Mostrar código-fonte de Princípio da incerteza de Heisenberg

{{Descrição curta|Princípio fundamental na física quântica}}
{{Mecânica quântica}}
[[Imagem:Werner Heisenberg - Canonical commutation rule for position and momentum variables of a particle - Uncertainty principle, 1927.jpg|thumb|Regra de comutação canônica para variáveis de posição ''q'' e momento ''p'' de uma partícula, 1927. ''pq'' − ''qp'' = ''h''/(2''πi''). Princípio da incerteza de Heisenberg, 1927]]
O '''princípio da incerteza''', também conhecido como '''princípio da indeterminação de Heisenberg''', é um conceito fundamental na [[mecânica quântica]]. Ele afirma que há um limite para a precisão com que certos pares de propriedades físicas, como posição e [[Momento linear|momento]], podem ser conhecidos simultaneamente. Em outras palavras, quanto mais precisamente uma propriedade é medida, menos precisamente a outra propriedade pode ser conhecida.

Mais formalmente, o princípio da incerteza é qualquer uma de uma variedade de [[Desigualdade|desigualdades matemáticas]] que afirmam um limite fundamental para o produto da precisão de certos pares relacionados de medições em um sistema quântico, como [[posição]], ''x'', e momento, ''p''.<ref name=Sen2014>{{citar periódico|último1=Sen |primeiro1=D. |título=''The Uncertainty relations in quantum mechanics'' |url=http://www.currentscience.ac.in/Volumes/107/02/0203.pdf |periódico=Current Science |volume=107 |número=2 |ano=2014 |páginas=203–218 |acessodata=2016-02-14 |arquivodata=2019-09-24 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20190924115453/https://www.currentscience.ac.in/Volumes/107/02/0203.pdf |urlmorta= não|língua=en }}</ref> Essas variáveis pareadas são conhecidas como [[Princípio da complementaridade|variáveis complementares]] ou [[Momento conjugado|variáveis canonicamente conjugadas]].

Introduzida pela primeira vez em 1927 pelo físico alemão [[Werner Heisenberg]],<ref name=":0">{{citar periódico|último=Heisenberg |primeiro=W. |orig-date=1927-03-01 |título=''Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik'' |url=https://doi.org/10.1007/BF01397280 |periódico=Zeitschrift für Physik |data=1927 |língua=de |volume=43 |número=3 |páginas=172–198 |bibcode=1927ZPhy...43..172H |doi=10.1007/BF01397280 |issn=0044-3328 |s2cid=122763326 }}{{citar periódico|último=Heisenberg |primeiro=W |ano=1983 |orig-date=1927 |título=''The actual content of quantum theoretical kinematics and mechanics'' |url=https://ntrs.nasa.gov/citations/19840008978 |periódico=No. NAS 1.15: 77379. 1983. |volume=43 |número=3–4 |página=172 |bibcode=1983ZhPhy..43..172H |citação=Tradução para o inglês de ''Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik'' |acessodata=2023-08-28 |arquivodata=2023-09-02 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20230902112403/https://ntrs.nasa.gov/citations/19840008978 |urlmorta= não}}</ref><ref>Werner Heisenberg (1989), ''Encounters with Einstein and Other Essays on People, Places and Particles'',  ''[[Princeton University Press]]'', p. 53. {{Falta ISBN}}</ref><ref>{{citar livro|doi=10.1515/9781400889167 |título=The Tests of Time |ano=2003 |isbn=978-1400889167 |editor-last1=Dolling |editor-last2=Gianelli |editor-last3=Statile |editor-first1=Lisa M. |editor-first2=Arthur F. |editor-first3=Glenn N. }}</ref><ref>Kumar, Manjit. ''Quantum: Einstein, Bohr, and the great debate about the nature of reality.'' ''1st American ed.'', 2008. ''Chap.'' 10, ''Note 37'. {{Falta ISBN}}</ref> a desigualdade formal que relaciona o [[desvio padrão]] da posição ''σ<sub>x''</sub> e o desvio padrão do momento ''σ<sub>p</sub>'' foi derivada por <!--[[:en:Earle Hesse Kennard]]-->Earle Hesse Kennard<ref name="Kennard">{{Citation |primeiro=E. H. |último=Kennard |título=''Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen'' |língua=de |periódico=Zeitschrift für Physik |volume=44 |número=4–5 |ano=1927 |páginas=326–352 |doi=10.1007/BF01391200 |postscript=. |bibcode=1927ZPhy...44..326K |s2cid=121626384 }}</ref> mais tarde naquele ano e por [[Hermann Weyl]]<ref name="Weyl1928">{{citar livro|último=Weyl |primeiro=H. |título=Gruppentheorie und Quantenmechanik |língua=de |ano=1928 |publicado=''Hirzel'' |local=''Leipzig''}}{{Falta página|data=fevereiro de 2024}}</ref> em 1928:
{{Equation box 1 |indent=: |equation=<math> \sigma_{x}\sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2}</math> |cellpadding=6 |border |border colour=#0073CF |background colour=#F5FFFA}}
onde <math>\hbar = \frac{h}{2\pi}</math> é a [[Constante de Planck#Constante reduzida de Planck|constante de Planck reduzida]].

O princípio da incerteza essencialmente mecânica quântica vem em muitas formas além de posição-momento. A relação energia-tempo é amplamente usada para relacionar o tempo de vida do estado quântico a larguras de energia medidas, mas sua derivação formal é repleta de questões confusas sobre a natureza do tempo. O princípio básico foi estendido em várias direções; ele deve ser considerado em muitos tipos de medições físicas fundamentais.

==Posição e momento==
{{Artigo principal|Introdução à mecânica quântica}}
[[Imagem:Sequential superposition of plane waves.gif|360px|right|thumb|A sobreposição de diversas ondas planas para formar um pacote de ondas. Este pacote de ondas se torna cada vez mais localizado com a adição de muitas ondas. A transformada de Fourier é uma operação matemática que separa um pacote de ondas em suas ondas planas individuais. As ondas mostradas aqui são <!--[[:en:Function of a real variable]]-->reais apenas para fins ilustrativos; na mecânica quântica, a função de onda é geralmente [[Análise complexa|complexa]].]]
É vital ilustrar como o princípio se aplica a situações físicas relativamente inteligíveis, uma vez que é indiscernível nas escalas macroscópicas<ref>{{citar periódico|último1=Jaeger |primeiro1=Gregg |título=''What in the (quantum) world is macroscopic?'' |periódico=American Journal of Physics |data=setembro de 2014 |volume=82 |número=9 |páginas=896–905 |doi=10.1119/1.4878358 |bibcode = 2014AmJPh..82..896J }}</ref> que os humanos vivenciam. Duas estruturas alternativas para a física quântica oferecem explicações diferentes para o princípio da incerteza. A imagem da [[Equação de Schrödinger|mecânica ondulatória]] do princípio da incerteza é mais intuitiva visualmente, mas a imagem mais abstrata da [[mecânica matricial]] o formula de uma forma que generaliza mais facilmente.

Matematicamente, na mecânica ondulatória, a relação de incerteza entre posição e momento surge porque as expressões da função de onda nas duas [[Base (álgebra linear)|bases]] [[Ortonormalidade|ortonormais]] correspondentes no [[espaço de Hilbert]] são [[Transformada de Fourier|transformadas de Fourier]] uma da outra (ou seja, posição e momento são [[Grandeza conjugada|variáveis conjugadas]]). Uma função diferente de zero e sua transformada de Fourier não podem ser nitidamente localizadas ao mesmo tempo.<ref>Ver ''Appendix B'' em {{Citation |título=''Why photons cannot be sharply localized'' |primeiro1=Iwo |último1=Bialynicki-Birula |primeiro2=Zofia |último2=Bialynicka-Birula |periódico=Physical Review A |data=2009 |volume=79 |número=3 |páginas=7–8|doi=10.1103/PhysRevA.79.032112 |arxiv=0903.3712 |bibcode=2009PhRvA..79c2112B |s2cid=55632217 }}</ref> Uma compensação semelhante entre as variâncias dos conjugados de Fourier surge em todos os sistemas subjacentes à análise de Fourier, por exemplo em ondas sonoras: um tom puro é um [[Delta de Dirac|pico agudo]] em uma única frequência, enquanto sua transformada de Fourier dá a forma da onda sonora no domínio do tempo, que é uma onda senoidal completamente deslocalizada. Na mecânica quântica, os dois pontos-chave são que a posição da partícula assume a forma de uma onda de matéria, e o momento é seu conjugado de Fourier, assegurado pela [[Onda de matéria|relação de Broglie]] {{Math|''p'' {{=}} ''ħk''}}, onde {{Mvar|k}} é o [[número de onda]].

Na [[mecânica matricial]], a [[Formulação matemática da mecânica quântica#Postulados da mecânica quântica|formulação matemática da mecânica quântica]], qualquer par de [[Operador autoadjunto|operadores autoadjuntos]] não [[Comutador (matemática)|comutativos]] representando [[Observável|observáveis]] estão sujeitos a limites de incerteza semelhantes. Um autoestado de um observável representa o estado da função de onda para um certo valor de medição (o autovalor). Por exemplo, se uma medição de um observável {{Mvar|A}} for realizada, então o sistema está em um autoestado particular {{Mvar|Ψ}} daquele observável. Entretanto, o autoestado particular do observável {{Mvar|A}} não precisa ser um autoestado de outro observável {{Mvar|B}}: Se for, então ele não tem uma medição única associada a ele, pois o sistema não está em um autoestado daquele observável.<ref>{{Citation |autor1=Claude Cohen-Tannoudji |autor2=Bernard Diu |autor3=Franck Laloë |título=Quantum mechanics |ano=1996 |publicado=''Wiley'' |local=''Wiley-Interscience'' |isbn=978-0-471-56952-7 |páginas=231–233 }}</ref>

===Visualização===
O princípio da incerteza pode ser visualizado usando as funções de onda de posição-espaço e de momento-espaço para uma partícula sem ''spin'' com massa em uma dimensão.

Quanto mais localizada a função de onda de posição-espaço, mais provável é que a partícula seja encontrada com as coordenadas de posição naquela região e, correspondentemente, a função de onda de momento-espaço é menos localizada, de modo que os possíveis componentes de momento que a partícula poderia ter são mais difundidos. Por outro lado, quanto mais localizada a função de onda de momento-espaço, mais provável é que a partícula seja encontrada com aqueles valores de componentes de momento naquela região e, correspondentemente, menos localizada a função de onda de posição-espaço, de modo que as coordenadas de posição que a partícula poderia ocupar são mais difundidas. Essas funções de onda são [[Transformada de Fourier|transformadas de Fourier]] uma da outra: matematicamente, o princípio da incerteza expressa a relação entre variáveis conjugadas na transformada.

[[Imagem:Quantum mechanics travelling wavefunctions wavelength.svg|center|thumb|502px|Funções de onda de posição ''x'' e momento ''p'' correspondentes a partículas quânticas. A opacidade da cor das partículas corresponde à [[Função de densidade de probabilidade|densidade de probabilidade]] de encontrar a partícula com posição ''x'' ou componente de momento ''p''.<br/>

'''Topo''': Se o comprimento de onda ''λ'' for desconhecido, o momento ''p'', o vetor de onda ''k'' e a energia ''E'' também o são (relações de Broglie). Como a partícula é mais localizada no espaço de posição, Δ''x'' é menor do que para Δ''p<sub>x</sub>''.<br/>

'''Embaixo''': Se ''λ'' for conhecido, ''p'', ''k'' e ''E'' também o são. Como a partícula é mais localizada no espaço de momento, Δ''p'' é menor do que para Δ''x''.]]

===Interpretação da mecânica ondulatória===
{{Artigo principal<!--|:en:Wave packet-->|Equação de Schrödinger}}
{{Multiple image
| align = right
| direction = vertical
| footer = Propagação das ondas de De Broglie em 1d — a parte real da amplitude [[Número complexo|complexa]] é azul, a parte imaginária é verde. A probabilidade (mostrada como a [[opacidade]] da cor) de encontrar a partícula em um dado ponto ''x'' é espalhada como uma forma de onda, não há posição definida da partícula. Conforme a amplitude aumenta acima de zero, a [[curvatura]] inverte o sinal, então a amplitude começa a diminuir novamente, e vice-versa — o resultado é uma amplitude alternada: uma onda.
| image1 = Propagation of a de broglie plane wave.svg
| caption1 = [[Onda plana]]
| width1 = 250
| image2 = Propagation of a de broglie wavepacket.svg
| caption2 = <!--[[:en:Wave packet]]-->Pacote de ondas
| width2 = 250
}}
De acordo com a [[Onda de matéria|hipótese de de Broglie]], todo objeto no universo está associado a uma [[onda]]. Assim, todo objeto, de uma partícula elementar a átomos, moléculas e planetas e além, está sujeito ao princípio da incerteza.

A função de onda independente do tempo de uma onda plana monomodo de número de onda ''k''<sub>0</sub> ou momento ''p''<sub>0</sub> é:<ref>{{Citation |last=Hall |first=B. C. |title=Quantum Theory for Mathematicians |publisher=Springer |year=2013 |pages=60 |bibcode=2013qtm..book.....H |language=en}}</ref>
<math display="block">\psi(x) \propto e^{ik_0 x} = e^{ip_0 x/\hbar} ~</math>
A [[regra de Born]] afirma que isso deve ser interpretado como uma [[Função de densidade de probabilidade|função de amplitude de densidade de probabilidade]] no sentido de que a probabilidade de encontrar a partícula entre ''a'' e ''b'' é:
<math display="block"> \operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x ~</math>
No caso da onda plana monomodo, <math>|\psi(x)|^2</math> é ''1'' se <math>X=x</math> e ''0'' caso contrário. Em outras palavras, a posição da partícula é extremamente incerta no sentido de que ela poderia estar essencialmente em qualquer lugar ao longo do pacote de ondas.

Por outro lado, considere uma função de onda que é uma [[Princípio da superposição|soma de muitas ondas]], que podemos escrever como:
<math display="block">\psi(x) \propto \sum_n A_n e^{i p_n x/\hbar}~ </math>
onde ''A''<sub>''n''</sub> representa a contribuição relativa do modo ''p''<sub>''n''</sub> para o total geral. As figuras à direita mostram como com a adição de muitas ondas planas, o pacote de ondas pode se tornar mais localizado. Podemos levar isso um passo adiante para o <!--[[:en:Continuum limit]]-->limite do contínuo, onde a função de onda é uma [[integral]] sobre todos os modos possíveis:
<math display="block">\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^\infty \varphi(p) \cdot e^{i p x/\hbar} \, dp ~ </math>
com <math>\varphi(p)</math> representando a amplitude desses modos e é chamada de função de onda no <!--[[:en:Position and momentum spaces]]-->espaço de momento. Em termos matemáticos, dizemos que <math>\varphi(p)</math> é a ''[[transformada de Fourier]]'' de <math>\psi(x)</math> e que ''x'' e ''p'' são [[Grandeza conjugada|variáveis conjugadas]]. Adicionar todas essas ondas planas tem um custo, ou seja, o momento se tornou menos preciso, tendo se tornado uma mistura de ondas de muitos momentos diferentes.<ref name="L&L">{{citar livro|primeiro1=Lev Davidovich |último1=Landau |authorlink1=Lev Landau |primeiro2=Evgeny Mikhailovich |último2=Lifshitz |authorlink2=Evgeny Lifshitz |ano=1977 |título=Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory |edição=''3rd'' |volume=3 |publicado=<!--[[:en:Pergamon Press]]-->''Pergamon Press'' |isbn=978-0-08-020940-1 |url=https://archive.org/details/QuantumMechanics_104 }}</ref>

Uma maneira de quantificar a precisão da posição e do momento é o [[desvio padrão]] ''σ''. Como <math>|\psi(x)|^2</math> é uma função de densidade de probabilidade para posição, calculamos seu desvio padrão.

A precisão da posição é melhorada, ou seja, ''σ''<sub>''x''</sub> reduzido, usando muitas ondas planas, enfraquecendo assim a precisão do momento, ou seja, ''σ''<sub>''p''</sub> aumentado. Outra maneira de afirmar isso é que ''σ''<sub>''x''</sub> e ''σ''<sub>''p''</sub> têm uma <!--[[:en:Negative relationship]]-->relação inversa ou são pelo menos limitados por baixo. Este é o princípio da incerteza, cujo limite exato é o limite de Kennard.

===Prova da desigualdade de Kennard usando mecânica ondulatória===
Estamos interessados nas [[variância]]s de posição e momento, definidas como:
<math display="block">\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot |\psi(x)|^2 \, dx - \left( \int_{-\infty}^\infty x \cdot |\psi(x)|^2 \, dx \right)^2</math>
<math display="block">\sigma_p^2 = \int_{-\infty}^\infty p^2 \cdot |\varphi(p)|^2 \, dp - \left( \int_{-\infty}^\infty p \cdot |\varphi(p)|^2 \, dp \right)^2~</math>

[[Sem perda de generalidade]], assumiremos que as [[Valor esperado|médias]] desaparecem, o que equivale apenas a uma mudança da origem de nossas coordenadas. (Uma prova mais geral que não faz essa suposição é dada abaixo.) Isso nos dá a forma mais simples:
<math display="block">\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot |\psi(x)|^2 \, dx</math>
<math display="block">\sigma_p^2 = \int_{-\infty}^\infty p^2 \cdot |\varphi(p)|^2 \, dp</math>

A função <math>f(x) = x \cdot \psi(x)</math> pode ser interpretada como um vetor em um [[Espaço funcional|espaço de funções]]. Podemos definir um <!--[[:en:Inner product space]]-->produto interno para um par de funções''u''(''x'') e ''v''(''x'') neste [[espaço vetorial]]:
<math display="block">\langle u \mid v \rangle = \int_{-\infty}^\infty u^*(x) \cdot v(x) \, dx</math>
onde o asterisco denota o [[conjugado complexo]].

Com este produto interno definido, notamos que a variância para a posição pode ser escrita como:
<math display="block">\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx = \langle f \mid f \rangle ~</math>

Podemos repetir isso para momento interpretando a função <math>\tilde{g}(p)=p \cdot \varphi(p)</math> como um vetor, mas também podemos tirar vantagem do fato de que <math>\psi(x)</math> e <math>\varphi(p)</math> são transformadas de Fourier uma da outra. Avaliamos a transformada de Fourier inversa por meio da [[integração por partes]]:
<math display="block">\begin{align}
g(x) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \cdot \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(p) \cdot e^{ipx/\hbar} \, dp \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^\infty p \cdot \varphi(p) \cdot e^{ipx/\hbar} \, dp \\
&= \frac{1}{2 \pi \hbar} \int_{-\infty}^\infty \left[ p \cdot \int_{-\infty}^\infty \psi(\chi) e^{-ip\chi/\hbar} \, d\chi \right] \cdot e^{ipx/\hbar} \, dp \\
&= \frac{i}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \left[ \cancel{ \left. \psi(\chi) e^{-ip\chi/\hbar} \right|_{-\infty}^\infty } - \int_{-\infty}^\infty \frac{d\psi(\chi)}{d\chi} e^{-ip\chi/\hbar} \, d\chi \right] \cdot e^{ipx/\hbar} \, dp \\
&= -i \int_{-\infty}^\infty \frac{d\psi(\chi)}{d\chi} \left[ \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \, e^{ip(x - \chi)/\hbar} \, dp \right]\, d\chi\\
&= -i \int_{-\infty}^\infty \frac{d\psi(\chi)}{d\chi} \left[ \delta\left(\frac{x - \chi }{\hbar}\right) \right]\, d\chi\\
&= -i \hbar \int_{-\infty}^\infty \frac{d\psi(\chi)}{d\chi} \left[ \delta\left(x - \chi \right) \right]\, d\chi\\
&= -i \hbar \frac{d\psi(x)}{dx} \\
&= \left( -i \hbar \frac{d}{dx} \right) \cdot \psi(x)
\end{align}</math>
onde <math>v=\frac{\hbar}{-ip}e^{-ip\chi/\hbar}</math> na integração por partes, o termo cancelado desaparece porque a função de onda desaparece em ambos os infinitos e <math>|e^{-ip\chi/\hbar}|=1</math>, e então usa a [[Delta de Dirac#História|função ''delta'' de Dirac]] que é válida porque <math>\dfrac{d\psi(\chi)}{d\chi}</math> não depende de ''p''. 

