Mostrar código-fonte de Processo de Poisson

[[Imagem:Simeon Poisson.jpg|thumb|Apesar do nome, o "processo de Poisson" não foi descoberto pelo matemático francês [[Siméon Denis Poisson]], e seu caso costuma ser citado como um exemplo da [[Lei de Stigler]]. Seu nome deriva no entanto da sua relação com a [[distribuição de Poisson]].]]
O '''processo de Poisson''', no contexto da [[probabilidade]] e da [[estatística]], é um tipo de [[objeto matemático]] que lida com a [[aleatoriedade]] e que consiste numa série de [[Ponto (matemática)|pontos]] dispostos no [[espaço matemático]].<ref name="stoyan1995stochastic">D. Stoyan, W. S. Kendall, and J. Mecke. ''Stochastic geometry and its applications'', volume 2. Wiley, 1995.</ref> Esse processo conta com propriedades matemáticas convenientes,<ref name="kingman1992poisson">J. F. C. Kingman. ''Poisson processes'', volume 3. Oxford university press, 1992.</ref> fato que o levou a ser frequentemente definido no [[espaço euclidiano]] e utilizado como [[modelo matemático]] aparentemente para processos aleatórios em várias disciplinas, tais como [[astronomia]],<ref name="babu1996spatial">G. J. Babu and E. D. Feigelson. Spatial point processes in astronomy. ''Journal of statistical planning and inference'', 50(3):311-326, 1996.</ref> [[biologia]],<ref name="othmer1988models">H. G. Othmer, S. R. Dunbar, and W. Alt. Models of dispersal in biological systems. ''Journal of mathematical biology'', 26(3):263-298, 1988.</ref> [[ecologia]],<ref name="thompson1955spatial">H. Thompson. Spatial point processes, with applications to ecology. ''Biometrika'', 42(1/2):102-115, 1955.</ref> [[geologia]],<ref name="connor1995three">C. B. Connor and B. E. Hill. Three nonhomogeneous poisson models for the probability of basaltic volcanism: application to the yucca mountain region, nevada. ''Journal of Geophysical Research: Solid Earth (1978-2012)'', 100(B6):10107-10125, 1995.</ref> [[física]],<ref name="scargle1998studies">J. D. Scargle. Studies in astronomical time series analysis. v. bayesian blocks, a new method to analyze structure in photon counting data. ''The Astrophysical Journal'', 504(1):405, 1998.</ref> [[processamento de imagem]]<ref name="bertero2009image">M. Bertero, P. Boccacci, G. Desidera, and G. Vicidomini. Image deblurring with poisson data: from cells to galaxies. ''Inverse Problems'', 25(12):123006, 2009.</ref> e [[telecomunicações]].<ref name="baccelli2009stochastic2">F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. ''Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume II- Applications'', volume 4, No 1-2 of ''Foundations and Trends in Networking''. NoW Publishers, 2009.</ref><ref name="Haenggi2009">M. Haenggi, J. Andrews, F. Baccelli, O. Dousse, and M. Franceschetti. Stochastic geometry and random graphs for the analysis and design of wireless networks. ''IEEE JSAC'', 27(7):1029-1046, september 2009.</ref>

O processo de Poisson é ainda frequentemente definido na [[reta real]]. Na [[teoria das filas]],<ref name="kleinrock1975theory">L. Kleinrock. ''Theory, volume 1, Queueing systems''. Wiley-interscience, 1975.</ref> por exemplo, ele é utilizado para modelar eventos aleatórios, como a chegada de clientes em uma loja, distribuída no tempo. No [[Plano (geometria)|plano geométrico]], o processo de ponto é também conhecido como '''processo de Poisson espacial''',<ref name="baddeley2007spatial">A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. ''Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004'', pages 1-75, 2007.</ref> e também pode representar objetos espalhados, como transmissores em uma [[rede sem fio]],<ref name="baccelli2009stochastic2"/><ref name="andrews2010primer">J. G. Andrews, R. K. Ganti, M. Haenggi, N. Jindal, and S. Weber. A primer on spatial modeling and analysis in wireless networks. ''Communications Magazine, IEEE'', 48(11):156-163, 2010.</ref><ref name="baccelli2009stochastic1">F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. ''Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I - Theory'', volume 3, No 3-4 of ''Foundations and Trends in Networking''. NoW Publishers, 2009.</ref><ref name="haenggi2012stochastic">M. Haenggi. ''Stochastic geometry for wireless networks''. Cambridge University Press, 2012.</ref> [[partículas]] colidindo dentro de um detector, ou mesmo árvores em uma floresta.<ref name="stoyan1995stochastic"/> Nesses cenários, o processo é frequentemente usado em modelos matemáticos e nas áreas afins de processos de ponto espaciais,<ref name="baddeley2007spatial"/><ref name="daleyPPI2003">D. J. Daley and D. Vere-Jones. ''An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods'', Springer, New York, second edition, 2003.</ref> [[geometria estocástica]],<ref name="stoyan1995stochastic"/> [[análise espacial]] <ref name="baddeley2007spatial"/><ref name="moller2003statistical">J. Møller and R. P. Waagepetersen. ''Statistical inference and simulation for spatial point processes''. CRC Press, 2003.</ref> e da [[teoria da percolação contínua]].<ref name="meester1996continuum">R. Meester and R. Roy. Continuum percolation, volume 119 of cambridge tracts in mathematics, 1996.</ref> No caso de espaços mais [[Abstração|abstratos]], o processo de ponto de Poisson serve como um objeto de estudo matemático em seu próprio direito.<ref name="kingman1992poisson"/>

Em todas as situações, o processo de Poisson tem a propriedade de que cada ponto é estocasticamente independente para todos os outros pontos do processo, e é por isso que às vezes ele é chamado de um processo puramente aleatório.<ref name="daleyPPI2003"/> Apesar de sua ampla utilização como um modelo estocástico de fenômenos representáveis através de pontos, a natureza inerente do processo implica que ele não descreve adequadamente os fenômenos em que a interação entre os pontos não é suficientemente forte. Isso tem levado por vezes ao uso excessivo do processo de ponto em modelos matemáticos,<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="kingman1992poisson"/><ref name="andrews2010primer"/> e inspirou outros processos de ponto, alguns das quais são construídos através do processo de Poisson, buscando capturar essa interação.<ref name="stoyan1995stochastic"/>

O processo de Poisson recebeu tal nome em referência ao matemático francês [[Siméon Denis Poisson]], uma vez que, se um conjunto de pontos aleatórios num espaço formam um processo de Poisson, então o número de pontos em uma região de tamanho finito está diretamente relacionada com a [[distribuição de Poisson]], muito embora o próprio Poisson nunca tenha estudado o processo em si; os estudos do processo surgiram em diversos contextos posteriores distintos.<ref name="daleyPPI2003"/><ref name="stirzaker2000advice">D. Stirzaker. Advice to hedgehogs, or, constants can vary. ''The Mathematical Gazette'', 84(500):197-210, 2000.sing</ref><ref name="guttorp2012happened">P. Guttorp and T. L. Thorarinsdottir. What happened to discrete chaos, the quenouille process, and the sharp markov property? some history of stochastic point processes. ''International Statistical Review'', 80(2):253-268, 2012.</ref> O processo é definido com um único objeto matemático de valor não-negativo, fato que, dependendo do contexto, pode ser uma [[constante]], uma [[função integrável]] ou ainda, em contextos mais gerais, uma [[medida de Radon]].<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="daleyPPI2003"/> Se tal objeto é uma constante, então o processo resultante é chamado de '''homogêneo''' <ref name="kingman1992poisson"/> ou processo de Poisson '''estacionário'''.<ref name="stoyan1995stochastic"/> Caso contrário, o parâmetro depende da sua localização no espaço subjacente, o que leva a um processo de Poisson não-homogêneo.<ref name="daleyPPI2003"/> Ainda que por vezes referenciado como "processo de ponto de Poisson", a palavra "ponto" é frequentemente omitida, embora existam outros processos de Poisson de objetos, os quais, em vez de pontos, consistem de mais complicado objetos matemáticos tais como [[linha]]s e [[polígono]]s, e tais processos também podem basear-se no processo de Poisson.<ref name="kingman1992poisson"/>

== História ==

=== Distribuição de Poisson ===

Apesar do nome, o "processo de Poisson" não foi descoberto pelo matemático francês [[Siméon Denis Poisson]], e seu caso costuma ser citado como um exemplo da [[Lei de Stigler]].<ref name="stirzaker2000advice"/><ref name="guttorp2012happened"/> Seu nome deriva no entanto da sua relação com a [[distribuição de Poisson]], derivado por Poisson como um caso limite do [[distribuição binomial]],<ref name="good1986some">,I. Good. Some statistical applications of poisson's work. ''Statistical science'', pages 157-170, 1986.</ref> que descreve a probabilidade da somatória <math>\textstyle n</math> [[ensaio de Bernoulli|ensaios de Bernoulli]], muitas vezes comparado com o número de "caras"(ou "coroas"), após <math>\textstyle n</math> com base num jogo de [[cara ou coroa]], no qual a possibilidade de sair um ou outro é <math>\textstyle p</math>. Para algumas constantes positivas <math>\textstyle \Lambda>0</math>, tais que <math>\textstyle n</math> aumenta para o infinito e <math>\textstyle p</math> diminui para zero de modo a que o produto <math>\textstyle np=\Lambda</math> é fixado, a distribuição de Poisson se aproxima do binômio.<ref name="grimmett2001probability">G. Grimmett and D. Stirzaker. ''Probability and random processes''. Oxford university press, 2001.</ref>  Poisson deriva da distribuição de Poisson, publicada em 1841, pelo exame da distribuição binomial no [[limite]] de <math>\textstyle p</math> (tende a zero) e <math>\textstyle n</math> (ao infinito). Ele só aparece uma vez em toda a obra de Poisson,<ref name="stigler1982poisson">S. M. Stigler. Poisson on the Poisson distribution. ''Statistics \& Probability Letters'', 1(1):33-35, 1982.</ref> e o resultado não foi reconhecido em seu tempo,<ref name="daleyPPI2003"/> muito embora ao longo dos anos seguintes outras pessoas que usaram a distribuição sem citar Poisson, nomes que incluem [[Philipp Ludwig von Seidel]] e [[Ernst Abbe]].<ref name="daleyPPI2003"/><ref name="stirzaker2000advice"/> A distribuição seria estudada anos depois de Poisson no final do [[século XIX]] em uma configuração diferente, [[Ladislaus Bortkiewicz]] citou Poisson e usou a distribuição com dados reais para estudar o número de mortes por [[coice]]s de cavalo no [[exército prussiano]].<ref name="good1986some"/><ref name="quine1987bortkiewicz">M. Quine and E. Seneta. Bortkiewicz's data and the law of small numbers. ''International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique'', pages 173-181, 1987.</ref>

=== Descoberta ===

Há uma série de reivindicações para os primeiros usos ou descobertas do processo de Poisson.<ref name="stirzaker2000advice"/><ref name="guttorp2012happened"/> Foi proposto que o uso mais antigo do processo de Poisson foi feito por [[John Michell]] em 1767, uma década antes do nascimento de Poisson. Michell estava interessado na probabilidade de uma estrela estar situada numa determinada região de outra estrela, supondo que as estrelas estavam "espalhados por mero acaso", e estudou um exemplo consistindo de seis estrelas mais brilhantes no [[Plêiades]], sem derivar a distribuição de Poisson. Esse trabalho inspirou [[Simon Newcomb]] a estudar o problema e a calcular a distribuição de Poisson como uma aproximação para a distribuição binomial.<ref name="guttorp2012happened"/>

No início do século XX o processo de ponto de Poisson surgiria de forma independente, durante o mesmo período, em três situações diferentes.<ref name="stirzaker2000advice"/><ref name="grimmett2001probability"/> Em 1909, o matemático dinamarquês e engenheiro [[A.K. Erlang]] derivada a distribuição de Poisson no desenvolvimento de um modelo matemático para o número telefonemas recebidos num determinado intervalo de tempo finito. Erlang, que não estava ciente do trabalho anterior de Poisson, assumiu que o número de telefonemas que chegam em cada intervalo de tempo era [[Independência (estatística)|independente um do outro]] e, em seguida, encontrou o caso limite, que é efetivamente uma reformulação da distribuição de Poisson como um limite do binômio distribuição.<ref name="stirzaker2000advice"/> Em 1910, os físicos [[Ernest Rutherford]] e [[Hans Geiger]], após a realização de um [[Experimento de Geiger-Marsden|experimento na contagem do número de partículas alfa]], publicaram seus resultados no qual o matemático inglês [[Harry Bateman]] deriva as probabilidades de Poisson como uma solução para uma família de equações diferenciais, embora Bateman reconheceu que as soluções já tinha sido resolvido por outros.<ref name="daleyPPI2003"/> Este trabalho experimental de autoria de Rutherford e Geiger inspirou o físico [[Norman Campbell]], que em 1909 e 1910 publicou dois artigos importantes sobre "''thermionic noise''", também conhecido como "ruído de disparo", em [[Válvula termiônica|tubos de vácuo]],<ref name="daleyPPI2003"/><ref name="stirzaker2000advice"/> onde acredita-se que ele teria descoberto de forma independente e usado o processo de Poisson.<ref name="grimmett2001probability"/> No trabalho de Campbell, ele também delineou uma forma do [[teorema de Campbell]],<ref name="stirzaker2000advice"/> um resultado fundamental na teoria de processos de ponto,<ref name="kingman1992poisson"/><ref name="baddeley2007spatial"/><ref name="daleyPPI2003"/> mas Campbell creditou a prova ao matemático [[G. H. Hardy]].<ref name="stirzaker2000advice"/> As três descobertas e aplicações do processo de Poisson acima têm motivado algumas pessoas a acreditar que o ano de 1909 deve ser considerado o ano de descoberta do processo de Poisson.<ref name="stirzaker2000advice"/><ref name="grimmett2001probability"/>

