Mostrar código-fonte de Produto fibrado

[[Imagem:Pullback (category theory)1.png|thumb|Diagrama de produto fibrado]]
O '''produto fibrado''' (ou '''''pullback''''') é uma construção de [[teoria das categorias]].

== Definição ==
Dadas duas [[morfismo (teoria das categorias)|setas]] <math>f:b\rightarrow a</math> e <math>g:c\rightarrow a</math>, de uma [[categoria (teoria das categorias)|categoria]] '''C''' qualquer, com destino comum <math>a</math>, o ''produto fibrado'' de <math>(f,g)</math> é um [[objeto (teoria das categorias)|objeto]] <math>b\times_a c</math> e duas setas <math>p: b\times_a c\rightarrow b</math> e <math>q: b\times_a c\rightarrow c</math> tal que:
# <math>f\circ p=g\circ q</math>, onde <math>f\circ p,g\circ q:b\times_a c\rightarrow a</math>;
# Para qualquer outra tripla <math>(d,h:d\rightarrow b,k:d\rightarrow c)</math> tal que <math>g\circ k=f\circ h</math>, existe uma única seta <math>\langle h,k\rangle_a:d\rightarrow b\times_a c</math> tal que <math>p\circ \langle h,k\rangle_a=h</math> e <math>q\circ \langle h,k\rangle_a=k</math>.

Neste caso, diz-se que
<math display="block">
\begin{matrix}
b\times_a c  & \overset{q}{\to} & c \\
\downarrow p &                  & \downarrow g \\
b            & \overset{f}{\to} & a
\end{matrix}
</math>
é quadrado de produto fibrado.

O conceito ''dual'' do produto fibrado é a [[soma amalgamada]].

Como o produto fibrado é caso particular do [[limites e colimites|limite]] em teoria das categorias, produtos fibrados (se existem) são únicos a menos de [[isomorfismo (teoria das categorias)|isomorfismo]].<ref name="maclaneLim">{{harv|Mac Lane|1998|loc=§III.4}}</ref>

== Exemplo ==
Na [[categoria dos conjuntos]] o produto fibrado de <math>f</math> e <math>g</math> é o conjunto <math>X\times_Z Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}</math>,
com as restrições das projeções  <math>p_1</math> e <math>p_2</math> a <math>X\times_Z Y</math>.

== Propriedade ==
Pullbacks podem ser concatenados. Mais precisamente, dado diagrama comutativo numa categoria qualquer
<math display="block">
\begin{matrix}
A          & \to & C          & \to & E \\
\downarrow &     & \downarrow &     & \downarrow \\
B          & \to & D          & \to & F
\end{matrix}
</math>se os quadrados {{math|''ABCD''}} e {{math|''CDEF''}} são diagramas de produto fibrado, então o retângulo exterior {{math|''ABEF''}} também é. Ainda mais, se o retângulo exterior {{math|''ABEF''}} e o quadrado direito {{math|''CDEF''}} são diagramas de produto fibrado, então o quadrado esquerdo {{math|''ABCD''}} também é.<ref name="maclaneConcat">{{harv|Mac Lane|1998|loc=Exercício III.4.8}}</ref>

== Produto fibrado de família de morfismos ==
Há também o conceito de produto fibrado para mais de dois morfismos. Seja família <math>\{ g_i : a_i \to b \}_{i \in I}</math> de morfismos na categoria <math>C</math>. Um '''produto fibrado''' (ou ''pullback'') dessa família é um objeto <math>a \in C</math>, junto a outra família de morfismos <math>\{ f_i : a \to a_i \}_{i \in I}</math> e um morfismo <math>f : a \to b</math>, tal que:
* <math>g_i \circ f_i = f</math> para qualquer índice <math>i \in I</math>;
* para qualquer família <math>\{ f'_i : a' \to a_i \}_{i \in I}</math> de morfismos e morfismo <math>f' : a' \to b</math> tais que <math>g_i \circ f'_i = f'</math> para qualquer índice <math>i \in I</math>, há ''único'' morfismo <math>h : a' \to a</math> tal que <math>f' = f \circ h</math> e <math>f'_i = f_i \circ h</math> para cada <math>i \in I</math>.<ref>{{harv | Adámek, Herrlich, Strecker | loc=Exercício III.11L}}</ref>

O morfismo <math>f : a \to b</math> (que só foi explicitado acima para o caso <math>I = \empty</math>) também é chamado de ''pullback''.

== Ver também ==
* [[Matemática]]
* [[Ciência da computação]]

== Ligações externas ==
* [ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo]
* {{Link||2=http://minerva.ufpel.tche.br/~campani/cat.pdf |3=Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani}}

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* {{citar livro |ultimo1=ADÁMEK |primeiro1=Jiří |ultimo2=HERRLICH |primeiro2=Horst |ultimo3=STRECKER |primeiro3=George E. |data=2004 |titulo=Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats |url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc}}
* Mac Lane, Saunders (1998). ''Categories for the Working Mathematician'' (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
* Barr, Michael & Wells, Charles, ''Category Theory for Computing Science'', Prentice Hall, London, UK, 1990.

{{teoria das categorias}}

{{esboço-matemática}}

{{DEFAULTSORT:Produto Fibrado}}
[[Categoria:Teoria das categorias]]