Mostrar código-fonte de Problema de dois corpos

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 |footer=''Esquerda'': Dois corpos com [[massa]] semelhante orbitando um [[baricentro]] comum externo a ambos os corpos, com [[órbitas elípticas]], típicas de [[estrelas binárias]]. ''Direita'': Dois corpos com uma "leve" diferença de massa orbitando um baricentro comum. Os tamanhos e esse tipo de [[órbita]] são semelhantes ao [[Plutão#Satélites naturais|sistema Plutão-Caronte]] (no qual o baricentro é externo a ambos os corpos) e ao sistema [[Terra]]-[[Lua]], onde o baricentro é interno ao corpo maior.
}}
{{Astrodinâmica}}
Na [[mecânica clássica]], o '''problema de dois corpos''' é prever o movimento de dois objetos massivos que são vistos abstratamente como [[ponto material]]. O problema assume que os dois objetos interagem apenas um com o outro; a única força que afeta cada objeto surge do outro, e todos os outros objetos são ignorados.

O caso mais proeminente do problema clássico de dois corpos é o caso gravitacional (veja também o [[problema de Kepler]]), surgindo na [[astronomia]] para prever as [[órbita]]s (ou escapes da órbita) de objetos como [[Satélite artificial|satélites]], [[planeta]]s e [[estrela]]s. Um modelo de partículas de dois pontos de tal sistema quase sempre descreve seu comportamento bem o suficiente para fornecer percepções e previsões úteis.

Um modelo mais simples de "um corpo", o "[[Problema clássico de força central|problema de força central]]", trata um objeto como a fonte imóvel de uma força agindo sobre o outro. Em seguida, procura-se prever o movimento do único objeto móvel remanescente. Tal aproximação pode dar resultados úteis quando um objeto é muito mais massivo que o outro (como em um planeta leve orbitando uma estrela pesada, onde a estrela pode ser tratada como essencialmente estacionária).

No entanto, a aproximação de um corpo geralmente é desnecessária, exceto como um trampolim. Para muitas forças, incluindo as gravitacionais, a versão geral do problema de dois corpos pode ser [[#Redução a dois problemas independentes de um corpo|reduzida a um par de problemas de um corpo]], permitindo que seja resolvido completamente e fornecendo uma solução simples o suficiente para ser usada de maneira eficaz.

Em contraste, o [[problema de três corpos]] (e, mais geralmente, o [[Problema dos n-corpos|Problema de ''n''-corpos]] para ''n'' ≥ 3) não pode ser resolvido em termos de primeiras integrais, exceto em casos especiais.

== Resultados para casos de destaque ==
=== Gravidade e outros exemplos de quadrado inverso ===
O problema de dois corpos é interessante na [[astronomia]] porque pares de objetos astronômicos geralmente estão se movendo rapidamente em direções arbitrárias (para que seus movimentos se tornem interessantes), amplamente separados um do outro (para que não colidam) e ainda mais amplamente separados de outros objetos (assim as influências externas serão pequenas o suficiente para serem ignoradas com segurança).

Sob a força da [[gravidade]], cada membro de um par desses objetos orbitará seu centro de massa mútuo em um padrão elíptico, a menos que eles estejam se movendo rápido o suficiente para escapar um do outro completamente, caso em que seus caminhos divergirão ao longo de outras [[Cónica|seções cônicas]] planares. Se um objeto for muito mais pesado que o outro, ele se moverá muito menos que o outro com referência ao [[centro de massa]] compartilhado. O centro de massa mútuo pode até estar dentro do objeto maior.

Para a derivação das soluções para o problema, veja [[Problema clássico de força central]] ou [[problema de Kepler]].

Em princípio, as mesmas soluções se aplicam a problemas macroscópicos envolvendo objetos interagindo não apenas pela gravidade, mas por qualquer outro campo de força escalar atrativo obedecendo a uma [[Lei do inverso quadrado]], sendo a [[Lei de Coulomb|atração eletrostática]] o exemplo físico óbvio. Na prática, esses problemas raramente surgem. Exceto talvez em aparatos experimentais ou outros equipamentos especializados, raramente encontramos objetos de interação eletrostática que estão se movendo rápido o suficiente e em uma direção que evite colisões e/ou que estejam suficientemente isolados de seus arredores.