=== Primeiras aplicações===

Após 1909 houve uma série de estudos e aplicações do processo de Poisson. Contudo, o desenvolvimento dessa história é complexo devido às diferentes aplicações do processo em numerosos campos por biólogos, ecologistas, engenheiros e outros profissionais que trabalham no campo das [[ciências naturais]] e física. Os primeiros resultados foram publicados em diferentes idiomas e em diferentes contextos, sem utilizar, entretanto, uma terminologia padronizada.<ref name="stirzaker2000advice"/> Em 1922, por exemplo, um químico sueco e ganhador do [[prêmio Nobel]] chamado [[Theodor Svedberg]] propôs um modelo em que um processo de Poisson espacial é um processo subjacente, no intuito de estudar como plantas individuais são distribuídas em comunidades vegetais.<ref name="illian2008statistical">J. Illian, A. Penttinen, H. Stoyan, and D. Stoyan. ''Statistical analysis and modelling of spatial point patterns'', volume 70. John Wiley \& Sons, 2008.</ref> Outro exemplo pode ser dado pelos matemáticos que começaram a estudar o processo no início de 1930, e as contribuições importantes foram feitas por [[Andrei Kolmogorov]], [[William Feller]] e [[Aleksandr Khinchin]],<ref name="stirzaker2000advice"/> entre outros.<ref name="kingman2009first">J. Kingman. The first erlang century—and the next. ''Queueing Systems'', 63(1-4):3-12, 2009.</ref> Como aplicação, Kolmogorov usou um processo espacial de Poisson para modelar a formação de cristais em metais.<ref name="stoyan1995stochastic"/> Já no campo da [[engenharia de teletráfego]], contexto no qual vários pioneiros da pesquisa foram dinamarqueses, como Erlang, e suecos, matemáticos e estatísticos estudados e utilizados de Poisson e outros processos de ponto.<ref name="haugen1995life">R. B. Haugen. The life and work of Conny Palm. some personal comments and experiences. In ''VTT SYMPOSIUM'', volume 154, pages 207-207. VALTION TEKNILLINEN TUTKIMUSKESKUS, 1995.</ref>

=== História do termo ===
O engenheiro sueco [[Conny Palma]], estudou em sua dissertação de 1943 tanto o processo de Poisson quanto outros processos de ponto no cenário unidimensional, examinando-os em termos de suas dependências estatísticas ou estocásticas entre os pontos no tempo.<ref name="daleyPPI2003"/><ref name="haugen1995life"/> Em sua obra existe o primeiro registro conhecido do termo "processo de ponto" como "''Punktprozesse''", termo em alemão.<ref name="daleyPPI2003"/><ref name="guttorp2012happened"/>

Supõe-se que William Feller,<ref name="stirzaker2000advice"/> que também popularizou o termo [[variável aleatória]] ao invés do termo "chance variável", tirando a sorte com por meio de uma moeda com [[Joseph Doob]], foi o primeiro utilizar na imprensa  termo "processo de Poisson" no ano de 1940. Embora o estatístico sueco [[Ove Lundberg]] tenha utilizado o mesmo termo em sua dissertação de doutoramento também em 1940,<ref name="guttorp2012happened"/> na qual Feller foi reconhecido como uma influência,<ref name="grandell1997mixed">J. Grandell. ''Mixed poisson processes'', volume 77. CRC Press, 1997.</ref> afirma-se que Feller cunhou o termo antes de 1940.<ref name="grimmett2001probability"/> Observa-se ainda que tanto Feller quanto Lundberg usaram o termo como se fosse algo bem conhecido, o que implica que já estava em uso falada.<ref name="guttorp2012happened"/> Feller trabalhou de 1936 a 1939 ao lado matemático sueco e estatístico [[Harald Cramér]] na [[Universidade de Estocolmo]], onde Lundberg foi um estudante orientado por Cramér, que não usava o  termo "processo de Poisson" em seu livro, terminado em 1936, mas o fez em edições posteriores, fato que levou à especulação de que o o termo foi cunhado em algum momento entre 1936 e 1939 na Universidade de Estocolmo.<ref name="guttorp2012happened"/>

== Visão geral de definições ==

O processo de ponto de Poisson é um dos processos de ponto mais estudados, tanto no campo da probabilidade quanto em disciplinas mais relativas ao fenômeno do aleatório,<ref name="daleyPPI2003"/> devido às suas propriedades convenientes como modelo matemático, bem como ser matematicamente interessante.<ref name="kingman1992poisson"/> Dependendo da configuração, tal processo tem várias definições equivalentes,<ref name="tijms2003first">H. C. Tijms. ''A first course in stochastic models''. Wiley. com, 2003.</ref> bem como definições de diferentes generalidades devido às suas muitas aplicações e caracterizações.<ref name="daleyPPI2003"/> Ele pode ser definido, estudado e utilizado numa dimensão (na linha real) onde pode ser interpretado como um processo de contagem ou parte de um modelo de filas;<ref name="tijms2003first"/><ref name="ross1996stochastic">S. Ross. ''Stochastic processes''. Wiley series in probability and statistics: Probability and statistics. Wiley, 1996.</ref> em dimensões superiores, como o plano onde ele desempenha um papel na [[geometria estocástica]] e [[estatística espacial]];<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="baddeley1999crash">A. Baddeley. A crash course in stochastic geometry. ''Stochastic Geometry: Likelihood and Computation Eds OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, HNN van Lieshout (London: Chapman and Hall) pp'', pages 1-35, 1999.</ref> ou em espaços matemáticos mais abstratos.<ref name="daleyPPII2008">D. J. Daley and D. Vere-Jones. ''An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure'', Springer, New York, second edition, 2008.</ref> Por conseguinte, a notação, a terminologia e o nível de rigor matemático usados para definir e estudar o processo de Poisson e os processos de ponto em geral variam de acordo com o contexto.<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="daleyPPI2003"/> Apesar de suas diferentes formas e variando generalidade, o processo de ponto de Poisson tem duas propriedades importantes.

=== Primeira propriedade: Distribuição do número de pontos ===

O processo de ponto de Poisson está relacionado com a [[distribuição de Poisson]], o que implica que a probabilidade de uma [[variável aleatória]] <math>\textstyle N</math> é igual a <math>\textstyle n</math> e é dada por:

:<math> P\{N=n\}=\frac{\Lambda^n}{n!}e^{-\Lambda} </math>

na qual <math>\textstyle n!</math> denota <math>\textstyle n</math> [[fatorial]] e <math>\textstyle \Lambda</math> é o único parâmetro Poisson que é utilizado para definir uma distribuição Poisson. Se um processo de ponto de Poisson em
algum espaço matemática subjacente, chamado de "espaço de estado"<ref name="kingman1992poisson"/><ref name="streit2010poisson"/> ou "espaço de transporte",<ref name="harding1974stochastic">E. F. Harding and R. Davidson. ''Stochastic geometry: a tribute to the memory of Rollo Davidson''. Wiley, 1974.</ref><ref name="chen2004stein">L. H. Chen and A. Xia. Stein's method, Palm theory and Poisson process approximation. ''Annals of probability'', pages 2545-2569, 2004.</ref> então, o número de pontos em uma região limitada do espaço será uma variável aleatória de Poisson com um parâmetro cuja forma dependerá da configuração.<ref name="kingman1992poisson"/>

=== Segunda propriedade: independência total ===

A segunda propriedade chave é que, para uma coleção de disjuntos e sub-regiões delimitadas do espaço subjacente, o número de pontos em cada sub-região delimitada será totalmente independente de todos os outros. Esta propriedade é conhecida por vários nomes, tais como "completa aleatoriedade", "total independência",<ref name="daleyPPI2003"/> ou "espalhamento independente" <ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="moller2003statistical"/><ref name="streit2010poisson">R. L. Streit. ''Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing''. Springer Science \& Business Media, 2010.</ref> e é comum a todos os processos de Poisson. Em outras palavras, há uma ausência de interação entre as diferentes regiões e os pontos em geral,<ref name="feller1974introduction"/> o que motiva o processo de Poisson a ser chamado muitas vezes de um processo aleatório "em partes" ou "completamente".<ref name="daleyPPI2003"/>

=== Definições distintas ===

O processo de Poisson é muitas vezes definido na linha real no ambiente homogêneo, e depois estendido para uma configuração mais geral, com mais [[rigor matemático]].<ref name="daleyPPI2003"/><ref name="feller1974introduction"/> Para todas as instâncias do processo de Poisson, as duas propriedades-chave{{efn|Estas duas propriedades não são logicamente independentes porque a independência completa requer a distribuição de Poisson, mas não necessariamente o contrário. Também tem sido um assunto de investigação se um processo de Poisson pode ser definido com apenas uma destas propriedades; veja ''Seção 2.4.1, página 35, de Stoyan, Kendall, Mecke <ref name="stoyan1995stochastic"/> ou Seção 1.3 de Kingman.<ref name="kingman1992poisson"/> }} da distribuição de Poisson e completa independência desempenham um papel importante.<ref name="stoyan1995stochastic"/>

=== Soma de Variáveis Aleatórias com Distribuição Poisson ===
Outro resultado importante é a soma de duas varáveis aleatórias independentes entre sí com  <math>X \sim Poisson(\lambda_1)</math> e <math>Y \sim Poisson(\lambda_2)</math>, com <math>X+Y \sim Poisson(\lambda_1 + \lambda_2)</math>, para chegarmos a esse resultado partimos do resultados que podemos escrevê-lo da seguinte maneira:

<math>\bigcup_{k=0}^n\{X=n, Y=n-k\}</math> e aplicando probabilidade ao conjunto, obtemos o seguinte resultado <math>\sum_{k=0}^{n}P(X=n,Y=n-k) = \sum_{k=0}^{n}P(X=n)P(Y=n-k)</math> e usando a fmp da Poisson teremos que <math>\sum_{k=0}^{n}\frac{e^{-\lambda_1}\lambda_1^k}{k!}\frac{e^{-\lambda_2}\lambda_2^{n-k} }{(n-k)! }=
e^{-(\lambda_1+\lambda_2) }\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \lambda_1^k\lambda_2^{n-k}</math> como o somatório converge para <math>(\lambda_1+\lambda_2)^n</math> logo obtemos <math>\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^n }{n!}</math>.

