Mostrar código-fonte de Relações de Kramers–Kronig

As '''relações de Kramers-Kronig''' (também conhecidas como '''transformações de Kramers-Kronig''') expressam matematicamente as condições que um [[sistema causal]] deve obedecer. Foram descobertas de forma independente em 1926 por [[Hendrik Anthony Kramers]] e [[Ralph Kronig]], que estudavam as relações recíprocas entre o [[índice de refração]] e o [[coeficiente de absorção]] de um meio, ambas grandezas dependentes da [[frequência]] da [[onda eletromagnética]] incidente. Resultado semelhante foi obtido também por [[John Renshaw Carson]] e, mais tarde, por [[Hendrik Wade Bode]], no contexto da [[análise de circuitos]] [[Circuito linear|lineares]]<ref name="King1">F. King - ''The Hilbert Transform'', vol. 1, New York, Cambridge Press, 2009, ISBN 978-0-521-88762-5, Cap. 1, pag. 6</ref>.

Uma das formulações possíveis das relações de Kramers-Kronig é a seguinte, que relaciona a parte [[Número real|real]] H<sub>r</sub> e a parte [[Número imaginário|imaginária]] H<sub>i</sub> da [[resposta em frequência]] H(ω) = H<sub>r</sub>(ω) + i·H<sub>i</sub>(ω) do sistema:


<math>H_i(\omega) \;=\; \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{H_r(u)}{\omega \;-\; u} \; du \;\;\;\;(1a)</math>

<math>H_r(\omega) \;=\; - \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{H_i(u)}{\omega \;-\; u} \; du  \;\;\;\;(1b)</math>

onde ω = 2πf é a [[frequência angular]].

As equações acima exprimem matematicamente as propriedades de '''causalidade''' e '''estabilidade''' que um sistema causal deve exibir. Sob o ponto de vista da engenharia e das ciências físicas, causalidade refere-se ao fato de que um sistema físico real não pode produzir uma resposta (saída) antes de receber o estímulo correspondente (entrada), e estabilidade refere-se ao fato de que o sistema produz  respostas (saídas) limitadas e responde a estímulos (entradas) também limitados.

Das equações (1a) e (1b) derivam-se outras expressões equivalentes:
* Se a resposta no [[domínio do tempo]] do sistema for dada por h(t), então h(t) = 0 para t < 0 (causalidade)<ref group="nota">Por convenção, h(t) é a saída do sistema quando um [[Delta de Dirac|impulso unitário]] é aplicado na entrada.</ref>.
* Se a resposta no [[domínio da frequência|domínio da frequência complexa]] do sistema for dada por H(s), então todas as sigularidades de H(s) estão localizadas na metade esquerda do [[Número complexo|plano complexo]] (estabilidade)<ref group="nota">H(s) é a [[Transformada de Laplace]] de h(t).</ref>
* H(s) converge e é analítica na metade direita do plano complexo, incluído o eixo imaginário (s = iω).

As relações de Kramers-Kronig governam como podem ser as funções de transferência de sistemas físicos reais. Por exemplo, em uma onda eletromagnética que se propaga em um meio material, a parte real do índice de refração do material define a velocidade de propagação da onda e a parte imaginária define a atenuação sofrida. Tanto uma quanto a outra são função da frequência da onda incidente. As equações (1a) e (1b) mostram que essas duas funções são necessariamente interdependentes, o que a análise física não revela imediatamente<ref name="Liu">Liu Y. - ''Hilbert Transform and Applications'' in Salih S. (ed.) - ''Fourier Transform Applications'', ISBN: 978-953-51-0518-3, disponível em http://www.intechopen.com/books/fourier-transform-applications/hilbert-transform-and-application {{Wayback|url=http://www.intechopen.com/books/fourier-transform-applications/hilbert-transform-and-application |date=20131202222342 }}, acessado em 22/11/2013</ref>.

As relações de Kramers-Kronig foram a primeira aplicação da [[transformada de Hilbert]] na Física. Kramers e Kronig investigavam, na época, o que se conhece em [[Eletromagnetismo]] como '''relações de dispersão''' (neste caso, da luz). O termo '''dispersão''' se refere de forma geral à variação de qualquer parâmetro óptico (índice de refração, constante<ref group="nota">Obviamente, um mau nome, uma vez que essa grandeza varia com a frequência.</ref> dielétrica, permeabilidade etc.) de um meio com a frequência da onda que nele se propaga. É possível deduzir o teorema de Kramers-Kronig por meio da análise do comportamento assintótico da constante dielétrica com o aumento da frequência, que deve ser relacionado com a influência do campo eletromagnético sobre o movimento dos elétrons no meio dielétrico, considerado idealmente isotrópico e não polarizado, com base num modelo dinâmico simples (linear, harmônico, não-relativístico e não-quântico). Também é possível tratar o problema com as ferramentas da física relativística e quântica, de forma a obter resultados mais gerais. Uma técnica alternativa para provar o teorema parte da análise da [[transformada de Fourier]] da constante dielétrica, de forma a evitar o recurso a teoremas de [[análise complexa]] exigidos pelas técnicas anteriores. Uma quarta forma abordagem lança mão das [[funções de Herglotz]] para analisar um parâmetro óptico qualquer. Finalmente, uma prova que considera um meio material condutor pode ser obtida por técnicas semelhantes<ref name="King19">F. King - ''The Hilbert Transform'', vol. 2, New York, Cambridge Press, 2009, ISBN 978-0-521-51720-1, Cap. 19, pp. 182 a 250</ref><ref group="nota">Todas essas derivações podem ser encontradas em King (2009-2).</ref>.


== Notas ==
<references group="nota"/>

== Ver também ==
* [[Transformada de Hilbert]]
* [[Condição de Paley-Wiener]]

{{Referências}}

{{esboço-física}}

[[Categoria:Análise complexa]]
[[Categoria:Análise harmônica]]