O sistema dinâmico de um sistema de dois corpos sob a influência do torque acaba por ser uma [[equação de Sturm-Liouville]].<ref>{{citar periódico|último1=Luo |primeiro1=Siwei |título=The Sturm-Liouville problem of two-body system |periódico=Journal of Physics Communications |data=22-06-2020 |volume=4 |número=6 |página=061001 |doi=10.1088/2399-6528/ab9c30|bibcode=2020JPhCo...4f1001L |doi-access=free }}</ref>

=== Inaplicabilidade a átomos e partículas subatômicas ===
Embora o modelo de dois corpos trate os objetos como [[ponto material]], a [[mecânica clássica]] só se aplica a sistemas de escala macroscópica. A maior parte do comportamento das partículas subatômicas ''não'' pode ser prevista sob as suposições clássicas subjacentes a este artigo ou usando a matemática aqui.

Os [[elétron]]s em um átomo às vezes são descritos como "orbitando" seu [[Núcleo atómico|núcleo]], seguindo uma [[Átomo de Bohr|conjectura inicial]] de [[Niels Bohr]] (esta é a fonte do termo "[[Orbital atômico|orbital]]"). No entanto, os elétrons não orbitam os núcleos em nenhum sentido significativo, e a [[mecânica quântica]] é necessária para qualquer compreensão útil do comportamento real do elétron. Resolver o problema clássico de dois corpos para um elétron orbitando um núcleo atômico é enganoso e não produz muitas percepções úteis.

== Redução a dois problemas independentes de um corpo ==
O problema de dois corpos completo pode ser resolvido reformulando-o como dois problemas de um corpo: um trivial e um que envolve a solução para o movimento de uma partícula em um [[potencial]] externo. Como muitos problemas de um corpo podem ser resolvidos exatamente, o problema de dois corpos correspondente também pode ser resolvido.

[[Imagem:Two-body Jacobi coordinates.JPG|thumb|300px|[[Coordenadas de Jacobi]] para o problema de dois corpos; As coordenadas de Jacobi são <math>\boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2 </math> e <math>\boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 </math> com <math>M = m_1+m_2 \ </math>.<ref name=Betounes>{{citar livro|título=Differential Equations|autor=David Betounes|url=https://archive.org/details/differentialequa0000beto|acessourl=registro| isbn=0-387-95140-7 |página=58; Figure 2.15|data=2001|publicado=Springer}}</ref>]]

Sejam {{math|'''x'''<sub>1</sub>}} e {{math|'''x'''<sub>2</sub>}} as posições vetoriais dos dois corpos, e ''m''<sub>1</sub> e ''m''<sub>2</sub> suas [[massa]]s. O objetivo é determinar as trajetórias {{math|'''x'''<sub>1</sub>(''t'')}} e {{math|'''x'''<sub>2</sub>(''t'')}} para todos os tempos ''t'', dadas as posições iniciais {{math|1='''x'''<sub>1</sub>(''t'' = 0)}} e {{math|1='''x'''<sub>2</sub>(''t'' = 0)}} e as velocidades iniciais {{math|1='''v'''<sub>1</sub>(''t'' = 0)}} e {{math|1='''v'''<sub>2</sub>(''t'' = 0)}}.

Quando aplicada às duas massas, a [[Leis de Newton#Segunda lei de Newton|segunda lei de Newton]] afirma que
{{NumBlk||<math display="block">\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1} </math>|Equação {{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk||<math display="block">\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2} </math>|Equação {{EquationRef|2}}}}

onde '''F'''<sub>12</sub> é a força na massa 1 devido às suas interações com a massa 2 e '''F'''<sub>21</sub> é a força na massa 2 devido às suas interações com a massa 1. Os dois pontos no topo dos vetores de posição '''x''' denotam sua segunda derivada em relação ao tempo, ou seus vetores de aceleração.

Adicionar e subtrair essas duas equações as separa em dois problemas de um corpo, que podem ser resolvidos independentemente. A ''adição'' das equações ({{EquationNote|1}}) e ({{EquationNote|2}}) resulta em uma equação que descreve o movimento do [[centro de massa]] ([[baricentro]]). Por outro lado, ''subtrair'' a equação (2) da equação (1) resulta em uma equação que descreve como o vetor {{math|1='''r''' = '''x'''<sub>1</sub> − '''x'''<sub>2</sub>}} entre as massas muda com o tempo. As soluções desses problemas independentes de um corpo podem ser combinadas para obter as soluções para as trajetórias {{math|'''x'''<sub>1</sub>(''t'')}} e {{math|'''x'''<sub>2</sub>(''t'')}}.