== Processo Pontual Homogêneo de Poisson ==

Se um processo de Poisson tem um parâmetro constante, por exemplo, <math>\textstyle \lambda</math>, então é chamado de um processo de Poisson homogêneo ou estacionário. O parâmetro, chamado de "taxa" ou "intensidade", está relacionado com o número esperado (ou médio) de pontos existentes em alguma região limitada.<ref name="kingman1992poisson"/><ref name="moller2003statistical"/> De fato, o parâmetro <math>\textstyle \lambda</math> pode ser interpretado como o número médio de pontos por alguma unidade de medida, tais como [[comprimento]], [[área]], [[volume]] ou [[tempo]], dependendo do espaço matemático subjacente; por isso é chamado às vezes de "densidade média";<ref name="daleyPPI2003"/> a extensão é às vezes chamado de "exposição".<ref name='Vose'>{{Citation |título= Some Poisson models |publicado= Vose Software
| url = http://www.vosesoftware.com/ModelRiskHelp/index.htm#Probability_theory_and_statistics/Stochastic_processes/Some_Poisson_models.htm
|acessodata= 2016-01-18}}</ref><ref name='Jouni'>{{Citation
|último = Helske
|primeiro = Jouni
|data= 2015-06-25
|título= KFAS: Exponential family state space models in R
|publicado= [[R (programming language)#CRAN|Comprehensive R Archive Network]]
| url = https://cran.r-project.org/web/packages/KFAS/vignettes/KFAS.pdf
|acessodata= 2016-01-18}}</ref>

=== Definição na linha real ===

Considerando dois [[Número real|números reais]] <math>\textstyle a</math> e <math>\textstyle b</math>, nos quais <math>\textstyle a\le b</math>,
e que pode representar pontos no tempo. Denote por <math>\textstyle N(a,b]</math> o número aleatório de pontos de um processo de Poisson homogêneo sair com valores superiores a <math>\textstyle a</math> mas menores ou iguais a <math>\textstyle b</math>, ou em outras palavras, o número de pontos do processo no intervalo <math>\textstyle (a,b]</math>. Se os pontos de ou pertencer a um processo de Poisson homogêneo com o parâmetro <math>\textstyle \lambda>0</math>, então a probabilidade de <math>\textstyle n</math> pontos existentes no intervalo dado <math>\textstyle (a,b]</math> é definido por:

:<math> P\{N(a,b]=n\}=\frac{[\lambda(b-a)]^n}{n!}e^{-\lambda (b-a)}, </math>

Em outras palavras, <math>\textstyle N(a,b]</math> é uma variável aleatória Poisson com média <math>\textstyle \lambda(b-a)</math>. Além disso, o número de pontos em quaisquer dois intervalos disjuntos, por exemplo, <math>\textstyle (a_1,b_1]</math> e <math>\textstyle (a_2,b_2]</math> são independentes um do outro, e isto estende-se a qualquer número finito de intervalos disjuntos.<ref name="daleyPPI2003"/> No contexto da [[teoria de filas]], pode-se considerar um ponto existente (num intervalo) como um "evento", mas com um sentido diferente àquele da mesma palavra [[Evento (teoria das probabilidades)|caso da probabilidade]].{{efn|Por exemplo, é possível para um evento que não esteja acontecendo no sentido [[teoria de filas]] para ser um evento no sentido teoria das probabilidades.}} Segue que <math>\textstyle \lambda</math> é o número esperado de "chegadas" que ocorrem por unidade de tempo, e é às vezes chamado de "parâmetro da taxa".<ref name="ross1996stochastic"/>

Para uma definição mais formal de um processo estocástico, tal como um processo de ponto, pode-se usar o [[Teorema de extensão de Kolmogorov|teorema de Kolmogorov]], que diz essencialmente que um processo estocástico se caracteriza (ou é exclusivamente definido) por sua distribuição de dimensão finita, que nesse contexto dá a probabilidade conjunta de um determinado número de pontos existentes em cada intervalo finito disjuntos. Mais especificamente, tome que <math>\textstyle N(a_i,b_i]</math> denota o número de pontos de (um processo de ponto) acontecendo no intervalo semi-aberto <math>\textstyle (a_i,b_i]</math>, no qual os números reais <math>\textstyle a_i<b_i\leq a_{i+1}</math>. Então, por algum inteiro positivo <math>\textstyle k</math>, o processo homogêneo de Poisson na linha real com parâmetro <math>\textstyle \lambda>0</math> é definido com a distribuição de dimensão finita:<ref name="daleyPPI2003"/>

:<math> P\{N(a_i,b_i]=n_i,  i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{[\lambda(b_i-a_i)]^{n_i}}{n_i!}e^{-\lambda(b_i-a_i)}, </math>

==== Propriedades-chave ====
A definição acima tem duas características importantes relacionadas com os processos de Poisson em geral:
* o número de pontos em cada intervalo finito tem uma distribuição de Poisson;
* o número de pontos em intervalos disjuntos são variáveis aleatórias independentes.
Além disso, há uma terceira característica relacionada apenas ao processo de Poisson homogêneo:
* a distribuição de cada intervalo <math>\textstyle(a+t,b+t]</math> depende apenas do comprimento do intervalo <math>\textstyle b-a</math>.

Em outras palavras, para cada finito <math>\textstyle t>0</math>, a variável aleatória <math>\textstyle N(a+t,b+t]</math> é independente de <math>\textstyle t</math>,<ref name="daleyPPI2003"/> e, assim, o processo é um [[processo estacionário]], e por isso às vezes é chamado de "processo de Poisson estacionário".

==== Lei dos grandes números ====
A quantidade <math>\textstyle \lambda(b_i-a_i)</math> pode ser interpretada como uma [[média]] do número esperado de pontos que ocorrem no intervalo <math>\textstyle (a_i,b_i]</math>, nomeadamente:

:<math> E\{N(a_i,b_i] \}=\lambda(b_i-a_i), </math>

no qual <math>\textstyle E</math> indica a [[expectativa]] do operador. Em outras palavras, o parâmetro <math>\textstyle \lambda</math> do processo de Poisson coincide com a '' densidade '' dos pontos. Além disso, o processo homogêneo de Poisson adere a sua própria forma da lei (forte) dos grandes números.<ref name="kingman1992poisson"/> Mais especificamente, com uma probabilidade:

:<math> \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{N (t) }{t} =\lambda, </math>

no qual <math>\textstyle \lim</math> denota o [[Limite (matemática)|limite]] de uma função.

==== Propriedade sem memória ====
A distância entre dois pontos consecutivos de um processo de ponto na linha real será uma [[variavel aleatória exponencial|variável aleatória exponencial]] com parâmetro <math>\textstyle \lambda</math> (ou equivalente, médio <math>\textstyle 1/\lambda</math>). Isto implica que os pontos têm uma propriedade sem memória: a existência de um ponto existente num intervalo finito não afeta a probabilidade (distribuição) de outros pontos existentes. Esta propriedade está diretamente relacionada à independência completa do processo de Poisson; no entanto, não tem equivalência natural quando o processo de Poisson é definido em dimensões superiores.<ref name="kingman1992poisson"/>

==== Regularidade e simplicidade ====
Um processo estocástico com incrementos estacionários às vezes é considerado "ordenado",<ref name="cox1980point">D. D. R. Cox and V. Isham. ''Point processes'', volume 12. CRC Press, 1980.</ref> "ordinário" <ref name="daleyPPII2008"/> ou "regular" <ref name="ross1996stochastic"/> se

:<math> P\{N(t,t+\delta]>1\}= o(\delta), </math>

no qual a notação [[Grande-O|pequena-O]] é utilizada. Um ponto processo é chamado de "processo de ponto simples" quando a probabilidade de qualquer um de seus dois pontos coincidentes na mesma posição (na subjacente [[espaço de estado]]) é zero. Para processos de ponto, em geral, sobre a linha real, a (distribuição de probabilidade) de propriedade de ordem implica que o processo é simples <ref name="cox1980point"/> ou tem a (caminho de amostra) propriedade de "simplicidade",<ref name="daleyPPII2008"/> que é o caso para o processo homogêneo de Poisson.

==== Relação com outros processos ====
Na linha real, o processo de ponto de Poisson é um tipo de tempo-contínuo [[processo de Markov]] conhecido como um [[processo de nascimento-morte]] (com apenas nascimentos e zero mortes) e é chamado de "puro"<ref name="ross1996stochastic"/> ou processo de nascimento "simples".<ref name="papoulis2002probability">A. Papoulis and S. U. Pillai. ''Probability, random variables, and stochastic processes''. Tata McGraw-Hill Education, 2002.</ref> Processos mais complicados no âmbito da [[propriedade de Markov]], como o [[processo de chegada de Markov]], foram definidos onde o processo de Poisson é um caso especial.<ref name="tijms2003first"/><ref name="ramaswami2010poisson">V. Ramaswami. Poisson process and its generalizations. ''Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science'', 2010.</ref>

====Interpretação do processo de contagem ====
O processo de ponto de Poisson homogêneo, quando considerado na meia-linha positiva, é por vezes definido como uma [processo de contagem]], que pode ser denotado como <math>\textstyle \{N(t), t\geq 0\}</math>.<ref name="tijms2003first"/><ref name="ross1996stochastic"/> Um processo de contagem representa o número total de ocorrências ou eventos que aconteceram até um determinado ponto, incluído <math>\textstyle t</math>. Um processo de contagem é um Poisson processo de contar com a taxa de <math>\textstyle \lambda>0</math> se ele tem as seguintes três propriedades:
* <math>\textstyle N(0)=0</math>;
* tem incrementos independentes; e
* o número de eventos (ou pontos) num intervalo de comprimento <math>\textstyle t</math> é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro (ou média) <math>\textstyle \lambda t</math>.

A última propriedade implica

:<math> E[N(t)]=\lambda t. </math>

O processo de contagem de Poisson também pode ser definido indicando que as diferenças de tempo entre eventos desses processo de contagem são variáveis exponenciais com média <math>\textstyle 1/\lambda</math>.<ref name="tijms2003first"/> As diferenças de tempo entre os eventos ou chegadas são conhecidos como "inter-chegadas"<ref name="ross1996stochastic"/><ref name="feller1974introduction"/> ou tempos de '''inter-ocorrências'''.<ref name="tijms2003first"/> Essas duas definições do processo de contagem Poisson concordam com a definição prévia do processo de Poisson.

==== Caracterização Martingale ====
Na linha real, o processo de Poisson homogêneo tem uma conexão com a teoria de [[Martingale]], através da seguinte caracterização: um processo de ponto é o processo homogêneo de Poisson se e somente se

:<math> N(-\infty,t]-t, </math>

for um Martingale.<ref name="merzbach1986characterization">E. Merzbach and D. Nualart. A characterization of the spatial poisson process and changing time. ''The Annals of Probability'', 14(4):1380-1390, 1986.</ref>

==== Restrita à meia-linha ====
Se o processo homogêneo de Poisson é considerado apenas na meia-linha <math>\textstyle [0,\infty)</math>, que é muitas vezes o caso quando <math>\textstyle t</math> representa o tempo, como se faz para o processo de contagem anterior,<ref name="tijms2003first"/><ref name="ross1996stochastic"/> então o processo resultante não é verdadeiramente invariante sob tradução.<ref name="kingman1992poisson"/> Nesse caso, o processo é não estacionário, de acordo com algumas definições de estacionaridade.<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="kingman1992poisson"/><ref name="cox1980point"/>

==== Aplicações ====
Há muitas aplicações do processo homogêneo de Poisson na linha real, numa tentativa de modelar eventos que são aparentemente aleatórios e e que ocorrem de forma independente. Ele tem um papel fundamental na [[teoria das filas]], que é o campo da probabilidade que desenvolve modelos estocásticos adequados para representar a chegada aleatória e de saída de certos fenômenos.<ref name="kleinrock1975theory"/><ref name="tijms2003first"/><ref name="ross1996stochastic"/><ref name="feller1974introduction"/> Por exemplo, os clientes que chegam a um local e devem ser servidos ou as chamadas telefônicas que chegam a uma central podem ser ambos estudados com técnicas de teoria das filas. No artigo original que propõe o sistema de pagamento on-line conhecido como [[Bitcoin]], apresentou um modelo matemático baseado em um processo homogêneo de Poisson.<ref name="nakamoto2008bitcoin">S. Nakamoto. Bitcoin: A peer-to-peer electronic cash system. ''Consulted'', 1(2012):28, 2008.</ref>

==== Generalizações ====

O processo de contagem de Poisson ou, mais geralmente, o processo homogêneo de Poisson na reta real é considerado um dos mais simples processos estocásticos para a contagem de números aleatórios de pontos.<ref name="cox1980point"/><ref name="snyder1991random">D. Snyder and M. Miller. Random point processes in time and space 2e springer-verlag. ''New York, NY'', 1991.</ref> O processo pode ser generalizado de várias maneiras. Uma generalização possível é a de estender a distribuição tempos de "inter-chegadas" a partir da distribuição exponencial para outras distribuições, o que introduz o processo estocástico conhecido como um processo de renovação. Outra generalização é defini-lo em espaços de dimensões superiores, como o plano.<ref name="daleyPPI2003"/>

=== Processo de ponto espacial Poisson ===

Um '' 'processo de Poisson espacial' '' é um processo de Poisson definido no plano <math>\textstyle \textbf{R}^2</math>.<ref name="merzbach1986characterization"/><ref name="lawson1993deviance">A. B. Lawson. A deviance residual for heterogeneous spatial poisson processes. ''Biometrics'', pages 889-897, 1993.</ref>  Para a sua definição, considere uma região limitada, aberta ou fechada (ou mais precisamente, [[mensurável Borel]]) <math>\textstyle B</math> do plano. Denotada por <math>\textstyle N(B)</math> o número (aleatória) de pontos de <math>\textstyle N</math> existente nesta região <math>\textstyle B\subset \textbf{R}^2</math>. Se os pontos de pertencer a um processo de Poisson homogêneo com o parâmetro <math>\textstyle \lambda>0</math>, então a probabilidade de <math>\textstyle n</math> pontos existirem em <math>\textstyle B</math> é dada por:

:<math> P\{N(B)=n\}=\frac{(\lambda|B|)^n}{n!}e^{-\lambda|B|} </math>

no qual <math>\textstyle |B|</math> denota a área de <math>\textstyle B</math>.