O termo <math display="inline">-i \hbar \frac{d}{dx}</math> é chamado de <!--[[:en:Momentum operator]]-->operador de momento no espaço de posição. Aplicando o [[teorema de Plancherel]] e então o [[teorema de Parseval]], vemos que a variância para momento pode ser escrita como:
<math display="block">\sigma_p^2 = \int_{-\infty}^\infty |\tilde{g}(p)|^2 \, dp = \int_{-\infty}^\infty |g(x)|^2 \, dx = \langle g \mid g \rangle</math>

A [[desigualdade de Cauchy-Schwarz]] afirma que:
<math display="block">\sigma_x^2 \sigma_p^2 = \langle f \mid f \rangle \cdot \langle g \mid g \rangle \ge |\langle f \mid g \rangle|^2 ~.</math>

O <!--[[:en:Square (algebra)#Absolute square]]-->módulo ao quadrado de qualquer número complexo ''z'' pode ser expresso como:
<math display="block">|z|^{2} = \Big(\text{Re}(z)\Big)^{2}+\Big(\text{Im}(z)\Big)^{2} \geq \Big(\text{Im}(z)\Big)^{2} = \left(\frac{z-z^{\ast}}{2i}\right)^{2} </math>
deixamos <math>z=\langle f|g\rangle</math> e <math>z^{*}=\langle g\mid f\rangle</math> e substituímos estes na equação acima para obter:
<math display="block">|\langle f\mid g\rangle|^2 \geq \left(\frac{\langle f\mid g\rangle-\langle g \mid f \rangle}{2i}\right)^2 ~</math>
Só resta avaliar esses produtos internos.
<math display="block">\begin{align}
\langle f\mid g\rangle-\langle g\mid f\rangle  &= \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x) \, x \cdot \left(-i \hbar \frac{d}{dx}\right) \, \psi(x) \, dx - \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x) \, \left(-i \hbar \frac{d}{dx}\right) \cdot x \, \psi(x) \, dx \\
&= i \hbar \cdot \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x) \left[ \left(-x \cdot \frac{d\psi(x)}{dx}\right) + \frac{d(x \psi(x))}{dx} \right] \, dx \\
&= i \hbar \cdot \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x) \left[ \left(-x \cdot \frac{d\psi(x)}{dx}\right) + \psi(x) + \left(x \cdot \frac{d\psi(x)}{dx}\right)\right] \, dx \\
&= i \hbar \cdot \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x) \psi(x) \, dx \\
&= i \hbar \cdot \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 \, dx \\
&= i \hbar
\end{align}</math>
Conectando isso às desigualdades acima, obtemos:
<math display="block">\sigma_x^2 \sigma_p^2 \ge |\langle f \mid g \rangle|^2 \ge \left(\frac{\langle f\mid g\rangle-\langle g\mid f\rangle}{2i}\right)^2 = \left(\frac{i \hbar}{2 i}\right)^2 = \frac{\hbar^2}{4}</math>
e calculando a raiz quadrada:
<math display="block">\sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{2}~</math>
com igualdade se e somente se ''p'' e ''x'' são linearmente dependentes. Note que a única ''física'' envolvida nesta prova foi que <math>\psi(x)</math> e <math>\varphi(p)</math> são funções de onda para posição e momento, que são transformadas de Fourier uma da outra. Um resultado similar seria válido para ''qualquer'' par de variáveis conjugadas.
}}

===Interpretação da mecânica matricial===
{{Artigo principal|Mecânica matricial}}
Na mecânica matricial, observáveis como posição e momento são representados por operadores autoadjuntos.<ref name="L&L"/> Ao considerar pares de observáveis, uma quantidade importante é o [[Comutador (matemática)|''comutador'']]. Para um par de operadores {{Mvar|Â}} e <math>\hat{B}</math>, define-se seu comutador como:
<math display="block">[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}</math>
No caso de posição e momento, o comutador é a <!--[[:en:Canonical commutation relation]]-->relação de comutação canônica:
<math display="block">[\hat{x},\hat{p}]=i \hbar</math>
O significado físico da não comutatividade pode ser compreendido considerando o efeito do comutador nos <!--[[:en:Quantum state#Pure state]]-->autoestados de posição e momento. Seja <math>|\psi\rangle</math> um autoestado reto de posição com um autovalor constante {{Math|''x''<sub>0</sub>}}. Por definição, isso significa que <math>\hat{x}|\psi\rangle = x_0 |\psi\rangle</math>. Aplicando o comutador <math>|\psi\rangle</math> produz:
<math display="block">[\hat{x},\hat{p}] | \psi \rangle = (\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}) | \psi \rangle = (\hat{x} - x_0 \hat{I}) \hat{p} \, | \psi \rangle = i \hbar | \psi \rangle</math>
onde {{mvar|Î}} é o [[Matriz identidade|operador identidade]].

Suponha, para fins de [[prova por contradição]], que <math>|\psi\rangle</math> também é um autoestado reto de momento, com autovalor constante {{Mvar|''p''<sub>0</sub>}}. Se isso fosse verdade, então poderíamos escrever:
<math display="block">(\hat{x} - x_0 \hat{I}) \hat{p} \, | \psi \rangle = (\hat{x} - x_0 \hat{I}) p_0 \, | \psi \rangle = (x_0 \hat{I} - x_0 \hat{I}) p_0 \, | \psi \rangle=0</math>
Por outro lado, a relação de comutação canônica acima requer que:
<math display="block">[\hat{x},\hat{p}] | \psi \rangle=i \hbar | \psi \rangle \ne 0</math>
Isso implica que nenhum estado quântico pode ser simultaneamente um autoestado de posição e momento.

Quando um estado é medido, ele é projetado em um autoestado na base do observável relevante. Por exemplo, se a posição de uma partícula é medida, então o estado equivale a um autoestado de posição. Isso significa que o estado não é um autoestado de momento, no entanto, mas pode ser representado como uma soma de vários autoestados de base de momento. Em outras palavras, o momento deve ser menos preciso. Essa precisão pode ser quantificada pelos desvios-padrão:
<math display="block">\sigma_x=\sqrt{\langle \hat{x}^2 \rangle-\langle \hat{x}\rangle^2}</math>
<math display="block">\sigma_p=\sqrt{\langle \hat{p}^2 \rangle-\langle \hat{p}\rangle^2}</math>
Assim como na interpretação da mecânica ondulatória acima, observa-se uma compensação entre as respectivas precisões dos dois, quantificadas pelo princípio da incerteza.

===Estados estacionários do oscilador harmônico quântico===
{{Artigo principal|Oscilador harmônico quântico<!--|[[:en:Stationary state]]-->}}
Considere um oscilador harmônico quântico unidimensional. É possível expressar os operadores de posição e momento em termos dos <!--[[:en:Creation and annihilation operators]]-->operadores de criação e aniquilação:
<math display="block">\hat x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^\dagger)</math>
<math display="block">\hat p = i\sqrt{\frac{m \omega\hbar}{2}}(a^\dagger-a)</math>
Usando as regras padrão para operadores de criação e aniquilação nos autoestados de energia:
<math display="block">a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle</math>
<math display="block">a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle </math>
as variâncias podem ser calculadas diretamente:
<math display="block">\sigma_x^2 = \frac{\hbar}{m\omega} \left( n+\frac{1}{2}\right)</math>
<math display="block">\sigma_p^2 = \hbar m\omega \left( n+\frac{1}{2}\right)</math>
O produto desses desvios padrão é então:
<math display="block">\sigma_x \sigma_p = \hbar \left(n+\frac{1}{2}\right) \ge \frac{\hbar}{2}</math>
Em particular, o limite de Kennard acima<ref name="Kennard" /> é saturado para o [[estado fundamental]] {{Math|''n''{{=}}0}}, para o qual a densidade de probabilidade é apenas a [[distribuição normal]].

===Osciladores harmônicos quânticos com condição inicial gaussiana===
{{Multiple image |align=right |direction=vertical |footer=Densidades de probabilidade de posição (azul) e momento (vermelha) para uma distribuição gaussiana inicial. De cima para baixo, as animações mostram os casos {{Nowrap|1=Ω = ''ω''}}, {{Nowrap|1=Ω = 2''ω''}} e {{Nowrap|1=Ω = ''ω''/2}}. Observe a compensação entre as larguras das distribuições. |width1=360 |image1=Position_and_momentum_of_a_Gaussian_initial_state_for_a_QHO,_balanced.gif |width2=360 |image2=Position_and_momentum_of_a_Gaussian_initial_state_for_a_QHO,_narrow.gif |width3=360 |image3=Position_and_momentum_of_a_Gaussian_initial_state_for_a_QHO,_wide.gif }}
Em um oscilador harmônico quântico de frequência angular característica ''ω'', coloque um estado que é deslocado da base do potencial por algum deslocamento ''x''<sub>0</sub> como:
<math display="block">\psi(x)=\left(\frac{m \Omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{m \Omega (x-x_0)^2}{2\hbar}\right)}</math>
onde Ω descreve a largura do estado inicial, mas não precisa ser o mesmo que ''ω''. Por meio da integração sobre o <!--[[:en:Propagator#Basic examples: propagator of free particle and harmonic oscillator]]-->[[propagador]], podemos resolver a solução dependente do tempo total. Após muitos cancelamentos, as densidades de probabilidade reduzem para:
<math display="block">|\Psi(x,t)|^2 \sim \mathcal{N}\left( x_0 \cos{(\omega t)} , \frac{\hbar}{2 m \Omega} \left( \cos^2(\omega t) + \frac{\Omega^2}{\omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)\right)</math>
<math display="block">|\Phi(p,t)|^2 \sim \mathcal{N}\left( -m x_0 \omega \sin(\omega t), \frac{\hbar m \Omega}{2} \left( \cos^2{(\omega t)} + \frac{\omega^2}{\Omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)\right)</math>
onde usamos a notação <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> para denotar uma distribuição normal de média ''μ'' e variância ''σ''<sup>2</sup>. Copiando as variâncias acima e aplicando [[Identidade trigonométrica|identidades trigonométricas]], podemos escrever o produto dos desvios padrões como:
<math display="block">\begin{align}
\sigma_x \sigma_p&=\frac{\hbar}{2}\sqrt{\left( \cos^2{(\omega t)} + \frac{\Omega^2}{\omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)\left( \cos^2{(\omega t)} + \frac{\omega^2}{\Omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)} \\
&= \frac{\hbar}{4}\sqrt{3+\frac{1}{2}\left(\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2}\right)-\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2}\right)-1\right) \cos{(4 \omega t)}}
\end{align}</math>
A partir das relações
<math display="block">\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2} \ge 2, \quad |\cos(4 \omega t)| \le 1</math> podemos concluir o seguinte (a igualdade mais à direita é válida somente quando {{Nowrap|1=Ω = ''ω''}}):
<math display="block">\sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{4}\sqrt{3+\frac{1}{2} \left(\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2}\right)-\left(\frac{1}{2} \left(\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2}\right)-1\right)} = \frac{\hbar}{2} </math>

===Estados coerentes===
<!--{{Artigo principal|:en:Coherent state}}-->
Um estado coerente é um autoestado correto do <!--[[:en:Creation and annihilation operators]]-->operador de aniquilação,
<math display="block">\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle</math>
que pode ser representado em termos de [[Estado de Fock|estados de Fock]] como:
<math display="block">|\alpha\rangle =e^{-{|\alpha|^2\over2}} \sum_{n=0}^\infty {\alpha^n \over \sqrt{n!}}|n\rangle</math>
Na imagem em que o estado coerente é uma partícula massiva em um oscilador harmônico quântico, os operadores de momento e posição podem ser expressos em termos dos operadores de aniquilação nas mesmas fórmulas acima e usados para calcular as variâncias:
<math display="block">\sigma_x^2 = \frac{\hbar}{2 m \omega}</math>
<math display="block">\sigma_p^2 = \frac{\hbar m \omega}{2}</math>
Portanto, todo estado coerente satura o limite de Kennard:
<math display="block">\sigma_x \sigma_p = \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} = \frac{\hbar}{2} </math>
Com posição e momento contribuindo cada um com uma quantidade <math display="inline">\sqrt{\hbar/2}</math> de uma forma "balanceada". Além disso, cada <!--[[:en:Squeezed coherent state]]-->estado coerente comprimido também satura o limite de Kennard, embora as contribuições individuais de posição e momento não precisem ser balanceadas em geral.

===Partícula em uma caixa===
{{Artigo principal|Partícula em uma caixa}}
Considere uma partícula em uma caixa unidimensional de comprimento <math>L</math>. As autofunções no espaço de momento e posição são:
<math display="block">\psi_n(x,t) =\begin{cases}
A \sin(k_n x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n t}, & 0 < x < L,\\
0, & \text{caso contrário,}
\end{cases}</math>
e
<math display="block">\varphi_n(p,t)=\sqrt{\frac{\pi L}{\hbar}}\,\,\frac{n\left(1-(-1)^ne^{-ikL} \right) e^{-i \omega_n t}}{\pi ^2 n^2-k^2 L^2}</math>
onde <math display="inline">\omega_n=\frac{\pi^2 \hbar n^2}{8 L^2 m}</math> e usamos a [[Onda de matéria#As relações de De Broglie|relação de de Broglie]] <math>p=\hbar k</math>. As variâncias de <math>x</math> e <math>p</math> podem ser calculadas explicitamente:
<math display="block">\sigma_x^2=\frac{L^2}{12}\left(1-\frac{6}{n^2\pi^2}\right)</math>
<math display="block">\sigma_p^2=\left(\frac{\hbar n\pi}{L}\right)^2 </math>
O produto dos desvios-padrão é, portanto:
<math display="block">\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}</math>
Para todo <math>n=1, \, 2, \, 3,\, \ldots</math>, a quantidade <math display="inline">\sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}</math> é maior que 1, então o princípio da incerteza nunca é violado. Para concretude numérica, o menor valor ocorre quando <math>n = 1</math>, caso em que:
<math display="block">\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{\pi^2}{3}-2} \approx 0,568 \hbar > \frac{\hbar}{2}</math>

===Momento constante===
<!--{{Artigo principal|:en:Wave packet}}-->
[[Imagem:Guassian Dispersion.gif|360 px|thumb|right|Densidade de probabilidade de espaço de posição de um estado inicialmente gaussiano movendo-se em minimamente incerto, momento constante no espaço livre]]
Suponha que uma partícula inicialmente tenha uma função de onda de <!--[[:en:Position and momentum spaces]]-->espaço de momento descrita por uma distribuição normal em torno de algum momento constante ''p''<sub>0</sub> de acordo com:
<math display="block">\varphi(p) = \left(\frac{x_0}{\hbar \sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \exp\left(\frac{-x_0^2 (p-p_0)^2}{2\hbar^2}\right)</math>
Onde introduzimos uma escala de referência <math display="inline">x_0=\sqrt{\hbar/m\omega_0}</math>, com <math>\omega_0>0</math> descrevendo a largura da distribuição<!--—cf. [[:en:Nondimensionalization|adimensionalização]]-->. Se o estado puder evoluir no espaço livre, então as funções de onda de espaço de  posição e de momento dependentes de tempo são:
<math display="block">\Phi(p,t) = \left(\frac{x_0}{\hbar \sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \exp\left(\frac{-x_0^2 (p-p_0)^2}{2\hbar^2}-\frac{ip^2 t}{2m\hbar}\right)</math>
<math display="block">\Psi(x,t) = \left(\frac{1}{x_0 \sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \frac{e^{-x_0^2 p_0^2 /2\hbar^2}}{\sqrt{1+i\omega_0 t}} \, \exp\left(-\frac{(x-ix_0^2 p_0/\hbar)^2}{2x_0^2 (1+i\omega_0 t)}\right)</math>
Como <math> \langle p(t) \rangle = p_0</math> e <math>\sigma_p(t) = \hbar /(\sqrt{2}x_0)</math>, isso pode ser interpretado como uma partícula se movendo com momento constante em precisão arbitrariamente alta. Por outro lado, o desvio padrão de posição é:
<math display="block">\sigma_x = \frac{x_0}{\sqrt{2}} \sqrt{1+\omega_0^2 t^2}</math>
Tal que o produto da incerteza só pode aumentar com o tempo conforme:
<math display="block">\sigma_x(t) \sigma_p(t) = \frac{\hbar}{2} \sqrt{1+\omega_0^2 t^2}</math>

==Formalismo matemático==
Começando com a derivação de Kennard da incerteza do par posição-momento, [[Howard Percy Robertson]] desenvolveu<ref name="Robertson1929">{{Citation |último=Robertson|primeiro=H. P. |título=''The Uncertainty Principle'' |periódico=Phys. Rev. |ano=1929 |volume=34 |número=1 |páginas=163–164 |bibcode=1929PhRv...34..163R |doi=10.1103/PhysRev.34.163 }}</ref><ref name=Sen2014/> uma formulação para [[Operador autoadjunto|operadores hermitianos]] arbitrários <math>\hat{\mathcal{O}}</math> expressos em termos de seus desvios padrão <math display="block">\sigma_{\mathcal{O}} = \sqrt{\langle \hat{\mathcal{O}}^2 \rangle-\langle \hat{\mathcal{O}}\rangle^2}</math> onde os colchetes <math>\langle\hat{\mathcal{O}}\rangle</math> indicam um <!--[[:en:Expectation value (quantum mechanics)]]-->valor esperado do observável representado pelo operador <math>\hat{\mathcal{O}}</math>. Para um par de operadores <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math>, defina o comutador deles como <math display="block">[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}</math>
e a relação de incerteza de Robertson é dada por<ref>{{Citation |last=Hall |first=B. C. |title=Quantum Theory for Mathematicians |publisher=Springer |year=2013 |pages=242-243 |bibcode=2013qtm..book.....H |language=en}}</ref> <math display="block">\sigma_A \sigma_B \geq \left| \frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right| = \frac{1}{2}\left|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right|</math>
[[Erwin Schrödinger]]<ref>Schrödinger, E., ''Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip'', ''Berliner Berichte'', 1930, pp. 296–303.</ref> mostrou como permitir a correlação entre os operadores, dando uma desigualdade mais forte, conhecida como '''relação de incerteza de Robertson e Schrödinger''',<ref name="Schrodinger1930">{{Citation |último=Schrödinger |primeiro=E. |título=''Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip'' |periódico=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse |volume=14 |páginas=296–303 |ano=1930 }}</ref><ref name=Sen2014/>

{{Equation box 1 |indent=:
|equation=<math>\sigma_A^2\sigma_B^2 \geq \left| \frac{1}{2}\langle\{\hat{A}, \hat{B}\}\rangle - \langle \hat{A} \rangle\langle \hat{B}\rangle \right|^2+ \left|\frac{1}{2i} \langle[ \hat{A}, \hat{B}] \rangle\right|^2</math> |cellpadding=6 |border |border colour=#0073CF |background colour=#F5FFFA}}
onde o anticomutador <math>\{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}</math> é usado.

{{Math proof |title=Prova da relação de incerteza de [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]] |proof=A derivação mostrada aqui incorpora e se baseia naquelas mostradas em Robertson,<ref name="Robertson1929" /> Schrödinger<ref name="Schrodinger1930" /> e livros didáticos padrão como Griffiths.<ref name="GriffithsSchroeter2018">{{citar livro|último1=Griffiths |primeiro1=David J. |url=https://www.cambridge.org/highereducation/product/9781316995433/book |título=Introduction to Quantum Mechanics |último2=Schroeter |primeiro2=Darrell F. |ano=2018 |publicado=''Cambridge University Press'' |isbn=978-1-316-99543-3 |edição=3rd |doi=10.1017/9781316995433 |bibcode=2018iqm..book.....G |acessodata=2024-01-27 |arquivodata=2024-02-23 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20240223160131/https://www.cambridge.org/highereducation/books/introduction-to-quantum-mechanics/990799CA07A83FC5312402AF6860311E#overview |urlmorta= não}}</ref>{{Rp|138}} Para qualquer operador hermitiano <math>\hat{A}</math>, com base na definição de [[variância]], temos:
<math display="block"> \sigma_A^2 = \langle(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\Psi|(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\Psi\rangle </math> Deixamos <math>|f\rangle=|(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\Psi\rangle </math> e assim:
<math display="block"> \sigma_A^2 = \langle f\mid f\rangle\ </math>

Da mesma forma, para qualquer outro operador hermitiano <math> \hat{B} </math> no mesmo estado
<math display="block"> \sigma_B^2 = \langle(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\Psi|(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\Psi\rangle = \langle g\mid g\rangle </math> para <math> |g\rangle=|(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\Psi \rangle</math>.