=== Movimento do centro de massa (1.º problema de um corpo) ===
Seja <math>\mathbf{R} </math> a posição do [[centro de massa]] ([[baricentro]]) do sistema. A adição das equações de força ({{EquationNote|1}}) e ({{EquationNote|2}}) produz
<math display="block">m_1 \ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}}  = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0</math>
onde usamos a [[Leis de Newton#Terceira lei de Newton|terceira lei de Newton]] {{math|1='''F'''<sub>12</sub> = −'''F'''<sub>21</sub>}} e onde
<math display="block">\ddot{\mathbf{R}}  \equiv \frac{m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}.</math>

A equação resultante:
<math display="block">\ddot{\mathbf{R}}  = 0</math>
mostra que a velocidade <math>\mathbf{v} = \frac{dR}{dt}</math> do centro de massa é constante, do que se segue que o momento total {{math|''m''<sub>1</sub> '''v'''<sub>1</sub> + ''m''<sub>2</sub> '''v'''<sub>2</sub>}} também é constante ([[Momento linear#Conservação|conservação do momento]]). Assim, a posição {{math|'''R'''(''t'')}} do centro de massa pode ser determinada em todos os momentos a partir das posições e velocidades iniciais.

=== Movimento vetorial de deslocamento (2.º problema de um corpo) ===
Dividindo ambas as equações de força pelas respectivas massas, subtraindo a segunda equação da primeira, e reorganizando dá a equação
<math display="block">
\ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = 
\left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}
</math>
onde usamos novamente a [[Leis de Newton#Terceira lei de Newton|terceira lei de Newton]] {{math|1='''F'''<sub>12</sub> = −'''F'''<sub>21</sub>}} e onde {{math|'''r'''}} é o [[Deslocamento|vetor de deslocamento]] da massa 2 para a massa 1, conforme definido acima.

A força entre os dois objetos, que se origina nos dois objetos, deve ser apenas uma função de sua separação {{math|'''r'''}} e não de suas posições absolutas {{math|'''x'''<sub>1</sub>}} e {{math|'''x'''<sub>2</sub>}}; caso contrário, não haveria [[Invariante por translação|simetria translacional]] e as leis da física teriam que mudar de lugar para lugar. A equação subtraída pode, portanto, ser escrita:
<math display="block">\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})</math>
onde <math>\mu</math> é a '''[[massa reduzida]]'''
<math display="block">\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}.</math>

Resolver a equação para {{math|'''r'''(''t'')}} é a chave para o problema de dois corpos. A solução depende da força específica entre os corpos, que é definida por <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math>. Para o caso em que <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> segue uma [[lei do inverso quadrado]], veja o [[problema de Kepler]].

Uma vez que {{math|'''R'''(''t'')}} e {{math|'''r'''(''t'')}} tenham sido determinados, as trajetórias originais podem ser obtidas
<math display="block">\mathbf{x}_1(t) = \mathbf{R} (t) + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)</math>
<math display="block">\mathbf{x}_2(t) = \mathbf{R} (t) - \frac{m_1}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)</math>

como pode ser verificado substituindo as definições de {{math|'''R'''}}  and {{math|'''r'''}} no lado direito dessas duas equações.

== O movimento de dois corpos é planar ==
O movimento de dois corpos um em relação ao outro sempre ocorre em um plano (no [[Quadro de centro de momento|quadro de centro de massa]]).

Demonstração: Definindo o [[momento linear]] {{math|'''p'''}} e o [[momento angular]] {{math|'''L'''}} do sistema, em relação ao [[centro de massa]], pelas equações
<math display="block">\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times \mu \frac{d\mathbf{r}}{dt},</math>

onde {{mvar|μ}} é a [[massa reduzida]] e {{math|'''r'''}} é a posição relativa {{math|'''r'''<sub>2</sub> − '''r'''<sub>1</sub>}} (com estes escritos tomando o centro de massa como origem e, portanto, ambos paralelos a {{math|'''r'''}}) a taxa de variação do momento angular {{math|'''L'''}} é igual ao [[torque]] líquido {{math|'''N'''}}
<math display="block">\mathbf{N} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \dot{\mathbf{r}} \times \mu\dot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \mu\ddot{\mathbf{r}} \ ,</math>
e usando a propriedade do [[produto vetorial]] que {{math|1='''v''' × '''w''' = '''0'''}} para quaisquer vetores {{math|'''v'''}} e {{math|'''w'''}} apontando na mesma direção,
<math display="block"> \mathbf{N} \ = \ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \ ,</math>
com {{math|1='''F''' = ''μ''&thinsp;''d''{{i sup|2}}'''r'''/''dt''{{i sup|2}}}}.

