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[[Ficheiro:Directed.svg|125px|thumb|Um digrafo.]]

Em [[matemática]], um '''''quiver''''' (ou '''digrafo''') é um [[Grafo orientado|grafo direcionado]] onde laços e múltiplas setas entre dois [[vértice]]s são permitidos. Eles são comumente utilizados em [[teoria da representação]]: uma ''representação'', V, de um ''quiver'' atribui um [[espaço vetorial]] V(x) para cada vértice x do quiver e um [[transformação linear|mapa linear]] V(a) para cada seta a.

:<math>V_1\overset{f}\longrightarrow V_2</math>
:<small>Representação de um ''quiver'', consistindo de dois espaços vetoriais (V1, V2) e um morfismo f</small>

Se ''K'' é um [[corpo (matemática)|corpo]] e &Gamma; é um ''quiver'', então o '''''quiver'' algébrico''' ou  '''trilha algébrica''' ''K''&Gamma; é definido como se segue.  Uma '''trilha''' em ''Q'' é uma sequência de setas a_1 a_2 a_3 ... a_n tal que a cabeça de a_{i+1} = cauda de a_i, usando a convenção de concatenar trilhas da direita para esquerda. Então, a trilha algébrica é um espaço vetorial que tem todas as trilhas do quiver como base e a multiplicação dada pela [[concatenação]] de trilhas. Se duas trilhas não podem ser concatenadas porque o vértice final da primeira não é igual ao vértice inicial da segunda, seu produto é definido como zero. Isto define uma [[álgebra associativa]] sobre ''K''. Essa álgebra é unitária [[se e somente se]] o quiver possui somente muitos vértices finitos. Neste caso, os [[módulo (álgebra)|módulo]]s sobre ''K''&Gamma; são naturalmente identificados com as representações de  &Gamma;.

Se o ''quiver'' possui muitos vértices e setas finitos, e o vértice final e o inicial de qualquer trilha são sempre distintos (isto é, Q não tem ciclos orientados), então ''K''&Gamma; é um [[anel hereditário]] de [[dimensão de espaço vetorial|dimensão]] finita sobre ''K''. 

== Representações de quivers ==

Uma representação de um quiver, Q, é dita ser ''trivial'' se V(x)=0 para todos os vértices x em Q.

Um ''morfismo'', f:V->V', entre representações do quiver Q, é uma coleção de mapas lineares <math>f(x):V(x)\rightarrow V'(x)</math> tal que para cada seta em Q de x para y <math>V'(a)f(x)=f(y)V(a)</math>, isto é, todos os quadrados que f forma com as setas de V e V' se comutem. Um morfismo, f, é um ''isomorfismo'', se f(x) é invertível para todos os vértices x no quiver. Com estas definições, as representações dum quiver formam uma [[categoria (teoria das categorias)|categoria]].

Se V e W são representações dum quiver Q, então a [[soma direta]] destas representações, <math>V\oplus W</math>, é definida por <math>(V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)</math> para todos os vértices x em Q e <math>(V\oplus W)(a)</math> é a soma direta dos mapeamentos lineares V(a) e W(a).

Uma representação é dita ser ''decomponível'' se ela é isomórfica à soma direta das representações não-zero.

Uma definição [[teoria das categorias|categórica]] duma representação de quiver pode também ser dada.  O quiver em si pode ser considerado uma categoria, onde os vértices são objetos e trilhas são morfismos. Então, uma representação de Q é apenas um [[functor|funtor]] covariante desta categoria para a categoria de [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] de dimensões finitas.

== Teorema de Gabriel ==

Um quiver é dum ''tipo finito'' se possui muitas representações finitas não-isomórficas indecomponíveis. O teorema de Gabriel classifica todas as representações de quiver do tipo finito. Mais precisamente, declara que:

# Um quiver (conectado) é de um tipo finito se e somente se o seu grafo subjacente (quando as direções das setas são ignoradas) é um dos seguintes [[Diagrama de Dynkin|diagramas de Dynkin]]: <math>A_n</math>, <math>D_n</math>, <math>E_6</math>, <math>E_7</math>, <math>E_8</math>.
# As representações indecomponíveis estão numa [[Função bijectiva|correspondência um-para-um]] com as raízes positivas do [[sistema de raízes]] do diagrama de Dynkin.

== Ver também ==
* [[Grafo]]
* [[Teoria dos grafos]]

== Ligações externas ==
* [http://www.ams.org/notices/200502/fea-weyman.pdf Quiver Representations], Harm Derksen e Jerzy Weyman, AMS Notices
* [http://www.amsta.leeds.ac.uk/~pmtwc/quivlecs.pdf Notas sobre representações de quivers]
* ''[http://www.arxiv.org/pdf/math/0505082 Finite-dimensional algebras and quivers]'', Alistair Savage, "Encyclopedia of Mathematical Physics", eds. J.-P. Françoise, G.L. Naber e Tsou S.T. Oxford: Elsevier, 2006, volume 2, pp. 313-320
* [http://www.icmc.sc.usp.br/manuals/sce183/gfdig.html Digrafo] em [[USP]]

[[Categoria:Teoria dos grafos]]
[[Categoria:Teoria dos módulos]]
[[Categoria:Teoria de representação]]