Mostrar código-fonte de Raiz da unidade

{{Imagem dupla|right|One3Root.svg|200|One5Root.svg|200|Raízes cúbicas da unidade no [[plano complexo]]|Raízes quintas da unidade no plano complexo}}

Em [[matemática]], as '''raízes ''n''-ésimas da unidade''', ou números de [[Abraham de Moivre|de Moivre]]<ref>{{citar web|url=http://mathworld.wolfram.com/deMoivreNumber.html|título=de Moivre Number|data=|acessodata=|website=MathWorld|publicado=|ultimo=Weisstein|primeiro=Eric W}}</ref>, são todos os [[Número complexo|números complexos]] que resultam 1 quando são [[Potenciação|elevados]] a ''n''. Raízes da unidade são usadas em muitas áreas da matemática, sendo especialmente importantes para a [[teoria dos números]], para a representação de [[Teoria do caráter|caráter]] em [[teoria dos grupos]], e para a [[Transformada de Fourier de tempo discreto|transformada discreta de Fourier]]. Pode-se demonstrar que estão localizados no [[círculo unitário]] do [[plano complexo]] e que nesse plano formam os [[Vértice|vértices]] de um [[polígono regular]] de ''n'' lados com um vértice sobre 1.

Uma raiz ''n''-ésima da unidade é chamada de '''primitiva''' (ou seja, uma '''raiz primitiva ''n''-ésima da unidade''') quando ela não é também uma raiz ''m''-ésima da unidade para ''m < n''. Por exemplo, [[unidade imaginária|''i'']] é uma raiz quarta e raiz oitava da unidade, mas é apenas uma raiz quarta primitiva da unidade.

== Definição ==
Diz-se que uma '''raiz {{mvar|n}}-ésima da unidade''', onde n é um inteiro positivo ({{math|1=''n'' = 1, 2, 3, …}}), é um número complexo {{mvar|z}} que satisfaça a [[equação]]

:<math> z^n=1</math>, 

que, pelo ''[[teorema fundamental da álgebra]]'', possui <math> n</math> raízes no conjunto '''<math>\mathbb{C}</math>''' dos números complexos.<ref>{{citar web|url=http://www.gregosetroianos.mat.br/unity.asp|título=Raízes da Unidade|data=|acessodata=|website=Matemática para Gregos & Troianos|publicado=|ultimo=de Araújo|primeiro=Carlos César}}</ref>

== Soluções ==
Uma das soluções sempre será o número <math> 1</math>, já que <math> 1^n=1</math> para qualquer <math> n</math> inteiro positivo. 
As demais soluções podem ser obtidas reescrevendo o número <math> 1</math> de forma conveniente através da [[fórmula de Euler]]:

:<math>e^{ix} = \cos\left (x \right) + \text{i}\,\operatorname{sen}\left( x \right).</math>

Substituindo-se <math> x=2\pi \mathrm k</math>, onde <math>k\in \mathbb{Z}</math> obtém-se:

:<math>e^{\text{i}(2\pi \mathrm k)} = \cos\left (2\pi \mathrm k \right) + \text{i}\,\operatorname{sen}\left( 2\pi \mathrm k \right)=1</math>

Implicando que o número <math> 1</math> pode ser escrito da seguinte forma:

:<math>1 = e^{2\pi \mathrm i k}</math>

Resolve-se, então, a equação que define as raízes da unidade:

:<math> z^n=1 \implies z=1^{1\over n}=(e^{2\pi \mathrm i k})^{1 \over n}=e^{2\pi \mathrm i k \over n}</math>

Então <math> z</math> pode ser escrito como:

:<math> z = \cos\left ({2\pi \mathrm k \over n} \right) + \text{i}\,\operatorname{sen}\left({2\pi \mathrm k \over n} \right)</math>, <math>k\in \mathbb{Z}</math>