O produto dos dois desvios pode então ser expresso como:
{{NumBlk|:|<math> \sigma_A^2\sigma_B^2 = \langle f\mid f\rangle\langle g\mid g\rangle </math>|{{EquationRef|1}}}}

Para relacionar os dois vetores <math>|f\rangle</math> e <math>|g\rangle</math>, usamos a [[desigualdade de Cauchy-Schwarz]]<ref name="Riley2006">{{Citation |último=Riley |primeiro=K. F. |autor2=M. P. Hobson and S. J. Bence |título=Mathematical Methods for Physics and Engineering |publicado=Cambridge |ano=2006 |página=246 }}{{ISBN?}}</ref> que é definida como
<math display="block">\langle f\mid f\rangle\langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle|^2 </math> e assim a equação ({{EquationNote|1}}) pode ser escrita como:
{{NumBlk|:|<math>\sigma_A^2\sigma_B^2 \geq |\langle f\mid g\rangle|^2</math>|{{EquationRef|2}}}}

Como <math> \langle f\mid g\rangle</math> é em geral um número complexo, usamos o fato de que o módulo ao quadrado de qualquer número complexo <math>z</math> é definido como <math>|z|^2=zz^{*}</math>, onde <math>z^{*}</math> é o conjugado complexo de <math>z</math>. O módulo ao quadrado também pode ser expresso como:
{{NumBlk|:|<math> |z|^2 = \Big(\operatorname{Re}(z)\Big)^2+\Big(\operatorname{Im}(z)\Big)^2 = \Big(\frac{z+z^\ast}{2}\Big)^2 +\Big(\frac{z-z^\ast}{2i}\Big)^2 </math>|{{EquationRef|3}}}}

Deixamos <math>z=\langle f\mid g\rangle</math> e <math>z^{*}=\langle g \mid f \rangle </math> e substituímos estes na equação acima para obter:
{{NumBlk|:|<math>|\langle f\mid g\rangle|^2 = \bigg(\frac{\langle f\mid g\rangle+\langle g\mid f\rangle}{2}\bigg)^2 + \bigg(\frac{\langle f\mid g\rangle-\langle g\mid f\rangle}{2i}\bigg)^2 </math>|{{EquationRef|4}}}}

O produto interno <math>\langle f\mid g\rangle </math> é escrito explicitamente como
<math display="block">\langle f\mid g\rangle = \langle(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\Psi|(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\Psi\rangle</math> e, usando o fato de que <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> são operadores hermitianos, encontramos:
<math display="block">
\begin{align}
\langle f\mid g\rangle & = \langle\Psi|(\hat{A}-\langle \hat{A}\rangle)(\hat{B}-\langle \hat{B}\rangle)\Psi\rangle \\[4pt]
& = \langle\Psi\mid(\hat{A}\hat{B}-\hat{A}\langle \hat{B}\rangle - \hat{B}\langle \hat{A}\rangle + \langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle)\Psi\rangle \\[4pt]
& = \langle\Psi\mid\hat{A}\hat{B}\Psi\rangle-\langle\Psi\mid\hat{A}\langle \hat{B}\rangle\Psi\rangle
-\langle\Psi\mid\hat{B}\langle \hat{A}\rangle\Psi\rangle+\langle\Psi\mid\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle\Psi\rangle \\[4pt]
& =\langle \hat{A}\hat{B}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle+\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle \\[4pt]
& =\langle \hat{A}\hat{B}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle
\end{align}
</math>

Da mesma forma, pode ser demonstrado que: <math>\langle g\mid f\rangle = \langle \hat{B}\hat{A}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle</math>

Assim, temos:
<math display="block">
\langle f\mid g\rangle-\langle g\mid f\rangle = \langle \hat{A}\hat{B}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle-\langle \hat{B}\hat{A}\rangle+\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle = \langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle
</math>
e
<math display="block">\langle f\mid g\rangle+\langle g\mid f\rangle = \langle \hat{A}\hat{B}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle+\langle \hat{B}\hat{A}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle = \langle \{\hat{A},\hat{B}\}\rangle -2\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle </math>

Agora substituímos as duas equações acima de volta na equação ({{EquationNote|4}}) e obtemos:
<math display="block">|\langle f\mid g\rangle|^2=\Big(\frac{1}{2}\langle\{\hat{A},\hat{B}\}\rangle - \langle \hat{A} \rangle\langle \hat{B}\rangle\Big)^2 + \Big(\frac{1}{2i} \langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\Big)^{2}\ </math>

Substituindo a acima na equação ({{EquationNote|2}}) obtemos a relação de incerteza de Schrödinger:
<math display="block">\sigma_A\sigma_B \geq \sqrt{\Big(\frac{1}{2}\langle\{\hat{A},\hat{B}\}\rangle - \langle \hat{A} \rangle\langle \hat{B}\rangle\Big)^2 + \Big(\frac{1}{2i} \langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\Big)^2}</math>

Esta prova tem um problema<ref>{{Citation |último=Davidson |primeiro=E. R. |título=''On Derivations of the Uncertainty Principle'' |periódico=J. Chem. Phys. |volume=42 |ano=1965 |doi=10.1063/1.1696139 |bibcode=1965JChPh..42.1461D |número=4 |páginas=1461–1462 }}</ref> relacionado aos domínios dos operadores envolvidos. Para que a prova faça sentido, o vetor <math> \hat{B} |\Psi \rangle</math> tem que estar no domínio do [[Operador linear ilimitado|operador ilimitado]] <math> \hat{A}</math>, o que nem sempre é o caso. De fato, a relação de incerteza de Robertson é falsa se <math>\hat{A}</math> for uma variável angular e <math>\hat{B}</math> for a derivada em relação a esta variável. Neste exemplo, o comutador é uma constante diferente de zero — assim como na relação de incerteza de Heisenberg — e ainda assim há estados onde o produto das incertezas é zero.<ref name="Hall2013"/> (Veja a seção de contraexemplo abaixo.) Este problema pode ser superado usando um [[Cálculo variacional|método variacional]] para a prova,<ref name="Jackiw">{{Citation |último=Jackiw |primeiro=Roman |título=''Minimum Uncertainty Product, Number-Phase Uncertainty Product, and Coherent States'' |periódico=J. Math. Phys. |volume=9 |ano=1968 |doi=10.1063/1.1664585 |bibcode=1968JMP.....9..339J |número=3 |páginas=339–346 }}</ref><ref name="CarruthersNieto">{{Citation |primeiro1=P.  |último1=Carruthers |último2= Nieto |primeiro2=M. M.|título=''Phase and Angle Variables in Quantum Mechanics'' |periódico=Rev. Mod. Phys. |volume=40 |ano=1968 |doi=10.1103/RevModPhys.40.411 |bibcode=1968RvMP...40..411C |número=2 |páginas=411–440 }}</ref> ou trabalhando com uma versão exponenciada das relações de comutação canônicas.<ref name="Hall2013"/>

Note que na forma geral da relação de incerteza de Robertson e Schrödinger, não há necessidade de assumir que os operadores <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> são [[Operador autoadjunto|operadores autoadjuntos]]. É suficiente assumir que eles são meramente <!--[[:en:Self-adjoint_operator#Symmetric operators|]]-->operadores simétricos. (A distinção entre essas duas noções é geralmente ignorada na literatura de física, onde o termo Hermitiano é usado para uma ou ambas as classes de operadores. Veja o capítulo 9 do livro de Hall<ref>{{Citation |último=Hall |primeiro=B. C. |título=Quantum Theory for Mathematicians |publicado=''Springer'' |ano=2013 |bibcode=2013qtm..book.....H }}</ref> para uma discussão detalhada dessa distinção importante, mas técnica.)}}

===Espaço de fase===
Na <!--[[:en:Phase-space formulation]]-->formulação do espaço de fase da mecânica quântica, a relação de Robertson e Schrödinger decorre de uma condição de positividade em uma função estrela-quadrado real. Dada uma <!--[[:en:Wigner quasiprobability distribution]]-->função de Wigner <math>W(x,p)</math> com <!--[[:en:Moyal product]]-->produto estrela ★ e uma função ''f'', o seguinte é geralmente verdadeiro:<ref>{{citar periódico|último1=Curtright |primeiro1=T. |último2= Zachos |primeiro2= C. |título=''Negative Probability and Uncertainty Relations''|periódico=Modern Physics Letters A |volume=16 |número=37 |páginas=2381–2385 |doi=10.1142/S021773230100576X |ano=2001 |arxiv=hep-th/0105226 |bibcode=2001MPLA...16.2381C |s2cid=119669313 }}</ref>
<math display="block">\langle f^* \star f \rangle =\int (f^* \star f) \, W(x,p) \, dx \, dp \ge 0 ~</math>

Escolhendo <math>f = a + bx + cp</math>, chegamos a: <math display="block">\langle f^* \star f \rangle =\begin{bmatrix}a^* & b^* & c^* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & \langle x \rangle & \langle p \rangle \\ \langle x \rangle & \langle x \star x \rangle & \langle x \star p \rangle \\ \langle p \rangle & \langle p \star x \rangle & \langle p \star p \rangle \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix} \ge 0 ~</math>

Como essa condição de positividade é verdadeira para ''todos'' ''a'', ''b'' e ''c'', segue-se que todos os autovalores da matriz não são negativos.

Os autovalores que não são negativos implicam então uma condição de não negatividade correspondente no [[determinante]]:
<math display="block">\det\begin{bmatrix}1 & \langle x \rangle & \langle p \rangle \\ \langle x \rangle & \langle x \star x \rangle & \langle x \star p \rangle \\ \langle p \rangle & \langle p \star x \rangle & \langle p \star p \rangle \end{bmatrix}
= \det\begin{bmatrix}1 & \langle x \rangle & \langle p \rangle \\ \langle x \rangle & \langle x^2 \rangle & \left\langle xp + \frac{i\hbar}{2} \right\rangle \\ \langle p \rangle & \left\langle xp - \frac{i\hbar}{2} \right\rangle & \langle p^2 \rangle \end{bmatrix}
\ge 0~</math>
ou, explicitamente, após manipulação algébrica:
<math display="block">\sigma_x^2 \sigma_p^2 = \left( \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2 \right)\left( \langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2 \right)\ge \left( \langle xp \rangle - \langle x \rangle \langle p \rangle \right)^2 + \frac{\hbar^2}{4} ~</math>

===Exemplos===
Como as relações de Robertson e Schrödinger são para operadores gerais, as relações podem ser aplicadas a quaisquer dois observáveis para obter relações de incerteza específicas. Algumas das relações mais comuns encontradas na literatura são fornecidas abaixo.
*'''Relação de incerteza posição-momento linear''': para os operadores de posição e momento linear, a relação de comutação canônica <math>[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar</math> implica a desigualdade de Kennard acima: <math display="block">\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}</math>
*'''Relação de incerteza do momento angular''': para dois componentes ortogonais do operador de [[Momento angular|momento angular total]] de um objeto: <math display="block">\sigma_{J_i} \sigma_{J_j} \geq \frac{\hbar}{2} \big|\langle J_k\rangle\big|</math> onde ''i'', ''j'', ''k'' são distintos, e ''J''<sub>''i''</sub> denota momento angular ao longo do eixo ''x''<sub>''i''</sub>. Essa relação implica que, a menos que todos os três componentes desapareçam juntos, apenas um único componente do momento angular de um sistema pode ser definido com precisão arbitrária, normalmente o componente paralelo a um campo externo (magnético ou elétrico). Além disso, para <math>[J_x, J_y] = i \hbar \varepsilon_{xyz} J_z</math>, uma escolha <math>\hat{A} = J_x</math>, <math>\hat{B} = J_y</math>, em multipletos de momento angular, ''ψ'' = |''j'', ''m''⟩, limita a <!--[[:en:Casimir element]]-->invariante de Casimir (momento angular ao quadrado, <math>\langle J_x^2+ J_y^2 + J_z^2 \rangle</math>) a partir de baixo e, portanto, produz restrições úteis, como {{Nowrap|''j''(''j'' + 1) ≥ ''m''(''m'' + 1)}} e, portanto, ''j'' ≥ ''m'', entre outros.
*Para o número de elétrons em um [[Supercondutividade|supercondutor]] e a <!--[[:en:Phase factor]]-->fase de seu <!--[[:en:Ginzburg–Landau theory]]-->parâmetro de ordem de Ginzburg-Landau<ref>{{Citation |último=Likharev |primeiro=K. K. |autor2=A. B. Zorin |título=''Theory of Bloch-Wave Oscillations in Small Josephson Junctions'' |periódico=J. Low Temp. Phys. |volume=59 |número=3/4 |páginas=347–382 |ano=1985 |doi=10.1007/BF00683782 |bibcode=1985JLTP...59..347L |s2cid=120813342 }}</ref><ref>{{Citation |primeiro=P. W. |último=Anderson |editor-sobrenome=Caianiello |editor-nome=E. R. |contribuição=''Special Effects in Superconductivity'' |título=Lectures on the Many-Body Problem, Vol. 2 |ano=1964 |local=''New York'' |publicado=''Academic Press''}}</ref> <math display="block"> \Delta N \, \Delta \varphi \geq 1 </math>

===Limitações===
A derivação da desigualdade de Robertson para os operadores <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> requer que <math>\hat{A}\hat{B}\psi</math> e <math>\hat{B}\hat{A}\psi</math> sejam definidos. Existem sistemas quânticos onde essas condições não são válidas.<ref>{{citar periódico|último=Davidson |primeiro=Ernest R. |data=1965-02-15 |título=''On Derivations of the Uncertainty Principle'' |url=https://pubs.aip.org/jcp/article/42/4/1461/208937/On-Derivations-of-the-Uncertainty-Principle |periódico=The Journal of Chemical Physics |língua=en |volume=42 |número=4 |páginas=1461–1462 |doi=10.1063/1.1696139 |bibcode=1965JChPh..42.1461D |issn=0021-9606 |acessodata=2024-01-20 |arquivodata=2024-02-23 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20240223160247/https://pubs.aip.org/aip/jcp/article-abstract/42/4/1461/208937/On-Derivations-of-the-Uncertainty-Principle?redirectedFrom=fulltext |urlmorta= não}}</ref> Um exemplo é uma [[Partícula em um anel|partícula quântica em um anel]], onde a função de onda depende de uma variável angular <math>\theta</math> no intervalo <math>[0,2\pi]</math>. Defina os operadores de "posição" e "momento" <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> por: <math display="block">\hat{A}\psi(\theta)=\theta\psi(\theta),\quad \theta\in [0,2\pi]</math> e <math display="block">\hat{B}\psi=-i\hbar\frac{d\psi}{d\theta}</math> com condições de limite periódicas em <math>\hat{B}</math>. A definição de <math>\hat{A}</math> depende do intervalo <math>\theta</math> de 0 a <math>2\pi</math>. Esses operadores satisfazem as relações de comutação usuais para operadores de posição e momento, <math>[\hat{A},\hat{B}]=i\hbar</math>. Mais precisamente, <math>\hat{A}\hat{B}\psi-\hat{B}\hat{A}\psi=i\hbar\psi</math> sempre que <math>\hat{A}\hat{B}\psi</math> e <math>\hat{B}\hat{A}\psi</math> são definidos, e o espaço de tal <math>\psi</math> é um subespaço denso do espaço de Hilbert quântico.<ref>{{Citation |último=Hall |primeiro=B. C. |título=Quantum Theory for Mathematicians |publicado=''Springer'' |ano=2013 |página=245 |bibcode=2013qtm..book.....H }}</ref>

Agora seja <math>\psi</math> qualquer um dos autoestados de <math>\hat{B}</math>, que são dados por <math>\psi(\theta)=e^{2\pi in\theta}</math>. Esses estados são normalizáveis, diferentemente dos autoestados do operador de momento na reta. Além disso, o operador <math>\hat{A}</math> é limitado, já que <math>\theta</math> abrange um intervalo limitado. Assim, no estado <math>\psi</math>, a incerteza de <math>B</math> é zero e a incerteza de <math>A</math> é finita, de modo que: <math display="block">\sigma_A\sigma_B=0</math> O princípio da incerteza de Robertson não se aplica neste caso: <math>\psi</math> não está no domínio do operador <math>\hat{B}\hat{A}</math>, uma vez que a multiplicação por <math>\theta</math> interrompe as condições de limite periódicas impostas a <math>\hat{B}</math>.<ref name="Hall2013">{{Citation |último=Hall |primeiro=B. C. |título=Quantum Theory for Mathematicians |publicado=''Springer'' |ano=2013 |páginas=245 |bibcode=2013qtm..book.....H }}</ref>

Para os operadores usuais de posição e momento <math>\hat{X}</math> e <math>\hat{P}</math> na reta real, nenhum desses contraexemplos pode ocorrer. Enquanto <math>\sigma_x</math> e <math>\sigma_p</math> são definidos no estado <math>\psi</math>, o princípio da incerteza de Heisenberg é válido, mesmo que <math>\psi</math> não esteja no domínio de <math>\hat{X}\hat{P}</math> ou de <math>\hat{P}\hat{X}</math>.<ref>{{Citation |último=Hall |primeiro=B. C. |título=Quantum Theory for Mathematicians |publicado=''Springer'' |ano=2013 |páginas=246 |bibcode=2013qtm..book.....H }}</ref>

===Estados mistos===
A incerteza de Robertson e Schrödinger pode ser melhorada observando que ela deve ser válida para todos os componentes <math>\varrho_k</math> em qualquer decomposição da [[Matriz densidade|matriz de densidade]] dada como:
<math display="block">
\varrho=\sum_k p_k \varrho_k
</math>
Aqui, para as probabilidades <math>p_k\ge0</math> e <math>\sum_k p_k=1</math> vale. Então, usando a relação: <math display="block">
\sum_k a_k \sum_k b_k \ge \left(\sum_k \sqrt{a_k b_k}\right)^2
</math> para <math> a_k,b_k\ge 0</math>, segue-se que:<ref name="PhysRevResearch21">{{citar periódico|último1=Tóth |primeiro1=Géza |último2=Fröwis |primeiro2=Florian |título=''Uncertainty relations with the variance and the quantum Fisher information based on convex decompositions of density matrices'' |periódico=Physical Review Research |data=31-01-2022 |volume=4 |número=1 |páginas=013075 |doi=10.1103/PhysRevResearch.4.013075|arxiv=2109.06893 |bibcode=2022PhRvR...4a3075T |s2cid=237513549 }}</ref>
<math display="block">
\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq \left[\sum_k p_k L(\varrho_k)\right]^2
</math> onde a função no limite é definida:
<math display="block">
L(\varrho) = \sqrt{\left | \frac{1}{2}\operatorname{tr}(\rho\{A,B\}) - \operatorname{tr}(\rho A)\operatorname{tr}(\rho B)\right |^2 +\left | \frac{1}{2i} \operatorname{tr}(\rho[A,B])\right | ^2}
</math>

A relação acima frequentemente tem um limite maior do que o da relação de incerteza de Robertson e Schrödinger original. Assim, precisamos calcular o limite da incerteza de Robertson e Schrödinger para os componentes mistos do estado quântico em vez de para o estado quântico, e calcular uma média de suas raízes quadradas. A expressão a seguir é mais forte do que a relação de incerteza de Robertson e Schrödinger: <math display="block">
\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq \left[\max_{p_k,\varrho_k} \sum_k p_k L(\varrho_k)\right]^2
</math> onde no lado direito há um teto côncavo sobre as decomposições da matriz de densidade. A relação melhorada acima é saturada por todos os estados quânticos de ''qubit'' único.<ref name="PhysRevResearch21" />

Com argumentos semelhantes, pode-se derivar uma relação com um teto convexo no lado direito<ref name="PhysRevResearch21" />
<math display="block">
\sigma_A^2 F_Q[\varrho,B] \geq 4 \left[\min_{p_k,\Psi_k} \sum_k p_k L(\vert \Psi_k\rangle\langle \Psi_k\vert)\right]^2
</math> onde <math>F_Q[\varrho,B]</math> denota a <!--[[:en:Quantum Fisher information]]-->informação quântica de Fisher e a matriz de densidade é decomposta em estados puros como: <math display="block">
\varrho=\sum_k p_k \vert \Psi_k\rangle \langle \Psi_k\vert
 </math> A derivação aproveita o fato de que a <!--[[:en:Quantum Fisher information]]-->informação quântica de Fisher é o teto convexo da variância vezes quatro.<ref>{{citar periódico|último1=Tóth |primeiro1=Géza |último2=Petz |primeiro2=Dénes |título=''Extremal properties of the variance and the quantum Fisher information'' |periódico=Physical Review A |data=20-03-2013 |volume=87 |número=3 |páginas=032324 |doi=10.1103/PhysRevA.87.032324|bibcode=2013PhRvA..87c2324T |arxiv=1109.2831 |s2cid=55088553 }}</ref><ref>{{citar arXiv|último1=Yu |primeiro1=Sixia |título=''Quantum Fisher Information as the Convex Roof of Variance'' |data=2013 |eprint=1302.5311|class=quant-ph }}</ref>

Uma desigualdade mais simples segue sem um teto convexo:<ref>{{citar periódico|último1=Fröwis |primeiro1=Florian |último2=Schmied |primeiro2=Roman |último3=Gisin |primeiro3=Nicolas |título=''Tighter quantum uncertainty relations following from a general probabilistic bound'' |periódico=Physical Review A |data=02-07-2015 |volume=92 |número=1 |páginas=012102 |doi=10.1103/PhysRevA.92.012102|arxiv=1409.4440 |bibcode=2015PhRvA..92a2102F |s2cid=58912643 }}</ref>
<math display="block">
\sigma_A^2 F_Q[\varrho,B] \geq \vert \langle i[A,B]\rangle\vert^2
</math> que é mais forte do que a relação de incerteza de Heisenberg, uma vez que para a informação quântica de Fisher temos <math display="block">
F_Q[\varrho,B]\le 4 \sigma_B
</math> enquanto para estados puros a igualdade é válida.