Mais formalmente, por algum algum inteiro finita <math>\textstyle k\geq 1</math>, considere um conjunto de disjuntos, delimitada Borel conjuntos (mensuráveis) <math>\textstyle B_1,\dots,B_k</math>. Deixe <math>\textstyle N(B_i)</math> denotar o número de pontos existentes em <math>\textstyle B_i</math>. Então, o processo homogêneo de Poisson com parâmetro <math>\textstyle \lambda>0</math> tem a distribuição de dimensão finita <ref name="daleyPPI2003"/>

:<math> P\{N(B_i)=n_i, i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\lambda|B_i|)^{n_i}}{n_i!}e^{-\lambda|B_i|}. </math>

==== Aplicações ====
[[File:Sydney skyline at dusk - Dec 2008.jpg|thumb|400px|right|alt=Visão noturna da cidade de Sydney|De acordo com um estudo estatístico, as posições das estações de telefonia celular na cidade australiana de [[Sydney]], retratada acima, assemelham-se a um processo de Poisson, enquanto que em muitas outras cidades ao redor do mundo isso não acontece e são necessários outros processos de ponto.<ref name="lee2012stochastic">C.-H. Lee, C.-Y. Shih, and Y.-S. Chen. Stochastic geometry based models for modeling cellular networks in urban areas. ''Wireless Networks'', pages 1–10, 2012.</ref>]]
O processo de Poisson espacial aparece com destaque em [[estatística espacial]], [[geometria estocástica]] e [[teoria da percolação contínua]]. Este processo é aplicado em várias ciências físicas, tais como um modelo desenvolvido para partículas alfa a ser detectado.<ref name="stoyan1995stochastic"/> Nos últimos anos, tem sido frequentemente utilizado para modelar configurações espaciais aparentemente desordenados de certas redes de comunicação sem fio.<ref name="andrews2010primer"/><ref name="baccelli2009stochastic1"/><ref name="haenggi2012stochastic"/> Por exemplo, modelos de redes de celular ou telefone celular foram desenvolvidos onde se assume os transmissores de rede de telefone, conhecidas como estações de base, estão posicionados de acordo com um processo de Poisson do tipo homogêneo.

=== Definido em dimensões superiores ===

O processo de Poisson homogêneo definido anteriormente estende-se imediatamente para dimensões maiores, substituindo a noção de área com o volume (muito dimensional). Por alguma região limitada <math>\textstyle B</math> de espaço euclidiano <math>\textstyle \textbf{R}^d</math>, se os pontos formam um processo de Poisson homogêneo com o parâmetro <math>\textstyle \lambda>0</math>, então a probabilidade de <math>\textstyle n</math> pontos existentes em <math>\textstyle B\subset \textbf{R}^d</math> é dada por:

:<math> P\{N(B)=n\}=\frac{(\lambda|B|)^n}{n!}e^{-\lambda|B|} </math>

no qual <math>\textstyle |B|</math> agora denota a <math>\textstyle n</math>-dimensional volume of <math>\textstyle B</math>. Além disso, para um conjunto de disjuntos, delimitada conjuntos de Borel <math>\textstyle B_1,\dots,B_k \subset \textbf{R}^d</math>, deixe <math>\textstyle N(B_i)</math> denotar o número de pontos de <math>\textstyle N</math> existentes em <math>\textstyle B_i</math>. Então, o processo de ponto de Poisson do tipo homogêneo com parâmetro <math>\textstyle \lambda>0</math> tem a distribuição de dimensão finita <ref name="daleyPPI2003"/>

:<math> P\{N(B_i)=n_i,  i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\lambda|B_i|)^{n_i}}{n_i!}e^{-\lambda|B_i|}. </math>

Processos de Poisson do tipo homogêneos não dependem da posição do espaço de estado subjacente através de seu parâmetro <math>\textstyle \lambda</math>, o que implica que é processo estocástico tanto um estacionário (invariável à tradução) quanto um isotrópico (invariantes à rotação).<ref name="stoyan1995stochastic"/> De forma semelhante ao caso unidimensional, o processo de ponto homogêneo é restrito a um subconjunto limitado de <math>\textstyle \textbf{R}^d</math>, em seguida, dependendo de algumas definições de estacionaridade, o processo não está parado.<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="cox1980point"/>

=== Pontos são distribuídos uniformemente ===

Se um processo de ponto homogêneo é definido na linha real como um modelo matemático para a ocorrência de algum fenômeno, então ele tem a característica de que as posições dessas ocorrências ou eventos na linha real (muitas vezes interpretados ao longo do tempo) serão distribuídos uniformemente. De modo específico, se ocorrer um evento (de acordo com esse processo) em um intervalo <math>\textstyle (a-b]</math> no qual <math>\textstyle a \leq b</math>, então sua localização será uma variável aleatória uniforme definida nesse intervalo.<ref name="daleyPPI2003"/> Além disso, o processo de ponto homogêneo é às vezes chamado de processo de ponto de Poisson do tipo "uniforme". Essa "uniformidade" se estende a dimensões mais elevadas em coordenadas cartesianas, mas não se sustenta em outros sistemas de coordenadas (por exemplo, a polar ou a esférica).

== Processo de ponto de Poisson não-homogêneo ==

O processo de ponto de Poisson '''não-homogêneo''' é um processo de ponto que contém um parâmetro Poisson definido como uma função que depende da localização no espaço subjacente em que o processo de Poisson é definido. Para um espaço euclidiano <math>\textstyle R^d</math>, isso é obtido pela introdução de uma função positiva localmente integrável <math>\textstyle \lambda(x)</math>, na qual <math>\textstyle x</math> é um <math>\textstyle d</math>ponto dimensional localizado em <math>\textstyle R^d</math>, tal que, para qualquer região limitada <math>\textstyle B</math> o (<math>\textstyle d</math>-dimensional) volume integral de <math>\textstyle \lambda (x)</math> sobre um região <math>\textstyle B</math> é finito. Em outras palavras, se essa integral, denotada por <math>\textstyle \Lambda (B)</math>, é:<ref name="moller2003statistical"/>

:<math> \Lambda (B)=\int_B \lambda(x) dx < \infty, </math>

na qual <math>\textstyle dx</math> é um (<math>\textstyle d</math>-dimensional) elemento de volume,{{efn|Ao invés de <math>\textstyle \lambda(x)</math> e <math>\textstyle dx</math>, poder-se-ia escrever, por exemplo, em coordenadas polares (de duas dimensões) <math>\textstyle \lambda(r,\theta)</math> e <math>\textstyle rdrd\theta</math> , no qual <math>\textstyle r</math> e <math>\textstyle \theta</math> denotam as coordenadas radiais e angulares, respectivamente, e assim <math>\textstyle dx</math> seria um elemento área neste exemplo.}} então para qualquer coleção de disjuntos delimitada [[mensurável Borel]] <math>\textstyle B_1,\dots,B_k</math>, uma função de um processo de ponto de Poisson do tipo não-homogêneo (intensidade) <math>\textstyle \lambda(x)</math> tem a distribuição de dimensão finita:<ref name="daleyPPI2003"/>

:<math> P\{N(B_i)=n_i,  i=1, \dots, k\}=\prod_{i=1}^k\frac{(\Lambda(B_i))^{n_i}}{n_i!}e^{-\Lambda(B_i)}. </math>

Além disso, <math>\textstyle \Lambda (B)</math> tem a interpretação de ser o número esperado de pontos do processo de Poisson localizado na região limitada <math>\textstyle B</math>, nomeadamente

:<math> \Lambda (B)= E[N(B)] . </math>

=== Definido na linha real ===

Na linha real, o processo de ponto de Poisson não homogêneo de uma medida média dada por uma integral unidimensional. Para dois números reais <math>\textstyle a</math> e <math>\textstyle b</math>, no quais <math>\textstyle a\leq b</math>, denotados por <math>\textstyle N(a,b]</math> o número de pontos de um processo de Poisson não-homogêneo com função de intensidade <math>\textstyle \lambda(t)</math> com valores superiores a <math>\textstyle a</math> mas menores ou iguais a <math>\textstyle b</math>. A probabilidade de <math>\textstyle n</math> pontos existentes no intervalado dado <math>\textstyle (a,b]</math> é dada por:

:<math> P\{N(a,b]=n\}=\frac{[\Lambda(a,b)]^{n}}{n!}e^{-\Lambda(a,b)}. </math>

quando a medida média ou intensidade é:

:<math> \Lambda(a,b)=\int_a^{b}\lambda (t)dt, </math>

o que significa que a variável aleatória <math>\textstyle N(a,b]</math> é uma variável aleatória Poisson com média <math>\textstyle E\{N(a,b]\} = \Lambda(a,b)</math>.

Uma característica de uma configuração unidimensional considerada útil é que um processo de Poisson não-homogêneo pode ser transformado em um processo homogêneo por uma [[Função monótona|transformada monótona ]]ou de mapeamento, que é conseguido com o inverso <math>\textstyle \Lambda </math>.<ref name="kingman1992poisson"/><ref name="streit2010poisson"/>

==== Contando o processo de interpretação ====

O processo de ponto de Poisson '''não-homogêneo''', quando considerado na meia-linha positiva, às vezes também é definido como um processo de contagem. Nessa interpretação, o processo, que é por vezes escrito como <math>\textstyle \{N(t), t\geq 0\}</math>, representa o número total de ocorrências ou eventos que aconteceram até e incluindo o tempo <math>\textstyle t</math>. Um processo de contagem é considerado um processo de contagem de Poisson não-homogêneo se ele tiver as quatro propriedades:<ref name="tijms2003first"/><ref name="ross1996stochastic"/>

* <math>\textstyle N(0)=0</math>;
* tem incrementos independentes;
* <math>\textstyle P\{ N(t+h) - N(t)=1 \} =\lambda(t)h + o(h)</math>; e
* <math>\textstyle P\{ N(t+h) - N(t)\ge 2 \} = o(h)</math>,
no qual <math>\textstyle o(h)</math> é assintótica ou [[Grande-O|notação pequeno-O]] para <math>\textstyle o(h)/h\rightarrow 0</math> como <math>\textstyle h\rightarrow 0</math>.

No caso do ponto de processos com ''refractoriness'' (?!?!) (por exemplo, picos neurais) uma versão mais forte da propriedade 4 é aplicada:<ref>{{citar periódico|autor1 =L. Citi |autor2 =D. Ba |autor3 =E.N. Brown |autor4 =R. Barbieri  |last-author-amp=yes |título= Likelihood methods for point processes with refractoriness|periódico=Neural Computation|ano=2014|doi=10.1162/NECO_a_00548|url=http://dx.doi.org/10.1162/NECO_a_00548}}</ref> <math>P(N(t+h)-N(t) \ge 2) = o(h^2)</math>.

As propriedades acima implicam que <math>\textstyle N(t+h) - N(t)</math> é uma variável aleatória de Poisson com o parâmetro (ou média)

:<math> E[N(t+h) - N(t)]=\int_{t}^{t+h}\lambda (s)ds, </math>

o que implica

:<math> E[N(h)]=\int_0^{h}\lambda (s)ds. </math>

=== Processo de ponto de Poisson espacial ===

Um processo de ponto de Poisson não-homogêneo, assim como sua versão homogênea, definida no plano <math>\textstyle \textbf{R}^2</math> é chamado de '''processo de ponto de Poisson espacial'''.<ref name="baddeley2007spatial"/> Calcular sua medida de intensidade exige definir a área integral de sua função de intensidade sobre algumas região. Por exemplo, sua função de intensidade (como uma função de coordenadas cartesianas <math>\textstyle x</math> and <math>\textstyle y</math>) pode ser

:<math> \lambda(x,y)= e^{-(x^2+y^2)}, </math>

Por isso, tem uma medida de intensidade dada pela área integrante

:<math> \Lambda(B)= \int_B e^{-(x^2+y^2)} dxdy, </math>

na qual <math>\textstyle B</math> é alguma região limitada no plano <math>\textstyle R^2</math>. A função de intensidade anterior pode ser reescrita, através de uma mudança de coordenadas, em coordenadas polares como

:<math> \lambda(r,\theta)= e^{-r^2}, </math>

que revela que a função intensidade, neste exemplo, é independente da coordenada angular <math>\textstyle \theta</math>, ou, em outras palavras, é isotrópica ou rotacionalmente invariante. A medida de intensidade é dada pela área integrante

:<math> \Lambda(B')= \int_{B'} e^{-r^2} rdrdd\theta, </math>

na qual <math>\textstyle B'</math> é alguma região limitada no plano <math>\textstyle R^2</math>.

=== Em dimensões superiores ===

No plano, <math>\textstyle \Lambda(B)</math> corresponde a uma área integrante enquanto em <math>\textstyle \textbf{R}^d</math> a integral se torna um (<math>\textstyle d</math>-dimensional) volume integral.

