Mostrar código-fonte de Quadrado latino

[[Ficheiro:10 x10 lateinisches quadrat.svg|thumb|250px|FIGURA 1: Quadrado latino de ordem 10 preenchido com números de 0 a 9.]]
Um '''quadrado latino''' de ordem (ou lado) ''n'' é uma [[matriz]] {{math|''n'' × ''n''}} preenchida com um conjunto de ''n'' símbolos diferentes, cada um ocorrendo exatamente uma vez em cada linha e em cada coluna. Abaixo seguem dois exemplos:

<div class="center"><math>
\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3 \\
 2 & 3 & 1 \\
 3 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\quad\quad
\begin{bmatrix}
 a & b & d & c \\
 b & c & a & d \\
 c & d & b & a \\
 d & a & c & b
\end{bmatrix}
</math></div>


Os quadrados latinos são objetos muito relevantes no estudo da [[combinatória]] e da teoria do design em geral. Suas primeiras ocorrências remontam a amuletos e ritos orientais do ano 1000, com outras aparições sistemáticas nos textos de Al-Buni<ref name=":2" /> (ano 1200, aproximadamente), Choi Seok-Jeong<ref name=":3" /><ref name=":4" /> (por volta de 1710) e Euler<ref name=":0" /><ref name=":5" /> (década de 1780), a maioria inicialmente relacionada ao estudo dos [[Quadrado mágico|quadrados mágicos]]. O nome "quadrado latino" foi escolhido por inspiração nos artigos matemáticos de [[Leonhard Euler]] (1707-1783), que se aprofundou no tema e usava caracteres do [[alfabeto latino]] como símbolos nos seus estudos desses dispositivos.<ref name=":1">{{harvnb|Wallis|George|2011|loc=p. 212}}</ref> Apesar do nome, qualquer conjunto de símbolos pode ser usado para formar um quadrado latino (como observado nos exemplos acima).

==História==

[[Ficheiro:AMULET_(FindID_755270).jpg|thumb|250px|FIGURA 2: Medalhão de liga de cobre, provavelmente datado do século XVI-XVIII, gravado com um quadrado mágico 4x4.]]
Na Europa, os quadrados latinos são conceitos matemáticos atribuídos a Euler e seus estudos sobre a construção de [[Quadrado mágico|quadrados mágicos]], no século XVIII. Contudo, apesar de ter sido essa relação que impulsionou a pesquisa e sistematização da teoria dos quadrados latinos, com Euler sendo o primeiro a defini-los, formalizá-los e investigá-los matematicamente, existem registros desses objetos espalhados pelo mundo, especialmente no Oriente, datados de séculos antes. As primeiras ocorrências, na verdade, remontam a amuletos e rituais de algumas comunidades árabes e indianas, por volta do ano 1000<ref>Duncan B. MacDonald, [https://ia600708.us.archive.org/view_archive.php?archive=/28/items/crossref-pre-1923-scholarly-works/10.1515%252Fzatw.1921.39.1.174.zip&file=10.1515%252Fzava.1912.26.1-3.267.pdf Description of a silver amulet], Zeitschrift für
Assyriologie und Verwandte Gebiete 26, 1912, pp. 267-269</ref><ref>{{harvnb|Andersen|2007|loc=p. 2-3}}</ref> (ainda que nesses registros também se encontrem quadrados mágicos, em maior quantidade, inclusive), usados para combater espíritos malignos, reverenciar os deuses, celebrar o sol e os planetas, entre outros fins místicos. 

Seguindo os registros, agora por volta de 1200, a história dos quadrados latinos leva ao livro [[Shams_al-Ma'arif|Shams al-Ma'arif al-Kubra]] ''(O sol do grande conhecimento)'', famosa obra do sufi Ahmad ibn 'Ali ibn Yusuf Al-Buni. Ao longo do texto, o autor apresenta diversas figuras de quadrados latinos, ainda relacionadas ao misticismo, descrevendo, por exemplo, 7 quadrados associados, respectivamente, a um dia da semana e a um planeta. É importante ressaltar, contudo, que a maioria dos quadrados está incorreta<ref>{{harvnb|Andersen|2007|loc=p. 4}}</ref>, isto é, alguma das entradas se repete por linha e/ou coluna, embora fique evidente a estruturação como um quadrado latino. Além disso, há fortes evidências<ref name=":2">{{Citar periódico |url=http://dx.doi.org/10.1515/islm.1922.12.3-4.157 |título=Die »magischen Quadrate« al-Būnī’s. |data=1922 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Der Islam |número=3-4 |ultimo=Ährens |primeiro=W. |doi=10.1515/islm.1922.12.3-4.157 |issn=0021-1818}}</ref> de que Al-Buni também estudava métodos para a construção de quadrados mágicos a partir de quadrados latinos, antecipando (em parte) os estudos formalizados de Euler, bem como outros matemáticos fizeram. Quanto a estes últimos, os registros conhecidos incluem escritos de matemática indiana (1356)<ref>Narayana Pandit, Ganita-kaumudi, 1356. Republished in The Princess of Wales Saravati Bhavana Sanskrit Series, No. 57, Part II.</ref>, trabalhos do místico e filósofo espanhol Ramón Lull<ref>KNOBLOCH, EBERHARD, [https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780199656592.003.0006 'Chapter 5 Renaissance combinatorics'], in Robin Wilson, and John J. Watkins (eds), Combinatorics: Ancient and Modern (Oxford, 2013; online edn, Oxford Academic, 26 Sept. 2013)</ref>(focados no aspecto combinatório desses objetos), artigos de La Loubère (1691), Poignard (1704), La Hire (1705) e Sauveur (1710)<ref>Joseph Sauveur, Construction générale des quarrés magiques, Mémoires de l’Academie
Royales des Sciences, 1710, pp. 92-138.</ref>, ainda que a maioria deles tenha abordado o tema de formas abstratas e indiretas. Contudo, ao menos 67 anos antes da publicação do primeiro artigo de Euler, já existia um trabalho na área mais contundente e mais formalizado que os anteriormente citados: a monografia ''Koo-Soo-Ryak'', escrita pelo coreano Choi Seok-Jeong (1646–1715), no qual ele, pela primeira vez no mundo, detalha um método para construir um quadrado mágico usando dois quadrados latinos de ordem 9, acrescentando, também, que não consegue fazer o mesmo com quadrados de ordem 10.<ref name=":3">Kim, Sung-Sook & Khang, Mee-Kyung. (2010). [https://www.researchgate.net/publication/263623488_Orthogonal_Latin_squares_of_Choi_Seok-Jeongng Orthogonal Latin squares of Choi Seok-Jeong]. Journal for History of Mathematics. 23. Apresentado na [http://www.hpm2012.org/Proceeding/Poster/P2.pdf History and Pedagogy of Mathematics 2012.]</ref><ref name=":4">{{Citar periódico |url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.4169/002557010X494805 |título=A Remarkable Euler Square before Euler |data=2010-06 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Mathematics Magazine |número=3 |ultimo=Lih |primeiro=Ko-Wei |paginas=163–167 |lingua=en |doi=10.4169/002557010X494805 |issn=0025-570X}}</ref> 