A princípio, tal expressão aponta para um número infinito de soluções. No entanto, dado a periodicidade das funções seno e cosseno, há mais de um <math> k</math> associado a uma mesma raiz. De fato, há infinitos <math> k'</math> associados a um mesmo valor de <math> z</math> que seja dado por um valor principal <math> k</math>. A relação de [[Aritmética modular|congruência]] entre <math> k'</math> e <math> k</math> é, por análise:

:<math> k'\equiv k \pmod{ n}.</math>

Desse modo, a solução resume-se a <math> n</math> raízes para <math> z</math>, dadas por:

:<math> z_{k+1} = \cos\left ({2\pi \mathrm k \over n} \right) + \text{i}\,\operatorname{sen}\left({2\pi \mathrm k \over n} \right), </math>
:<math>k=0, 1, 2, ..., n-1</math>

== Propriedades aritméticas ==
=== Soma das raízes ===
A soma das raízes da unidade é igual a <math> 0</math>, <math> \forall \, n\geqslant 2</math>. Uma maneira de provar isso, é utilizando a soma de uma ''progressão geométrica''.

<math> \sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi\text{i}k\over n} </math>
<math>=e^{2\pi\text{i}.(0)\over n} + e^{2\pi\text{i}.(1)\over n} +\cdots+ e^{2\pi\text{i}.(n-1)\over n}</math>
<math>=\underbrace{e^{2\pi\text{i}\cdot (0)/ n}}_{1} \cdot \cfrac{\overbrace{e^{2\pi\text{i}\cdot (n)/ n}}^{1}-1}{e^{2\pi\text{i}/ n}-1}</math>
<math>=0</math>

Outra maneira de provar essa propriedade, é considerar as ''relações de Girard''. Observando o polinômio <math> z^n+0.z^{n-1}-1=0</math> , é fácil notar que a soma das raízes é igual a <math> 0</math>.

=== Produto das Raízes ===
Através das ''relações de Girard'', pode-se deduzir que o produto das raízes é <math> 1</math> para <math> n</math> ímpar e <math> -1</math> para <math> n</math> par.

== Equação Ciclotômica ==
{{Artigo principal|Equação ciclotômica|Corpo ciclotômico}}
=== Teorema de Gauss-Wantzel ===
[[Carl Friedrich Gauss]] demonstrou que o problema de resolver a equação <math> x^p=1</math>, também denominada ciclotômica, pode ser reduzido a resolver uma série de [[Equação de segundo grau|equações quadráticas]], para quando <math> p</math> for um [[primo de Fermat]], isto é, para quando for um primo e puder ser escrito como <math> p=2^{2^n}+1</math>, onde <math>n\in \mathbb{N}</math>. [[Pierre Laurent Wantzel]] provou posteriormente, em 1836, que tal condição não só é suficiente, mas necessária.<ref>{{citar web|url=http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicEquation.html|título=Cyclotomic Equation|data=|acessodata=|website=MathWorld|publicado=|ultimo=Weisstein|primeiro=Eric W}}</ref>

O teorema de Gauss-Wantzel possui um importante valor histórico por promover uma ligação entre [[análise complexa]] e [[geometria euclidiana]], visto que implica na especificação de quais [[polígonos]] são [[Polígono construtível|construtíveis]] a partir de [[Desenho geométrico|régua e compasso]], problema milenar enfrentado pelos matemáticos desde a [[Grécia antiga]]. Nesse contexto, ele prova que o polígono de 17 lados, o [[heptadecágono]], é construtível pelo número de lados ser um primo de Fermat, contrastando com polígonos menores como o [[heptágono]] e o [[eneágono]], que não são construtíveis.

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* Lang, Serge (2002). ''Algebra, 3rd revised edition''. Nova York: [[Springer-Verlag]]. ISBN 0-387-95385-X.

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{{DEFAULTSORT:Raiz Unidade}}
[[Categoria:Teoria dos números]]
[[Categoria:Números algébricos]]