=== Aplicações ===

A linha real, tal como mencionado anteriormente, é muitas vezes interpretada como o tempo e nesta configuração o processo não homogêneo é utilizado nas áreas de processos de contagem e na [[teoria das filas]].<ref name="tijms2003first"/><ref name="ross1996stochastic"/>  Exemplos de fenômenos que foram representados por ou aparecer como um processo de ponto de Poisson não homogêneo incluem:
*Gols marcados durante uma partida de futebol <ref name="heuer2010soccer">A. Heuer, C. Mueller, and O. Rubner. Soccer: Is scoring goals a predictable Poissonian process? ''EPL (Europhysics Letters)'', 89(3):38007, 2010.</ref>
* Defeitos em uma placa de circuito  <ref name="hwang2011modeling">J. Y. Hwang, W. Kuo, and C. Ha. Modeling of integrated circuit yield using a spatial nonhomogeneous poisson process. ''Semiconductor Manufacturing, IEEE Transactions on'', 24(3):377-384, 2011.</ref>

No plano, o processo de ponto de Poisson é de fundamental importância nas disciplinas relacionadas de geometria estocástica <ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="baddeley1999crash"/> e estatística espacial.<ref name="baddeley2007spatial"/><ref name="moller2003statistical"/> Este processo de ponto não é estacionário devido ao fato de que a sua distribuição é dependente da localização do espaço subjacente ou espaço de estado. Assim, ele pode ser usado para modelar fenômenos com uma densidade que varia ao longo de alguma região. Em outras palavras, os fenômenos podem ser representados como pontos que têm uma densidade dependente da localização. Os usos para esse processo como um modelo matemático são diversos e têm aparecido em várias disciplinas, incluindo os estudos relativos à ocorrência de salmão e de piolhos do mar nos oceanos,<ref name="krkovsek2005transmission">M. Krko{\vs}ek, M. A. Lewis, and J. P. Volpe. Transmission dynamics of parasitic sea lice from farm to wild salmon. ''Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences'', 272(1564):689-696, 2005.</ref>  forestry,<ref name="thompson1955spatial"/> and search problems.<ref name="lewis1979simulation">P. A. Lewis and G. S. Shedler. Simulation of nonhomogeneous poisson processes by thinning. ''Naval Research Logistics Quarterly'', 26(3):403-413, 1979.</ref>

=== Interpretação da função de intensidade ===

A função de intensidade de Poisson <math>\textstyle \lambda(x)</math> tem uma interpretação, considerada intuitiva,<ref name="stoyan1995stochastic"/> com o elemento de volume <math>\textstyle dx</math> no sentido infinitesimal: <math>\textstyle \lambda(x)dx</math> é a probabilidade infinitesimal de um ponto de um processo de Poisson existente em uma região do espaço com o volume <math>\textstyle dx</math> localizado em <math>\textstyle x</math>.<ref name="stoyan1995stochastic"/>

Por exemplo, dado um processo de Poisson homogêneo na linha real, a probabilidade de encontrar um ponto único do processo em um pequeno intervalo de largura <math>\textstyle \delta</math> é aproximadamente <math>\textstyle \lambda \delta x</math>. Na verdade, essa intuição é como o processo de Poisson, por vezes introduzida e sua distribuição derivada.<ref name="kingman1992poisson"/><ref name="feller1974introduction"/><ref name="cox1980point"/>

=== Processo de ponto simples ===

Se um processo de ponto de Poisson tem uma medida de intensidade que é uma localmente finita e difusa (ou não-atômica), então ele é um '''processo de ponto simples'''. Para um processo de ponto simples, a probabilidade de um ponto existente num único ponto ou localização no espaço subjacente (estado) é zero ou um. Isso implica que, com probabilidade de um, não há dois (ou mais) pontos de um processo de Poisson coincidentes em localização no espaço subjacente.<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="baccelli2009stochastic1"/>

== Simulação ==

A simulação de um processo de Poisson em um computador é feita normalmente considerando uma região limitada de espaço, conhecida como uma simulação de "janela", requerendo dois passos: a criação adequada de um número aleatório de pontos e depois o posicionamento adequado desses pontos de uma forma aleatória. Ambos os passos dependem do processo de ponto de Poisson específico que está a ser simulado.<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="streit2010poisson"/>

=== Passo 1: Número de pontos ===

O número de pontos <math>\textstyle N</math> na janela necessita ser simulado, denotados por <math>\textstyle W</math>, o que é feito por meio de uma função de (pseudo)-[[geração de números aleatórios|números aleatórios]] capaz de simular variáveis Poisson aleatórias.

==== Caso homogêneo ====
Para o caso homogêneo com constante <math>\textstyle \lambda</math>, a média da variável aleatória de Poisson <math>\textstyle N</math>
está configurada para <math>\textstyle \lambda |W|</math> na qual <math>\textstyle |W|</math> é o comprimento, a área ou (<math>\textstyle d</math>-dimensional) volume de <math>\textstyle W</math>.

==== Caso não-homogêneo ====
Para o caso não-homogêneo, <math>\textstyle \lambda |W|</math> é substituído com o (<math>\textstyle d</math>-dimensional) volume integral

:<math> \Lambda(W)=\int_W\lambda(x) dx </math>

=== Passo 2: Posicionamento de pontos ===

A segunda etapa requer colocar aleatoriamente <math>\textstyle N</math> pontos na janela <math>\textstyle W</math>.

==== Caso homogêneo ====
Para o caso homogêneo em uma única dimensão, todos os pontos estão uniformemente e de forma independente colocado na janela ou o intervalo <math>\textstyle W</math>. Para um maior número de dimensões num sistema de coordenadas cartesianas, cada coordenada é uniformemente e de forma independente colocado na janela <math>\textstyle W</math>. Se a janela não é um sub-espaço de espaço Cartesiano (por exemplo, dentro de uma esfera unitária ou na superfície de uma esfera unitária), então os pontos não serão uniformemente colocados em <math>\textstyle W</math>, e a alteração apropriada de coordenadas (cartesianas) será necessária.<ref name="stoyan1995stochastic"/>

==== Caso não-homogêneo ====
Para o caso não-homogêneo, dois métodos diferentes podem ser usados, dependendo da natureza da função intensidade <math>\textstyle \lambda(x)</math>.<ref name="stoyan1995stochastic"/> Se a função de intensidade for suficientemente simples, então coordenadas (cartesiana ou outra) dos pontos independentes e não-uniformemente aleatórios podem ser geradas. Por exemplo, a simulação de um processo de Poisson em uma janela circular pode ser feita por uma função de intensidade isotrópica (em coordenadas polares <math>\textstyle r</math> and <math>\textstyle \theta</math>), o que implica que é rotacionalmente invariante ou independente <math>\textstyle \theta</math> mas dependente de <math>\textstyle r</math>, por uma mudança de variável em <math>\textstyle r</math> se a função de intensidade for suficientemente simples.<ref name="stoyan1995stochastic"/>

Para as funções de intensidade mais complicadas, pode-se usar um [[método da rejeição|método aceitação-rejeição]], que consiste na utilização (ou "aceitar") de apenas alguns pontos aleatórios e não utilizar (ou "rejeitar") os outros pontos, baseando-se na proporção.<ref name="streit2010poisson"/>

:<math> \frac{\lambda(x_i)}{\Lambda(W)}=\frac{\lambda(x_i)}{\int_W\lambda(x) dx. } </math>

na qual <math>\textstyle x_i</math> é o ponto em consideração, para a aceitação ou rejeição.

== Processo de ponto de Poisson geral ==

O processo de ponto de Poisson pode ser generalizado naquilo que convenciona chamar de '''processo de ponto de Poisson geral'''<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="baddeley2007spatial"/><ref name="haenggi2012stochastic"/> ao se utilizar uma medida Radon <math>\textstyle \Lambda</math>, portanto, esta medida é localmente finita. A medida Radon pode ser atômica, ou seja, pode ter átomos em pontos no espaço de estado subjacente, enquanto alguns pesquisadores supõem o inverso quando a medida Radon <math>\textstyle \Lambda</math> é difusa ou não-atômica.<ref name="stoyan1995stochastic"/> Se a medida for atômica <math>\textstyle \Lambda</math>, então o número de pontos em <math>\textstyle x </math> é uma variável aleatória Poisson com média <math>\textstyle \Lambda({x})</math>.<ref name="haenggi2012stochastic"/>

Assumindo que o espaço subjacente do processo de Poisson é <math>\textstyle \textbf{R}^d</math> (o espaço pode ser mais geral), então <math>\textstyle \Lambda(\{x\})=0</math> para qualquer ponto único <math>\textstyle x</math> in <math>\textstyle \textbf{R}^d</math> e <math>\textstyle  \Lambda (B)</math> é finito para qualquer subconjunto limitado <math>\textstyle B</math> de <math>\textstyle \textbf{R}^d</math>.<ref name="moller2003statistical"/> Então o processo de ponto <math>\textstyle {N}</math> é um processo geral de ponto de Poisson com intensidade <math>\textstyle \Lambda</math> se ele tiver as duas seguintes propriedades:<ref name="stoyan1995stochastic"/>

* o número de pontos em um conjunto de Borel delimitado <math>\textstyle B</math> é uma variável aleatória Poisson com média <math>\textstyle \Lambda(B)</math>. Em outras palavras, denotam o número total de pontos localizados em <math>\textstyle B</math> por <math>\textstyle {N}(B)</math>, então a probabilidade de que a variável aleatória <math>\textstyle {N}(B)</math> é igual a <math>\textstyle n</math> e é dada por:
:<math> P \{ {N}(B)=n\}=\frac{(\Lambda(B))^{n}}{n!}e^{-\Lambda(B)} </math>

* o número de pontos em <math>\textstyle n</math> disjuntos Borel define formas <math>\textstyle n</math> variáveis aleatórias independentes.

A medida Radon <math>\textstyle \Lambda</math> mantém a sua interpretação anterior de ser o número esperado de pontos de <math>\textstyle {N}</math> localizado na região limitada <math>\textstyle B</math>, nomeadamente

:<math> \Lambda (B)= E[{N}(B)] . </math>

Além disso, se <math>\textstyle \Lambda</math> é absolutamente contínua de tal forma que tem uma densidade (ou, mais precisamente, uma [[Teorema de Radon–Nikodym|densidade Radon–Nikodym]] ou derivado) no que diz respeito à medida de Lebesgue, em seguida, para todos os conjuntos de Borel <math>\textstyle B</math> pode ser escrita como:

:<math> \Lambda (B)=\int_B \lambda(x) dx, </math>

em que a densidade <math>\textstyle \lambda(x)</math> é conhecida, entre outros termos, como a função de intensidade.

== Terminologia ==

Além da palavra "ponto" ser omitida muitas vezes, a terminologia da teoria do processo de ponto e do processo de Poisson variam, o que tem sido alvo de críticas.<ref name="guttorp2012happened"/> O processo homogêneo de Poisson (ponto) também é chamado de um processo '' parado '' Poisson (ponto),<ref name="daleyPPI2003"/> Às vezes, o processo Poisson "uniforme" (ponto),<ref name="kingman1992poisson"/> e no passado foi, por [[William Feller]] e outros, referenciado como ''conjunto Poisson '' de pontos.<ref name="feller1974introduction">W. Feller. Introduction to probability theory and its applications, vol. ii pod. 1974.</ref><ref name="roberts1969nearest">F. Roberts. Nearest neighbours in a poisson ensemble. ''Biometrika'', 56(2):401-406, 1969.</ref> O termo "processo de ponto" tem sido criticado e alguns autores preferem o termo ''campo de ponto aleatório'',<ref name="stoyan1995stochastic"/> embora, os termos "campo de ponto aleatório Poisson" ou "campo de ponto de Poisson" também sejam usados.<ref name="mikhailov2010statistical">G. Mikhailov and T. Averina. Statistical modeling of inhomogeneous random functions on the basis of poisson point fields. In ''Doklady Mathematics'', volume 82, pages 701-704. Springer, 2010.</ref> Um processo de ponto é considerado, e às vezes chamado, uma medida de contagem aleatória,<ref name="molchanov2006theory">I. Molchanov. ''Theory of random sets''. Springer Science \& Business Media, 2006.</ref> portanto, o processo de Poisson é também referido como uma "medida aleatória Poisson",<ref name="sato1999levy">K. Sato. Lévy processes and infinite divisibility, 1999.</ref> a term used in the study of Lévy processes,<ref name="sato1999levy"/><ref name="mandrekar2015stochastic">V. Mandrekar and B. Rüdiger. ''Stochastic Integration in Banach Spaces''. Springer, 2015.</ref> mas alguns optam por utilizar os dois termos para ligeiramente diferentes objetos aleatórios.<ref name="applebaum2009levy">D. Applebaum. ''Lévy processes and stochastic calculus}. Cambridge university press, 2009.</ref>