===As relações de incerteza de Maccone e Pati===
A relação de incerteza de Robertson e Schrödinger pode ser trivial se o estado do sistema for escolhido para ser autoestado de um dos observáveis. As relações de incerteza mais fortes provadas por Lorenzo Maccone e <!--[[:en:Arun K. Pati]]-->Arun K. Pati fornecem limites que não são triviais na soma das variâncias para dois observáveis incompatíveis.<ref>{{citar periódico|último1=Maccone |primeiro1=Lorenzo |último2=Pati |primeiro2=Arun K. |título=''Stronger Uncertainty Relations for All Incompatible Observables'' |periódico=Physical Review Letters |data=31-12-2014 |volume=113 |número=26 |página=260401 |doi=10.1103/PhysRevLett.113.260401 |pmid=25615288 |arxiv=1407.0338 |bibcode=2014PhRvL.113z0401M |s2cid=21334130 }}</ref> (Trabalhos anteriores sobre relações de incerteza formuladas como a soma das variâncias incluem, por exemplo, Ref.<ref>{{citar periódico|último1=Huang |primeiro1=Yichen |título=''Variance-based uncertainty relations'' |periódico=Physical Review A |data=10-08-2012 |volume=86 |número=2 |página=024101 |doi=10.1103/PhysRevA.86.024101 |arxiv=1012.3105 |bibcode=2012PhRvA..86b4101H |s2cid=118507388 }}</ref> devido a Yichen Huang.) Para dois observáveis que não são comutativos <math>A</math> e <math>B</math> a primeira relação de incerteza mais forte é dada por <math display="block"> \sigma_{A}^2 + \sigma_{ B}^2 \ge \pm i \langle \Psi\mid [A, B]|\Psi \rangle + \mid \langle \Psi\mid(A \pm i B)\mid{\bar \Psi} \rangle|^2, </math> onde <math> \sigma_{A}^2 = \langle \Psi |A^2 |\Psi \rangle - \langle \Psi \mid A \mid \Psi \rangle^2 </math>, <math> \sigma_{B}^2 = \langle \Psi |B^2 |\Psi \rangle - \langle \Psi \mid B \mid\Psi \rangle^2 </math>, <math>|{\bar \Psi} \rangle </math> é um vetor normalizado que é ortogonal ao estado do sistema <math>|\Psi \rangle </math> e deve-se escolher o sinal de <math>\pm i \langle \Psi\mid[A, B]\mid\Psi \rangle </math> para tornar esta quantidade real um número positivo.

A segunda relação de incerteza mais forte é dada por <math display="block"> \sigma_A^2 + \sigma_B^2 \ge \frac{1}{2}| \langle {\bar \Psi}_{A+B} \mid(A + B)\mid \Psi \rangle|^2 </math> onde <math>| {\bar \Psi}_{A+B} \rangle </math> é um estado ortogonal a <math> |\Psi \rangle </math>. A forma de<math>| {\bar \Psi}_{A+B} \rangle </math> implica que o lado direito da nova relação de incerteza é diferente de zero, a menos que <math>| \Psi\rangle </math> seja um autoestado de <math>(A + B)</math>. Pode-se notar que <math>|\Psi \rangle </math> pode ser um autoestado de <math>( A+ B)</math> sem ser um autoestado de <math> A</math> ou <math> B </math>. No entanto, quando <math> |\Psi \rangle </math> é um autoestado de um dos dois observáveis, a relação de incerteza de Heisenberg-Schrödinger se torna trivial. Mas o limite inferior na nova relação é diferente de zero, a menos que <math> |\Psi \rangle </math> seja um autoestado de ambos.

==Energia e tempo==
===Largura da linha do espectro de energia ''versus'' vida útil===
Uma relação de incerteza do par energia-tempo como <math display="block"> \Delta E \Delta t \gtrsim \hbar/2</math> tem uma longa e controversa história; os significados de <math>\Delta t</math> e <math>\Delta E</math> variam e diferentes formulações têm diferentes arenas de validade.<ref name="Busch2002">{{citar livro|último=Busch |primeiro=Paul |url=http://link.springer.com/10.1007/3-540-45846-8_3 |título=Time in Quantum Mechanics. Lecture Notes in Physics |data=2002 |publicado=''Springer Berlin Heidelberg'' |isbn=978-3-540-43294-4 |editor-sobrenome=Muga |editor-nome=J. G. |volume=72 |local=''Berlin, Heidelberg'' |páginas=69–98 |língua=en |capítulo=''The Time-Energy Uncertainty Relation'' |doi=10.1007/3-540-45846-8_3 |editor-last2=Mayato |editor-first2=R. Sala |editor-last3=Egusquiza |editor-first3=I. L.}}</ref> No entanto, uma aplicação bem conhecida é bem estabelecida<ref>{{citar livro|último=Wigner |primeiro=E. P. |capítulo=''On the Time–Energy Uncertainty Relation'' |data=1997 |editor-sobrenome=Wightman |editor-nome=Arthur S. |título=Part I: Particles and Fields. Part II: Foundations of Quantum Mechanics |capítulourl=http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-09203-3_58 |língua=en |local=''Berlin, Heidelberg'' |publicado=''Springer Berlin Heidelberg'' |páginas=538–548 |doi=10.1007/978-3-662-09203-3_58 |isbn=978-3-642-08179-8}}</ref><ref name=Hilgevoord/> e verificada experimentalmente:<ref>{{citar periódico|último1=Lynch |primeiro1=F. J. |último2=Holland |primeiro2=R. E. |último3=Hamermesh |primeiro3=M. |data=1960-10-15 |título=''Time Dependence of Resonantly Filtered Gamma Rays from Fe 57'' |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.120.513 |periódico=Physical Review |língua=en |volume=120 |número=2 |páginas=513–520 |doi=10.1103/PhysRev.120.513 |issn=0031-899X}}</ref><ref>{{citar livro|último=Frauenfelder |primeiro=H. |ano=1962 |título=The Mössbauer Effect |url=https://archive.org/details/mssbauereffec00frau |publicado=<!--[[:en:Benjamin Cummings]]-->''W. A. Benjamin'' |lccn=61018181 |página=66 }}</ref> a conexão entre o tempo de vida de um estado de ressonância <math>\tau_{\sqrt{1/2}}</math> e sua largura de energia <math>\Delta E</math>:
<math display=block>\tau_{\sqrt{1/2}} \Delta E = \pi\hbar/4</math>
Na física de partículas, larguras de ajustes experimentais para a <!--[[:en:Relativistic Breit–Wigner distribution]]-->distribuição de energia de Breit-Wigner são usadas para caracterizar o tempo de vida de estados quase estáveis ou em decaimento.<ref>{{citar periódico|último1=Bohm |primeiro1=Arno R. |último2=Sato |primeiro2=Yoshihiro |data=2005-04-28 |título=''Relativistic resonances: Their masses, widths, lifetimes, superposition, and causal evolution'' |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.71.085018 |periódico=Physical Review D |língua=en |volume=71 |número=8 |página=085018 |arxiv=hep-ph/0412106 |doi=10.1103/PhysRevD.71.085018 |bibcode=2005PhRvD..71h5018B |s2cid=119417992 |issn=1550-7998 }}</ref>

Um significado informal e heurístico do princípio é o seguinte:<ref>Karplus, Martin, and Porter, Richard Needham (1970). ''Atoms and Molecules''. ''California: Benjamin Cummings''. p. 68 {{ISBN|978-0805352184}}. {{oclc|984466711}}</ref> Um estado que existe apenas por um curto período de tempo não pode ter uma energia definida. Para ter uma energia definida, a frequência do estado deve ser definida com precisão, e isso requer que o estado permaneça por muitos ciclos, o recíproco da precisão necessária. Por exemplo, na [[espectroscopia]], estados excitados têm um tempo de vida finito. Pelo princípio da incerteza do par energia-tempo, eles não têm uma energia definida e, cada vez que decaem, a energia que liberam é ligeiramente diferente. A energia média do fóton de saída tem um pico na energia teórica do estado, mas a distribuição tem uma largura finita chamada <!--[[:en:Spectral line#Line broadening and shift]]-->''largura de linha natural''. Estados de decaimento rápido têm uma largura de linha ampla, enquanto estados de decaimento lento têm uma largura de linha estreita.<ref>A ampla largura de linha dos estados de decaimento rápido dificulta a medição precisa da energia do estado, e os pesquisadores até usaram cavidades de micro-ondas desafinadas para diminuir a taxa de decaimento e obter picos mais nítidos. {{citar periódico|último=Gabrielse |primeiro=Gerald |autor2=H. Dehmelt |título=''Observation of Inhibited Spontaneous Emission'' |periódico=Physical Review Letters |volume=55 |páginas=67–70 |ano=1985 |doi=10.1103/PhysRevLett.55.67 |pmid=10031682 |número=1 |bibcode=1985PhRvL..55...67G}}</ref> O mesmo efeito de largura de linha também torna difícil especificar a <!--[[:en:Invariant mass]]-->massa de repouso de partículas instáveis e de decaimento rápido na [[física de partículas]]. Quanto mais rápido a <!--[[:en:Particle decay]]-->partícula decai (menor seu tempo de vida), menos certa é sua massa (maior a <!--[[:en:Resonance (particle physics)]]-->largura da partícula).

===Tempo na mecânica quântica===
O conceito de "tempo" na mecânica quântica oferece muitos desafios.<ref name=HilgevoordConfusion/> Não existe uma teoria quântica de medição de tempo; a relatividade é fundamental para o tempo e difícil de incluir na mecânica quântica.<ref name="Busch2002"/> Enquanto a posição e o momento estão associados a uma única partícula, o tempo é uma propriedade do sistema: não tem operador necessário para a relação de Robertson e Schrödinger.<ref name=Sen2014/> O tratamento matemático de sistemas quânticos estáveis e instáveis difere.<ref>{{citar periódico|último=Bohm |primeiro=Arno |data=janeiro de 2011 |título=''Resonances/decaying states and the mathematics of quantum physics'' |url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0034487711600189 |periódico=Reports on Mathematical Physics |língua=en |volume=67 |número=3 |páginas=279–303 |doi=10.1016/S0034-4877(11)60018-9 |bibcode=2011RpMP...67..279B |acessodata=2024-01-24 |arquivodata=2023-12-04 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20231204062259/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0034487711600189 |urlmorta= não}}</ref> Esses fatores se combinam para tornar os princípios de incerteza do par energia-tempo controversos.

Três noções de "tempo" podem ser distinguidas:<ref name="Busch2002"/> externo, intrínseco e observável. O tempo externo ou de laboratório é visto pelo experimentador; o tempo intrínseco é inferido por mudanças em variáveis dinâmicas, como os ponteiros de um relógio ou o movimento de uma partícula livre; o tempo observável diz respeito ao tempo como um observável, a medição de eventos separados pelo tempo.

Um princípio de incerteza do par tempo-energia de tempo externo pode dizer que medir a energia de um sistema quântico com uma precisão <math>\Delta E</math> requer um intervalo de tempo <math>\Delta t > h/\Delta E</math>.<ref name=Hilgevoord>{{citar periódico|último=Hilgevoord |primeiro=Jan |data=1996-12-01 |título=''The uncertainty principle for energy and time'' |url=https://pubs.aip.org/ajp/article/64/12/1451/1054748/The-uncertainty-principle-for-energy-and-time |periódico=American Journal of Physics |língua=en |volume=64 |número=12 |páginas=1451–1456 |doi=10.1119/1.18410 |bibcode=1996AmJPh..64.1451H |issn=0002-9505 |acessodata=2023-11-12 |arquivodata=2024-02-23 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20240223155750/https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/64/12/1451/1054748/The-uncertainty-principle-for-energy-and-time?redirectedFrom=fulltext |urlmorta= não}}</ref> No entanto, [[Yakir Aharonov]] e [[David Bohm]]<ref>{{citar periódico|url=http://148.216.10.84/archivoshistoricosMQ/ModernaHist/Aharonov%20a.pdf |título=''Time in the Quantum Theory and the Uncertainty Relation for Time and Energy'' |periódico=Physical Review |volume=122 |número=5 |data=01-06-1961 |primeiro1=Y. |último1=Aharonov |primeiro2=D. |último2=Bohm |páginas=1649–1658 |doi=10.1103/PhysRev.122.1649 |bibcode=1961PhRv..122.1649A |acessodata=2012-01-21 |arquivodata=2014-01-09 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20140109081758/http://148.216.10.84/archivoshistoricosMQ/ModernaHist/Aharonov%20a.pdf |urlmorta= sim}}</ref><ref name="Busch2002"/> mostraram que, em alguns sistemas quânticos, a energia pode ser medida com precisão dentro de um tempo arbitrariamente curto: os princípios de incerteza de tempo externo não são universais.

O tempo intrínseco é a base para várias formulações de relações de incerteza do par energia-tempo, incluindo a relação de Mandelstam-Tamm discutida na próxima seção. Um sistema físico com um tempo intrínseco que corresponde intimamente ao tempo de laboratório externo é chamado de um "relógio".<ref name=HilgevoordConfusion>{{citar periódico|último=Hilgevoord |primeiro=Jan |data=março de 2005 |título=''Time in quantum mechanics: a story of confusion'' |url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S1355219804000760 |periódico=Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics |língua=en |volume=36 |número=1 |páginas=29–60 |doi=10.1016/j.shpsb.2004.10.002 |bibcode=2005SHPMP..36...29H |acessodata=2024-01-28 |arquivodata=2022-10-23 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221023233903/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S1355219804000760 |urlmorta= não}}</ref>{{Rp|31}}

O tempo observável, que mede o tempo entre dois eventos, continua sendo um desafio para as teorias quânticas; algum progresso foi feito usando conceitos de [[Medida com operador positivo valorizado|medida com valor de operador positivo]].<ref name="Busch2002"/>

===Mandelstam e Tamm===
Em 1945, [[Leonid Mandelstam]] e [[Igor Tamm]] derivaram uma relação de incerteza do par tempo-energia que não é relativística da seguinte forma:<ref>L. I. Mandelstam, I. E. Tamm, [http://daarb.narod.ru/mandtamm/index-eng.html ''The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190607131054/http://daarb.narod.ru/mandtamm/index-eng.html |date=2019-06-07 }}, 1945.</ref><ref name="Busch2002"/> Da mecânica de Heisenberg, o [[teorema de Ehrenfest]] generalizado para um observável ''B'' sem dependência temporal explícita, representado por um operador auto-adjunto <math>\hat B</math> relaciona a dependência temporal do valor médio de <math>\hat B</math> à média de seu comutador com o hamiltoniano:
<math display=block> \frac{d\langle \hat{B} \rangle}{dt} = \frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H},\hat{B}]\rangle</math>
O valor de <math>\langle [\hat{H},\hat{B}]\rangle</math> é então substituído na <!---->relação de incerteza de Robertson para o operador de energia <math>\hat H</math> e <math>\hat B</math>:
<math display=block> \sigma_H\sigma_B \geq \left|\frac{1}{2i} \langle[ \hat{H}, \hat{B}] \rangle\right|</math>
dando <math display="block"> \sigma_H \frac{\sigma_B}{\left| \frac{d\langle \hat B \rangle}{dt}\right |} \ge \frac{\hbar}{2}</math> (sempre que o denominador for diferente de zero). Embora este seja um resultado universal, ele depende do observável escolhido e que os desvios <math>\sigma_H</math> e <math>\sigma_B</math> sejam computados para um estado particular. Identificar <math>\Delta E \equiv \sigma_E </math> e o tempo característico <math display="block">\tau_B \equiv \frac{\sigma_B}{\left| \frac{d\langle \hat B \rangle}{dt}\right |}</math> fornece uma relação do par energia-tempo <math>\Delta E \tau_B \ge \frac{\hbar}{2}</math>. Embora <math>\tau_B</math> tenha a dimensão do tempo, ele é diferente do parâmetro de tempo ''t'' que entra na [[equação de Schrödinger]]. Este <math>\tau_B</math> pode ser interpretado como o tempo para o qual o valor esperado do observável, <math>\langle \hat B \rangle</math>, muda por uma quantidade igual a um desvio padrão.<ref>{{citar livro|último=Naber |primeiro=Gregory L. |url=https://books.google.com/books?id=kARGEAAAQBAJ |título=Quantum Mechanics: An Introduction to the Physical Background and Mathematical Structure |ano=2021 |publicado=''Walter de Gruyter GmbH & Co KG'' |isbn=978-3-11-075194-9 |páginas=230 |língua=en |acessodata=2024-01-20 |arquivodata=2024-02-23 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20240223155539/https://books.google.com/books?id=kARGEAAAQBAJ |urlmorta= não}}</ref> Exemplos:
* O tempo em que uma partícula quântica livre passa por um ponto no espaço é mais incerto, pois a energia do estado é controlada de forma mais precisa: <math>\Delta T = \hbar/2\Delta E</math>. Como a dispersão temporal está relacionada à dispersão da posição da partícula e a dispersão da energia está relacionada à dispersão do momento, essa relação está diretamente relacionada à incerteza do par posição-momento.<ref name="GriffithsSchroeter2018" />{{Rp|144}}
* Uma [[Bárion Delta|partícula Delta]], um composto quase-estável de ''quarks'' relacionados a prótons e nêutrons, tem uma vida útil de 10<sup>−23</sup>&nbsp;s, então sua [[Equivalência massa–energia|massa equivalente à energia]] medida, 1232&nbsp;MeV/''c''<sup>2</sup>, varia em ±120&nbsp;MeV/''c''<sup>2</sup>; essa variação é intrínseca e não é causada por erros de medição.<ref name="GriffithsSchroeter2018" />{{Rp|144}}
* Dois estados de energia <math>\psi_{1,2}</math> com energias <math>E_{1,2}</math>, sobrepostos para criar um estado composto
:<math display="block">\Psi(x,t) = a\psi_1(x) e^{-iE_1t/h} + b\psi_2(x) e^{-iE_2t/h}</math>.
:A amplitude de probabilidade desse estado tem um termo de interferência dependente do tempo:
:<math display="block">|\Psi(x,t)|^2 = a^2|\psi_1(x)|^2 + b^2|\psi_2(x)|^2 + 2ab\cos(\frac{E_2 - E_1}{\hbar}t)</math>.
:O período de oscilação varia inversamente com a diferença de energia: <math>\tau = 2\pi\hbar/(E_2 - E_1)</math>.<ref name="GriffithsSchroeter2018" />{{Rp|144}}

Cada exemplo tem um significado diferente para a incerteza de tempo, de acordo com o observável e o estado usado.

===Teoria quântica de campos===
Algumas formulações da [[teoria quântica de campos]] usam pares temporários de elétron-pósitron em seus cálculos, chamados [[Partícula virtual|partículas virtuais]]. O par de massa-energia e o tempo de vida dessas partículas são relacionados pela relação de incerteza do par energia-tempo. A energia de um sistema quântico não é conhecida com precisão suficiente para limitar seu comportamento a uma única história simples. Assim, a influência de ''todas as histórias'' deve ser incorporada aos cálculos quânticos, incluindo aquelas com muito mais ou muito menos energia do que a média da distribuição de energia medida/calculada.

O princípio da incerteza do par energia-tempo não viola temporariamente a [[Lei da conservação da energia|conservação de energia]]; não implica que a energia possa ser "emprestada" do universo, desde que seja "devolvida" dentro de um curto período de tempo.<ref name="GriffithsSchroeter2018" />{{Rp|145}} A energia do universo não é um parâmetro exatamente conhecido em todos os momentos.<ref name=Sen2014/> Quando os eventos acontecem em intervalos de tempo muito curtos, há incerteza na energia desses eventos.

