Mostrar código-fonte de Resíduo (análise complexa)

{{sem notas|data=janeiro de 2016}}
[[Ficheiro:Gamma_abs_3D.png|miniaturadaimagem|direita|Gráfico tridimensional do valor absoluto da função gama complexa]]
Em [[análise complexa]], o '''resíduo''' de uma [[função analítica]] ''f'' numa [[singularidade matemática|singularidade]] ''p'' é um [[número complexo]] que permite calcular o valor de um [[integral de linha]] de ''f'' cuja imagem esteja na vizinhança de ''p''. Há métodos simples de cálculo de resíduos e, por outro lado, o conhecimento dos resíduos de ''f'' permite calcular integrais de ''f'' ao longo de [[lacete]]s arbitrários, através do [[teorema dos resíduos]].

== Motivação ==
Como exemplo, considere a integral de contorno
:<math>\oint_C {e^z \over z^5}\,dz</math>
onde ''C'' é uma [[curva de Jordan]] em torno de 0.

Agora calculamos essa integral utilizando os teoremas padrões de integral disponíveis. Assim, a [[série de Taylor]] para ''e''<sup>''z''</sup> é conhecida, e podemos substituir esta série no integrando. A integral passa a ser

:<math>\oint_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz.</math>

Trazendo o termo 1/''z''<sup>5</sup> para dentro da série, obtemos

:<math>\oint_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz =</math>

:<math>\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.</math>

A integral agora toma uma forma muito mais simples. Lembre-se que

:<math>\oint_C {1 \over z^a} \,dz=0,\quad a \in \mathbb{Z},\mbox{ para }a \ne 1.</math>

Então, a integral em torno de ''C'' de todos os termos que não estão na forma ''cz''<sup>−1</sup> são iguais a zero e a integral é reduzida a

:<math>\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz={1 \over 4!}\oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.</math>

O valor 1/4! é conhecido como o ''resíduo'' de ''e''<sup>''z''</sup>/''z''<sup>5</sup> em ''z'' = 0, e denotado como

:<math>\mathrm{Res}(f,0), \mathrm{ou}\ \mathrm{Res}_0 {e^z \over z^5} \mathrm{ou}\ \mathrm{Res}_{z=0} {e^z \over z^5},.</math>

== Definição ==
Seja <math>\Omega</math> um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] do [[plano complexo]] <math>\mathbb{C}</math>, e <math>z_0</math> um ponto de <math>\Omega</math>. Seja
:<math>f:\Omega\setminus\{z_0\}\to\mathbb C</math>
uma [[função holomorfa]], que apresenta em <math> z_0</math> uma [[singularidade isolada]] e possui uma única expansão local na [[série de Laurent]]
:<math>f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n.</math>

O '''resíduo''' de <math> f</math> em <math> z_0</math> é o coeficiente <math>a_{-1}</math> da série de Laurent.

== Ver também ==
* [[Teorema dos resíduos]]
* [[Fórmula integral de Cauchy]]
* [[Teorema de Cauchy-Goursat]]
* [[Teorema de Morera]]

== Bibliografia ==
* L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.
* Ruel V. Churchill, Complex variables and applications, McGrall Hill, 1960

== Ligações externas ==
* [[Eric W. Weisstein]], [http://mathworld.wolfram.com/ComplexResidue.html Complex Residue] no [[MathWorld]].
* {{Link||2=http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ResidueCalcMod.html |3=Module for Residues por John H. Mathews}}

{{DEFAULTSORT:Residuo (Analise Complexa)}}

[[Categoria:Análise complexa]]
[[Categoria:Números complexos]]