O processo de ponto de Poisson não-homogêneo<ref name="daleyPPI2003"/><ref name="cox1980point"/> é referido algumas vezes como um processo "não-estacionário",<ref name="tijms2003first"/> "heterogêneo" <ref name="lawson1993deviance"/><ref name="baudin1984multidimensional">M. Baudin. Multidimensional point processes and random closed sets. ''Journal of applied probability'', pages 173-178, 1984.</ref><ref name="shen2009species">G. Shen, M. Yu, X.-S. Hu, X. Mi, H. Ren, I.-F. Sun, and K. Ma. Species-area relationships explained by the joint effects of dispersal limitation and habitat heterogeneity. ''Ecology'', 90(11):3033-3041, 2009.</ref> ou como um processo (de ponto) de Poisson "espacialmente dependente".<ref name="krkovsek2005transmission"/><ref name="pan2007detection">H.-B. Pan, W. Zhang, and M.-Y. Cong. Detection algorithm for space dim moving object. In ''Fundamental Problems of Optoelectronics and Microelectronics III'', pages 65951H-65951H. International Society for Optics and Photonics, 2007.</ref>

A medida <math>\textstyle \Lambda</math> é às vezes chamada de "medida parâmetro" <ref name="daleyPPI2003"/> ou "medida de intensidade" <ref name="stoyan1995stochastic"/> ou "medida média".<ref name="kingman1992poisson"/> Se <math>\textstyle \Lambda</math> tem uma densidade ou derivada, denotada por <math>\textstyle \lambda(x)</math>, ela pode ser chamada de "função de intensidade" do processo geral de Poisson <ref name="stoyan1995stochastic"/> ou simplesmente de "taxa" ou de "intensidade",<ref name="kingman1992poisson"/> umas vez que não há uma terminologia padrão para isso.<ref name="kingman1992poisson"/> Para o processo homogêneo de Poisson, a intensidade é simplesmente uma constante <math>\textstyle \lambda>0</math>, que pode ser referida como "taxa média" ou "densidade média"<ref name="daleyPPI2003"/> ou "parâmetro da taxa".<ref name="ross1996stochastic"/> Para <math>\textstyle \lambda=1</math>, o processo correspondente é muitas vezes referido como o "processo (de ponto) de Poisson padrão".<ref name="moller2003statistical"/><ref name="merzbach1986characterization"/><ref name="grandell1977point">J. Grandell. Point processes and random measures. ''Advances in Applied Probability'', pages 502-526, 1977.</ref>

O espaço matemático subjacente em que o processo de ponto é definido, seja ele de Poisson ou outro, é conhecido como um "espaço de estado"<ref name="kingman1992poisson"/> ou "espaço de transporte".<ref name="harding1974stochastic"/><ref name="chen2004stein"/>''

== Notação ==
{{AP|Notação de processo de ponto}}

A notação do processo de Poisson depende de sua definição no campo em que está sendo aplicada. Por exemplo, na linha real, o processo de Poisson, tanto o homogêneo quanto o não-homogêneo, às vezes é interpretado como um processo de contagem, e a notação <math>\textstyle \{N(t), t\geq 0\}</math> é usada para representar o processo de Poisson.<ref name="tijms2003first"/><ref name="ross1996stochastic"/>

Outra razão para a diversidade das notações é devido à teoria de processos de ponto, que tem duas interpretações matemáticas. Por exemplo, um processo de ponto de Poisson simples pode ser considerado como um conjunto aleatório, o que sugere que a notação <math>\textstyle x\in {N}</math>, implica <math>\textstyle x</math>, o que implica que <math>\textstyle x</math> é um ponto aleatório pertencente ou ser um elemento do processo de Poisson <math>\textstyle {N}</math>. Outra interpretação, mais geral, é a de considerar a qualquer outro processo de Poisson ou como uma medida de contagem aleatória e, por isso, pode-se escrever o número de pontos de um processo de Poisson <math>\textstyle {N}</math> sendo encontrado ou localizado em algum (Borel mensurável) região <math>\textstyle B</math>  as <math>\textstyle {N}(B)</math>, que é uma variável aleatória. Essas diferentes interpretações resultam em uma notação sendo usada a partir de campos matemáticos tais como a teoria da medida e a teoria dos conjuntos.<ref name="stoyan1995stochastic"/>

Para processos de ponto gerais, por vezes, um subscrito no símbolo de ponto, por exemplo <math>\textstyle x</math>, está incluído para que se escreve (com notação set) <math>\textstyle x_i\in{N}</math> ao invés de <math>\textstyle x\in{N}</math>, e <math>\textstyle x</math> pode ser usado para a variável binária em expressões integrais, tais como o teorema de Campbell, em vez de indicar pontos aleatórios.<ref name="baccelli2009stochastic1"/> Às vezes, uma letra maiúscula denota o processo de ponto, enquanto uma minúscula, representa um ponto do processo, de modo que, por exemplo, o ponto <math>\textstyle x</math> ou <math>\textstyle x_i</math>
pertence ou é um ponto do processo de ponto <math>\textstyle X</math>, e ser escrito com notação conjunto como <math>\textstyle x\in X</math> ou <math>\textstyle x_i\in X</math>.<ref name="moller2003statistical"/>

Além disso, a teoria dos conjuntos e notação teoria integral ou medida podem ser usados alternadamente. Por exemplo, para um processo de ponto <math>\textstyle N</math> definido no espaço euclidiano <math>\textstyle {\textbf{R}^d} </math> e uma (mensurável) função <math>\textstyle f</math> sobre <math>\textstyle \textbf{R}^d</math> , a expressão

:<math> \int_{\textbf{R}^d} f(x){N}(dx)=\sum\limits_{x_i\in N} f(x_i), </math>

demonstra duas maneiras diferentes para escrever uma somatória ao longo de um processo de ponto. Mais especificamente, a notação integral sobre o lado esquerdo está interpretando o processo de ponto como uma medida de contagem aleatória enquanto a soma no lado da mão direita sugere uma interpretação conjunto aleatório.<ref name="stoyan1995stochastic"/>

== Funcionais e medidas de momentos ==

Em teoria da probabilidade, as operações são aplicadas a variáveis aleatórias para diferentes fins. Às vezes, essas operações são as expectativas regulares que produzem a média ou variância de uma variável aleatória. Em outros casos, como no das funções características de uma variável aleatória (ou no de [[Transformada de Laplace|transformadas de Laplace]]) pode ser usado para identificar ou caracterizar variáveis aleatórias e provar resultados como o teorema do limite central.<ref name="karr1993probability">A. Karr. ''Probability''. Springer Texts in Statistics Series. Springer-Verlag, 1993.</ref> Na teoria dos processos de ponto, existem ferramentas matemáticas análogas que geralmente existem nas formas de medidas e funcionais, em vez de momentos e funções, respectivamente. Para as medidas, muitas vezes suas densidades (ou derivadas Radon-Nikodym), se existirem, são também expressos em relação à medida de Lebesgue.<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="daleyPPI2003"/>

===Funcionais Laplace ===
Para um processo de ponto Poisson <math>\textstyle {N}</math> com uma medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda</math>, a [[funcional Laplace]] é dada por:<ref name="baccelli2009stochastic1"/>

:<math> L_{{N}}(f)=e^{-\int_{\textbf{R}^d}(1-e^{ f(x)})\Lambda(dx)}, </math>

que para este caso o homogêneo é:

:<math> L_{{N}}(f)=e^{-\lambda\int_{\textbf{R}^d}(1-e^{ f(x)})dx}. </math>

Uma versão do [[teorema de Campbell]] envolve a funcional Laplace do processo de ponto de Poisson.

=== Probabilidade gerando funcionais ===

A probablidade gerando funções de variáveis de valores integrais não-negativos leva à probabilidade de gerar funcionais a serem definidas de forma análoga em relação a qualquer função não-negativa delimitada <math>\textstyle v</math> em <math>\textstyle \textbf{R}^d</math> such that <math>\textstyle 0\leq v(x) \leq 1</math>. Para um processo de ponto <math>\textstyle {N}</math> a função geradora de probabilidade é definida como:<ref name="stoyan1995stochastic"/>

:<math> G(v)=E\left[\prod_{x\in {N}} v(x)  \right] </math>

em que o produto é dado por todos os pontos em <math>\textstyle {N}</math>. Se a medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda</math> de <math>\textstyle {N}</math> é localmente finito, então o <math>\textstyle G</math> é bem definida para qualquer função mensurável <math>\textstyle u</math> em <math>\textstyle \textbf{R}^d</math>. Para um processo de Poisson com medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda</math> a função geradora é dada por:

:<math> G(v)=e^{-\int_{\textbf{R}^d} [1-v(x)]\Lambda(dx)}, </math>

que no caso homogêneo reduz a

:<math> G(v)=e^{-\lambda\int_{\textbf{R}^d} [1-v(x)]dx}. </math>

=== Medida de momento ===
Para um processo geral ponto de Poisson com medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda</math> a primeira [[medida de momento]]
é a sua medida de intensidade:<ref name="baccelli2009stochastic1"/>

:<math> M^1(B)=\Lambda(B), </math>

o que para um processo de ponto de Poisson homogêneo com intensidade [[constante matemática|constante]] <math>\textstyle \lambda</math> significa que:

:<math> M^1(B)=\lambda|B|, </math>

onde <math>\textstyle |B|</math> é o comprimento, a área ou volume (ou, mais geralmente, a [[medida de Lebesgue]]) de <math>\textstyle B</math>.

Para o caso de Poisson com a medida <math>\textstyle \Lambda</math> a segunda medida de momento é:<ref name="baddeley2007spatial"/>

:<math> M^2(B)=\Lambda(B)+\Lambda(B)^2. </math>

que no caso homogêneo reduz a

:<math> M^2(B)=\lambda|B|+(\lambda|B|)^2. </math>

=== Medida de momento fatorial ===
Para um processo de ponto do tipo Poisson, geral, com medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda</math> a <math>\textstyle n</math>-th [[medida de momento fatorial]] é dada pela expressão:<ref name="stoyan1995stochastic"/>

:<math> M^{(n)}(B_1\times,\dots,\times B_n)=\prod_{i=1}^n[\Lambda(B_i)], </math>

na qual <math>\textstyle \Lambda</math> é a medida de intensidade ou a primeira medida momento de <math>\textstyle {N}</math>,
que por algum conjunto de Borel <math>\textstyle B</math> é dado por:

:<math> \Lambda(B)=M^1(B)=E[{N}(B)]. </math>

Para um processo de Poisson do tipo homogêneo o <math>\textstyle n</math>-medida de momento fatorial é simplesmente:<ref name="baccelli2009stochastic1"/>

:<math> M^{(n)}(B_1\times,\dots,\times B_n)=\lambda^n \prod_{i=1}^n |B_i|, </math>

no qual <math>\textstyle |B_i|</math> é o comprimento, a área ou volume (ou, mais geralmente, a [[medida de Lebesgue]]) de <math>\textstyle B_i</math>. Além disso, o <math>\textstyle n</math>-th densidade fatorial do momento é:<ref name="stoyan1995stochastic"/>

:<math> \mu^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\lambda^n. </math>

== Função de evasão ==

A '''função de evasão''' (''avoidance function''<ref name="kingman1992poisson"/><ref name="daleyPPI2003"/><ref name="daleyPPII2008"/>)  ou '''probabilidade nula''' (''void probability''<ref name="stoyan1995stochastic"/>) <math>\textstyle v</math> de um processo de ponto <math>\textstyle {N}</math> é definida em relação a um conjunto <math>\textstyle B</math>, que é um subconjunto do espaço subjacente <math>\textstyle \textbf{R}^d</math>, como a probabilidade de nenhum ponto de <math>\textstyle {N}</math> existente em <math>\textstyle B</math>. Mais precisamente,<ref name="stoyan1995stochastic"/> para um conjunto de teste <math>\textstyle B</math>, a função de evasão é dada pela:

:<math> v(B)=P({N}(B)=0). </math>

Para um processo de ponto de Poisson geral <math>\textstyle {N}</math> com medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda</math>, sua função de evasão é dada pela:

:<math> v(B)=e^{-\Lambda(B)} </math>

=== Teorema de Rényi ===

Pode ser mostrado que os processos de ponto simples são caracterizados totalmente pelas suas probabilidades nulas. Em outras palavras, a informação completa de um processo de ponto simples é capturada em suas probabilidades nulas. O caso para o processo de Poisson é por vezes conhecido como '''Teorema de Rényi''',<ref name="kingman1992poisson"/><ref name="grimmett2001probability"/>
que recebe esse nome em referência a [[Alfréd Rényi]], que descobriu o resultado para o caso de um processo de ponto homogêneo unidimensional.<ref name="kingman1992poisson"/>


De uma forma,<ref name="kingman1992poisson"/> o teorema de Rényi estabelece que para uma medida Radon difusa (ou não-atômica) <math>\textstyle \Lambda</math> em <math>\textstyle \textbf{R}^d</math> e um conjunto de <math>\textstyle A</math> é uma união finita de retângulos (de modo não Borel{{efn|Esse conjunto <math>\textstyle A</math> é formado por um número finito de uniões, considerando que um conjunto de Borel é formado por um número contável de operações de conjunto.<ref name="daleyPPI2003"/>}}) que se <math>\textstyle {N}</math> for um subconjunto contável de <math>\textstyle \textbf{R}^d</math> tal como:

:<math> P({N}(A)=0)=v(A)=e^{-\Lambda(A)} </math>

então <math>\textstyle {N}</math> é um processo de ponto de Poisson com medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda</math>.