==Análise harmônica==
{{Artigo principal|Transformada de Fourier#Princípio da incerteza{{!}}Transformada de Fourier § Princípio da incerteza}}
No contexto da [[análise harmônica]] o princípio da incerteza implica que não se pode localizar ao mesmo tempo o valor de uma função e sua transformada de Fourier. A saber, a seguinte desigualdade vale:
<math display="block">\left(\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty \xi^2 |\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\right)\ge \frac{\|f\|_2^4}{16\pi^2}</math>
Outras desigualdades de incerteza matemática, incluindo a <!--[[:en:Entropic uncertainty]]-->incerteza entrópica acima, são válidas entre uma função {{Mvar|f}} e sua transformada de Fourier {{Math| ƒ̂}}:<ref>{{Citation |primeiro1=V. |último1=Havin |primeiro2= B. |último2=Jöricke |título=The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis |publicado=''Springer-Verlag'' |ano=1994 }}</ref><ref>{{Citation |último1=Folland |primeiro1=Gerald |último2=Sitaram |primeiro2=Alladi |título=''The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey'' |periódico=Journal of Fourier Analysis and Applications |data=maio de 1997 |volume=3 |número=3 |páginas=207–238 |doi=10.1007/BF02649110 |bibcode=1997JFAA....3..207F |mr=1448337 |s2cid=121355943 }}</ref><ref>{{Springer |title=''Uncertainty principle, mathematical'' |id=U/u130020 |first=A |last=Sitaram |year=2001}}</ref>
<math display="block">H_x+H_\xi \ge \log(e/2)</math>

===Processamento de sinal===
No contexto da <!--[[:en:Time–frequency analysis]]-->análise do par tempo e frequência, os princípios de incerteza são chamados de '''limite de Gabor''', em homenagem a [[Dennis Gabor]], ou às vezes ''limite de Heisenberg-Gabor''. O resultado básico, que decorre do "teorema de Benedicts", abaixo, é que uma função não pode ser ambos: <!--[[:en:Time limited]]-->limitada no tempo e <!--[[:en:Band limited]]-->limitada na banda (uma função e sua transformada de Fourier não podem ter domínio limitado)<!-- — veja [[:en:Bandlimiting#Bandlimited versus timelimited|limitado na banda ''versus'' limitado no tempo]]-->. Mais precisamente, o produto do par tempo-largura de banda ou duração-largura de banda satisfaz:
<math display="block">\sigma_{t} \cdot \sigma_{f} \ge \frac{1}{4\pi} \approx 0,08 \text{ ciclos}</math>
onde: <math>\sigma_{t}</math> e <math>\sigma_{f}</math> são os desvios padrões das concentrações de energia do tempo e da frequência, respectivamente.<ref>{{Cite book |last=Mallat |first=S. G. |title=A wavelet tour of signal processing: the sparse way |publisher=''Elsevier/Academic Press'' |publication-place=''Amsterdam'' ; ''Boston'' |date=2009 |isbn=978-0-12-374370-1 |doi=10.1016/B978-0-12-374370-1.X0001-8 |page=44 |language=en}}</ref> O mínimo é atingido para um pulso em forma de [[Função de Gauss|Gauss]] (<!--[[:en:Gabor wavelet]]-->ondinha de Gabor) [Para a Gaussiana não quadrada (ou seja, amplitude do sinal) e sua magnitude de transformada de Fourier não quadrada <math>\sigma_t\sigma_f=1/2\pi</math>; o quadrado reduz cada <math>\sigma</math> por um fator <math>\sqrt 2</math>.] Outra medida comum é o produto do tempo e da frequência na [[Largura à meia altura|largura total da metade do máximo]] (da potência/energia), que para o Gaussiano é igual a <math>2 \ln 2 / \pi \approx 0,44</math><!-- (veja [[:en:Bandwidth-limited pulse|pulso limitado pela largura de banda]])-->.

Em outras palavras, não é possível localizar simultaneamente um sinal {{Mvar|f}} no [[domínio do tempo]] e no [[domínio da frequência]].

Quando aplicado a <!--[[:en:Filter (signal processing)]]-->filtros, o resultado implica que não é possível simultaneamente atingir uma alta resolução temporal e uma ala resolução de frequência ao mesmo tempo; um exemplo concreto são os problemas de <!--[[:en:Short-time Fourier transform#Resolution issues]]-->[[Transformada de Fourier de curto termo#|resolução da transformada de Fourier de curta duração]] — se usarmos uma janela ampla, obteremos boa resolução de frequência em detrimento da resolução temporal, enquanto uma janela estreita tem o efeito oposto.

Teoremas alternativos dão resultados quantitativos mais precisos e, na análise do par tempo-frequência, em vez de interpretar os domínios de tempo e frequência (unidimensional) separadamente, interpreta-se o limite como um limite inferior no suporte de uma função no plano do par tempo-frequência (bidimensional). Na prática, o limite de Gabor limita a resolução ''simultânea'' do par tempo-frequência que se pode obter sem interferência; é possível obter uma resolução mais alta, mas ao custo de diferentes componentes do sinal interferirem uns com os outros.

Como resultado, para analisar sinais onde os <!--[[:en:Transient (acoustics)]]-->transientes são importantes, a [[Transformada wavelet|transformada de ondinha (''wavelet'')]] é frequentemente usada em vez da de Fourier.

===Transformada discreta de Fourier===
Seja <math>\left \{ \mathbf{ x_n } \right \} := x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}</math> uma sequência de números complexos ''N'' e <math>\left \{ \mathbf{X_k} \right \} := X_0, X_1, \ldots, X_{N-1},</math> sua <!--[[:en:Discrete Fourier transform#Uncertainty principles]]-->transformada discreta de Fourier.

Denote por <math>\|x\|_0</math> o número de elementos diferentes de zero na sequência de tempo <math>x_0,x_1,\ldots,x_{N-1}</math> e por <math>\|X\|_0</math> o número de elementos diferentes de zero na sequência de frequência <math>X_0,X_1,\ldots,X_{N-1}</math>. Então:
<math display="block">\|x\|_0 \cdot \|X\|_0 \ge N</math>
Essa desigualdade é <!--[[:en:Inequality_(mathematics)#Sharp inequalities]]-->acentuada, com igualdade alcançada quando ''x'' ou ''X'' é uma massa de Dirac, ou mais geralmente quando ''x'' é um múltiplo diferente de zero de um pente de Dirac suportado em um subgrupo de inteiros módulo ''N'' (nesse caso, ''X'' também é um pente de Dirac suportado em um subgrupo complementar, e vice-versa).

De forma mais geral, se ''T'' e ''W'' são subconjuntos dos inteiros módulo ''N'', deixe <math>L_T,R_W : \ell^2(\mathbb Z/N\mathbb Z)\to\ell^2(\mathbb Z/N\mathbb Z)</math> denotar o operador de limitação de tempo e os <!--[[:en:Bandlimiting]]-->operadores de limitação de banda, respectivamente. Então:
<math display="block">\|L_TR_W\|^2 \le \frac{|T||W|}{|G|} </math>
onde a norma é a [[Norma operacional|norma de operador]] de operadores no espaço de Hilbert <math>\ell^2(\mathbb Z/N\mathbb Z)</math> de funções nos inteiros módulo ''N''. Essa desigualdade tem implicações para a <!--[[:en:Signal reconstruction]]-->reconstrução do sinal.<ref name="Donoho">{{citar periódico|último1=Donoho |primeiro1=D.L. |último2=Stark |primeiro2=P.B |ano=1989 |título=''Uncertainty principles and signal recovery'' |periódico=SIAM Journal on Applied Mathematics |volume=49 |número=3 |páginas=906–931 |doi=10.1137/0149053}}</ref>

Quando ''N'' é um [[número primo]], uma desigualdade mais forte se aplica:
<math display="block">\|x\|_0 + \|X\|_0 \ge N + 1</math>

Descoberta por [[Terence Tao]], essa desigualdade também é acentuada.<ref>{{Citation |periódico=Mathematical Research Letters |volume=12 |ano=2005 |número=1 |título=''An uncertainty principle for cyclic groups of prime order'' |páginas=121–127 |autor=[[Terence Tao]] |doi=10.4310/MRL.2005.v12.n1.a11 |arxiv=math/0308286 |s2cid=8548232 }}</ref>

===Teorema de Benedicks===
Amrein–Berthier<ref>
{{Citation |último1=Amrein |primeiro1=W.O. |último2=Berthier |primeiro2=A.M. |ano=1977 |título=''On support properties of L<sup>p</sup>-functions and their Fourier transforms'' |periódico=Journal of Functional Analysis |volume=24 |número=3 |páginas=258–267 |doi=10.1016/0022-1236(77)90056-8 |postscript=. |doi-access=free }}</ref> e o teorema de Benedicks<ref>{{Citation |primeiro=M. |último=Benedicks |autorlink=Michael Benedicks |título=''On Fourier transforms of functions supported on sets of finite Lebesgue measure'' |periódico=J. Math. Anal. Appl. |volume=106 |ano=1985 |número=1 |páginas=180–183 |doi=10.1016/0022-247X(85)90140-4 |doi-access=free }}</ref> intuitivamente dizem que o conjunto de pontos onde {{Mvar|f}} é diferente de zero e o conjunto de pontos onde {{Math|ƒ̂}} é diferente de zero não podem ser ambos pequenos.

Especificamente, é impossível para uma função {{Mvar|f}} em {{Math|''L''<sup>2</sup>(''R'')}} e sua transformada de Fourier {{Math|ƒ̂}} serem ambas [[Suporte (matemática)|suportadas]] em conjuntos de [[medida de Lebesgue]] finita. Uma versão mais quantitativa é:<ref>{{Citation |primeiro=F. |último=Nazarov |autorlink=Fedor Nazarov |título=''Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type'' |periódico=St. Petersburg Math. J. |volume=5 |ano=1994 |páginas=663–717 }}</ref><ref>{{Citation |primeiro=Ph. |último=Jaming |título=''Nazarov's uncertainty principles in higher dimension'' |periódico= J. Approx. Theory |volume=149 |ano=2007 |número=1 |páginas=30–41 |doi=10.1016/j.jat.2007.04.005 |arxiv=math/0612367 |s2cid=9794547}}</ref>
<math display="block">\|f\|_{L^2(\mathbf{R}^d)}\leq Ce^{C|S||\Sigma|} \bigl(\|f\|_{L^2(S^c)} + \| \hat{f} \|_{L^2(\Sigma^c)} \bigr) ~</math>
Espera-se que o fator {{Math|''Ce''<sup>''C''{{Abs|''S''}}{{Abs|''Σ''}}</sup>}} possa ser substituído por {{Math|''Ce''<sup>''C''({{Abs|''S''}}{{Abs|''Σ''}})<sup>1/''d''</sup></sup>}}, que só é conhecido se {{Mvar|S}} ou {{Mvar|Σ}} forem convexos.

===Princípio da incerteza de Hardy===
O matemático [[G. H. Hardy]] formulou o seguinte princípio da incerteza:<ref>{{Citation |primeiro=G.H. |último=Hardy |autorlink=G. H. Hardy |título=''A theorem concerning Fourier transforms'' |periódico=Journal of the London Mathematical Society |volume=8 |ano=1933 |número=3 |páginas=227–231 |doi=10.1112/jlms/s1-8.3.227 }}</ref> não é possível que {{Mvar|f}} e {{Math|ƒ̂}} sejam ambos "decrescentes muito rapidamente". Especificamente, se {{Mvar|f}} em <math>L^2(\mathbb{R})</math> é tal que:
<math display="block">|f(x)|\leq C(1+|x|)^Ne^{-a\pi x^2}</math>
e
<math display="block">|\hat{f}(\xi)|\leq C(1+|\xi|)^Ne^{-b\pi \xi^2}</math>
(<math>C>0,N</math> um inteiro), então, se {{Math|1=''ab'' > 1, ''f'' = 0}}, enquanto se {{Math|1=''ab'' = 1}}, então existe um polinômio {{Mvar|P}} de grau {{Math|≤ ''N''}} tal que:
<math display="block">f(x)=P(x)e^{-a\pi x^2}</math>
Isto foi posteriormente melhorado da seguinte forma: se <math>f \in L^2(\mathbb{R}^d)</math> é tal que:
<math display="block">\int_{\mathbb{R}^d}\int_{\mathbb{R}^d}|f(x)||\hat{f}(\xi)|\frac{e^{\pi|\langle x,\xi\rangle|}}{(1+|x|+|\xi|)^N} \, dx \, d\xi < +\infty ~</math>
então:
<math display="block">f(x)=P(x)e^{-\pi\langle Ax,x\rangle} ~</math>
onde {{Mvar|P}} é um polinômio de grau {{Math|(''N'' − ''d'')/2}} e {{Mvar|A}} é uma matriz real {{Math|''d'' × ''d''}} positiva definida.

Este resultado foi declarado nas obras completas de Beurling sem prova e provado em Hörmander<ref>{{Citation |primeiro=L. |último=Hörmander |autorlink=Lars Hörmander |título=''A uniqueness theorem of Beurling for Fourier transform pairs'' |periódico=Ark. Mat. |volume=29 |número=1–2 |ano=1991 |páginas=231–240 |bibcode=1991ArM....29..237H |doi=10.1007/BF02384339 |s2cid=121375111 |doi-access=free }}</ref> (o caso <math>d=1,N=0</math>) e Bonami, Demange e Jaming<ref>{{Citation |primeiro1=A. |último1=Bonami <!--|autorlink1=:en:Aline Bonami -->|primeiro2=B.|último2=Demange |primeiro3=Ph. |último3=Jaming |título=''Hermite functions and uncertainty principles for the Fourier and the windowed Fourier transforms'' |periódico=Rev. Mat. Iberoamericana |volume=19 |ano=2003 |páginas=23–55 |bibcode=2001math......2111B |arxiv=math/0102111| doi=10.4171/RMI/337 |s2cid=1211391 }}</ref> para o caso geral. Note que a versão de Hörmander-Beurling implica o caso {{Math|''ab'' > 1}} no Teorema de Hardy enquanto a versão de Bonami-Demange-Jaming cobre a força total do Teorema de Hardy. Uma prova diferente do teorema de Beurling baseada no teorema de Liouville apareceu na ref.<ref>{{Citation |primeiro=Haakan |último=Hedenmalm |título=''Heisenberg's uncertainty principle in the sense of Beurling'' |periódico=<!--[[:en:Journal d'Analyse Mathématique]]-->Journal d'Analyse Mathématique |volume=118 |número=2 |ano=2012 |páginas=691–702 |doi=10.1007/s11854-012-0048-9 |doi-access=free |arxiv=1203.5222 |bibcode=2012arXiv1203.5222H |s2cid=54533890 }}</ref>

Uma descrição completa do caso {{Math|''ab'' < 1}} assim como a seguinte extensão para distribuições de classe de Schwartz aparece na ref.<ref>{{Citation |primeiro=Bruno |último=Demange |título=Uncertainty Principles Associated to Non-degenerate Quadratic Forms |ano=2009 |publicado=''Société Mathématique de France'' |isbn=978-2-85629-297-6 }}</ref>
{{Teorema|Se uma distribuição temperada <math>f\in\mathcal{S}'(\R^d)</math> é tal que:
<math display="block">e^{\pi|x|^2}f\in\mathcal{S} '(\R^d)</math>
e
<math display="block">e^{\pi|\xi|^2}\hat f\in\mathcal{S}'(\R^d) ~</math>
então:
<math display="block">f(x)=P(x)e^{-\pi\langle Ax,x\rangle} ~</math>
para algum polinômio conveniente {{Mvar|P}} e matriz real positiva definida {{Mvar|A}} do tipo {{Math|''d'' × ''d''}}.}}

==Relações de incerteza adicionais==
===Limite de Heisenberg===
Na <!--[[:en:Quantum metrology]]-->metrologia quântica, e especialmente na [[interferometria]], o limite de Heisenberg é a taxa ótima na qual a precisão de uma medição pode ser escalonada com a energia usada na medição. Normalmente, esta é a medição de uma fase (aplicada a um braço de um <!--[[:en:Beam splitter]]-->divisor de feixe) e a energia é dada pelo número de fótons usados em um [[interferômetro]]. Embora alguns afirmem ter quebrado o limite de Heisenberg, isso reflete desacordo sobre a definição do recurso de escalonamento.<ref>{{citar periódico|último1=Giovannetti |primeiro1=V. |último2=Lloyd |primeiro2=S. |último3=Maccone |primeiro3=L. |doi=10.1038/nphoton.2011.35 |título=''Advances in quantum metrology'' |periódico=Nature Photonics |volume=5 |número=4 |páginas=222 |ano=2011 |arxiv=1102.2318 |bibcode=2011NaPho...5..222G |s2cid=12591819 }}; [https://arxiv.org/abs/1102.2318 arXiv] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200806200530/https://arxiv.org/abs/1102.2318 |date=2020-08-06 }}</ref> Adequadamente definido, o limite de Heisenberg é uma consequência dos princípios básicos da mecânica quântica e não pode ser superado, embora o limite fraco de Heisenberg possa ser superado.<ref>{{citar periódico|último=Luis |primeiro=Alfredo |data=2017-03-13 |título=''Breaking the weak Heisenberg limit''  |periódico=Physical Review A  |língua=en |volume=95 |número=3 |páginas=032113 |doi=10.1103/PhysRevA.95.032113 |arxiv=1607.07668 |bibcode=2017PhRvA..95c2113L |s2cid=55838380 |issn=2469-9926}}</ref>

===Erros sistemáticos e estatísticos===
As desigualdades acima focam na ''imprecisão estatística'' de observáveis quantificados pelo desvio padrão <math>\sigma</math>. A versão original de Heisenberg, no entanto, estava lidando com o ''erro sistemático'', uma perturbação do sistema quântico produzida pelo aparelho de medição, ou seja, um efeito de observador.

Se deixarmos <math>\varepsilon_A</math> representar o erro (ou seja, a [[Exatidão e precisão|inexatidão]]) de uma medição de um observável ''A'' e <math>\eta_B</math> a perturbação produzida em uma medição subsequente da variável conjugada ''B'' pela medição anterior de ''A'', então a desigualdade proposta por Masanao Ozawa — abrangendo ambos, erros sistemáticos e estatísticos — é válida:<ref name="Ozawa2003"/>
{{Equation box 1 |indent=: |equation=<math> \varepsilon_A\, \eta_B + \varepsilon_A \, \sigma_B + \sigma_A \, \eta_B \,\ge\, \frac{1}{2} \, \left| \Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right|</math> |cellpadding=6 |border |border colour=#0073CF |background colour=#F5FFFA}}
O princípio da incerteza de Heisenberg, como originalmente descrito na formulação de 1927, menciona apenas o primeiro termo da desigualdade de Ozawa, em relação ao ''erro sistemático''. Usando a notação acima para descrever o efeito de ''erro/perturbação'' de ''medições sequenciais'' (primeiro ''A'', depois ''B''), ele poderia ser escrito como:
{{Equation box 1 |indent=: |equation=<math> \varepsilon_{A} \, \eta_{B} \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right|</math> |cellpadding=6 |border |border colour=#0073CF |background colour=#F5FFFA}}
A derivação formal da relação de Heisenberg é possível, mas está longe de ser intuitiva. Ela ''não'' foi proposta por Heisenberg, mas formulada de forma matematicamente consistente apenas nos últimos anos.<ref>{{citar periódico|doi=10.1103/PhysRevLett.111.160405 |título=''Proof of Heisenberg's Error-Disturbance Relation'' |periódico=Physical Review Letters |volume=111 |número=16 |ano=2013 |último1=Busch |primeiro1=P. |último2=Lahti |primeiro2=P. |último3=Werner |primeiro3=R. F. |arxiv=1306.1565 |bibcode=2013PhRvL.111p0405B |pmid=24182239 |página=160405 |s2cid=24507489}}</ref><ref>{{citar periódico|doi=10.1103/PhysRevA.89.012129 |título=''Heisenberg uncertainty for qubit measurements'' |periódico=Physical Review A |volume=89 |número=1 |páginas=012129 |ano=2014 |último1=Busch |primeiro1=P. |último2=Lahti |primeiro2=P. |último3=Werner |primeiro3=R. F. |arxiv=1311.0837 |bibcode=2014PhRvA..89a2129B |s2cid=118383022}}</ref> Além disso, deve-se enfatizar que a formulação de Heisenberg não leva em consideração os erros estatísticos intrínsecos <math>\sigma_A</math> e <math>\sigma_B</math>. Há evidências experimentais crescentes<ref name="Rozema"/><ref>{{citar periódico|último1=Erhart |primeiro1=J. |último2=Sponar |primeiro2=S. |último3=Sulyok |primeiro3=G. |último4=Badurek |primeiro4=G. |último5=Ozawa |primeiro5=M. |último6=Hasegawa |primeiro6=Y. |título=''Experimental demonstration of a universally valid error-disturbance uncertainty relation in spin measurements'' |periódico=Nature Physics |volume=8 |páginas=185–189 |ano=2012 |doi=10.1038/nphys2194 |arxiv=1201.1833 |bibcode=2012NatPh...8..185E |número=3 |s2cid=117270618}}</ref><ref>{{citar periódico|último1=Baek |primeiro1=S.-Y. |último2=Kaneda |primeiro2=F. |último3=Ozawa |primeiro3=M. |último4=Edamatsu |primeiro4=K. |título=''Experimental violation and reformulation of the Heisenberg's error-disturbance uncertainty relation'' |periódico=Scientific Reports |volume=3 |páginas=2221 |ano=2013 |doi=10.1038/srep02221 |bibcode=2013NatSR...3.2221B |pmid=23860715 |pmc=3713528}}</ref><ref>{{citar periódico|último1=Ringbauer |primeiro1=M. |último2=Biggerstaff |primeiro2=D.N. |último3=Broome |primeiro3=M.A. |último4=Fedrizzi |primeiro4=A. |último5=Branciard |primeiro5=C. |último6=White |primeiro6=A.G. |título=''Experimental Joint Quantum Measurements with Minimum Uncertainty'' |periódico=Physical Review Letters |volume=112 |número=2 |páginas=020401 |ano=2014 |doi=10.1103/PhysRevLett.112.020401 |arxiv=1308.5688 |bibcode=2014PhRvL.112b0401R |pmid=24483993 |s2cid=18730255 }}</ref> de que a incerteza quântica total não pode ser descrita apenas pelo termo de Heisenberg, mas requer a presença de todos os três termos da desigualdade de Ozawa.

