Mostrar código-fonte de Potencial escalar

{{Descrição curta|Quando a diferença de energia potencial depende apenas do deslocamento}}
{{About|uma descrição geral de uma função usada em matemática e física para descrever campos conservativos|o potencial escalar do eletromagnetismo|potencial elétrico|todos os outros usos|Potencial}}
Na [[física matemática]], o '''potencial escalar''', simplesmente, descreve a situação em que a diferença nas [[Energia potencial|energias potenciais]] de um objeto em duas posições diferentes depende apenas das posições, não do caminho percorrido pelo objeto ao viajar de uma posição para a outra. É um [[campo escalar]] no [[espaço tridimensional]]: um valor sem direção ([[Grandeza escalar|escalar]]) que depende apenas de sua localização. Um exemplo familiar é a [[Energia potencial gravitacional|energia potencial devido à gravidade]].
[[Imagem:Electrodynamics vector calculus review gradient.svg|thumb|400px|Campo vetorial (direita) e potencial escalar correspondente (esquerda).]]
Um ''[[potencial]] escalar'' é um conceito fundamental em [[Cálculo vetorial|análise vetorial]] e [[física]] (o adjetivo ''escalar'' é frequentemente omitido se não houver perigo de confusão com [[Vetor potencial|''potencial vetorial'']]). O potencial escalar é um exemplo de [[campo escalar]]. Dado um [[campo vetorial]] {{Math|'''F'''}}, o potencial escalar {{Mvar|P}} é definido tal que:

:<math> \mathbf{F} = -\nabla P = - \left(
\frac{\partial P}{\partial x},
\frac{\partial P}{\partial y},
\frac{\partial P}{\partial z}
\right), </math><ref>{{Citar livro |autor=Herbert Goldstein|título=Classical nechanics |edição=2 |páginas=3–4 |ISBN=978-0-201-02918-5 |língua=en }}</ref>

onde {{Math|∇''P''}} é o [[gradiente]] de {{Mvar|P}} e a segunda parte da equação é menos o gradiente para uma função das [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas cartesianas]] {{Mvar|x, y, z}}.{{Nre|A segunda parte desta equação é ''apenas'' válida para coordenadas cartesianas, outros sistemas de coordenadas como coordenadas cilíndricas ou esféricas terão representações mais complicadas, derivadas do [[Teorema do Gradiente|teorema fundamental do gradiente]].}} Em alguns casos, os matemáticos podem usar um sinal positivo na frente do gradiente para definir o potencial.<ref>Ver [http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/findpot/] (em inglês) para um exemplo onde o potencial é definido sem um negativo. Outras referências como {{Citation |title=The calculus with analytic geometry |edition=5 |author=Louis Leithold |page=1199 |language=en }} evitam usar o termo ''potencial'' ao resolver uma função de seu gradiente.</ref> Devido a esta definição de {{Mvar|P}} em termos de gradiente, a direção de {{Math|'''F'''}} em qualquer ponto é a direção da maior diminuição de {{Mvar|P}} naquele ponto, sua magnitude é a taxa dessa diminuição por unidade de comprimento.

Para que {{Math|'''F'''}} seja descrito apenas em termos de um potencial escalar, qualquer uma das seguintes afirmações equivalentes deve ser verdadeira:

# <math>-\int_a^b \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} = P(\mathbf{b})-P(\mathbf{a}),</math> onde a integração é sobre um arco de Jordan passando do local {{Math|'''a'''}} para o local {{Math|'''b '''}}e {{Math|'''P'''('''b''')}} é {{Math|'''P'''}} avaliado no local {{Math|'''b'''}}.
# <math>\oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=0,</math>onde a integral é sobre qualquer caminho fechado simples, também conhecido como [[Curva#Topologia|curva de Jordan]]{{Ill|en||Curve#Jordan|nlk=true}}.
# <math>{\nabla}\times{\mathbf{F}} =0. </math>

A primeira dessas condições representa o teorema fundamental do gradiente e é verdadeira para qualquer campo vetorial que seja um gradiente de um campo escalar de [[Função multivalorada|valor único]] diferenciável{{Ill|en||Differentiable function|nlk=true}} {{Mvar|P}}. A segunda condição é um requisito de {{Math|'''F'''}} para que possa ser expresso como o gradiente de uma função escalar. A terceira condição expressa novamente a segunda condição em termos do [[rotacional]] de {{Math|'''F'''}} usando o teorema fundamental do rotacional{{Ill|en||Stokes' theorem|nlk=true}}. Um campo vetorial {{Math|'''F'''}} que satisfaz essas condições é chamado de [[Campo conservativo|irrotacional (conservativo)]].