Finalmente, a história desembarca no século XVIII, quando [[Leonhard Euler]] publica oficialmente o '''problema dos 36 oficiais''': como alinhar em um quadrado 36 oficiais de 6 graus diferentes e 6 regimentos diferentes, de tal forma que em cada linha e coluna haja 6 oficiais de diferentes patentes e diferentes regimentos? Embora não pudesse provar, Euler pensou se tratar de um acordo impossível e, na tentativa de esclarecer essa questão, começou a generalizar esse problema, usando letras gregas e latinas (produzindo o que hoje chamamos de quadrados greco-latinos e formalizando o conceito de ortogonalidade de dois quadrados latinos). Dada essa propriedade recém observada, Euler construiu seu principal trabalho na área, o artigo ''“Pesquisas sobre uma nova espécie de quadrados mágicos”,''<ref name=":0">Euler, Leonhard, [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/530/ "Recherches sur un nouvelle espèce de quarrés magiques"] (1782). Euler Archive - All Works. 530.</ref> de 1782, no qual, a priori, são expostos métodos de construção de quadrados mágicos por meio de dois quadrados latinos ortogonais, algoritmos dos quais os hindus se aproximaram à sua época, assim como Al-Buni e Choi Seok-Jeong. Apesar do nome, esse e outros textos de Euler<ref name=":5">Euler, Leonhard, [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/795/ "De quadratis magicis"] (1849). Euler Archive - All Works. 795.</ref> são focados, em sua maioria, nos quadrados latinos e, além da ortogonalidade, exploram também outras caracterizações desses objetos, como a transversal, a ciclicidade e a enumeração, enunciando, por fim, diversos resultados e desafios sobre a existência (ou não) de tais relações. Dentre esses enunciados, alguns ainda em aberto, cabe mencionar a famosa ''conjectura de Euler'' sobre quadrados latinos ortogonais, que envolveu a comunidade matemática por quase 200 anos: 

'''“para ''n'' congruente com 2 (módulo 4), não existe par de quadrados latinos ortogonais de ordem ''n''”'''

Euler provou a veracidade da afirmação para ''n'' = 2.<ref name=":0" /> No século XIX, diversos artigos sobre a [[conjectura]] foram publicados, sem, contudo, representarem avanço concreto, até que, em 1900, Tarry encontrou uma prova para ''n'' = 6,<ref name= "t"> M. G. Tarry. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2011936/f175.image# LE PROBLÈME DES 36 OFFICIERS]. Association française pour l'avancement des sciences. Congrès (029 ; 1900 ; Paris).</ref> demonstrando que, de fato, o problema dos oficiais é um problema impossível. Apesar disso, durante um terço de século, a conjectura continuou aberta, até que, por fim, em 1958-59, Bose, Parker e Shrikhande deram uma conclusão ao mistério: a ''conjectura foi refutada para todo n>6,''<ref name="bsp">{{Citar periódico |url=https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-journal-of-mathematics/article/further-results-on-the-construction-of-mutually-orthogonal-latin-squares-and-the-falsity-of-eulers-conjecture/1152262BF046F8632638FE9C10610136#https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-journal-of-mathematics/article/further-results-on-the-construction-of-mutually-orthogonal-latin-squares-and-the-falsity-of-eulers-conjecture/1152262BF046F8632638FE9C10610136# |título=Further Results on the Construction of Mutually Orthogonal Latin Squares and the Falsity of Euler's Conjecture |data=1960-01 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Canadian Journal of Mathematics |ultimo=Bose |primeiro=R. C. |ultimo2=Shrikhande |primeiro2=S. S. |paginas=189–203 |lingua=en |doi=10.4153/CJM-1960-016-5 |issn=0008-414X |ultimo3=Parker |primeiro3=E. T.}}</ref><ref name="bs">{{Citar periódico |url=https://pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.45.5.734 |título=ON THE FALSITY OF EULER'S CONJECTURE ABOUT THE NON-EXISTENCE OF TWO ORTHOGONAL LATIN SQUARES OF ORDER 4t + 2 |data=1959-05 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Proceedings of the National Academy of Sciences |número=5 |ultimo=Bose |primeiro=R. C. |ultimo2=Shrikhande |primeiro2=S. S. |paginas=734–737 |lingua=en |doi=10.1073/pnas.45.5.734 |issn=0027-8424 |pmc=222625 |pmid=16590435}}</ref> em uma das primeiras resoluções de problemas combinatórios obtidas por meio de um computador digital. A essa altura, inclusive, o problema era tão famoso que sua solução foi anunciada na primeira página do [[The New York Times]], em 26 de abril de 1959.<ref>{{cite web|last=Osmundsen|first=John A.|date=26 de Abril 1959|title=Major Mathematical Conjecture Propounded 177 Years Ago Is Disproved|url=https://www.nytimes.com/1959/04/26/archives/major-mathematical-conjecture-propounded-177-years-ago-is-disproved.html|access-date=2024-08-22|website=The New York Times}}</ref>.

==Propriedades e Características==

=== Forma Reduzida===

Um quadrado latino é dito ser '''reduzido (normalizado ou na forma padrão)''' se ''tanto a primeira linha quanto a primeira coluna estão na ordem natural dos símbolos.''<ref>{{harvnb|Dénes|Keedwell|1974|loc=p. 128}}</ref> Todo quadrado latino pode ser reduzido através da [[permutação]] (isto é, reordenação) de linhas e colunas. Por exemplo, o primeiro quadrado latino abaixo não é reduzido, pois sua primeira linha é A, C, B, ao invés de A, B, C. Contudo, trocando a segunda coluna com a terceira, produzimos um quadrado reduzido, já que tanto sua primeira linha quanto sua primeira coluna são alfabeticamente ordenadas: A, B, C (segundo exemplo).