== Operações de processo de ponto ==
{{AP|Operações de processo de ponto}}

As operações matemáticas podem ser realizadas por meio de processos de pontos, a fim de desenvolver modelos matemáticos adequados. Um exemplo de uma operação de desbaste é conhecido como o que implica a eliminação ou remoção dos pontos de algum processo de ponto de acordo com uma regra, criando assim um novo processo com os pontos restantes (os pontos apagados também formar um processo de ponto). Outro exemplo de um processo de ponto de funcionamento é a sobreposição (ou a combinação) apontam processos para um processo de ponto.

Uma das razões pelas quais o processo de ponto de Poisson é frequentemente utilizado como modelo é que, sob as condições adequadas, quando realizada em um processo de Poisson estas operações, muitas vezes produzir um outro ponto processo (geralmente diferente) Poisson, demonstrando um aspecto de fechamento matemática.<ref name="kingman1992poisson"/> As operações também podem ser usadas para criar novos processos de ponto, que são então também utilizados como modelos matemáticos para a colocação aleatória de determinados objetos.<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="baccelli2009stochastic1"/>

=== Desbaste ===

Para o processo de Poisson, as <math>\textstyle p(x)</math>-operações independentes de desbaste resultam em outro processo de Poisson.  De modo mais específico, um <math>\textstyle p(x)</math>operação de desbaste aplicada a um processo de Poisson com medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda</math> dá um processo de ponto com pontos removidos, que também é um processo de Poisson <math>\textstyle {N}_p</math> com medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda_p</math>, o que para um conjunto Borel limitado <math>\textstyle B</math> é dado por:

:<math> \Lambda_p(B)= \int_B p(x) \Lambda(dx) </math>

Além disso, após o desbastar aleatoriamente um processo de Poisson, os pontos remanescentes também formam um processo de Poisson, que tem a medida de intensidade

:<math> \Lambda_p(B)= \int_B (1-p(x)) \Lambda(dx). </math>

Os dois processos de Poisson foram formados separadamente, respectivamente dos pontos que foram removidos e daqueles mantidos estocasticamente, independentes uns dos outros.<ref name="stoyan1995stochastic"/><ref name="kingman1992poisson"/> Em outras palavras, se uma região é conhecida por conter <math>\textstyle n</math> pontos mantidos (a partir do processo de Poisson original), então isso não terá qualquer influência sobre o número aleatório de pontos afastados na mesma região. Essa capacidade de se criar aleatoriamente dois processos de Poisson independentes às vezes é conhecido como "''splitting''",<ref name="bertsekas2008introduction">D. Bertsekas and J. Tsitsiklis. Introduction to probability, ser. ''Athena Scientific optimization and computation series. Athena Scientific'', 2008.</ref><ref name="hayes1984modeling">J. F. Hayes. ''Modeling and analysis of computer communications networks''. Perseus Publishing, 1984.</ref> ou seja, de dividir um processo de Poisson.

=== Sobreposição ===

Se houver um conjunto contável de processos de ponto <math>\textstyle {N}_1,{N}_2\dots</math>, então a sua sobreposição, ou, em linguagem teoria dos conjuntos, sua união

:<math> {N}=\bigcup_{i=1}^{\infty}{N}_i, </math>

também constitui um processo de ponto. Em outras palavras, todos os pontos localizados em qualquer um dos processos de ponto <math>\textstyle {N}_1,{N}_2\dots</math> irá também ser localizada na superposição desses processos de ponto <math>\textstyle {N}</math>.

==== Teorema de sobreposição ====

O '''teorema da sobreposição''' de um processo de Poisson, que deriva diretamente da propriedade completa independência, diz <ref name="kingman1992poisson"/><ref name="grimmett2001probability"/> que a sobreposição de processos independentes de Poisson <math>\textstyle {N}_1,{N}_2\dots</math> com medidas médias <math>\textstyle \Lambda_1,\Lambda_2,\dots</math> também será um processo de Poisson com medida média
:<math> \Lambda=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\Lambda_i. </math>

Em outras palavras, a união dos dois (ou enumeravelmente mais) processos de Poisson é um outro processo de Poisson. Se um ponto <math>\textstyle x</math> baseia-se numa união contável <math>\textstyle n</math> de processos de Poisson, então a probabilidade de que o ponto <math>\textstyle x</math> pertença ao <math>\textstyle j</math>th processo de Poisson <math>\textstyle {N}_j</math> é dada por:

:<math> P (x\in{N}_j)=\frac{\Lambda_j}{\sum_{i=1}^{n}\Lambda_i}. </math>

==== Caso homogêneo====
No caso homogêneo, com constante <math>\textstyle \lambda_1,\lambda_2\dots</math>, as duas expressões anteriores reduzem a

:<math> \lambda=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\lambda_i, </math>

e

:<math> P (x\in{N}_j)=\frac{\lambda_j}{\sum_{i=1}^{n}\lambda_i}. </math>

=== Agrupamento ===

A operação de agrupamento (''clustering'') é realizada para cada ponto <math>\textstyle x</math> de algum processo de ponto <math>\textstyle {N}</math> que é substituído por algum (possivelmente diferente) processo de ponto. Se o processo original <math>\textstyle {N}</math> for um processo de ponto de Poisson, então o processo resultante <math>\textstyle {N}_c</math> é chamado de Agrupamento de processo de ponto de Poisson.

=== Deslocamento aleatório ===

Um modelo matemático pode exigir um movimento aleatório de pontos de um processo de ponto para outros locais no espaço matemático subjacente, o que dá origem a uma operação de processo de ponto conhecido como deslocamento <ref name="kingman1992poisson"/> ou translação.<ref name="daleyPPII2008"/> O processo de ponto de Poisson tem sido usado para modelar, por exemplo, o movimento de plantas entre as gerações, devido ao teorema de deslocamento,<ref name="kingman1992poisson"/> que parece dizer que o deslocamento independente aleatório de pontos de um processo de Poisson (no mesmo espaço subjacente) constitui um outro processo de Poisson.

==== Teorema de deslocamento ====

Uma versão do teorema de deslocamento <ref name="kingman1992poisson"/> implica primeiro considerar um processo de Poisson <math>\textstyle {N}</math> em <math>\textstyle \textbf{R}^d</math> com uma função de intensidade <math>\textstyle \lambda(x)</math>. Em seguida, é assumido os pontos de <math>\textstyle {N}</math> são deslocados aleatoriamente em algum outro lugar <math>\textstyle \textbf{R}^d</math> de modo que cada ponto de deslocamento é independente e o deslocamento de um ponto que anteriormente estava em <math>\textstyle x</math> é um vetor aleatório com uma densidade de probabilidade <math>\textstyle \rho(x,\cdot)</math>.{{efn|Kingman <ref name="kingman1992poisson"/> chama isso de densidade de probabilidade, mas em outras fontes é chamado de "probabilidade kernel",<ref name="baccelli2009stochastic1"/> que é um objeto utilizado em outras áreas de probabilidade, tais como cadeias de Markov.<ref name="kallenberg2002foundations">O. Kallenberg. ''Foundations of modern probability''. springer, 2002.</ref>}} Então, o novo processo de ponto <math>\textstyle {N}_D</math> é também um processo de Poisson com função de intensidade

:<math> \lambda_D(y)=\int_{\textbf{R}^d} \lambda(x) \rho(x,y) dx, </math>

que para o caso homogêneo com uma constante <math>\textstyle \lambda>0</math> significa que

:<math> \lambda_D(y)=\lambda. </math>

Em outras palavras, depois de cada deslocamento aleatório e independente dos pontos, o processo original de Poisson ainda existe.

O teorema de deslocamento pode ser estendioa de modo a que os pontos de Poisson são deslocados aleatoriamente a partir de um espaço euclidiano<math>\textstyle \textbf{R}^d</math> para outro espaço euclidiano <math>\textstyle \textbf{R}^{d'}</math>, onde <math>\textstyle d'\geq 1</math> não é necessariamente igual a <math>\textstyle d</math>.<ref name="baccelli2009stochastic1"/>

=== Mapeamento ===

Outra propriedade considerada útil é a capacidade de mapear um processo de Poisson de um espaço subjacente para outro espaço.<ref name="kingman1992poisson"/>

==== Teorema de mapeamento ====

Se o mapeamento (ou transformação) adere a algumas condições, então o mapeamento resultante (ou transformado) da coleção de pontos também forma um processo de Poisson, e este resultado é muitas vezes referenciado como "teorema de mapeamento".<ref name="kingman1992poisson"/><ref name="grimmett2001probability"/><ref name="streit2010poisson"/> O teorema envolve algum processo de ponto de Poisson com medida média <math>\textstyle \Lambda</math> em algum espaço subjacente. Se as localizações dos pontos são mapeadas (isto é, o processo de ponto é transformado) de acordo com alguma função para outro espaço subjacente, em seguida, o processo de ponto resultante é também um processo de Poisson, mas com uma medida média diferente <math>\textstyle \Lambda'</math>.

Mais especificamente, pode-se considerar uma função (mensurável Borel) <math>\textstyle f</math> que mapeia um processo de ponto <math>\textstyle {N}</math> com medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda</math> de um espaço <math>\textstyle S</math>, para outro espaço <math>\textstyle T</math> de tal maneira que o novo processo de ponto <math>\textstyle {N}'</math> tem a intensidade medida:

:<math> \Lambda(B)'=\Lambda(f^{-1}(B)) </math>

com nenhum átomo, onde <math>\textstyle B</math> é um conjunto de Borel e <math>\textstyle f^{-1}</math> indica o inverso da função <math>\textstyle f</math>. Se <math>\textstyle {N}</math> é um processo de Poisson, então o novo processo de <math>\textstyle {N}'</math> é também um processo de Poisson, com a medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda'</math>.

== Aproximações com o processo de ponto de Poisson ==

A rastreabilidade do processo de Poisson significa que às vezes se torna conveniente aproximar um processo de ponto do tipo "não-Poisson" com um que seja do tipo Poisson. O objetivo em geral é aproximar ambos os números de pontos de algum processo de ponto e a localização de cada ponto por meio de um processo de Poisson.<ref name="chen2013approximating">L. H. Chen, A. Röllin, et al. Approximating dependent rare events. ''Bernoulli'', 19(4):1243-1267, 2013.</ref> Há uma série de métodos que podem ser usados para justificar, ou informalmente rigorosos, aproximando a ocorrência de eventos aleatórios ou fenômenos com processos de Poisson adequados. Os métodos mais rigorosos envolvem derivar limites superiores nas métricas de probabilidade entre os processos de Poisson e processos de ponto não-Poisson, enquanto que outros métodos podem ser justificados por heurísticas menos formais.<ref name="arratia1993review">R. Arratia, S. Tavare, et al. {Review: D. Aldous, Probability Approximations via the Poisson Clumping Heuristic; AD Barbour, L. Holst, S. Janson, Poisson Approximation}. ''The Annals of Probability'', 21(4):2269-2279, 1993.</ref>

=== Heurística Clumping ===

Um método para aproximar eventos aleatórios ou fenômenos com processos de Poisson é chamado de ''' heurística clumping'''.<ref name="aldous1989poisson">D. Aldous. ''Poisson Clumping Heuristic''. Wiley Online Library, 1989.</ref> A heurística geral envolve o uso do processo de Poisson (ou de uma distribuição de Poisson) para aproximar eventos, que são considerados raros ou pouco prováveis, de algum processo estocástico. Em alguns casos, esses eventos raros podem ser considerados independentes e, desse modo, um processo de Poisson pode ser usado. Quando os eventos não são independentes, mas tendem a ocorrer em aglomerados ou em "''clumps''", em seguida, se estes aglomerados são adequadamente definido de tal modo que eles são aproximadamente independentes um do outro, em seguida, o número de aglomerados que ocorrem será próximo de uma variável aleatória de Poisson<ref name="arratia1993review"/> e as localizações desses clumps estará próxima a um processo de Poisson.<ref name="aldous1989poisson"/>

=== Método de Stein===

O chamado [[método de Stein]] consiste numa técnica matemática rigorosa originalmente desenvolvida para aproximar variáveis aleatórias, tais como as variáveis [[gaussiana]]s e as de Poisson, muito embora também tenha sido desenvolvido e aplicado para processos de ponto. O método de Stein pode ser usado para derivar limites superiores em [[métrica de probabilidade]]s, que permitem quantificar o quanto dois objetos matemáticos aleatórios podem variar estocasticamente, seja um processo de Poisson e ou outros processos de ponto.<ref name="chen2013approximating"/><ref name="barbour1992stein">A. D. Barbour and T. C. Brown. Stein's method and point process approximation. ''Stochastic Processes and their Applications'', 43(1):9-31, 1992.</ref> Limites superiores sobre métricas de probabilidade tais como [[variação total]] e [[métrica de Wasserstein|distância Wasserstein]] tem sido derivados.<ref name="chen2013approximating"/>