Usando o mesmo formalismo,<ref name="Sen2014"/> também é possível introduzir o outro tipo de situação física, frequentemente confundida com a anterior, a saber, o caso de ''medições simultâneas'' (''A'' e ''B'' ao mesmo tempo):
{{Equation box 1 |indent=: |equation=<math> \varepsilon_A \, \varepsilon_B \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right|</math> |cellpadding=6 |border |border colour=#0073CF |background colour=#F5FFFA}}
As duas medições simultâneas em ''A'' e ''B'' necessariamente<ref>{{citar periódico|último1=Björk |primeiro1=G. |último2=Söderholm |primeiro2=J. |último3=Trifonov |primeiro3=A. |último4=Tsegaye |primeiro4=T. |último5=Karlsson |primeiro5=A. |título=''Complementarity and the uncertainty relations'' |doi=10.1103/PhysRevA.60.1874 |periódico=Physical Review |volume=A60 |número=3 |ano=1999 |página=1878 |arxiv=quant-ph/9904069 |bibcode=1999PhRvA..60.1874B |s2cid=27371899 }}</ref> ''não são nítidas'' ou ''são <!--[[:en:Weak measurement]]-->fracas''.

Também é possível derivar uma relação de incerteza que, como a de Ozawa, combina os componentes de ambos os erros (estatístico e sistemático), mas mantém uma forma muito próxima da desigualdade original de Heisenberg. Adicionando Robertson:<ref name="Sen2014"/>
{{Equation box 1 |indent=: |equation=<math> \sigma_{A} \, \sigma_{B} \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B} \bigr] \Bigr\rangle \right|</math> |cellpadding=6 |border |border colour=#0073CF |background colour=#F5FFFA}}
e relações de Ozawa, obtemos:
<math display="block">\varepsilon_A \eta_B + \varepsilon_A \, \sigma_B + \sigma_A \, \eta_B + \sigma_A \sigma_B \geq \left|\Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right| </math>
Os quatro termos podem ser escritos como:
<math display="block">(\varepsilon_A + \sigma_A) \, (\eta_B + \sigma_B) \, \geq \, \left|\Bigl\langle\bigl[\hat{A},\hat{B} \bigr] \Bigr\rangle \right| </math>
Definindo:
<math display="block">\bar \varepsilon_A \, \equiv \, (\varepsilon_A + \sigma_A)</math>
como a ''inexatidão'' nos valores medidos da variável ''A'' e:
<math display="block">\bar \eta_B \, \equiv \, (\eta_B + \sigma_B)</math>
como a ''flutuação resultante'' na variável conjugada ''B'', Kazuo Fujikawa<ref>{{citar periódico|último=Fujikawa |primeiro=Kazuo |título=''Universally valid Heisenberg uncertainty relation'' |periódico=Physical Review A |volume=85 |ano=2012 |doi=10.1103/PhysRevA.85.062117 |arxiv=1205.1360 |bibcode=2012PhRvA..85f2117F |número=6 |páginas=062117 |s2cid=119640759 }}</ref> estabeleceu uma relação de incerteza semelhante à original de Heisenberg, mas válida tanto para ''erros sistemáticos'' quanto para ''erros estatísticos'':
{{Equation box 1 |indent=: |equation=<math> \bar \varepsilon_A \, \bar \eta_B \, \ge \, \left| \Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right|</math> |cellpadding=6 |border |border colour=#0073CF |background colour=#F5FFFA}}

===Princípio da incerteza entrópica quântica===
Para muitas distribuições, o desvio padrão não é uma maneira particularmente natural de quantificar a estrutura. Por exemplo, relações de incerteza nas quais um dos observáveis é um ângulo tem pouco significado físico para flutuações maiores que um período.<ref name="CarruthersNieto" /><ref>{{Citation |primeiro=D. |último=Judge |título=';On the uncertainty relation for angle variables'' |periódico=Il Nuovo Cimento |ano=1964 |volume=31 |número=2 |páginas=332–340 |doi=10.1007/BF02733639 |bibcode=1964NCim...31..332J |s2cid=120553526 }}</ref><ref>{{Citation |primeiro1=M. |último1=Bouten |primeiro2=N. |último2=Maene |primeiro3=P. |último3=Van Leuven |título=On an uncertainty relation for angle variables |periódico=Il Nuovo Cimento |ano=1965 |volume=37 |número=3 |páginas=1119–1125 |doi=10.1007/BF02773197 |bibcode=1965NCim...37.1119B |s2cid=122838645 }}</ref><ref>{{Citation |primeiro=W. H. |último=Louisell |título=''Amplitude and phase uncertainty relations'' |periódico=Physics Letters |ano=1963 |volume=7 |número=1 |páginas=60–61 |doi=10.1016/0031-9163(63)90442-6 |bibcode=1963PhL.....7...60L }}</ref> Outros exemplos incluem <!--[[:en:Multimodal distribution]]-->distribuições altamente bimodais ou [[Unimodalidade#Distribuição de probabilidade unimodal|distribuições unimodais]] com variância divergente.

Uma solução que supera esses problemas é uma incerteza baseada na <!--[[:en:Entropic uncertainty]]-->incerteza entrópica em vez do produto de variâncias. Ao formular a [[interpretação de muitos mundos]] da mecânica quântica em 1957, [[Hugh Everett III]] conjecturou uma extensão mais forte do princípio da incerteza baseada na certeza entrópica.<ref>{{Citation |último1=DeWitt |primeiro1=B. S. |último2=Graham |primeiro2=N. |ano=1973 |título=The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics |local=Princeton |publicado=[[Princeton University Press]] |páginas=52–53 |isbn=0-691-08126-3 }}</ref> Essa conjectura, também estudada por I. I. Hirschman<ref>{{Citation |primeiro=I. I. Jr. |último=Hirschman |título=''A note on entropy'' |periódico=[[American Journal of Mathematics]] |ano=1957 |volume=79 |número=1 |páginas=152–156 |doi=10.2307/2372390 |postscript=. |jstor=2372390 }}</ref> e comprovada em 1975 por W. Beckner<ref name="Beckner">{{Citation |primeiro=W. |último=Beckner |título=''Inequalities in Fourier analysis'' |periódico=[[Annals of Mathematics]] |volume=102 |número=6 |ano=1975 |páginas=159–182 |doi=10.2307/1970980 |postscript=. |jstor=1970980 |pmid=16592223 |pmc=432369 }}</ref> e por Iwo Bialynicki-Birula e Jerzy Mycielski<ref name="BBM">{{Citation |primeiro1=I. |último1=Bialynicki-Birula |último2=Mycielski |primeiro2=J. |título=''Uncertainty Relations for Information Entropy in Wave Mechanics'' |periódico=<!--[[:en:Communications in Mathematical Physics]]-->Communications in Mathematical Physics |volume=44 |ano=1975 |páginas=129–132 |doi=10.1007/BF01608825 |número=2 |bibcode=1975CMaPh..44..129B |s2cid=122277352 |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103899297 |acessodata=2021-08-17 |arquivodata=2021-02-08 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20210208011223/https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103899297 |urlmorta= não}}</ref> é que, para dois pares de transformadas de Fourier normalizados e adimensionais {{Math|''f''(''a'')}} e {{Math|''g''(''b'')}} onde:
:<math>f(a) = \int_{-\infty}^\infty g(b)\ e^{2\pi i a b}\,db</math>{{Espaços|3}} e {{Espaços|3}}<math> \,\,\,g(b) = \int_{-\infty}^\infty f(a)\ e^{- 2\pi i a b}\,da</math>
as [[Entropia da informação|entropias de informação]] de Shannon
<math display="block">H_a = -\int_{-\infty}^\infty |f(a)|^2 \log |f(a)|^2\,da,</math>
e
<math display="block">H_b = -\int_{-\infty}^\infty |g(b)|^2 \log |g(b)|^2\,db</math>
estão sujeitas à seguinte restrição:
{{Equation box 1 |indent=: |equation=<math>H_a + H_b \ge \log (e/2)</math> |cellpadding=6 |border |border colour=#0073CF |background colour=#F5FFFA}}
onde o logaritmos podem estar em qualquer base.

As funções de distribuição de probabilidade associadas à função de onda de posição {{Math|''ψ''(''x'')}} e à função de onda de momento {{Math|''φ''(''x'')}} têm dimensões de comprimento e momento inversos, respectivamente, mas as entropias podem ser tornadas adimensionais por:
<math display="block">H_x = - \int |\psi(x)|^2 \ln \left(x_0 \, |\psi(x)|^2 \right) dx =-\left\langle \ln \left(x_0 \, \left|\psi(x)\right|^2 \right) \right\rangle</math>
<math display="block">H_p = - \int |\varphi(p)|^2 \ln (p_0\,|\varphi(p)|^2) \,dp =-\left\langle \ln (p_0\left|\varphi(p)\right|^2 ) \right\rangle</math>
onde {{Math|''x''<sub>0</sub>}} e {{Math|''p''<sub>0</sub>}} são algum comprimento e momento escolhidos arbitrariamente, respectivamente, que tornam os argumentos dos logaritmos adimensionais. Note que as entropias serão funções desses parâmetros escolhidos. Devido à <!--[[:en:Wavefunction#Relation between wave functions|]]-->relação de transformada de Fourier entre a função de onda de posição {{Math|''ψ''(''x'')}} e a função de onda de momento {{Math|''φ''(''x'')}}, a restrição acima pode ser escrita para as entropias correspondentes como:
{{Equation box 1 |indent=: |equation=<math>H_x + H_p \ge \log \left(\frac{e\,h}{2\,x_0\,p_0}\right)</math> |cellpadding=6 |border |border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}
onde {{Mvar|h}} é a [[constante de Planck]].

Dependendo da escolha do produto {{Math|''x''<sub>0</sub> ''p''<sub>0</sub>}}, a expressão pode ser escrita de muitas maneiras. Se {{Math|''x''<sub>0</sub> ''p''<sub>0</sub>}} for escolhido para ser {{Mvar|h}}, então:
<math display="block">H_x + H_p \ge \log \left(\frac{e}{2}\right)</math>
Se, em vez disso, {{Math|''x''<sub>0</sub> ''p''<sub>0</sub>}} for escolhido como {{Mvar|ħ}}, então:
<math display="block">H_x + H_p \ge \log (e\,\pi)</math>
Se {{Math|''x''<sub>0</sub>}} e  {{Math|''p''<sub>0</sub>}} forem escolhidos para serem a unidade em qualquer sistema de unidades que esteja sendo usado, então:
<math display="block">H_x + H_p \ge \log \left(\frac{e\,h }{2}\right)</math>
onde {{Mvar|h}} é interpretado como um número adimensional igual ao valor da constante de Planck no sistema de unidades escolhido. Note que essas desigualdades podem ser estendidas para estados quânticos multimodo, ou funções de onda em mais de uma dimensão espacial.<ref>{{citar periódico|último1=Huang |primeiro1=Yichen |título=''Entropic uncertainty relations in multidimensional position and momentum spaces'' |periódico=Physical Review A |data=24-05-2011 |volume=83 |número=5 |página=052124 | doi=10.1103/PhysRevA.83.052124 | bibcode=2011PhRvA..83e2124H | arxiv=1101.2944 | s2cid=119243096 }}</ref>

O princípio da incerteza entrópica quântica é mais restritivo do que o princípio da incerteza de Heisenberg. A partir das <!--[[:en:Logarithmic Sobolev inequalities]]-->desigualdades logarítmicas de Sobolev inversas:<ref>{{Citation |primeiro=D. |último=Chafaï |capítulo=''Gaussian maximum of entropy and reversed log-Sobolev inequality'' |arxiv=math/0102227  |doi=10.1007/978-3-540-36107-7_5 |ano=2003 |isbn=978-3-540-00072-3 |páginas=194–200 |título=Séminaire de Probabilités XXXVI |volume=1801 |series=''Lecture Notes in Mathematics'' |s2cid=17795603 }}</ref>
<math display="block">H_x \le \frac{1}{2} \log ( 2e\pi \sigma_x^2 / x_0^2 )~</math>
<math display="block">H_p \le \frac{1}{2} \log ( 2e\pi \sigma_p^2 /p_0^2 )~</math>
(equivalentemente, do fato de que as distribuições normais maximizam a entropia de todas essas com uma dada variância), segue-se prontamente que este princípio de incerteza entrópica é ''mais forte do que aquele baseado em desvios-padrão'', porque:
<math display="block">\sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{2} \exp\left(H_x + H_p - \log \left(\frac{e\,h}{2\,x_0\,p_0}\right)\right) \ge \frac{\hbar}{2}~</math>
Em outras palavras, o princípio da incerteza de Heisenberg é uma consequência do princípio da incerteza entrópica quântica, mas não vice-versa. Algumas observações sobre essas desigualdades. Primeiro, a escolha da [[Logaritmo natural|base e]] é uma questão de convenção popular na física. O logaritmo pode estar alternativamente em qualquer base, desde que seja consistente em ambos os lados da desigualdade. Segundo, lembre-se de que a [[Entropia da informação|entropia de Shannon]] foi usada, ''não'' a [[entropia de von Neumann]] quântica. Finalmente, a distribuição normal satura a desigualdade, e é a única distribuição com essa propriedade, porque é a <!--[[:en:Maximum entropy probability distribution]]-->distribuição de probabilidade de entropia máxima entre aquelas com variância fixa<!-- (cf. [[:en:Differential_entropy#Maximization_in_the_normal_distribution|aqui]] para prova)-->.

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="70%" style="text-align:left"
!Incerteza entrópica da distribuição normal
|-
|Demonstramos esse método no estado fundamental do oscilador harmônico quântico, que, como discutido acima, satura a incerteza usual com base em desvios-padrão. A escala de comprimento pode ser definida para o que for conveniente, então atribuímos:
<math display="block">x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}</math>
<math display="block">\begin{align}
\psi(x) &= \left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{m \omega x^2}{2\hbar}\right)} \\
&= \left(\frac{1}{2\pi x_0^2}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{x^2}{4x_0^2}\right)}
\end{align}</math>

A distribuição de probabilidade é a distribuição normal:
<math display="block">|\psi(x)|^2 = \frac{1}{x_0 \sqrt{2\pi}} \exp{\left( -\frac{x^2}{2x_0^2}\right)}</math>
com entropia de Shannon:
<math display="block">\begin{align}
H_x &= - \int |\psi(x)|^2 \ln (|\psi(x)|^2 \cdot x_0 ) \,dx \\
&= -\frac{1}{x_0 \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \exp{\left( -\frac{x^2}{2x_0^2}\right)} \ln \left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp{\left( -\frac{x^2}{2x_0^2}\right)}\right] \, dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \exp{\left( -\frac{u^2}{2}\right)} \left[\ln(\sqrt{2\pi}) + \frac{u^2}{2}\right] \, du\\
&= \ln(\sqrt{2\pi}) + \frac{1}{2}
\end{align}</math>

Um cálculo completamente análogo prossegue para a distribuição de momento. Escolhendo um momento padrão de <math>p_0=\hbar/x_0</math>:
<math display="block">\varphi(p) = \left(\frac{2 x_0^2}{\pi \hbar^2}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{x_0^2 p^2}{\hbar^2}\right)}</math>
<math display="block">|\varphi(p)|^2 = \sqrt{\frac{2 x_0^2}{\pi \hbar^2}} \exp{\left( -\frac{2x_0^2 p^2}{\hbar^2}\right)}</math>
<math display="block">\begin{align}
H_p &= - \int |\varphi(p)|^2 \ln (|\varphi(p)|^2 \cdot \hbar / x_0 ) \,dp \\
&= -\sqrt{\frac{2 x_0^2}{\pi \hbar^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp{\left( -\frac{2x_0^2 p^2}{\hbar^2}\right)} \ln \left[\sqrt{\frac{2}{\pi}} \exp{\left( -\frac{2x_0^2 p^2}{\hbar^2}\right)}\right] \, dp \\
&= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{-\infty}^\infty \exp{\left( -2v^2\right)} \left[\ln\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) + 2v^2 \right] \, dv \\
&= \ln\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) + \frac{1}{2}
\end{align}</math>

A incerteza entrópica é, portanto, o valor limite:
<math display="block">\begin{align}
H_x+H_p &= \ln(\sqrt{2\pi}) + \frac{1}{2} + \ln\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) + \frac{1}{2}\\
&= 1 + \ln \pi = \ln(e\pi)
\end{align}</math>
|}

Um aparelho de medição terá uma resolução finita definida pela discretização de suas possíveis saídas em compartimentos, com a probabilidade de estar dentro de um dos compartimentos dada pela regra de Born. Consideraremos a situação experimental mais comum, na qual os compartimentos são de tamanho uniforme. Seja ''δx'' uma medida da resolução espacial. Tomamos o compartimento zero como centralizado próximo à origem, com possivelmente algum pequeno deslocamento constante ''c''. A probabilidade de estar dentro do intervalo jésimo de largura ''δx'' é:
<math display="block">\operatorname P[x_j]= \int_{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}| \psi(x)|^2 \, dx</math>
Para explicar esta discretização, podemos definir a entropia de Shannon da função de onda para um determinado aparelho de medição como:
<math display="block">H_x=-\sum_{j=-\infty}^\infty \operatorname P[x_j] \ln \operatorname P[x_j]</math>
De acordo com a definição acima, a relação de incerteza entrópica é:
<math display="block">H_x + H_p > \ln\left(\frac{e}{2}\right)-\ln\left(\frac{\delta x \delta p}{h} \right)</math>
Aqui notamos que {{Math|''δx'' ''δp''/''h''}} é um volume de espaço de fase infinitesimal típico usado no cálculo de uma [[Função de partição (mecânica estatística)|função de partição]]. A desigualdade também é estrita e não saturada. Esforços para melhorar esse limite são uma área ativa de pesquisa.

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="70%" style="text-align:left"
!Exemplo de distribuição normal
|-
|Demonstramos esse método primeiro no estado fundamental do oscilador harmônico quântico, que, como discutido acima, satura a incerteza usual baseada em desvios padrão.

