Mostrar código-fonte de Representação Adjunta (álgebra de Lie)

{{Minidesambig|a forma de representar os elementos do grupo como transformações lineares do grupo de álgebra de Lie|Representação adjunta (grupo de Lie)}}

Em [[matemática]], o '''endomorfismo adjunto''' (ou ação adjunta} é um [[homomorfismo]] das [[Álgebra de Lie|álgebras de Lie]] que desempenha um papel fundamental no desenvolvimento da teoria das álgebras de Lie<ref>"Uma Introdução às Álgebras de Lie e suas Representações" por ''Eliana Carla Rodrigues & Jhone Caldeira'', publicado pela Universidade Federal de Goiás - [http://www.sbpcnet.org.br/livro/63ra/conpeex/pibic/trabalhos/ELIANA_C.PDF]</ref>.

Dado um elemento <math>x</math> de uma álgebra de Lie <math>\mathfrak{g}</math>, define-se a ação adjunta de <math>x</math> em <math>\mathfrak{g}</math> como o mapa <math>\operatorname{ad}_x :\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}</math> com
:<math>\operatorname{ad}_x (y) = [x,y]</math>
para todo <math>y</math> em <math>\mathfrak{g}</math>.
==Representação adjunta da álgebra==
O conceito gera a [[Representação adjunta (grupo de Lie)|representação adjunta de um grupo de Lie]] <math>\operatorname{Ad}</math>. Na verdade, <math>\operatorname{ad}</math> é precisamente o [[Álgebra diferencial|diferencial]] de <math>\operatorname{Ad}</math> no [[Elemento neutro|elemento identidade]] do grupo<ref>{{citar web|url=http://www.math.upenn.edu/~wziller/math650/LieGroupsReps.pdf|título=Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces|autor=Wolfgang Ziller|data=2010|publicado=University of Pennsylvania|acessodata=}}</ref>.

Seja <math>\mathfrak{g}</math> uma álgebra de Lie sobre um campo de <math>k</math>. Então o [[Transformação linear|mapa linear]]
:<math>\operatorname{ad}:\mathfrak{g} \to \operatorname{End}(\mathfrak{g})</math>
dado por <math>x\mapsto \operatorname{ad}_x</math> é uma representação de uma álgebra de Lie e é chamada de '''representação adjunta da álgebra'''<ref>San Martin, Luiz A. Barrera. ''Álgebras de Lie'', 2ª edição, Editora da Unicamp, Campinas, 2010. ISBN 978-85-268-0876-8</ref>.

Dentro <math>\operatorname{End}(\mathfrak{g})</math>, o [[álgebra de Lie#Definição e primeiras propriedades|colchete de Lie]] é, por definição, dado pelo [[Comutador (matemática)|comutador]] de dois operadores:
: <math>[\operatorname{ad}_x,\operatorname{ad}_y]=\operatorname{ad}_x \circ \operatorname{ad}_y - \operatorname{ad}_y \circ \operatorname{ad}_x</math>

onde <math>\circ</math> denota a composição de mapas lineares. 
Se <math>\mathfrak{g}</math> é de dimensão finita, então <math>\operatorname{End}(\mathfrak{g})</math> é isomorfo a <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>, a álgebra de Lie do grupo linear geral sobre o espaço vetorial <math>\mathfrak{g}</math> e se uma base para ele é escolhido, a composição corresponde ao [[produto de matrizes]].

Usando a definição acima do colchete de Lie, a [[identidade de Jacobi]] {{nota de rodapé|Em [[matemática]], a identidade de Jacobi (nomeado em homenagem ao matemático alemão [[Carl Gustav Jakob Jacobi]]) é uma propriedade que uma operação binária pode ter que determina como a ordem de avaliação se comporta para a dada operação. Ao contrário de [[Associatividade|operações associativas]], ordem de avaliação é significativa para as operações que satisfazem a identidade de Jacobi.}}

:<math>[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0</math> 
assume a forma 
:<math>\left([\operatorname{ad}_x,\operatorname{ad}_y]\right)(z) = \left(\operatorname{ad}_{[x,y]}\right)(z)</math>
onde <math>x</math>, <math>y</math>, e <math>z</math> são elementos arbitrários de <math>\mathfrak{g}</math>.

==Constantes de estrutura==
Os elementos explícitos da matriz da representação adjunta são dados pelas [[constantes de estrutura]] da álgebra<ref>[[Steven Weinberg|Weinberg, Steven]], ''The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations'', Cambridge University Press, Cambridge, (1995). ISBN 0-521-55001-7</ref>. Ou seja, deixe {e<sup>i</sup>} ser um conjunto de [[Base (álgebra linear)|vetores de base]] para a álgebra, com
:<math>[e^i,e^j]=\sum_k{c^{ij}}_k e^k.</math>

Então os elementos da matriz para <math>{ \operatorname{ad}_{e^i}} </math>
são dados por
:<math>{\left[ \operatorname{ad}_{e^i}\right]_k}^j = {c^{ij}}_k. </math>

Assim, por exemplo, a representação adjunta de [[Grupo especial unitário#Geradores|SU(2)]] é o representante de definição de [[Grupo de rotação|SO(3)]]<ref>Lie Groups in Physics (2007 G. 't Hooft, M.J.G. Veltman e B.Q.P.J. de Wit)</ref><ref>Modern Quantum Mechanics (1994 J. J. Sakurai)</ref>.

{{notas e referências}}

{{esboço-matemática}}
{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Álgebra de Lie]]
[[Categoria:Matemática]]