[[Imagem:Mass potential well increasing mass.gif|thumb|Poço de potencial gravitacional de uma massa crescente onde {{Math|1='''F''' = –∇''P''}}]]

Os potenciais escalares desempenham um papel proeminente em muitas áreas da física e da engenharia. O potencial de gravidade{{Ill|en||Gravitational potential|nlk=true}} é o potencial escalar associado à gravidade por unidade de massa, ou seja, a [[aceleração]] devido ao campo, em função da posição. O potencial de gravidade é a [[energia potencial gravitacional]] por unidade de massa. Em [[eletrostática]], o [[potencial elétrico]] é o potencial escalar associado ao [[campo elétrico]], ou seja, à [[Lei de Coulomb|força eletrostática]] por unidade de [[Carga elétrica|carga]]. O potencial elétrico é, neste caso, a energia potencial eletrostática por unidade de carga. Na [[Fluidodinâmica|dinâmica dos fluidos]]{{Ill|en||Fluid dynamics|nlk=true}}, os campos lamelares{{Ill|en||Complex lamellar vector field|nlk=true}} irrotacionais têm um potencial escalar apenas no caso especial em que é um [[Função harmônica|campo Laplaciano]]. Certos aspectos da [[força nuclear]] podem ser descritos por um [[potencial de Yukawa]]. O potencial desempenha um papel proeminente nas formulações [[Mecânica de Lagrange|lagrangianas]] e [[Mecânica hamiltoniana|hamiltonianas]] da [[mecânica clássica]]. Além disso, o potencial escalar é a quantidade fundamental na [[mecânica quântica]].

Nem todo campo vetorial tem um potencial escalar. Aqueles que o fazem são chamados de [[Campo conservativo|''conservativos'']], correspondendo à noção de [[força conservativa]] na física. Exemplos de forças não conservativas incluem forças de atrito, forças magnéticas e, na mecânica dos fluidos, um campo de velocidade de [[campo solenoidal]]. No entanto, pelo[[ teorema da decomposição de Helmholtz]], todos os campos vetoriais podem ser descritos em termos de um potencial escalar e um [[Vetor potencial|potencial vetorial]] correspondente. Em eletrodinâmica, os potenciais eletromagnéticos escalar e vetorial são conhecidos juntos como o [[quadripotencial eletromagnético]].
 
==Condições de integrabilidade==
Se {{Math|'''F'''}} é um [[Campo conservativo|campo vetorial conservativo]] (também chamado de ''irrotacional'', ''livre de [[Rotacional|rotações]]'' ou ''potencial'') e seus componentes têm [[Derivada parcial|derivadas parciais]] [[Função contínua|contínuas]], o ''potencial'' de {{Math|'''F'''}} em relação a um ponto de referência {{Math|'''r'''{{Subscrito|0}}}} é definido em termos da [[integral de linha]]:
 
: <math>V(\mathbf r) = -\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = -\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt,</math>
 
onde {{Mvar|C}} é um caminho [[Parametrização|parametrizado]] de {{Math|'''r'''{{Subscrito|0}}}} a {{Math|'''r'''}},
 
: <math>\mathbf{r}(t), a\leq t\leq b, \mathbf{r}(a)=\mathbf{r_0}, \mathbf{r}(b)=\mathbf{r}.</math>

O fato de que a integral de linha depende do caminho {{Mvar|C}} apenas através de seus pontos terminais {{Math|'''r'''{{Subscrito|0}}}} e {{Math|'''r'''}} é, em essência, a propriedade de independência de caminho de um campo vetorial conservativo. O [[Teorema do Gradiente|teorema fundamental das integrais de linha]] implica que, se {{Mvar|V}} for definido dessa maneira, então {{Math|1='''F''' = –∇''V''}}, de modo que {{Mvar|V}} seja um potencial escalar do campo vetorial conservativo {{Math|'''F'''}}. O potencial escalar não é determinado apenas pelo campo vetorial: de fato, o gradiente de uma função não é afetado se uma constante for adicionada a ela. Se {{Mvar|V}} for definido em termos da integral de linha, a ambiguidade de {{Mvar|V}} reflete a liberdade na escolha do ponto de referência {{Math|'''r'''{{Subscrito|0}}}}.