<div class="center"><math>
\begin{bmatrix}
 A & C & B \\
 B & A & C \\
 C & B & A \\
\end{bmatrix}
\quad\quad\quad
\begin{bmatrix}
 A & B & C \\
 B & C & A \\
 C & A & B \\
\end{bmatrix}
</math></div>

===Quadrados Latinos Cíclicos===

Um '''quadrado latino cíclico''' padrão pode ser definido para qualquer ordem n, construindo-o de forma que ''cada entrada (i,j), i sendo a linha e j a coluna, seja preenchida com o número i + j - 1 (módulo n).''<ref>{{harvnb|Andersen|2007|loc=p. 27}}</ref> Eles se provaram muito úteis para a investigação dos quadrados latinos transversais e para os estudos sobre ortogonalidade, sendo extensamente abordados nos trabalhos de Euler. Um exemplo simples de quadrado latino cíclico é o seguinte: 

<div class="center"><math>
\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3 \\
 2 & 3 & 1 \\
 3 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}
</math></div>

===Matriz Ortogonal Associada===

Se cada entrada de um quadrado latino {{math|''n'' × ''n''}} é escrita como uma ''tripla ordenada (linha, coluna, símbolo)'', obtemos um conjunto de ''n''² triplas ordenadas chamado '''matriz ortogonal associada''' ao quadrado. Por exemplo, a [[matriz ortogonal]] associada ao quadrado latino acima é {(1,1,1), (1,2,2), (1,3,3), (2,1,2), (2,2,3), (2,3,1), (3,1,3), (3,2,1), (3,3,2)}, na qual a tripla ordenada (2,3,1) indica que na linha 2 e coluna 3 está o símbolo 1. 

As matrizes ortogonais podem ser utilizadas para escrever outra definição de um quadrado latino nesses termos: 

''Um quadrado latino é um conjunto de n² triplas ordenadas (linha, coluna, símbolo), no qual todos os pares ordenados (linha, coluna), (linha, símbolo) e (coluna, símbolo) são distintos.'' 

===Ortogonalidade===

Dois quadrados latinos de ordem ''n'' são '''ortogonais''' se, dada a união deles em um mesmo quadrado, com cada entrada formando um par ordenado (símbolo no primeiro quadrado, símbolo no segundo quadrado), ''não haja células com o mesmo par''. A título de exemplo, os quadrados latinos 1 e 2 abaixo são ortogonais, enquanto os quadrados 1 e 3 não são.  
 
<div class="center"><math>
1)
\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3 & 4 \\
 3 & 4 & 1 & 2 \\
 4 & 3 & 2 & 1 \\
 2 & 1 & 4 & 3 \\
\end{bmatrix}
\quad\quad\quad
2)
\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3 & 4 \\
 4 & 3 & 2 & 1 \\
 2 & 1 & 4 & 3 \\
 3 & 4 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\quad\quad\quad
3)
\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3 & 4 \\
 2 & 3 & 4 & 1 \\
 3 & 4 & 1 & 2 \\
 4 & 1 & 2 & 3 \\
\end{bmatrix}
</math></div>

<div class="center"><math>
1 + 2 =
\begin{bmatrix}
 (1,1) & (2,2) & (3,3) & (4,4) \\
 (3,4) & (4,3) & (1,2) & (2,1) \\
 (4,2) & (3,1) & (2,4) & (1,3) \\
 (2,3) & (1,4) & (4,1) & (3,2) \\
\end{bmatrix}
\quad\quad\quad
1 + 3 =
\begin{bmatrix}
 (1,1) & (2,2) & (3,3) & (4,4) \\
 (3,2) & (4,3) & (1,4) & (2,1) \\
 (4,3) & (3,4) & (2,1) & (1,2) \\
 (2,4) & (1,1) & (4,2) & (3,3) \\
\end{bmatrix}
</math>
</div>



De certa forma, podemos ver essa união de quadrados como um novo quadrado latino, agora com respeito a dois conjuntos de símbolos, e, a ele, damos o nome de '''quadrado greco-latino''', em homenagem aos estudos de Euler sobre essa propriedade por meio de letras gregas e letras latinas.<ref name=":1" /> Por fim, podemos estender esse conceito da seguinte forma: uma coleção de quadrados latinos é dita '''mutuamente ortogonal''' se, ''dados dois quadrados latinos quaisquer desta coleção, eles são ortogonais entre si.''

Alguns resultados interessantes envolvendo ortogonalidade são: 

* ''Para n par, o cíclico de um quadrado latino de ordem n não tem ortogonal'' (demonstrado por Euler);<ref name=":0" />
*''Existem quadrados latinos ortogonais de todas as ordens ímpares'' (demonstrado por Euler);<ref name=":0" />
*''Existem quadrados latinos ortogonais de todas as ordens n divisíveis por 4'' (demonstrado por Euler);<ref name=":0" />
*''Conjectura de Euler: para n congruente a 2 (módulo 4), não existem quadrados latinos ortogonais de lado n'' (verdadeira para ''n''=2 (Euler)<ref name=":0" />, ''n''=6 (Tarry)<ref name="t" /> e refutada para ''n''>6 (Bose, Parker e Shrikhande)<ref name="bsp" /><ref name="bs" />);
* ''O número N(n) de quadrados latinos ortogonais de ordem n tende ao infinito quando n tende ao infinito'' (demonstrado por Chowla, Erdös e Straus);<ref> {{Citar periódico |url=https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-journal-of-mathematics/article/on-the-maximal-number-of-pairwise-orthogonal-latin-squares-of-a-given-order/6E2128674FD05728CB09E5F65BDDDD61 |título=On the Maximal Number of Pairwise Orthogonal Latin Squares of a Given Order |data=1960-01 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Canadian Journal of Mathematics |ultimo=Chowla |primeiro=S. |ultimo2=Erdös |primeiro2=P. |paginas=204–208 |lingua=en |doi=10.4153/CJM-1960-017-2 |issn=0008-414X |ultimo3=Straus |primeiro3=E. G.}}</ref>
*''Dado n uma potência prima, existem n-1 quadrados latinos de ordem n mutuamente ortogonais entre si'' (demonstrado por Moore).<ref>{{Citar periódico |url=https://www.jstor.org/stable/2369860?origin=crossref |título=Tactical Memoranda I-III, (Continued) |data=1896 |acessodata=2024-08-24 |periódico=American Journal of Mathematics |número=4 |ultimo=Moore |primeiro=Eliakim Hastings |paginas=291–303 |doi=10.2307/2369860 |issn=0002-9327}}</ref>