Pesquisadores têm aplicado o método de Stein a processos de Poisson de diversas maneiras,<ref name="chen2013approximating"/> tal como através do uso de ''[[Palm calculus]]''.<ref name="chen2004stein"/> Técnicas baseadas no método de Stein foram desenvolvidos para levar para os limites superiores dos efeitos de determinadas [[operação de processo de ponto|operações de processo de ponto]], tais como as de desbaste e de superposição.<ref name="schuhmacher2005super">D. Schuhmacher. Distance estimates for dependent superpositions of point processes. ''Stochastic processes and their applications'', 115(11):1819-1837, 2005.</ref><ref name="schuhmacher2005thinnings">D. Schuhmacher. Distance estimates for poisson process approximations of dependent thinnings. ''Electronic Journal of Probability'', 10:165-201, 2005.</ref> O método de Stein também tem sido utilizado para derivar limites superiores em métricas de Poisson e outros processos tais como o [[processo de ponto de Cox]], que é um processo de Poisson, com uma medida de intensidade aleatória.<ref name="chen2013approximating"/>

== Convergência para um processo de ponto Poisson ==

Em geral, quando uma operação é aplicada a um processo de ponto geral, o processo resultante não é um processo de Poisson. Por exemplo, se um processo de ponto, um que não seja um Poisson, tem seus pontos aleatoriamente e independentemente deslocados, então o processo não seria necessariamente um processo de Poisson. No entanto, sob certas condições matemáticas, tanto para o processo de ponto original quanto para o deslocamento aleatório, tem sido demonstrado através de limite teoremas que se os pontos de um processo de ponto são repetidamente deslocado de uma maneira aleatória e independente, então, a distribuição-finita do processo de ponto irá convergir (fracamente) para um processo de Poisson.<ref name="daleyPPII2008"/>

Resultados semelhantes de convergência têm sido desenvolvidos para operações de desbaste e de superposiçãoref name="daleyPPII2008"/> que indicam que tais operações repetidas em processos de ponto podem, sob certas condições, resultar no processo convergente a um processo de Poisson, provendo um redimensionamento apropriado da medida da intensidade (em contrário valores da medida da intensidade dos processos de ponto resultante seria se aproximam de zero ou infinito). Esse trabalho de convergência está diretamente relacionado com os resultados conhecidos como equações Palm-Khinchin,{{efn|Também grafado Palm–Khintchine, por exemplo, em ''Point Processes'' de Cox and Isham <ref name="cox1980point"/>}} que tem suas origens na obra de [[Conny Palma]] e [[Aleksandr Khinchin]],<ref name="daleyPPII2008"/> e ajuda explica por que o processo de Poisson muitas vezes pode ser usado como um modelo matemático de vários fenômenos aleatórios.

== Generalizações do processo de ponto de Poisson ==

O processo de Poisson pode ser generalizado, por exemplo, alterando a sua medida de intensidade ou a definição de espaços matemáticos mais gerais. Essas generalizações podem ser estudadas matematicamente, bem como utilizadas para modelar algo matematicamente ou representar fenômenos físicos.

=== Processos de ponto de Poisson em espaços gerais ===

Os modelos matemáticos de processo de Poisson são muitas vezes definidos no espaço euclidiano, mas podem ser generalizados para espaços mais abstratos e desempenham um papel fundamental no estudo de medidas aleatórias,<ref name="kingman1992poisson"/> que exige a compreensão de determinados campos matemáticos tais como a teoria da probabilidade, teoria da medida, topologia e análise funcional.<ref name="daleyPPII2008"/>
Em geral, o conceito de distância é de interesse prático para aplicações enquanto estrutura topológica é necessária para as distribuições de palma, portanto, apontam processos que são muitas vezes definidos em espaços matemáticos equipados com métricas.<ref name="gelfand2010handbook">A. E. Gelfand, P. Diggle, P. Guttorp, and M. Fuentes. ''Handbook of spatial statistics'', Chapter 9. CRC press, 2010.</ref> A necessidade de convergência das sequências requer o espaço para ser completa, o que inspirou processos de ponto a serem estudados em espaços métricos completos específicos.<ref name="daleyPPI2003"/><ref name="gelfand2010handbook"/> Além disso, cada processo de realização de um ponto, em geral, pode ser considerado como uma medida de contagem, o que tem motivado processos de ponto que está sendo considerado como medidas aleatórias.<ref name="grandell1977point"/> Usando as técnicas de medidas aleatórias, o processo Poisson e os outros processos de ponto foram definidos e estudados localmente num segundo compacto e contável espaço Hausdorff.<ref name="kallenberg1983random">O. Kallenberg. ''Random measures''. Academic Pr, 1983.</ref>

=== Processo de ponto Cox===

Um processo de ponto de Poisson pode ser generalizado deixando a sua medida de intensidade <math>\textstyle \Lambda</math> ser aleatória e independente do processo de Poisson subjacente, o que dá origem ao '''processo Cox''' ou '''processo de Poisson duplamente estocástico''', algo apresentado pela primeira vez pelo estatístico [[David Cox]] em 1955 com seu último nome.<ref name="kingman1992poisson"/> A medida da intensidade pode ser uma realização da variável aleatória ou de um campo aleatório. Por exemplo, se o [[Logaritmo natural|logaritmo]] a medida de intensidade é um [[campo aleatório gaussiano]], então o processo resultante é conhecida como um ''processo Cox de log gaussiano''.<ref name="moller1998log">J. Møller, A. R. Syversveen, and R. P. Waagepetersen. Log Gaussian Cox Processes. ''Scandinavian journal of statistics'', 25(3):451-482, 1998.</ref> De modo mais geral, as medidas de intensidade são uma realização de uma medida aleatória localmente finita de valor não-negativo. Processos Cox pontuais exibem uma espécie de agrupamento de pontos, o que pode ser mostrado matematicamente para serem maior do que os dos processos de Poisson. A generalidade e rastreabilidade dos processos Cox resultam em que sejam utilizados como modelos em áreas como estatística espacial.<ref name="moller2007modern">J. Møller and R. P. Waagepetersen. Modern statistics for spatial point processes. ''Scandinavian Journal of Statistics'', 34(4):643-684, 2007.</ref>

=== Processo de ponto de Poisson marcado ===

Para um dado processo de ponto, cada ponto aleatório de um processo de ponto pode ter um objeto matemático aleatório, conhecido como uma espécie de "marca" que é a ele atribuída. Tais marcas podem ser tão diversas como inteiros, números reais, linhas, objetos geométricos ou outros processos de ponto.<ref name="moller2003statistical"/> Um par que consiste de um dos pontos de um processo de ponto e a sua marca correspondente é chamado um ponto marcado, e todos os pontos marcados formam um '''processo de ponto marcado'''.<ref name="baddeley2007spatial"/> Supõe-se frequentemente que as marcas aleatórias são independentes umas das outras e identicamente distribuídas, o que torna o processo mais fácil de trabalhar. No entanto, o sinal de um ponto pode ainda depender da localização do seu ponto correspondente no espaço subjacente (estado).<ref name="kingman1992poisson"/> Se o processo de ponto subjacente for um processo de Poisson, então o que se tem é um '''processo de Poisson marcado'''.

==== Teorema de marcação ====

Se um ponto processo geral é definido em algum [[espaço matemático]] e as marcas aleatórias são definidas em outro espaço matemático, então o processo de ponto marcado é definido no [[produto cartesiano]] desses dois espaços. Para um processo de Poisson marcado com marcas independentes e identicamente distribuídas, o '''teorema de marcação'''<ref name="kingman1992poisson"/><ref name="streit2010poisson"/> afirma que esse processo de ponto marcado é também um processo de ponto de Poisson (não-marcado) definido no produto cartesiano acima e mencionado dos espaços matemáticos, o que não é verdadeiro para os processos de modo geral.

=== Processo de Poisson composto ===

O '''processo de ponto de Poisson composto''' é formado pela soma dos valores aleatórios ou pelo pesos para cada ponto do processo de ponto de Poisson definido em algum espaço de estado subjacente, de modo que o processo é construído a partir de um processo de Poisson marcado, no qual as marcas formam um coleção de [[variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas]] de valores não-negativos.<ref name="daleyPPI2003"/> Em outras palavras, para cada ponto do processo de Poisson original, existe uma variável aleatória de valor não-negativo independente e identicamente distribuída, e o processo de Poisson composto é então formado a partir da soma de todas as variáveis aleatórias correspondentes aos pontos do processo de Poisson localizado numa região do espaço matemático subjacente.

Se houver um processo de Poisson marcado que é formado a partir de um processo de Poisson <math>\textstyle N</math> (definido em, por exemplo, <math>\textstyle \textbf{R}^d</math>) e uma coleção de marcas de valor não-negativo que são independentes e identicamente distribuídas <math>\textstyle \{M_i\}</math> de tal modo que para cada ponto <math>\textstyle x_i</math> de um processo de Poisson <math>\textstyle N</math>, então não é uma variável aleatória de valor não-negativo <math>\textstyle M_i</math>. O processo de Poisson composto resultante é então:

:<math> C(B)=\sum_{i=1}^{N(B)} M_i ,</math>

no qual <math>\textstyle B\subset \textbf{R}^d</math> é um conjunto Borel mensurável. Se a coleção de variáveis aleatórias ou marcas <math>\textstyle \{M_i\}</math> são variáveis aleatórias com valor de [[número inteiro]] não-negativo, então o processo resultante é chamado de '''Processo de Poisson composto de contagem'''.<ref name="daleyPPI2003"/><ref name="aldous1989poisson"/>

Para variáveis aleatórias gerais, se o processo de Poisson composto for formado a partir de um processo de ponto Ponto homogêneo definido na linha real, geralmente representando o tempo, então o processo de Poisson composto resultante é um exemplo de um [[Processo Lévy]].

== Notas ==
{{notelist}}

== Leituras adicionais ==
=== Livros ===
*{{citar livro|último =Cox |primeiro =D. R. |último2 =Isham |primeiro2 =V. I. |ano=1980 |título=Point Processes |local= |publicado=Chapman & Hall |isbn=0-412-21910-7 }}
*{{citar livro|último =Daley |primeiro =Daryl J. |último2 =Vere-Jones |primeiro2 =David |ano=2003 |título=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods|local= |publicado=Springer|isbn=1475781091}}
*{{citar livro|último =Daley |primeiro =Daryl J. |último2 =Vere-Jones |primeiro2 =David |ano=2007 |título=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|local= |publicado=Springer|isbn=0387213376}}
*{{citar livro|último =Kingman |primeiro =John Frank |ano=1992 |título=Poisson processes|local= |publicado=Claredon Press|isbn=978-0198536932}}
*{{citar livro|último =Moller |primeiro =Jesper |último2 =Waagepetersen |primeiro2 =Rasmus P. |ano=2003 |título=Statistical Inference and Simulation for Spatial Point Processes
|local= |publicado=CRC Press |isbn=1584882654}}
*{{citar livro|último =Ross |primeiro =S. M. |ano=1996 |título=Stochastic Processes |local= |publicado=Wiley |isbn=978-0-471-12062-9 }}
*{{citar livro|último =Snyder |primeiro =D. L. |último2 =Miller |primeiro2 =M. I. |ano=1991 |título=Random Point Processes in Time and Space |local= |publicado=Springer-Verlag |isbn=0-387-97577-2 }}
*{{citar livro|último =Stoyan |primeiro =Dietrich |último2 =Kendall |primeiro2 =Wilfred S. |último3 =Mecke |primeiro3 =Joseph|ano=1995 |título=Stochastic geometry and its applications |local= |publicado=Wiley |isbn=0471950998}}
*{{citar livro|último =Streit |primeiro = Streit |ano=2010 |título=Poisson Point Processes: Imaging, Tracking, and Sensing |local= |publicado=Springer Science& Business Media |isbn= 1441969225 }}
*{{citar livro|último =Tijms |primeiro = Henk C. |ano=2003 |título=A First Course in Stochastic Models |local= |publicado=Wiley |isbn= 0471498807 }}

=== Artigos ===
*{{citar jornal|último =Stirzaker |primeiro = David |ano=2000 |título=Advice to hedgehogs, or, constants can vary |local= |periódico=The Mathematical Gazette }}
*{{citar jornal|último =Guttorp |primeiro = Peter|último2 =Thorarinsdottir |primeiro2 = Thordis L.  |ano=2012 |título=What happened to discrete chaos, the Quenouille process, and the sharp Markov property? Some history of stochastic point processes|local= |periódico=International Statistical Review}}

{{referências|col=3}}

{{Processos estocásticos}}

[[Categoria:Processos estocásticos]]