<math display="block">\psi(x)=\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{m \omega x^2}{2\hbar}\right)}</math>

A probabilidade de estar dentro de uma dessas categorias pode ser expressa em termos da [[Função erro|função de erro]].
<math display="block">\begin{align}
\operatorname P[x_j] &= \sqrt{\frac{m \omega}{\pi \hbar}} \int_{(j-1/2)\delta x}^{(j+1/2)\delta x} \exp\left( -\frac{m \omega x^2}{\hbar}\right) \, dx \\
&= \sqrt{\frac{1}{\pi}} \int_{(j-1/2)\delta x\sqrt{m \omega / \hbar}}^{(j+1/2)\delta x\sqrt{m \omega / \hbar}} e^{u^2} \, du \\
&= \frac{1}{2} \left[ \operatorname{erf} \left( \left(j+\frac{1}{2}\right)\delta x \cdot \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}\right)- \operatorname {erf} \left( \left(j-\frac{1}{2}\right)\delta x \cdot \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}\right) \right]
\end{align}</math>
As probabilidades de momento são completamente análogas.
<math display="block">\operatorname P[p_j] = \frac{1}{2} \left[ \operatorname{erf} \left( \left(j+\frac{1}{2}\right)\delta p \cdot \frac{1}{\sqrt{\hbar m \omega}}\right)- \operatorname{erf} \left( \left(j-\frac{1}{2}\right)\delta x \cdot \frac{1}{\sqrt{\hbar m \omega}}\right) \right]</math>

Para simplificar, definiremos as resoluções para:
<math display="block">\delta x = \sqrt{\frac{h}{m \omega}}</math>
<math display="block">\delta p = \sqrt{h m \omega}</math>
de modo que as probabilidades se reduzam para:
<math display="block">\operatorname P[x_j] = \operatorname P[p_j] = \frac{1}{2} \left[ \operatorname {erf} \left( \left(j+\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right)- \operatorname {erf} \left( \left(j-\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right) \right]</math>

A entropia de Shannon pode ser avaliada numericamente.
<math display="block">\begin{align}
H_x = H_p &= -\sum_{j=-\infty}^\infty \operatorname P[x_j] \ln \operatorname P[x_j] \\
&= -\sum_{j=-\infty}^\infty \frac{1}{2} \left[ \operatorname {erf} \left( \left(j+\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right)- \operatorname {erf} \left( \left(j-\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right) \right] \ln \frac{1}{2} \left[ \operatorname {erf} \left( \left(j+\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right)- \operatorname {erf} \left( \left(j-\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right) \right] \\
&\approx 0,3226
\end{align}</math>
A incerteza entrópica é de fato maior que o valor limite.
<math display="block">H_x + H_p \approx 0,3226 + 0,3226 = 0,6452 >\ln\left(\frac{e}{2}\right)-\ln 1 \approx 0,3069</math>

Note que, apesar de estar no caso ótimo, a desigualdade não é saturada.
|}

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="70%" style="text-align:left"
!Exemplo de função de seno cardinal (''sinc'')
|-
|Um exemplo de uma distribuição unimodal com variância infinita é a [[Função sinc|função de seno cardinal]]. Se a função de onda for a distribuição uniforme corretamente normalizada,
<math display="block">\psi(x) = \begin{cases}
{1}/{\sqrt{2a}} & \text{for } |x| \le a, \\[8pt]
0 & \text{for } |x|>a
\end{cases}</math>
então sua transformada de Fourier é a função de seno cardinal,
<math display="block">\varphi(p)=\sqrt{\frac{a}{\pi \hbar}} \cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{a p}{\hbar}\right)</math>
que produz variância de momento infinita apesar de ter uma forma centralizada. A incerteza entrópica, por outro lado, é finita. Suponha para simplificar que a resolução espacial é apenas uma medição de dois compartimentos, ''δx''&nbsp;=&nbsp;''a'', e que a resolução de momento é ''δp''&nbsp;=&nbsp;''h''/''a''.

Particionar a distribuição espacial uniforme em dois compartimentos iguais é simples. Definimos o deslocamento ''c''&nbsp;=&nbsp;1/2 para que os dois compartimentos abranjam a distribuição.
<math display="block">\operatorname P[x_0] = \int_{-a}^0 \frac{1}{2a} \, dx = \frac{1}{2}</math>
<math display="block">\operatorname P[x_1] = \int_0^a \frac{1}{2a} \, dx = \frac{1}{2}</math>
<math display="block">H_x = -\sum_{j=0}^{1} \operatorname P[x_j] \ln \operatorname P[x_j] = -\frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} = \ln 2</math>

Os compartimentos para momento devem cobrir toda a linha real. Como feito com a distribuição espacial, poderíamos aplicar um deslocamento. Acontece, no entanto, que a entropia de Shannon é minimizada quando o compartimento zero para momento é centralizado na origem. (O leitor é encorajado a tentar adicionar um deslocamento.) A probabilidade de estar dentro de um compartimento de momentum arbitrário pode ser expressa em termos da <!--[[:en:Trigonometric integral#Sine integral]]-->integral do seno.
<math display="block">\begin{align}
\operatorname P[p_j] &= \frac{a}{\pi \hbar} \int_{(j-1/2)\delta p}^{(j+1/2)\delta p} \operatorname{sinc}^2\left(\frac{a p}{\hbar}\right) \, dp \\
&= \frac{1}{\pi} \int_{2\pi (j-1/2)}^{2\pi (j+1/2)} \operatorname{sinc}^2(u) \, du \\
&= \frac{1}{\pi} \left[ \operatorname {Si} ((4j+2)\pi)- \operatorname {Si} ((4j-2)\pi) \right]
\end{align}</math>
A entropia de Shannon pode ser avaliada numericamente.
<math display="block">H_p = -\sum_{j=-\infty}^\infty \operatorname P[p_j] \ln \operatorname P[p_j] = -\operatorname P[p_0] \ln \operatorname P[p_0]-2 \cdot \sum_{j=1}^{\infty} \operatorname P[p_j] \ln \operatorname P[p_j] \approx 0,53</math>
A incerteza entrópica é de fato maior que o valor limite.
<math display="block">H_x+H_p \approx 0,69 + 0,53 = 1,22 >\ln\left(\frac{e}{2}\right)-\ln 1 \approx 0,31</math>
|}

===Relação de incerteza com três componentes de momento angular===
Para uma partícula de momento angular total <math>j</math> a seguinte relação de incerteza é válida:
<math display="block">\sigma_{J_x}^2+\sigma_{J_y}^2+\sigma_{J_z}^2\ge j</math>
onde <math>J_l</math> são componentes do momento angular. A relação pode ser derivada a partir de:
<math display="block">\langle J_x^2+J_y^2+J_z^2\rangle = j(j+1)</math>
e
<math display="block">\langle J_x\rangle^2+\langle J_y\rangle^2+\langle J_z\rangle^2\le j</math>
A relação pode ser fortalecida como:<ref name="PhysRevResearch21" /><ref>{{citar periódico|último1=Chiew |primeiro1=Shao-Hen |último2=Gessner |primeiro2=Manuel |título=''Improving sum uncertainty relations with the quantum Fisher information'' |periódico=Physical Review Research |data=31-01-2022 |volume=4 |número=1 |páginas=013076 |doi=10.1103/PhysRevResearch.4.013076 |arxiv=2109.06900 |bibcode=2022PhRvR...4a3076C |s2cid=237513883 }}</ref>
<math display="block">\sigma_{J_x}^2+\sigma_{J_y}^2+F_Q[\varrho,J_z]/4\ge j</math>
onde <math>F_Q[\varrho,J_z]</math> é a informação quântica de Fisher.

==História==
{{VT|História da mecânica quântica}}
Em 1925, Heisenberg publicou o [[Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen|artigo ''Umdeutung'' (reinterpretação)]], onde mostrou que o aspecto central da teoria quântica era a não [[comutatividade]]: a teoria implicava que a ordem relativa da posição e da medição do momento era significativa. Trabalhando com [[Max Born]] e [[Pascual Jordan]], ele continuou a desenvolver a [[mecânica matricial]], que se tornaria a primeira formulação moderna da mecânica quântica.<ref>{{Cite book |last=Whittaker |first=Edmund T. |title=A history of the theories of aether & electricity|volume= ''II: The modern theories, 1900–1926'' |date=1989 |publisher=''Dover Publ'' |isbn=978-0-486-26126-3 |edition=''Repr |location=''New York''|page=267}}</ref> 
[[Imagem:Heisenbergbohr.jpg|thumb|Werner Heisenberg e Niels Bohr]]

Em março de 1926, trabalhando no instituto de Bohr, Heisenberg percebeu que a não [[comutatividade]] implica o princípio da incerteza. Escrevendo para [[Wolfgang Pauli]] em fevereiro de 1927, ele elaborou os conceitos básicos.<ref>{{Cite web |title=''This Month in Physics History'' |url=http://www.aps.org/publications/apsnews/200802/physicshistory.cfm |access-date=2023-11-04 |website=www.aps.org |language=en |archive-date=2011-01-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110130195156/http://aps.org/publications/apsnews/200802/physicshistory.cfm |url-status=live }}</ref>

Em seu célebre artigo de 1927 "{{Lang|de|''Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik''}}" ("Sobre o conteúdo perceptual da mecânica e cinemática teórica quântica"), Heisenberg estabeleceu essa expressão como a quantidade mínima de perturbação de momento inevitável causada por qualquer medição de posição,<ref name=":0" /> mas ele não deu uma definição precisa para as incertezas Δ''x'' e Δ''p''. Em vez disso, ele deu algumas estimativas plausíveis em cada caso separadamente. Seu artigo deu uma análise em termos de um microscópio que Bohr mostrou estar incorreta; Heisenberg incluiu um adendo à publicação.

Em sua palestra em Chicago de 1930<ref name="Heisenberg_1930">{{Citation |first=W. |last=Heisenberg |year=1930 |title=Physikalische Prinzipien der Quantentheorie |language=de|location=''Leipzig'' |publisher=''Hirzel'' }}</ref> ele refinou seu princípio:
{{NumBlk|:|<math>\Delta x \, \Delta p\gtrsim h</math>|{{EquationRef|A1}}}}
Trabalhos posteriores ampliaram o conceito. Quaisquer duas variáveis que não comutam não podem ser medidas simultaneamente — quanto mais precisamente uma é conhecida, menos precisamente a outra pode ser conhecida. Heisenberg escreveu:<blockquote>Pode ser expresso em sua forma mais simples da seguinte forma: Nunca se pode saber com perfeita precisão ambos os dois fatores importantes que determinam o movimento de uma das menores partículas — sua posição e sua velocidade. É impossível determinar com precisão ''ambas'', tanto a posição quanto a direção e a velocidade de uma partícula ''no mesmo instante''.<ref>Heisenberg, W., ''Die Physik der Atomkerne'', Taylor & Francis, 1952, p. 30.</ref></blockquote>

<!--[[:en:Earle Hesse Kennard]]-->Kennard<ref name="Kennard" /><ref name=Sen2014 />{{Rp|204}}  em 1927 provou pela primeira vez a desigualdade moderna:
{{NumBlk|:|<math>\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}</math>|{{EquationRef|A2}}}}
onde {{Math|1=''ħ'' = {{Sfrac|''h''|2''π''}}}}, e {{Math|''σ<sub>x</sub>''}}, {{Math|''σ<sub>p</sub>''}} são os desvios-padrão da posição e do momento. (Heisenberg provou apenas a relação ({{EquationNote|A2}}) para o caso especial de estados gaussianos.<ref name="Heisenberg_1930"/>) Em 1929, Robertson generalizou a desigualdade para todos os observáveis e em 1930 Schrödinger estendeu a forma para permitir covariância diferente de zero dos operadores; este resultado é conhecido como desigualdade de Robertson e Schrödinger.<ref name=Sen2014 />{{Rp|204}}

===Terminologia e tradução===
Ao longo do corpo principal de seu artigo original de 1927, escrito em alemão, Heisenberg usou a palavra "''Ungenauigkeit''",<ref name=":0" /> para descrever o princípio teórico básico. Somente na nota final ele mudou para a palavra "''Unsicherheit''". Mais tarde, ele sempre usou "''Unbestimmtheit''". Quando a versão em inglês do livro didático de Heisenberg, ''The Physical Principles of the Quantum Theory'', foi publicada em 1930, no entanto, apenas a palavra em inglês "''uncertainty''" foi usada, e se tornou o termo na língua inglesa.<ref>{{Citation |first1=David |last1=Cassidy |year=2009 |title=''Beyond Uncertainty: Heisenberg, Quantum Physics, and the Bomb'' |location=''New York'' |publisher=''Bellevue Literary Press'' |page=185 |bibcode=2010PhT....63a..49C |bibcode-access=free |last2=Saperstein |first2=Alvin M. |volume=63 |issue=1 |journal=Physics Today |doi=10.1063/1.3293416 |doi-access=free }}</ref>

===Microscópio de Heisenberg===
[[Imagem:Heisenberg gamma ray microscope.svg|thumb|200px|right|Microscópio de raios gama de Heisenberg para localizar um elétron (mostrado em azul). O raio gama incidente (mostrado em verde) é espalhado pelo elétron para cima no ângulo ''θ'' de abertura do microscópio. O raio gama espalhado é mostrado em vermelho. A [[óptica]] clássica mostra que a posição do elétron pode ser resolvida apenas até uma incerteza Δ''x'' que depende de ''θ'' e do comprimento de onda ''λ'' da luz incidente.]]
<!--{{Artigo principal|:en:Heisenberg's microscope}}-->
O princípio é bastante contra-intuitivo, então os primeiros estudantes da teoria quântica tiveram que ser tranquilizados de que medições ingênuas para violá-lo estavam fadadas a ser sempre impraticáveis. Uma maneira pela qual Heisenberg ilustrou originalmente a impossibilidade intrínseca de violar o princípio da incerteza é usando o [[efeito do observador]] de um microscópio imaginário como um dispositivo de medição.<ref name="Heisenberg_1930"/>

Ele imagina um experimentador tentando medir a posição e o momento de um [[elétron]] disparando um [[fóton]] contra ele.<ref name=GreensteinZajonc2006>{{Cite book |first1=George |last1=Greenstein |first2=Arthur |last2=Zajonc <!--|authorlink2=:en:Arthur Zajonc-->|title=The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics |year=2006 |publisher=''Jones & Bartlett Learning'' |isbn=978-0-7637-2470-2 }}</ref>{{RP|49–50}}
* Problema 1 – Se o fóton tem um [[comprimento de onda]] curto e, portanto, um grande momento, a posição pode ser medida com precisão. Mas o fóton se espalha em uma direção aleatória, transferindo uma quantidade grande e incerta de momento para o elétron. Se o fóton tem um [[comprimento de onda]] longo e baixo momento, a colisão não perturba muito o momento do elétron, mas o espalhamento revelará sua posição apenas vagamente.
* Problema 2 – Se uma grande [[Abertura (óptica)|abertura]] for usada para o microscópio, a localização do elétron pode ser bem resolvida (<!--veja o --><!--[[:en:https://en.m.wikipedia.org/wiki/Angular_resolution#The_Rayleigh_criterion]]-->critério de Rayleigh); mas pelo princípio de [[Momento linear#Conservação|conservação do momento]], o momento transversal do fóton incidente afeta o momento da linha de feixe do elétron e, portanto, o novo momento do elétron é mal resolvido. Se uma pequena abertura for usada, a precisão de ambas as resoluções é o inverso.

A combinação dessas compensações implica que não importa qual comprimento de onda do fóton e tamanho de abertura sejam usados, o produto da incerteza na posição medida e no momento medido é maior ou igual a um limite inferior, que é (até um pequeno fator numérico) igual à [[constante de Planck]].<ref>{{Citation |last1=Tipler |first1=Paul A. |first2=Ralph A. |last2=Llewellyn |title=Modern Physics |volume=3 |publisher=''W.H. Freeman & Co.'' |year=1999 |isbn=978-1572591646|lccn= 98046099
|url-access=|url=https://archive.org/details/modernphysics0003tipl |page=3 }}</ref> Heisenberg não se preocupou em formular o princípio da incerteza como um limite exato e preferiu usá-lo, em vez disso, como uma declaração quantitativa heurística, correta até pequenos fatores numéricos, o que torna inevitável a não comutatividade radicalmente nova da mecânica quântica.

===Incerteza quântica intrínseca===
Historicamente, o princípio da incerteza tem sido confundido<ref>{{Citation |último=Furuta |primeiro=Aya |título=''One Thing Is Certain: Heisenberg's Uncertainty Principle Is Not Dead'' |periódico=Scientific American |ano=2012 |url=https://www.scientificamerican.com/article/heisenbergs-uncertainty-principle-is-not-dead/ |acessodata=2018-10-20 |arquivodata=2022-04-01 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20220401183444/https://www.scientificamerican.com/article/heisenbergs-uncertainty-principle-is-not-dead/ |urlmorta= não}}</ref><ref name="Ozawa2003">{{Citation |último=Ozawa |primeiro=Masanao |título=''Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement'' |periódico=Physical Review A |volume=67 |ano=2003 |doi=10.1103/PhysRevA.67.042105 |arxiv=quant-ph/0207121 |bibcode=2003PhRvA..67d2105O |número=4 |páginas=42105 |s2cid=42012188 }}</ref> com um efeito relacionado na [[física]], chamado [[efeito do observador]], que observa que as medições de certos sistemas não podem ser feitas sem afetar o sistema,<ref>{{Citation |último=Wheeler |primeiro=John Archibald |título=''The 'Past' and the 'Delayed-Choice' Double-Slit Experiment'' |data=1978-01-01 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780124732506500066 |obra=Mathematical Foundations of Quantum Theory |páginas=9–48 |editor-sobrenome=Marlow |editor-nome=A. R. |acessodata=2023-07-19 |publicado=''Academic Press'' |língua=en |doi=10.1016/b978-0-12-473250-6.50006-6 |isbn=978-0-12-473250-6 |arquivodata=2022-12-10 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20221210014455/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780124732506500066 |urlmorta= não}}</ref><ref>{{Citation |último=Wheeler |primeiro=John Archibald |título=''Include the Observer in the Wave Function?'' |data=1977 |url=https://doi.org/10.1007/978-94-010-1196-9_1 |obra=Quantum Mechanics, A Half Century Later: Papers of a Colloquium on Fifty Years of Quantum Mechanics, Held at the University Louis Pasteur, Strasbourg, May 2–4, 1974 |páginas=1–18 |editor-sobrenome=Lopes |editor-nome=José Leite |acessodata=2023-07-19 |series=''Episteme'' |local=''Dordrecht'' |publicado=''Springer Netherlands'' |língua=en |doi=10.1007/978-94-010-1196-9_1 |isbn=978-94-010-1196-9 |editor-sobrenome2=Paty |editor-nome2=Michel |arquivodata=2024-02-23 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20240223170245/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-010-1196-9_1 |urlmorta= não}}</ref> isto é, sem mudar algo em um sistema. Heisenberg usou tal efeito do observador no nível quântico (veja abaixo) como uma "explicação" física da incerteza quântica.<ref>Werner Heisenberg, ''The Physical Principles of the Quantum Theory'', p. 20</ref> Desde então, tornou-se mais claro, no entanto, que o princípio da incerteza é inerente às propriedades de todos os [[Onda|sistemas semelhantes a ondas]],<ref name="Rozema">{{citar periódico|último1=Rozema |primeiro1=L. A. |último2=Darabi |primeiro2=A. |último3=Mahler |primeiro3=D. H. |último4=Hayat |primeiro4=A. |último5=Soudagar |primeiro5=Y. |último6=Steinberg |primeiro6=A. M. |doi=10.1103/PhysRevLett.109.100404 |arxiv=1208.0034v2 |título=''Violation of Heisenberg's Measurement–Disturbance Relationship by Weak Measurements'' |periódico=Physical Review Letters |volume=109 |número=10 |ano=2012 |pmid=23005268 |bibcode=2012PhRvL.109j0404R |página=100404 |s2cid=37576344 }}</ref> e que surge na mecânica quântica simplesmente devido à natureza [[Onda de matéria|ondulatória da matéria]] de todos os objetos quânticos.<ref>{{citar periódico|último=De Broglie |primeiro=Louis |data=outubro de 1923 |título=''Waves and Quanta'' |periódico=Nature |língua=en |volume=112 |número=2815 |páginas=540 |doi=10.1038/112540a0 |bibcode=1923Natur.112..540D |s2cid=186242764 |issn=1476-4687 |doi-access=free }}</ref> Assim, o princípio da incerteza na verdade afirma uma propriedade fundamental dos sistemas quânticos e não é uma declaração sobre o sucesso observacional da tecnologia atual.<ref name=nptel>{{YouTube|TcmGYe39XG0|''Indian Institute of Technology Madras, Professor V. Balakrishnan, Lecture 1 – Introduction to Quantum Physics; Heisenberg's uncertainty principle, National Programme of Technology Enhanced Learning''}}</ref>

==Reações críticas==
{{Artigo principal|Debates Bohr–Einstein{{!}}Debates entre Einstein e Bohr}}
A interpretação de Copenhague da mecânica quântica e o princípio da incerteza de Heisenberg foram, de fato, vistos inicialmente como alvos gêmeos pelos detratores. De acordo com a [[interpretação de Copenhague]] da mecânica quântica, não há realidade fundamental que o [[estado quântico]] descreva, apenas uma prescrição para calcular resultados experimentais. Não há como dizer qual é fundamentalmente o estado de um sistema, apenas qual pode ser o resultado das observações.

[[Albert Einstein]] acreditava que a aleatoriedade é um reflexo da nossa ignorância de alguma propriedade fundamental da realidade, enquanto [[Niels Bohr]] acreditava que as distribuições de probabilidade são fundamentais e irredutíveis, e dependem de quais medições escolhemos realizar. [[Debates Bohr–Einstein|Einstein e Bohr]] debateram o princípio da incerteza por muitos anos.