===Transversais===

A '''transversal''' em um quadrado latino é uma ''escolha de n entradas distintas ocorrendo em linhas distintas e em colunas distintas''. Observe que isso é possível se, e somente se, existem quadrados latinos ortogonais de ordem ''n''. Além disso, dizemos que um quadrado latino é '''simétrico''' se sua ''diagonal principal for uma transversal''. Note que, nos exemplos da seção acima, os quadrados latinos 1 e 2 são simétricos, ao passo que o quadrado 3 não possui transversal. Abaixo, seguem mais dois exemplos: o primeiro não possui transversal, enquanto o segundo possui, mas não é simétrico. É interessante observar que, no primeiro quadrado, cada célula ''(i,j)'' vale ''i+j (mod n)'' e, sempre que ''n'' é par, esse quadrado latino {{math|''n'' × ''n''}} não possui transversal (é o caso do quadrado 3 da seção acima, com ''n''=4). 
<div class="center"><math>
\begin{bmatrix}
 1 & 2 \\
 1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\quad\quad\quad
\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3 \\
 3 & 1 & 2 \\
 2 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
</math></div>



Outra possível definição de uma transversal latina utiliza de conceitos da [[Teoria dos grafos|Teoria dos Grafos]]: tome um quadrado latino como um [[grafo bipartido completo]], no qual as linhas são vértices de uma parte, as colunas são vértices da outra parte, cada célula é uma aresta (entre sua linha e sua coluna) e os símbolos são cores. Sendo assim, as regras de construção do quadrado latino implicam que essa é uma [[Coloração de arestas|coloração própria das arestas]] do grafo, logo, uma transversal é um ''emparelhamento no qual cada aresta tem uma cor diferente'', chamado de '''emparelhamento arco-íris'''. Por conseguinte, é possível encontrar muitos artigos que apresentam resultados sobre quadrados latinos sob o termo “emparelhamento arco-íris” no título e vice e versa.<ref>{{cite arXiv|eprint=1208.5670|class=math. CO|first1=Andras|last1=Gyarfas|first2=Gabor N.|last2=Sarkozy|title=Rainbow matchings and partial transversals of Latin squares|year=2012}}</ref>

Como observado nos exemplos, alguns quadrados latinos não têm transversal, o que motivou Euler (e outros matemáticos depois dele) a estudar possíveis métodos para a procura dessas estruturas. Segue um dos resultados que vieram desses estudos, bem como algumas conjecturas em aberto:

*''Para n par, o cíclico de um quadrado latino de ordem n não tem transversal'' (demonstrado por Euler);<ref name=":0" />
*''Todo quadrado latino de ordem ímpar tem uma transversal'' (conjectura em aberto, proposta por H.J. Ryser, em 1967);<ref>Ryser, H.J.: Neuere Probleme der Kombinatorik, pp. 69–91. Oberwolfach, Matematisches Forschungsinstitut (Oberwolfach, Germany), July, Vorträge über Kombinatorik (1967)</ref> 
*''Todo quadrado latino de ordem n tem uma transversal parcial de tamanho n-1'' (conjectura em aberto, proposta por S.K. Stein e Brualdi, em 1975<ref>{{Citar periódico |url=https://msp.org/pjm/1975/59-2/p27.xhtml |título=Transversals of Latin squares and their generalizations |data=1975-08-01 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Pacific Journal of Mathematics |número=2 |ultimo=Stein |primeiro=Sherman |paginas=567–575 |issn=0030-8730}}</ref>. É provada apenas para n suficientemente grande (2023)<ref>{{Cite arXiv |last=Montgomery |first=Richard |date=2023 |title=A proof of the Ryser-Brualdi-Stein conjecture for large even ''n |class=math.CO |eprint=2310.19779}}</ref> e, para todo n, a cota mais aproximada já encontrada é ''n'' − O(log n/loglog n) (2022)<ref>{{Cite journal |last1=Keevash |first1=Peter |last2=Pokrovskiy |first2=Alexey |last3=Sudakov |first3=Benny |last4=Yepremyan |first4=Liana |date=2022-04-15 |title=New bounds for Ryser's conjecture and related problems |url=https://www.ams.org/btran/2022-09-08/S2330-0000-2022-00092-3/ |journal=Transactions of the American Mathematical Society, Series B |language=en |volume=9 |issue=8 |pages=288–321 |doi=10.1090/btran/92 |issn=2330-0000|doi-access=free |hdl=20.500.11850/592212 |hdl-access=free }}</ref>, embora outras cotas mais fracas tenham sido provadas anteriormente<ref>{{Citar periódico |url=https://link.springer.com/article/10.1007/s12188-016-0160-3 |título=On a conjecture of Stein |data=2017-10-01 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg |número=2 |ultimo=Aharoni |primeiro=Ron |ultimo2=Berger |primeiro2=Eli |paginas=203–211 |lingua=en |doi=10.1007/s12188-016-0160-3 |issn=1865-8784 |ultimo3=Kotlar |primeiro3=Dani |ultimo4=Ziv |primeiro4=Ran}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Koksma|first=Klaas K.| date=1969-07-01|title=A lower bound for the order of a partial transversal in a latin square|journal=Journal of Combinatorial Theory|volume=7|issue=1|pages=94–95|doi=10.1016/s0021-9800(69)80009-8|issn=0021-9800|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal| last=Woolbright| first=David E|date=1978-03-01|title=An n × n Latin square has a transversal with at least n−n distinct symbols|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|volume=24|issue=2|pages=235–237|doi=10.1016/0097-3165(78)90009-2|issn=0097-3165|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Hatami|first1=Pooya|last2=Shor|first2=Peter W.|date=2008-10-01|title=A lower bound for the length of a partial transversal in a Latin square|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|volume=115| issue=7| pages=1103–1113| doi=10.1016/j.jcta.2008.01.002|issn=0097-3165|doi-access=free}}</ref>). 