Introduzindo a suposição (verdadeira para a maioria das forças físicas, pois elas obedecem à [[Leis de Newton#Terceira lei de Newton|terceira lei forte do movimento de Newton]]) de que a força entre duas partículas atua ao longo da linha entre suas posições, segue-se que {{math|1='''r''' × '''F''' =  '''0'''}} e o [[Momento angular#Conservação do momento angular|vetor momento angular {{math|'''L'''}} é constante]] (conservado). Portanto, o vetor deslocamento {{math|'''r'''}} e sua velocidade {{math|'''v'''}} estão sempre no plano [[Perpendicularidade|perpendicular]] ao vetor constante {{math|'''L'''}}.

== Energia do sistema de dois corpos ==
Se a força {{math|'''F'''('''r''')}} é [[Força conservativa|conservativa]] então o sistema tem uma [[energia potencial]] {{math|''U''('''r''')}}, então a [[Energia mecânica|energia]] total pode ser escrita como

<math display="block">E_\text{tot} = \frac{1}{2} m_1 \dot{\mathbf{x}}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{\mathbf{x}}_2^2 + U(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{\mathbf{R}}^2 + {1 \over 2} \mu \dot{\mathbf{r}}^2 + U(\mathbf{r})</math>

No referencial do [[centro de massa]], a [[Energia cinética#Quadro de referência|energia cinética]] é a mais baixa e a energia total torna-se

<math display="block">E = \frac{1}{2} \mu \dot{\mathbf{r}}^2 + U(\mathbf{r})</math>


As coordenadas {{math|'''x'''<sub>1</sub>}} e {{math|'''x'''<sub>2</sub>}} podem ser expressas como

<math display="block"> \mathbf{x}_1 = \frac{\mu}{m_1} \mathbf{r}</math>
<math display="block"> \mathbf{x}_2 = - \frac{\mu}{m_2} \mathbf{r}</math>

e de forma semelhante a energia {{math|''E''}} está relacionada com as energias {{math|''E''<sub>1</sub>}} e {{math|''E''<sub>2</sub>}} que contêm separadamente a energia cinética de cada corpo:

<math display="block">\begin{align}
E_1 & = \frac{\mu}{m_1} E = \frac{1}{2} m_1 \dot{\mathbf{x}}_1^2 + \frac{\mu}{m_1} U(\mathbf{r}) \\[4pt]
E_2 & = \frac{\mu}{m_2} E = \frac{1}{2} m_2 \dot{\mathbf{x}}_2^2 + \frac{\mu}{m_2} U(\mathbf{r}) \\[4pt]
E_\text{tot} & = E_1 + E_2
\end{align}</math>

== Forças centrais ==
{{artigo principal|Problema clássico de força central}}
Para muitos problemas físicos, a força {{math|1='''F'''('''r''')}} é uma [[força central]], ou seja, é da forma
<math display="block">\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r)\hat{\mathbf{r}}</math>
onde {{math|1=''r'' = {{abs|'''r'''}}}} e {{math|1='''r̂''' = '''r'''/''r''}} é o [[vetor unitário]] correspondente. Agora temos:
<math display="block">\mu \ddot{\mathbf{r}} = {F}(r) \hat{\mathbf{r}} \ ,</math>
onde ''F''(''r'') é negativo no caso de uma força atrativa.

{{referências}}

== Bibliografia ==
* {{citar livro|autor= Landau LD |autorlink= Lev Landau |autor2= Lifshitz EM |autorlink2= Evgeny Lifshitz |data= 1976 |título= Mechanics |edição= 3rd. |publicado= [[Pergamon Press]] |local= New York | isbn = 0-08-029141-4 |acessourl=registro | url = https://archive.org/details/mechanics00land }}
* {{citar livro|autor= Goldstein H |autorlink= Herbert Goldstein |data= 1980 |título= [[Classical Mechanics (Goldstein)|Classical Mechanics]] |edição= 2nd. |publicado= [[Addison-Wesley]] |local= New York | isbn = 0-201-02918-9}}

== Ligações externas ==
* [http://scienceworld.wolfram.com/physics/Two-BodyProblem.html Two-body problem] at [[ScienceWorld|Eric Weisstein's World of Physics]]

{{controle de autoridade}}

[[Categoria:Órbitas]]
[[Categoria:Sistemas dinâmicos]]