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Em [[teoria das probabilidades]], um '''processo estocástico contínuo''' é um tipo de [[processo estocástico]] que pode ser considerado "[[Função contínua|contínuo]]" como uma função de seu "tempo" ou parâmetro de índice. A continuidade é uma boa propriedade para um processo, mais precisamente, para seus caminhos amostrais, já que implica que eles são [[Patologia (matemática)|bem comportados]] em algum sentido e, por isso, mais fáceis de analisar. Está implícito aqui que o índice do processo estocástico é uma variável contínua. Alguns autores definem um "processo (estocástico) contínuo" como um processo que exige apenas que a variável do índice seja contínua, sem continuidade dos caminhos amostrais. Em alguma terminologia, este seria um processo estocástico de tempo contínuo, em paralelo à um "processo de tempo discreto". Dada esta possível confusão, é necessário cautela.<ref name=":0">{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/60582225|título=The Oxford dictionary of statistical terms|ultimo=Dodge|primeiro=Yadolah|ultimo2=Marriott|primeiro2=Francis Henry Charles|editora=Oxford University Press|ano=2003|edicao=6th |local=Oxford|isbn=0199206139|oclc=60582225|acessodata=01/03/2018}}</ref>

==Definições==
Considere <math>(\Omega,\Sigma,\mathbf{P})</math> um [[espaço de probabilidade]], <math>T</math> algum [[Intervalo (matemática)|intervalo]] de tempo e <math>X:T\times\Omega\to S</math> um processo estocástico. Por simplicidade, o resto deste artigo assumirá que o [[espaço de estados]] <math>S</math> é a [[reta real]] <math>\mathbb{R}</math>, mas as definições permanencem ''[[mutatis mutandis]]'' se <math>S</math> for <math>\mathbb{R}^n</math>, um [[espaço vetorial]] normado, ou mesmo um [[espaço métrico]] geral.

===Continuidade com probabilidade um===
Dado um tempo <math>t\in T</math>, diz-se que <math>X</math> é contínuo com probabilidade um em <math>t</math> se:<blockquote><math>\mathbf{P}\left(\left\{\omega\in\Omega\left|\lim_{s\to t}\big|X_{s}(\omega)-X_{t}(\omega)\big|=0\right.\right\}\right)=1.</math></blockquote>

===Continuidade em quadrado da média===
Dado um tempo <math>t\in T</math>, diz-se que <math>X</math> é continuo em quadrado da média em <math>t</math> se <math>\mathbf{E}[|X_t|^2]<+\infty</math> e:<blockquote><math>\lim_{s\to t}\mathbf{E}\left[\big|X_{s}-X_{t}\big|^{2}\right]=0.</math></blockquote>

===Continuidade em probabilidade===
Dado um tempo <math>t\in T</math>, diz-se que <math>X</math> é contínuo em probabilidade em <math>t</math> se, para todo <math>\varepsilon>0</math>:<blockquote><math>\lim_{s\to t}\mathbf{P}\left(\left\{\omega\in\Omega\left|\big|X_{s}(\omega)-X_{t}(\omega)\big|\geq\varepsilon\right.\right\}\right)=0.</math></blockquote>Equivalentemente, <math>X</math> é contínuo em probabilidade no tempo <math>t</math> se:<blockquote><math>\lim_{s\to t}\mathbf{E}\left[\frac{\big|X_{s}-X_{t}\big|}{1+\big|X_{s}-X_{t}\big|}\right]=0.</math></blockquote>

===Continuidade em distribuição===
Dado um tempo <math>t\in T</math>, diz-se que <math>X</math> é contínuo em distribuição em <math>t</math> se:<blockquote><math>\lim_{s\to t}F_{s}(x)=F_{t}(x)</math></blockquote>para todos os pontos <math>x</math> em que <math>F_t</math> é contínua, sendo que <math>F_t</math> denota a [[função distribuição acumulada]] da variável aleatória <math>X_t</math>.

===Continuidade amostral===
Diz-se que <math>X</math> é contínuo amostral se <math>X_t(\omega)</math> for contínuo em <math>t</math> para <math>\mathbf{P}</math>-quase todo <math>\omega\in\Omega</math>. A continuidade amostral é a noção apropriada de continuidade para processos como as [[Difusão de Itô|difusões de Itō]].

===Continuidade de Feller===
{{Main|Processo contínuo de Feller}}

Diz-se que <math>X</math> é um processo contínuo de Feller se depender continuamente de <math>x</math> para qualquer <math>t\in T</math> fixo e qualquer função <math>g:S\to\mathbb{R},\mathbf{E}^x[g(X_t)]</math> <math>\Sigma</math>-mensurável, contínua e [[Função limitada|limitada]]. Aqui, <math>x</math> denota o estado inicial do processo de <math>X</math> e <math>\mathbf{E}^x</math> denota a expectativa condicional sobre o evento que <math>X</math> começa em <math>x</math>.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/25872907|título=Numerical solution of stochastic differential equations|ultimo=Kloeden|primeiro=Peter|ultimo2=Platen|primeiro2=Eckhard|editora=Springer-Verlag|ano=1992|local=Berlin|isbn=3540540628|oclc=25872907|acessodata=01/03/2018}}</ref>

==Relações==
As relações entre os vários tipos de continuidade de processos estocásticos são semelhantes às relações entre os vários tipos de [[convergência de variáveis aleatórias]]. Em particular:
* Continuidade com probabilidade um implica continuidade em probabilidade;
* Continuidade em quadrado da média implica continuidade em probabilidade;
* Continuidade com probabilidade não implica, nem é implicada pela continuidade em quadrado da média;
* Continuidade em probabilidade implica, mas não é implicada pela continuidade em distribuição.

É tentador confundir continuidade com probabilidade um com continuidade amostral. Continuidade com probabilidade um no tempo <math>t</math> significa que <math>\mathbf{P}(A_t)=0</math>, em que o evento <math>A_t</math> é dado por:<blockquote><math>A_{t}=\left\{\omega\in\Omega\left|\lim_{s\to t}\big|X_{s}(\omega)-X_{t}(\omega)\big|\neq 0\right.\right\}</math></blockquote>e é perfeitamente factível checar se isto se aplica ou não para cada <math>t\in T</math>. A continuidade amostral, por outro lado, exige que <math>\mathbf{P}(A)=0</math>, em que:<blockquote><math>A=\bigcup_{t\in T}A_{t}.</math></blockquote><math>A</math> é uma [[União (matemática)|união]] [[Conjunto não enumerável|não enumerável]] de eventos, ou seja, não é verdadeiramente o próprio evento, de modo que <math>\mathbf{P}(A)=0</math> pode estar indefinido. Além disso, mesmo se <math>A</math> for um evento, <math>\mathbf{P}(A)</math> pode ser estritamente positivo até se <math>\mathbf{P}(A_t)=0</math> para todo <math>t\in T</math>. Este é o caso, por exemplo, com o processo do telégrafo.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/52203046|título=Stochastic differential equations : an introduction with applications|ultimo=Øksendal|primeiro=Bernt Karsten|editora=Springer|ano=2003|edicao=6|local=Berlin|isbn=3540047581|oclc=52203046|acessodata=01/03/2018}}</ref>

==Referências==
{{Reflist}}

{{Processos estocásticos}}

[[Categoria:Processos estocásticos]]