=== Enumeração ===

Euler pontuou em seus trabalhos que considerava o problema da enumeração dos quadrados latinos uma questão muito complicada. De fato, mais de 200 anos depois, não se sabe uma fórmula computacional simples para calcular o número {{math|''L<sub>n</sub>''}} de quadrados latinos {{math|''n'' × ''n''}}, ao passo que as cotas superiores e inferiores mais precisas conhecidas (para n grande) são muito distantes. Apesar disso, segue abaixo um resultado clássico.<ref>van Lint, J. H.; Wilson, R. M. (1992) A Course in Combinatorics. Cambridge University Press, p. 161-162. ISBN 0-521-42260-4</ref> 
<div class="center"><math display="block"> \prod_{k=1}^n \left(k!\right)^{n/k}\geq L_n\geq\frac{\left(n!\right)^{2n}}{n^{n^2}}.</math></div>

Ademais, uma  fórmula explícita para o número de quadrados latinos foi publicada em 1992, entretanto, não é facilmente computável, em razão do aumento exponencial no número de termos. Tal fórmula para o número {{math|''L<sub>n</sub>''}} de quadrados latinos {{math|''n'' × ''n''}} é
<div class="center"><math display="block"> L_n = n! \sum_{A \in B_n}^{} (-1)^{\sigma_0 (A)} \binom{\operatorname{per} A}{n},</math></div>na qual {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} é o conjunto de todas as (0,1)-matrizes {{math|''n'' × ''n''}}, {{math|σ<sub>0</sub>(''A'')}} é o número de entradas 0 da matriz {{mvar|A}} e {{math|per(''A'')}} é o permanente<ref>Marcus, M., & Minc, H. (1965). [https://doi.org/10.1080/00029890 Permanents]. The American Mathematical Monthly, 72(6), 577–591.1965.11970575</ref> da matriz {{mvar|A}}.<ref> {{Citar periódico |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9290722R?via=ihub |título=A formula for the number of Latin squares |data=1992-12-11 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Discrete Mathematics |número=1 |ultimo=Shao |primeiro=Jia-yu |ultimo2=Wei |primeiro2=Wan-di |paginas=293–296 |doi=10.1016/0012-365X(92)90722-R |issn=0012-365X}}</ref>

A tabela abaixo contém todos os valores conhecidos de {{math|''L<sub>n</sub>''}}, os quais, inclusive, Euler calculou até n = 5.<ref name=":0" /> É perceptível que os números crescem extremamente rápido. Para cada n, o número total de quadrados latinos de ordem n {{OEIS|id=A002860}} é {{math|''n''! (''n'' − 1)!}} vezes o número de quadrados latinos reduzidos {{OEIS|id=A000315}}.                                

{| class="wikitable" align="center" style="text-align: right;"
|+ O número {{math|''L<sub>n</sub>''}} de quadrados latinos {{math|''n'' × ''n''}}
! {{mvar|n}} || align="right" | quadrados latinos reduzidos de ordem {{mvar|n}}<br />{{OEIS|id=A000315}}
! align="right" | todos os quadrados latinos de ordem {{mvar|n}}<br />{{OEIS|id=A002860}}
|-
| align="right" | 1 || align="right" | 1 || align="right" | 1
|-
| align="right" | 2 || align="right" | 1 || align="right" | 2 
|-
| align="right" | 3 || align="right" | 1 || align="right" | 12
|-
| align="right" | 4 || align="right" | 4 || align="right" | 576
|-
| align="right" | 5 || align="right" | <ref>Cayley, A. "On Latin Squares." Oxford Cambridge Dublin Messenger Math. 19, 135-137, 1890.</ref><ref>MacMahon, P. A. Combinatory Analysis, Vol. 1. London: Cambridge University Press, 1915. (Resultado Incorreto)</ref>56 || align="right" | 161,280
|-
| align="right" | 6 || align="right" | <ref name="f">Frolov, M. "Sur les permutations carrés." J. de Math. spéc. 4, 8-11 and 25-30, 1890. (Correto para ''n''=6 e incorreto para ''n''=7).</ref><ref name="t" /><ref>Saxena, P. N. [http://isas.org.in/jisas/volume/4-%20A%20SIMPLIFIEID%20METHOD%20OF%20ENUMERATING%20LATIN%20SQUARES%20BY%20MACMAHON'S%20DIFFERENTIAL%20OPERATORS.pdf "A Simplified Method of Enumerating Latin Squares by MacMahon's Differential Operators; I. The 6×6 Latin Squares."] J. Indian Soc. Agricultural Statist. 4, 161-188, 1950.</ref>9,408 || align="right" | 812,851,200
|-
| align="right" | 7 || align="right" | <ref name="f" /><ref>{{Citar periódico |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1469-1809.1939.tb02214.x |título=THE 7 × 7 SQUARES |data=1939-08 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Annals of Eugenics |número=3 |ultimo=Norton |primeiro=H. W. |paginas=269–307 |lingua=en |doi=10.1111/j.1469-1809.1939.tb02214.x |issn=2050-1420 |citacao=Resultado Incompleto}}</ref><ref>Sade, A. "Enumération des carrés latins. Application au 7ème ordre. Conjectures pour les ordres supérieurs." 8 pp. Marseille, France: Privately published, 1948.</ref><ref>Saxena, P. N. [http://isas.org.in/jisas/volume/3-%20A%20SIMPLIFIED%20METHOD%20OF%20ENUMERATING.pdf "A Simplified Method of Enumerating Latin Squares by MacMahon's Differential Operators; II. The 7×7 Latin Squares."] J. Indian Soc. Agricultural Statist. 3, 24-79, 1951.</ref>16,942,080|| align="right" | 61,479,419,904,000
|-
| align="right" | 8 || align="right" | <ref>Wells, M. B. "The Number of Latin Squares of Order Eight." J. Combin. Th. 3, 98-99, 1967.</ref>535,281,401,856 || align="right" | 108,776,032,459,082,956,800
|-
| align="right" | 9 || align="right" | <ref>{{Citar periódico |url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0012365X75901089 |título=The number of 9 × 9 latin squares |data=1975-01-01 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Discrete Mathematics |número=1 |ultimo=Bammel |primeiro=Stanley E. |ultimo2=Rothstein |primeiro2=Jerome |paginas=93–95 |doi=10.1016/0012-365X(75)90108-9 |issn=0012-365X}}</ref>377,597,570,964,258,816 || align="right" | 5,524,751,496,156,892,842,531,225,600
|-
| 10 || align="right" | <ref name="mr">{{Citar periódico |url=https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v2i1n3 |título=Latin Squares of Order 10 |data=1995-08-25 |acessodata=2024-08-24 |periódico=The Electronic Journal of Combinatorics |ultimo=McKay |primeiro=Brendan D. |ultimo2=Rogoyski |primeiro2=Eric |paginas=N3–N3 |lingua=en |doi=10.37236/1222 |issn=1077-8926}}</ref>7,580,721,483,160,132,811,489,280 || align="right" | 9,982,437,658,213,039,871,725,064,756,920,320,000
|-
| 11 || align="right" | <ref>{{Citar periódico |url=https://www.academia.edu/37792654/On_the_Number_of_Latin_Squares |título=On the Number of Latin Squares |data=2005 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Annals of Combinatorics |número=3 |ultimo=McKay |primeiro=Brendan D. |ultimo2=Wanless |primeiro2=Ian M. |paginas=335 |issn=0218-0006}}</ref>5,363,937,773,277,371,298,119,673,540,771,840 || align="right" | 776,966,836,171,770,144,107,444,346,734,230,682,311,065,600,000 
|-
|12
|<ref name="mr" />1.62 × 10<sup>44</sup>
|
|-
|13
|<ref name="mr" />2.51 × 10<sup>56</sup>
|
|-
|14
|<ref name="mr" />2.33 × 10<sup>70</sup>
|
|-
|15
|<ref name="mr" />1.50 × 10<sup>86</sup>
|
|}