==Altitude como energia de potencial gravitacional==
<!-- {{Artigo principal|:en:Gravitational potential{{!}}Potencial gravitacional}} -->
[[Imagem:Gravity field near earth.gif|thumb|Campo gravitacional uniforme perto da superfície da Terra]][[Imagem:GravityPotential.jpg|thumb|300px|Gráfico de uma fatia bidimensional do potencial gravitacional dentro e ao redor de um corpo esférico uniforme. Os [[Ponto de inflexão|pontos de inflexão]] da seção transversal estão na superfície do corpo.]]

Um exemplo é o [[campo gravitacional]] (quase) uniforme perto da superfície da Terra. Ele tem uma energia potencial

: <math> U = m g h </math>

onde {{Mvar|U}} é a energia potencial gravitacional e {{Mvar|h}} é a altura acima da superfície. Isso significa que a energia potencial gravitacional em um [[Isolinha|mapa de contorno]] é proporcional à altitude. Em um mapa de contorno, o gradiente negativo bidimensional da altitude é um campo vetorial bidimensional, cujos vetores são sempre perpendiculares aos contornos e também perpendiculares à direção da gravidade. Mas na região montanhosa representada pelo mapa de contorno, o gradiente negativo tridimensional de {{Mvar|U}} sempre aponta diretamente para baixo na direção da gravidade; {{Math|'''F'''}}. No entanto, uma bola rolando colina abaixo não pode se mover diretamente para baixo devido à [[força normal]] da superfície da colina, que cancela o componente da gravidade perpendicular à superfície da colina. A componente da gravidade que resta para mover a bola é paralela à superfície:

:<math> \mathbf F_\mathrm{S} = - m g \ \sen \theta </math>

onde {{Mvar|θ}} é o ângulo de inclinação, e o componente de {{Math|'''F'''{{Subscrito|S}}}} perpendicular à gravidade é

:<math> \mathbf F_\mathrm{P} = - m g \ \sen \theta \ \cos \theta = - {1 \over 2} m g \sen 2 \theta. </math>

Esta força {{Math|'''F'''{{Subscrito|P}}}}, paralela ao solo, é maior quando {{Mvar|θ}} é de 45 graus.

Seja {{Math|Δ''h''}} o intervalo uniforme de altitude entre contornos no mapa de contorno e seja {{Math|Δ''x''}} a distância entre dois contornos. Então

<math display="block"> \theta = \tan^{-1}\frac{\Delta h}{\Delta x} </math>

de modo que

<math display="block"> F_P = - m g { \Delta x \, \Delta h \over \Delta x^2 + \Delta h^2 }. </math>

No entanto, em um mapa de contorno, o gradiente é inversamente proporcional a {{Math|Δ''x''}}, o que não é semelhante à força {{Math|'''F'''{{Subscrito|P}}}}: a altitude em um mapa de contorno não é exatamente um campo potencial bidimensional. As magnitudes das forças são diferentes, mas as direções das forças são as mesmas em um mapa de contorno, bem como na região montanhosa da superfície da Terra representada pelo mapa de contorno.

==Pressão como potencial flutuante==
Na [[mecânica dos fluidos]], um fluido em equilíbrio, mas na presença de um campo gravitacional uniforme, é permeado por um [[Impulsão|empuxo]] uniforme que anula a força gravitacional: é assim que o fluido mantém seu equilíbrio. Esta força flutuante é o gradiente negativo de [[pressão]]:

:<math> \mathbf{f_B} = - \nabla p. \, </math>

Como a força de empuxo aponta para cima, na direção oposta à gravidade, a pressão no fluido aumenta para baixo. A pressão em um corpo estático de água aumenta proporcionalmente à profundidade abaixo da superfície da água. As superfícies de pressão constante são planos paralelos à superfície, que podem ser caracterizados como o plano de pressão zero.

Se o líquido tiver um [[vórtice]] vertical (cujo eixo de rotação é perpendicular à superfície), então o vórtice causa uma depressão no campo de pressão. A superfície do líquido dentro do vórtice é puxada para baixo, assim como quaisquer superfícies de igual pressão, que ainda permanecem paralelas à superfície do líquido. O efeito é mais forte dentro do vórtice e diminui rapidamente com a distância do eixo do vórtice.

