivadas, porque a derivadas não existe em x=0.
* <math>f(x)= cos(x)</math> definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.
* <math>f(x)=\sin(x)</math> definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.

== Pontos críticos ==
{{Artigo principal|Ponto crítico (funções)}}
Seja <math>f:D\to\mathbb{R}</math> uma função real [[Derivada|diferenciável]] em um domínio <math>D</math> contido nos reais. Então todo ponto de máximo ou de mínimo local é também um [[ponto crítico (funções)|ponto crítico]] da função, ou seja, sua derivada é nula.

Para demonstração isso, seja <math>x_0</math> um ponto de máximo local, a derivada é dada por:
:<math>f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>

Podemos supor que <math>h</math> é suficientemente pequeno de forma que <math>f(x_0+h) \leq f(x_0)</math>.

O que nos permite concluir, usando a existência do limite:
:<math>f'(x_0)=\lim_{h\to 0+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0</math>
:<math>f'(x_0)=\lim_{h\to 0-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0</math>

A demonstração no caso de um ponto de mínimo é análoga.

{{Referências|extra=Stewart. James. Calculo. volume 1. 7 ed. São Paulo. Cengage Learning. 2013}}

== Ver também ==
* [[Multiplicadores de Lagrange]], método para encontrar extremos de uma função.
* [[Limites superiores e inferiores|Limites superior e inferiores]]

{{Funções}}

{{Portal3|Matemática}}
{{Controle de autoridade}}

{{DEFAULTSORT:Pontos extremos função}}
[[Categoria:Otimização]]
[[Categoria:Cálculo]]
[[Categoria:Análise real]]