==Aplicações==

[[File:Fisher-stainedglass-gonville-caius.jpg|thumb|upright| FIGURA 3: Janela do Colégio Caius, em [[Cambridge]], exibindo um quadrado latino 7x7, em homenagem a [[Ronald Fisher]], autoria da artista McClafferty. A janela foi removida em 2020, devido às conexões de Fisher com eugenia.<ref>{{cite web|last=Busby|first=Mattha|data=27 Junho 2020|title=Cambridge college to remove window commemorating eugenicist|url=http://www.theguardian.com/education/2020/jun/27/cambridge-gonville-caius-college-eugenicist-window-ronald-fisher|access-date=2024-08-24|website=The Guardian}}</ref>]]
Os quadrados latinos encontram aplicações em diversas áreas, por vezes sem a nomenclatura oficial, em especial dentro da [[matemática]], da [[estatística]] e do design de experimentos.  

=== Estatística e Design de Experimentos ===
O uso dos quadrados latinos para otimizar a organização e apresentação de experimentos e dados estatísticos não é uma conquista exclusiva do século XX. O exemplo mais antigo conhecido é do investigador agrícola francês François Cretté de Palluel, que, em 31 de Julho de 1788, apresentou um artigo à Real Sociedade Agrícola de Paris, com objetivo de argumentar pelas vantagens de alimentar ovelhas com raízes no inverno, por meio de um experimento de alimentação com 16 ovelhas em dietas diferentes. O layout dos resultados do experimento, apesar da falta de intenção do autor, forma claramente um quadrado latino 4x4, com quatro raças de ovinos em linhas, quatro dietas diferentes em colunas e quatro tempos de abate diferentes como símbolos.<ref>Francois Cretté de Palluel, Sur les avantages et l’economie que procurent les raciness employees a l’engrais des moutons a l’étable, Mémoires d’Agriculture, trimester d’éte, pp.17-23. English translation, On the advantage and economy of feeding sheep in the house with roots, Annals of Agriculture 14, 1790, pp. 51-55.</ref> 

Apesar disso, foi somente em 1920 que o uso de quadrados latinos em projetos experimentais foi extensamente impulsionado, liderado pelos trabalhos do estatístico [[Ronald Fisher|R.A. Fisher]], em especial o artigo "Design de Experimentos", de 1926, que trata exclusivamente do uso de quadrados latinos mutuamente ortogonais.<ref>Fisher, R. A. 1926. [https://doi.org/10.23637/rothamsted.8v61q The arrangement of field experiments.] Journal of the Ministry of Agriculture. 33, pp. 503-515.</ref>