===Observador imparcial ideal===
Wolfgang Pauli chamou a objeção fundamental de Einstein ao princípio da incerteza de "o ideal do observador imparcial" (frase traduzida do alemão):
{{Blockquote|"Assim como a lua tem uma posição definida," Einstein me disse no inverno passado, "quer olhemos ou não para a lua, o mesmo deve valer para os objetos atômicos, pois não há distinção nítida possível entre estes e objetos macroscópicos. A observação não pode ''criar'' um elemento de realidade como uma posição, deve haver algo contido na descrição completa da realidade física que corresponda à ''possibilidade'' de observar uma posição, já antes que a observação tenha sido realmente feita." Espero ter citado Einstein corretamente; é sempre difícil citar alguém de memória com quem não concordamos. É precisamente esse tipo de postulado que chamo de ideal do observador imparcial.
|Carta de Pauli para Niels Bohr, 15 de fevereiro de 1955<ref>{{Cite book |last1=Enz |first1=Charles Paul |last2=von Meyenn |first2=Karl |title=Writings on Physics and Philosophy by Wolfgang Pauli |url=https://books.google.com/books?id=ueTd4g7pc5MC&pg=PA43 |publisher=''Springer-Verlag'' |year=1994 |page=43 |translator=Robert Schlapp |isbn=3-540-56859-X |access-date=2018-02-10 |archive-date=2020-08-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200819235529/https://books.google.com/books?id=ueTd4g7pc5MC&pg=PA43 |url-status=live }}</ref>}}

===Fenda de Einstein===
O primeiro [[experimento mental]] de Einstein desafiando o princípio da incerteza foi o seguinte:
<blockquote>Considere uma partícula passando por uma fenda de largura {{Mvar|d}}. A fenda introduz uma incerteza no momento de aproximadamente ⁠{{Mvar|{{Sfrac|h|d}}}} porque a partícula passa pela parede. Mas vamos determinar o momento da partícula medindo o recuo da parede. Ao fazer isso, encontramos o momento da partícula com precisão arbitrária pela conservação do momento.</blockquote>

A resposta de Bohr foi que a parede também é mecânica quântica, e que para medir o recuo com precisão {{Math|Δ''p''}}, o momento da parede deve ser conhecido com essa precisão antes que a partícula passe. Isso introduz uma incerteza na posição da parede e, portanto, a posição da fenda igual a ⁠{{Math|{{Sfrac|''h''|Δ''p''}}}}, e se o momento da parede for conhecido com precisão suficiente para medir o recuo, a posição da fenda é incerta o suficiente para não permitir uma medição de posição.

Uma análise semelhante com partículas difratando através de múltiplas fendas é dada por [[Richard Feynman]].<ref>''Feynman lectures on Physics'', volume 3, 2–2</ref>

===A caixa de Einstein===
Bohr estava presente quando Einstein propôs o experimento mental que ficou conhecido como <!--[[:en:Einstein's box]]-->a caixa de Einstein. Einstein argumentou que "a equação de incerteza de Heisenberg implicava que a incerteza no tempo estava relacionada à incerteza na energia, o produto dos dois sendo relacionado à constante de Planck."<ref name="Gamow">Gamow, G., ''The great physicists from Galileo to Einstein'', ''Courier Dover'', 1988, p.260.</ref> Considere, ele disse, uma caixa ideal, forrada com espelhos para que possa conter luz indefinidamente. A caixa poderia ser pesada antes que um mecanismo de relógio abrisse um obturador ideal em um instante escolhido para permitir que um único fóton escapasse. "Agora sabemos, explicou Einstein, precisamente o momento em que o fóton deixou a caixa."<ref>Kumar, M., ''Quantum: Einstein, Bohr and the Great Debate About the Nature of Reality'', ''Icon'', 2009, p. 282.</ref> "Agora, pese a caixa novamente. A mudança de massa informa a energia da luz emitida. Dessa maneira, disse Einstein, pode-se medir a energia emitida e o momento em que foi liberada com qualquer precisão desejada, em contradição com o princípio da incerteza."<ref name="Gamow" />

Bohr passou uma noite sem dormir considerando esse argumento e, eventualmente, percebeu que ele era falho. Ele ressaltou que se a caixa fosse pesada, digamos, por uma mola e um ponteiro em uma balança, "já que a caixa deve se mover verticalmente com uma mudança em seu peso, haverá incerteza em sua velocidade vertical e, portanto, uma incerteza em sua altura acima da mesa. ... Além disso, a incerteza sobre a elevação acima da superfície da Terra resultará em uma incerteza na taxa do relógio",<ref>Gamow, G., ''The great physicists from Galileo to Einstein'', ''Courier Dover'', 1988, pp. 260–261. {{ISBN?}}</ref> por causa da própria teoria de Einstein sobre o [[Dilatação gravitacional do tempo|efeito da gravidade no tempo]]. "Por meio dessa cadeia de incertezas, Bohr mostrou que o experimento da caixa de luz de Einstein não poderia medir simultaneamente exatamente a energia do fóton e o tempo de sua fuga."<ref>{{Cite book |last=Kumar |first=M. |title=Quantum: Einstein, Bohr and the Great Debate About the Nature of Reality |publisher=''Icon'' |year=2009 |page=287 |language=en}}</ref>

===Paradoxo de Einstein, Podolsky, e Rosen para partículas emaranhadas===
{{Artigo principal|Paradoxo EPR{{!}}Paradoxo de Einstein, Podolsky, e Rosen}}
Em 1935, Einstein, [[Boris Podolsky]] e [[Nathan Rosen]] publicaram uma análise de partículas [[Entrelaçamento quântico|emaranhadas]] espacialmente separadas (paradoxo de Einstein, Podolsky, e Rosen).<ref>{{Cite journal |last1=Einstein |first1=A. |last2=Podolsky |first2=B. |last3=Rosen |first3=N. |date=1935-05-15 |title=''Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?'' |journal=Physical Review |volume=47 |issue=10 |pages=777–780 |doi=10.1103/PhysRev.47.777|bibcode=1935PhRv...47..777E |doi-access=free }}</ref> De acordo com Einstein, Podolsky, e Rosen, pode-se medir a posição de uma das partículas emaranhadas e o momento da segunda partícula, e dessas medições deduzir a posição e o momento de ambas as partículas com qualquer precisão, violando o princípio da incerteza. Para evitar tal possibilidade, a medição de uma partícula deve modificar a distribuição de probabilidade da outra partícula instantaneamente, possivelmente violando o <!--[[:en:Principle of locality-->princípio de localidade.<ref>{{Cite book |last=Kumar |first=Manjit |title=Quantum: Einstein, Bohr and the great debate about the nature of reality |date=2011 |publisher=''Norton'' |isbn=978-0-393-33988-8 |edition=''1st papperback''. |location=''New York''}}</ref>

Em 1964, [[John Stewart Bell]] mostrou que essa suposição pode ser falsificada, uma vez que implicaria uma certa [[Teorema de Bell|desigualdade]] entre as probabilidades de diferentes experimentos. [[Experiências dos testes de Bell|Resultados experimentais]] confirmam as previsões da mecânica quântica, descartando a suposição básica de Einstein, Podolsky, e Rosen de [[Teoria das variáveis ocultas locais|variáveis ocultas locais]].

===As críticas de Popper===
{{Artigo principal|Experiência de Popper}}
O filósofo da ciência [[Karl Popper]] abordou o problema da indeterminação como um lógico e [[Realismo filosófico|realista metafísico]].<ref name="Popper1959">{{Cite book |last1=Popper |first1=Karl |author-link1=Karl Popper |title=The Logic of Scientific Discovery |publisher=''Hutchinson & Co.'' |year=1959|títulolink=A Lógica da Pesquisa Científica |language=en}}</ref> Ele discordou da aplicação das relações de incerteza a partículas individuais em vez de [[Estatística quântica|conjuntos]] de partículas preparadas de forma idêntica, referindo-se a elas como "relações de dispersão estatística".<ref name="Popper1959" /><ref name="Jarvie2006">{{Cite book |last1=Jarvie |first1=Ian Charles |last2=Milford |first2=Karl |last3=Miller |first3=David W. |title=Karl Popper: a centenary assessment |volume=3 |publisher=''Ashgate Publishing'' |year=2006 |isbn=978-0-7546-5712-5 |language=en}}</ref> Nessa interpretação estatística, uma medição ''particular'' pode ser feita com precisão arbitrária sem invalidar a teoria quântica.

Em 1934, Popper publicou {{Lang|de<!--|italic=no|-->|''Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen''}} (''Crítica das relações de incerteza'') em {{Lang|de<!--|italic=no|-->|''[[Naturwissenschaften]]''}},<ref name="Popper1934">{{Cite journal |title=''Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen'' language=de |trans-title=Crítica das Relações de Incerteza |journal=Naturwissenschaften |year=1934 |first=Karl |last=Popper |author2=Carl Friedrich von Weizsäcker |volume=22 |issue=48 |pages=807–808 |doi=10.1007/BF01496543 |bibcode=1934NW.....22..807P |s2cid=40843068 }}</ref> e no mesmo ano [[A Lógica da Pesquisa Científica|{{Lang|de<!--|italic=no|-->|''Logik der Forschung''}}]] (traduzido e atualizado pelo autor como ''A lógica da descoberta científica'' em 1959<ref name="Popper1959" />), delineando seus argumentos para a interpretação estatística. Em 1982, ele desenvolveu ainda mais sua teoria em ''Teoria quântica e o cisma na física'', escrevendo:
{{Quote|As fórmulas [de Heisenberg] são, sem sombra de dúvida, ''fórmulas estatísticas'' deriváveis da teoria quântica. Mas elas têm sido ''habitualmente mal interpretadas'' por aqueles teóricos quânticos que disseram que essas fórmulas podem ser interpretadas como determinando algum limite superior para a ''precisão de nossas medições''. [ênfase original]<ref>{{Cite book |last=Popper |first=K. |title=Quantum theory and the schism in Physics |publisher=''Unwin Hyman'' |year=1982 |pages=53–54 |language=en}}</ref>}}

Popper propôs um experimento para [[Falseabilidade|falsificar]] as relações de incerteza, embora mais tarde tenha retirado sua versão inicial após discussões com [[Carl Friedrich von Weizsäcker]], Heisenberg e Einstein; Popper enviou seu artigo a Einstein e ele pode ter influenciado a formulação do paradoxo de Einstein, Podolsky, e Rosen.<ref name="Mehra2001">{{Cite book |last1=Mehra |first1=Jagdish |last2=Rechenberg |first2=Helmut <!--|author-link1=:en:Jagdish Mehra |author-link2=:en:Helmut Rechenberg -->|title=The Historical Development of Quantum Theory |publisher=''Springer'' |year=2001 |isbn=978-0-387-95086-0 |url-access=registro |url=https://archive.org/details/completionofquan0000mehr |language=en}}</ref>{{Rp|720}}

===Livre arbítrio===
Alguns cientistas, incluindo [[Arthur Holly Compton|Arthur Compton]]<ref>{{Cite journal |doi=10.1126/science.74.1911.172 |title=''The Uncertainty Principle and Free Will'' |journal=Science |volume=74 |issue=1911 |pages=172 |year=1931 |last1=Compton  |first1=A. H. |pmid=17808216 |bibcode=1931Sci....74..172C |s2cid=29126625}}</ref> e <!--[[:en:Martin Heisenberg]]-->Martin Heisenberg,<ref>{{Cite journal |doi=10.1038/459164a |pmid=19444190 |title=''Is free will an illusion?'' |journal=Nature |volume=459 |issue=7244 |pages=164–165 |year=2009 |last1=Heisenberg  |first1=M. |bibcode=2009Natur.459..164H  |s2cid=4420023|doi-access=free }}</ref> sugeriram que o princípio da incerteza, ou pelo menos a natureza probabilística geral da mecânica quântica, poderia ser uma evidência para o modelo de dois estágios do livre-arbítrio. Uma crítica, no entanto, é que, além do papel básico da mecânica quântica como uma fundação para a química, [[Biologia quântica|mecanismos biológicos não triviais que requerem mecânica quântica]] são improváveis, devido ao rápido tempo de [[Decoerência quântica|decoerência]] dos sistemas quânticos à temperatura ambiente.<ref name="ReferenceA">{{Cite journal |doi=10.1016/j.biosystems.2004.07.001 |pmid=15555759 |title=''Does quantum mechanics play a non-trivial role in life?'' |journal=Biosystems |volume=78 |issue=1–3 |pages=69–79 |year=2004 |last1=Davies |first1=P. C. W. |bibcode=2004BiSys..78...69D |language=en}}</ref> Os proponentes desta teoria comumente dizem que esta decoerência é superada por subespaços de triagem e livres de decoerência encontrados em células biológicas.<ref name="ReferenceA"/>

===Termodinâmica===
Há razões para acreditar que a violação do princípio da incerteza também implica fortemente a violação da [[segunda lei da termodinâmica]].<ref>{{Cite journal |arxiv=1205.6894 |doi=10.1038/ncomms2665 |title=''A violation of the uncertainty principle implies a violation of the second law of thermodynamics'' |year=2013 |last1=Hänggi |first1=Esther |last2=Wehner |first2=Stephanie |journal=Nature Communications |volume=4 |pages=1670 |pmid=23575674 |bibcode=2013NatCo...4.1670H |s2cid=205316392}}</ref><!-- Veja [[:en:Gibbs paradox|paradoxo de Gibbs]].-->

===Rejeição do princípio===
Princípios de incerteza relacionam partículas quânticas – elétrons por exemplo – a conceitos clássicos – posição e momento. Isso pressupõe que partículas quânticas têm posição e momento. <!--[[:en:Edwin C. Kemble]]-->Edwin C. Kemble apontou<ref>{{Cite book |last=Kemble |first=E. C. |year=1937 |title=The Fundamental Principles of Quantum Mechanics |location=''New York'' |publisher=''McGraw-Hill'', reimpresso por ''Dover'' |page=244 |language=en}}</ref><!----> em 1937 que tais propriedades não podem ser verificadas experimentalmente e assumir que elas existem dá origem a muitas contradições; similarmente [[Rudolf Haag]] observa que posição na mecânica quântica é um atributo de uma interação, digamos entre um elétron e um detector, não uma propriedade intrínseca.<ref>{{Cite book |last=Haag |first=R. |year=1996 |title=Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras |location=''Berlin'' |publisher=''Springer'' |language=en}}{{Falta página|date=02-2024}}{{ISBN?}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Peres |first1=Asher |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.76.93 |title=''Quantum information and relativity theory'' |last2=Terno |first2=Daniel R. |journal=Reviews of Modern Physics |date=2004-01-06 |volume=76 |issue=1 |pages=93–123 [111] |language=en |doi=10.1103/RevModPhys.76.93 |arxiv=quant-ph/0212023 |bibcode=2004RvMP...76...93P |s2cid=7481797 |issn=0034-6861 |access-date=2024-01-25 |archive-date=2024-02-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240223160147/https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.76.93 |url-status=live }}</ref> Deste ponto de vista, o princípio da incerteza não é uma propriedade quântica fundamental, mas um conceito "transportado a partir da linguagem de nossos ancestrais", como diz Kemble.

==Aplicações==
Como o princípio da incerteza é um aspecto fundamental na mecânica quântica, experimentos típicos em mecânica quântica observam rotineiramente aspectos dele. Todas as formas de [[espectroscopia]], incluindo a [[física de partículas]], usam a relação para relacionar a largura da linha de energia medida ao tempo de vida dos estados quânticos. Certos experimentos, no entanto, podem testar deliberadamente uma forma particular do princípio da incerteza como parte de seu principal [[programa de pesquisa]]. Isso inclui, por exemplo, testes de relações de incerteza do par número-fase em sistemas [[Supercondutividade|supercondutores]]<ref>{{Cite journal |último1=Elion |primeiro1=W. J. |último2=Matters |primeiro2=M. |último3=Geigenmüller |primeiro3=U. |último4=Mooij |primeiro4=J. E. |título=''Direct demonstration of Heisenberg's uncertainty principle in a superconductor'' |periódico=Nature |volume=371 |páginas=594–595 |ano=1994 |doi=10.1038/371594a0 |bibcode=1994Natur.371..594E |número=6498 |s2cid=4240085 |language=en}}</ref> ou de [[óptica quântica]].<ref>{{Cite journal |last1=Smithey |first1=D. T. |first2=M. |last2=Beck |first3=J. |last3=Cooper |first4=M. G. |last4=Raymer | title=''Measurement of number–phase uncertainty relations of optical fields'' | journal=Physical Review A |volume=48 | pages=3159–3167 | year=1993|doi=10.1103/PhysRevA.48.3159|bibcode = 1993PhRvA..48.3159S|issue=4|pmid=9909968 |language=en}}</ref> As aplicações dependentes do princípio da incerteza para sua operação incluem tecnologia de ruído extremamente baixo, como a necessária em <!--[[:en:Gravitational-wave interferometer]]-->interferômetros de [[Onda gravitacional|ondas gravitacionais]].<ref>{{Citar periódico |último=Caves |primeiro=Carlton |título=''Quantum-mechanical noise in an interferometer'' |periódico=Physical Review D |volume=23 |páginas=1693–1708 |ano=1981 |doi=10.1103/PhysRevD.23.1693 |bibcode=1981PhRvD..23.1693C |número=8 |language=en}}</ref>

== Influência na cultura ==
O princípio da incerteza e da complementaridade são envolvidos no texto da peça teatral [[Copenhagen (teatro)|Copenhagen]], de [[Michael Frayn]], uma conversa pós-morte entre Heisenberg, [[Niels Bohr|Bohr]] e sua esposa Margrette, baseada no encontro dos cientistas em 1941. É possível perceber os princípios da incerteza, da complementaridade e a participação de Heisenberg na possível construção da [[Projeto de energia nuclear alemão|bomba atômica alemã]]. O princípio de Heisenberg aparece como inspiração para o eixo central de uma estrutura textual que produz diferentes sentidos de incerteza, ligados, metaforicamente, a elementos do princípio da incerteza da Teoria Quântica, produzindo um deslocamento das entidades da microfísica para entidades humanas. Limites [[Epistemologia|epistêmicos]] associados à [[ontologia]] das entidades se transformaram em supostos limites para julgamentos ético-morais.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.scielo.br/j/ciedu/a/nNR56QzkHhSqJptYxBZ8mmm/?lang=pt |título=O Princípio da Incerteza de Heisenberg pelo Texto Teatral Copenhagen |data=2021-03-26 |acessodata=2024-09-17 |periódico=Ciência & Educação (Bauru) |ultimo=Silva |primeiro=Henrique César da |ultimo2=Barros |primeiro2=Mayara de Almeida |paginas=e21005 |lingua=pt |doi=10.1590/1516-731320210005 |issn=1516-7313}}</ref>

==Ver também==
*[[Introdução à mecânica quântica]] – Introdução não matemática
*[[Lei de Goodhart]] – Adágio sobre medidas estatísticas — quando se tenta usar uma medida estatística para fins de controle (direção), sua validade estatística se desintegra
*[[Princípio da correspondência]] – Princípio da física formulado por Niels Bohr
*[[Relações de incerteza mais fortes]] – Desenvolvimentos posteriores do princípio de Heisenberg
*[[Sobreposição quântica]] – Princípio da mecânica quântica
*[[Tunelamento quântico]] – Fenômeno da mecânica quântica

== Notas ==
* {{Atribuição de conteúdo livre|{{Citar periódico |url=http://www.scielo.br/j/ciedu/a/nNR56QzkHhSqJptYxBZ8mmm/?lang=pt |titulo=O Princípio da Incerteza de Heisenberg pelo Texto Teatral Copenhagen |data=2021-03-26 |acessodata=2021-10-29 |jornal=Ciência & Educação (Bauru) |ultimo=Silva |primeiro=Henrique César da |ultimo2=Barros |primeiro2=Mayara de Almeida |lingua=pt |doi=10.1590/1516-731320210005 |issn=1516-7313}}|url da licença=https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/|licença=CC-BY-4.0}}

{{Referências}}

== Bibliografia ==

* {{citar Q|Q104034652}}

* {{citar Q|Q104035606}}

* [[Isaac Asimov|ASIMOV, Isaac]]. ''O que é o Princípio da Incerteza de Heisenberg?'' In: ASIMOV, Isaac. Asimov Explica. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1986. 3ª Edição. (Trad. Edna Feldman.) &nbsp;Disponível em: [https://livrepensamento.com/2016/06/01/asimov-explica-o-principio-da-incerteza/ https://livrepensamento.com/2016/06/01/asimov-explica-o-principio-da-incerteza/]. Acesso em: 4/11/2018.

==Ligações externas==
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