Mostrar código-fonte de Regra dos trapézios (equações diferenciais)

Em [[análise numérica]] e [[computação científica]], a '''regra dos trapézios''' é um método numérico para resolver uma [[Equação diferencial ordinária]] derivado da Regra dos trapézios para integrais computacionais. É um método implícito de segunda ordem como o [[Método de Runge-Kutta]] linear e iterativo.

==Método==

Supondo que se deseja resolver a seguinte equação diferencial 

:<math> y' = f(t,y). </math>

A regra dos trapézios é dada pela fórmula

:<math> y_{n+1} = y_n + \tfrac12 h \Big( f(t_n,y_n) + f(t_{n+1},y_{n+1}) \Big), </math>

na qual <math> h = t_{n+1} - t_n </math> é o tamanho do intervalo.

Este é um método implícito, onde o valor <math> y_{n+1} </math> aparece nos dois lados da equação e para calculá-lo  deve-se resolver a equação que geralmente é não-linear. Um possível método para resolver esta equação é o [[Método de Newton]],podendo-se usar o [[Método de Euler]] para obter uma estimativa bastante boa para a solução e que poderá ser usada como chute inicial no método de Newton.

==Motivação==

Integrando a equação diferencial entre <math> t_n </math> e <math> t_{n+1} </math>, encontra-se

:<math> y(t_{n+1}) - y(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y(t)) \,\mathrm{d}t. </math>

A regra dos trapézios para integração diz que a integral do lado direito da equação pode ser aproximada por

:<math> \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y(t)) \,\mathrm{d}t \approx \tfrac12 h \Big( f(t_n,y(t_n)) + f(t_{n+1},y(t_{n+1})) \Big). </math>

Combinando as duas fórmulas e definindo <math> y_n \approx y(t_n) </math> e <math> y_{n+1} \approx y(t_{n+1}) </math>, obtém-se a regra dos trapézios para equações diferenciais ordinárias.

==Análise de erro==

Tem-se, da análise de erro da regra dos trapézios para quadratura, que o [[Erro de truncamento]] local <math> \tau_n </math> da regra dos trapézios para equações diferenciais pode ser delimitado por

:<math> |\tau_n| \le \tfrac1{12} h^3 \max_t |y''(t)|. </math>

Assim, a regra dos trapézios é um método de segunda-ordem. Isto pode ser usado para provar que o erro global é <math> O(h^2) </math> assim que o espaço entre pontos adjacentes <math> h </math> tende a zero (veja seu significado em [[Grande-O]])

==Estabilidade==

A região de estabilidade absoluta para este método é 

:<math> \{ z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z) < 0 \}. </math>

Isto inclui a metade esquerda do plano, então ele é A-estável. Que mostra que a solução numérica tende zero se e somente se a solução exata o fizer. <ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=324}}</ref>

{{referências}}

== Bibliografia ==
* {{Citation | last1=Iserles | first1=Arieh | author1-link=Arieh Iserles | title=A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-55655-2 | year=1996}}.
* {{Citation | last1=Süli | first1=Endre | last2=Mayers | first2=David | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0521007941 | year=2003}}.


[[Categoria:Análise numérica]]