=== Matemática ===
Dentro da Matemática, os quadrados latinos são associados tanto à áreas da Matemática Pura, quanto ao âmbito da Matemática Recreativa. Quanto à esta primeira, esses objetos estão presentes, por exemplo, nos caminhos da [[álgebra]], por meio da generalização de [[Grupo (matemática)|grupos]] e da correlação deles com as [[Tabuada de multiplicar|tabelas de Cayley]], homem que, inclusive, fez importantes contribuições para a teoria dos quadrados latinos em seus estudos. Além disso, ainda dentro da álgebra, quadrados latinos mutuamente ortogonais são uma das ferramentas utilizadas pelos [[Código de correção de erro|códigos corretores de erros]], especificamente em situações onde há perturbação generalizada de ruídos na transmissão da mensagem.<ref>Anderson, Ian. “Block Designs and Error-correcting Codes.” A First Course in Combinatorial Mathematics. Oxford: Clarendon Pr., 1985. 82-104.</ref><ref>{{Citar periódico |url=http://ieeexplore.ieee.org/document/1302307/ |título=Permutation Arrays for Powerline Communication and Mutually Orthogonal Latin Squares |data=2004-06 |acessodata=2024-08-24 |periódico=IEEE Transactions on Information Theory |número=6 |ultimo=Colbourn |primeiro=C.J. |ultimo2=Klove |primeiro2=T. |paginas=1289–1291 |lingua=en |doi=10.1109/TIT.2004.828150 |issn=0018-9448 |ultimo3=Ling |primeiro3=A.C.H.}}</ref><ref>{{Citar periódico |url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsta.2006.1885 |título=Powerline communication and the 36 officers problem |data=2006-12-15 |acessodata=2024-08-24 |periódico=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |número=1849 |ultimo=Huczynska |primeiro=Sophie |paginas=3199–3214 |lingua=en |doi=10.1098/rsta.2006.1885 |issn=1364-503X}}</ref><ref>{{Citar periódico |url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0262407907607465 |título=Euler's revolution |data=2007-03-24 |acessodata=2024-08-24 |periódico=New Scientist |número=2596 |ultimo=Stewart |primeiro=Ian |paginas=48–51 |doi=10.1016/S0262-4079(07)60746-5 |issn=0262-4079}}</ref> Por fim, as aplicações e aparições dos quadrados latinos na [[Combinatória]] e na [[Teoria dos grafos|Teoria dos Grafos]] também são extensas, englobando principalmente os emparelhamentos arco-íris e problemas relacionados, como citado anteriormente.  [[Ficheiro:Kamisado-board1.jpg|miniaturadaimagem|250x250px|FIGURA 4: Tabuleiro de Kamisado, no qual o movimento do próximo jogador é restrito pelo movimento do jogador anterior (e pela cor onde ele finalizou sua jogada).]]
[[Ficheiro:Ramanujan magic square construction.svg|miniaturadaimagem|250x250px|FIGURA 5: Quadrado Mágico de Aniversário de [[Srinivāsa Rāmānujan|Ramanujan]], que nada mais é do que um quadrado latino 4x4. ]]No mundo da Matemática Recreativa, por outro lado, os quadrados latinos encontraram aplicações muito mais populares: os '''quebra-cabeças [[sudoku]]''', que nada mais são do que quadrados latinos de ordem 9, com a regra adicional de que cada um dos 9 subquadrados naturais {{math|3 × 3}} também contenha todos os 9 símbolos. Além dele, outros jogos semelhantes também envolvem o contexto dos quadrados latinos, como '''KenKen<ref>{{Citar web|url=https://www.kenkenpuzzle.com/|titulo=KenKen Puzzle Official Site - Free Math Puzzles That Make You Smarter!|acessodata=2024-08-25|website=www.kenkenpuzzle.com}}</ref>, [[Futoshiki]] e Strimko'''<ref> The Grabarchuk Family. (2017) [https://www.amazon.com/dp/1973162962/ Strimko Book 1: 150 Easy-to-Master Number Logic Puzzles.] Independently published.</ref>, cujos objetivos consistem em preencher uma matriz {{math|''n'' × ''n''}} como um quadrado latino, seguindo ainda outras regras adicionais relacionadas à operações matemáticas ou repetições de símbolos. Outro desafio é o chamado '''quebra cabeça do quadrado greco-latino''', no qual é preciso encaixar as peças nos espaços disponíveis, evitando repetições de cor e formato por linha, coluna e diagonal, disponível em variadas ordens (o modelo 4x4 com 16 peças é o mais comum). Ademais, indo mais fundo, é possível encontrar até mesmo jogos de tabuleiro baseados na teoria dos quadrados latinos, como o jogo de conquista '''Kamisado'''.<ref>[https://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/DD143X/dkand13/Group4Per/report/17-setterquist-skeppstedt.pdf "Solving Kamisado - Bachelor Thesis" (PDF)]</ref> Finalmente, outra aplicação muito popular desses objetos matemáticos são os próprios '''[[Quadrado mágico|quadrados mágicos]]''', que fomentaram grande parte do avanço na teoria dos quadrados latinos. Evidentemente, estes também representam uma grande fatia da Matemática Recreativa, permeando desafios e matemágicas das mais variadas, a maioria envolvendo direta ou indiretamente a construção de um quadrado latino. O quadrado mágico de aniversário de [[Srinivāsa Rāmānujan|Ramanujan]] é um exemplo clássico.  

===Quadrados Latinos nas Artes ===

O valor decorativo dos quadrados latinos parece ter inspirado alguns artistas ao longo da história, aparições que vão desde amuletos ancestrais (como os da Figura 2), até exibições arquitetônicas do século XX (janela da Figura 3). Além destes, no entanto, não faltam exemplos com outros propósitos e formatos, desde o acadêmico (Figura 6, ao lado), ao religioso. Esse último se caracteriza pelo curioso poema ode à Hanniball Basset, um camponês do condado de Mawgan, que foi enterrado em sua paróquia, a Igreja St. Mawgan, na Inglaterra, com o seguinte escrito sob sua lápide:<ref>{{cite web|last=Ross|first=David A.|title=Mawgan-in-Meneage, St Mawgan's Church|url=https://www.britainexpress.com/counties/cornwall/churches/mawgan-in-meneage.htm|access-date=2024-08-22|website=Britain Express}}</ref>[[Ficheiro: Scientific_American_November_1959_Graeco_Latin_square.svg|thumb|250px|FIGURA 6: (Re)ilustração referente à capa da revista Scientific American de novembro de 1959<ref>{{Citar web|url=https://www.scientificamerican.com/issue/sa/1959/11-01/|titulo=Scientific American Volume 201, Issue 5|data=1959-11-01|acessodata=2024-08-24|website=Scientific American|lingua=en}}</ref>, quando foram encontrados dois quadrados latinos de ordem 10, mostrando-os em cores (autoria de CMG Lee). 
]]
 Hanniball Basset here Inter'd doth lye
 Who dying lives to all Eternitye
 hee departed this life the 17th of Ian
 1709/8 in the 22th year of his age ~
 A lover of learning
 
 Shall wee all dye 
 Wee shall dye all 
 All dye shall wee 
 Dye all wee shall

Cabe, ainda, mencionar dois exemplos de quadrados latinos presentes em símbolos atuais de [[Heráldica]]: o brasão da Sociedade de Estatística do Canadá<ref>{{Citar web|url=https://web.archive.org/web/20130722061400/http://www.ssc.ca/archive/main/about/history/arms_e.html|titulo=Letters Patent Confering the SSC Arms - Statistical Society of Canada - SSC|data=2013-07-22|acessodata=2024-08-24|website=web.archive.org}}</ref> e a logo da Sociedade Biométrica Internacional.<ref>{{Citar web|url=https://biometrics.biometricsociety.org/|titulo=Home|acessodata=2024-08-24|website=biometrics.biometricsociety.org|lingua=pt-BR}}</ref> 

== Ver também ==
* [[Amostragem por hipercubo latino]], técnica de amostragem que se baseia em uma generalização do quadrado latino, para um número qualquer de dimensões. 
* [[Quadrado mágico|Quadrados Mágicos]]
* [[Problema das oito damas|Problema das Oito Damas]]
* [[Sudoku]] 

==Notas==
{{reflist}}

==Referências==

* {{citation|title=Chapter on The history of latin squares|first1=L. D.|last1=Andersen|publisher=Department of Mathematical Sciences, Aalborg University.(Research Report Series; No. R-2007-32)|year=2007|url=https://vbn.aau.dk/en/publications/chapter-on-the-history-of-latin-squares|ref=harv}}
*{{citation|title=Introduction to Combinatorics|first1=W. D.|last1=Wallis|first2=J. C.|last2=George|publisher=CRC Press|year=2011|isbn=978-1-4398-0623-4|url=https://books.google.com/books?id=PTbb7x-mI5gC&pg=PA212|ref=harv}}
* {{cite book|last1=Dénes|first1=J.|last2=Keedwell|first2=A. D.|title=Latin squares and their applications|publisher=Academic Press  |location=New York-London|year=1974|pages=547|mr=351850|isbn=0-12-209350-X|ref=harv}}
* Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2 Novembro 2006). [https://books.google.com.br/books?id=PTbb7x-mI5gC&pg=PA212&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false ''Handbook of Combinatorial Designs'' (2nd ed.)]. CRC Press. p. 12. [[:en:Special:BookSources/978-1-4398-0623-4|ISBN <bdi>9781420010541</bdi>]]. 