A força de empuxo devido a um fluido em um objeto sólido imerso e cercado por esse fluido pode ser obtida integrando o gradiente de pressão negativa ao longo da superfície do objeto:

:<math> F_B = - \oint_S \nabla p \cdot \, d\mathbf{S}. </math>

==Potencial escalar no espaço euclidiano==
No espaço euclidiano tridimensional {{Tmath|\mathbb R^3}}, o potencial escalar de um [[Campo conservativo|campo vetorial irrotacional]] {{Math|'''E'''}} é dado por:

: <math display="block"> \Phi(\mathbf{r}) = {1 \over 4 \pi} \int_{\mathbb R^3} \frac{\operatorname{div} \mathbf{E}(\mathbf{r}')}{\| \mathbf{r} - \mathbf{r}' \|} \, dV(\mathbf r') </math>

onde {{Math|''dV''('''r'''') é um elemento de volume infinitesimal em relação a {{Math|'''r''''}}. Então:

: <math display="block"> \mathbf{E} = -\mathbf{\nabla} \Phi = - {1 \over 4 \pi} \mathbf{\nabla} \int_{\mathbb R^3} \frac{\operatorname{div} \mathbf{E}(\mathbf{r}')}{\| \mathbf{r} - \mathbf{r}' \|} \, dV(\mathbf r') </math>

Isso é válido desde que {{Math|'''E'''}} seja [[Função contínua|contínuo]] e desapareça assintoticamente para zero em direção ao infinito, decaindo mais rápido que {{Math|1/''r''}} e se a [[divergência]] de {{Math|'''E'''}} também desaparecer em direção ao infinito, decaindo mais rápido que {{Math|1/''r''{{Exp|&thinsp;2}}}}.

Escrito de outra maneira, deixe que

: <math display="block">\Gamma(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\frac{1}{\|\mathbf r\|}</math>

seja o [[potencial newtoniano]]. Esta é a [[solução fundamental]] da [[equação de Laplace]], o que significa que o Laplaciano de {{Math|Γ}} é igual ao negativo da [[Delta de Dirac|função delta de Dirac]]:

: <math>\nabla^2\Gamma(\mathbf r) + \delta(\mathbf r)=0.</math>

Então o potencial escalar é a divergência da [[convolução]] de {{Math|'''E'''}} com {{Math|&Gamma;}}:

: <math>\Phi = \operatorname{div}(\mathbf E * \Gamma).</math>

De fato, a convolução de um campo vetorial irrotacional com um potencial rotacionalmente invariante também é irrotacional. Para um campo vetorial irrotacional {{Math|'''G'''}}, pode-se mostrar que:

: <math display="block">\nabla^2\mathbf{G} = \mathbf{\nabla}(\mathbf{\nabla} \cdot{} \mathbf{G}).</math>

Por isso,

: <math display="block">\nabla\operatorname{div}(\mathbf E * \Gamma) = \nabla^2(\mathbf E * \Gamma) = \mathbf E * \nabla^2\Gamma = -\mathbf E * \delta = -\mathbf E </math>

como requerido.

Mais geralmente, a fórmula

: <math display="block">\Phi = \operatorname{div}(\mathbf E * \Gamma)</math>

se mantém no espaço euclidiano {{Mvar|n}}-dimensional ({{Math|''n''}} > 2) com o potencial newtoniano dado, então por:

: <math display="block">\Gamma(\mathbf r) = \frac{1}{n(n-2)\omega_n \|\mathbf r\|^{n-2}}</math>

onde {{Mvar|ω{{Subscrito|n}}}} é o volume da unidade {{Mvar|n}}-bola. A prova é idêntica. Alternativamente, a integração por partes (ou, mais rigorosamente, as [[Convolução#Regra da diferenciação|propriedades de convolução]]{{Ill|en||Convolution#Domain_of_definition|nlk=true}}) dá

<math display="block">\Phi(\mathbf r) = -\frac{1}{n\omega_n} \int_{\mathbb R^n} \frac{\mathbf E(\mathbf r')\cdot (\mathbf r-\mathbf r')}{\|\mathbf r-\mathbf r'\|^n} \,dV(\mathbf r').</math>

==Ver também==
* Linhas e superfícies equipotenciais (isopotenciais){{Ill|en||Equipotential|nlk=true}}
* [[Teorema da decomposição de Helmholtz|Teorema do gradiente]]
* [[Teorema do Gradiente|Teorema fundamental da análise vetorial]]

== Nota==
{{Reflist|group=lower-alpha}}

{{Referências}}
==Ligações externas==
*{{Commonscat em linha|Scalar potential|Potencial escalar}}
{{DEFAULTSORT:Potencial escalar}}
[[Categoria:Cálculo vetorial]]
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