== Outras Leituras ==

* {{Cite journal | doi = 10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:6<405::aid-jcd3>3.0.co;2-j| title = Generating uniformly distributed random latin squares| journal = Journal of Combinatorial Designs| volume = 4| issue = 6| pages = 405–437| year = 1996| last1 = Jacobson | first1 = M. T. | last2 = Matthews | first2 = P. }}
* {{citation |author=Rosemary A. Bailey|chapter=6 Row-Column designs and 9 More about Latin squares|title=Design of Comparative Experiments|publisher=Cambridge University Press|year=2008 |isbn=978-0-521-68357-9|chapter-url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~rab/DOEbook|mr=2422352}}
*{{citation |last1=Shah|first1= Kirti R.|last2=Sinha|first2= Bikas K.| chapter=4 Row-Column Designs|title=Theory of Optimal Designs |series=Lecture Notes in Statistics| volume=54 | publisher=Springer-Verlag | year=1989 | pages=66–84 |isbn=0-387-96991-8 |mr=1016151}}
*{{cite journal | author = C. Colbourn | title = The complexity of completing partial latin squares | journal = Discrete Applied Mathematics | volume = 8 | pages = 25–30 | year = 1984 | doi = 10.1016/0166-218X(84)90075-1| doi-access = free }}
*[http://joas.agrif.bg.ac.rs/archive/article/59 The application of Latin square in agronomic research]
* {{cite book|last1=Dénes|first1=J. H.|last2=Keedwell|first2=A. D.|title=Latin squares: New developments in the theory and applications|others=[[Paul Erdős]] (foreword)|series=Annals of Discrete Mathematics|volume=46|publisher=Academic Press  |location=Amsterdam|year=1991 |mr=1096296|isbn=0-444-88899-3}}
*{{cite book | last1=Hinkelmann | first1=Klaus | last2=Kempthorne | first2=Oscar | year=2008 | title=Design and Analysis of Experiments | volume=I, II |edition=Second | publisher=Wiley |url=http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470385510.html | isbn=978-0-470-38551-7 | mr=2363107}}
**{{cite book |last1=Hinkelmann | first1=Klaus | last2=Kempthorne | first2=Oscar | year=2008 | title=Design and Analysis of Experiments, Volume I: Introduction to Experimental Design | url=https://books.google.com/books?id=T3wWj2kVYZgC  | edition=Second|publisher= Wiley | isbn=978-0-471-72756-9 |mr=2363107}}
**{{cite book |last1=Hinkelmann | first1=Klaus | last2=Kempthorne | first2=Oscar |year=2005| title=Design and Analysis of Experiments, Volume 2: Advanced Experimental Design|url=https://books.google.com/books?id=GiYc5nRVKf8C|edition=First|publisher= Wiley |isbn=978-0-471-55177-5|mr=2129060}}
* {{cite book|first=Donald|last=Knuth|author-link=Donald Knuth|title=The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms, Part 1|location=Reading, Massachusetts|publisher=Addison-Wesley| year=2011| isbn=978-0-201-03804-0}}
* {{cite book|last1=Laywine|first1=Charles F.|last2=Mullen|first2=Gary L.| title=Discrete mathematics using Latin squares| series=Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|location=New York| year=1998|isbn=0-471-24064-8|mr=1644242}}
*{{cite book|author1=Shah, K. R.|author2=Sinha, Bikas K.|chapter=Row-column designs |pages=903–937 | title=Design and analysis of experiments | editor=S. Ghosh and C. R. Rao | series=Handbook of Statistics|volume=13|publisher=North-Holland Publishing Co.|location=Amsterdam|year=1996|isbn=0-444-82061-2|mr=1492586}}
* {{cite book|title=Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments|author=Raghavarao, Damaraju|location=New York|year=1988|edition=corrected reprint of the 1971 Wiley|publisher=Dover|mr=1102899|isbn=0-486-65685-3| url=https://archive.org/details/constructionscom0000ragh}}
*{{cite book|last1=Street|first1=Anne Penfold |last2=Street|first2= Deborah J.|title=Combinatorics of Experimental Design|publisher=Oxford University Press|year=1987|location=New York|isbn=0-19-853256-3| mr=908490 }}
*{{cite book |last1=Berger |first1=Paul D. |last2=Maurer |first2=Robert E. |last3=Celli |first3=Giovana B. |title=Experimental Design with Applications in Management, Engineering, and the Sciences |date=Novembro 28, 2017 |publisher=Springer |pages=267–282 |edition=2nd edition (November 28, 2017) |url=https://www.amazon.com/dp/B078D65KRH}}

== Ligações externas ==
* {{MathWorld |title=Quadrado Latino|id=LatinSquare}}
*[http://eom.springer.de/L/l057620.htm Quadrado latino] na [[Enciclopédia]] de [[matemática]], em inglês.
*[https://oeis.org/wiki/Index_to_OEIS:_Section_La#Latin Quadrados Latinos] na [[OEIS|Enciclopédia Online dos Números Inteiros]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/Latin.shtml Latin Squares in Java] no cut-the-knot
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Combinatorics/InfiniteLatinSquare.shtml Infinite Latin Square (Java)] no cut-the-knot
* [https://web.archive.org/web/20131224123214/http://www.muljadi.org/MagicSudoku.htm Quadrado mágico dentro do Quadrado latino]

{{Portal3|Probabilidade e Estatística}}

[[Categoria:Álgebra]]
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[[Categoria:Estatística]]
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