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{{ver desambig|o filme com Jesse Eisenberg, conhecido no Brasil como Linha Reta|The Hummingbird Project|redir=Linha Reta}}
{{má tradução|data=setembro de 2024}}
[[Imagem:FuncionLineal01.svg|miniaturadaimagem|290x290px|As retas vermelha e azul neste gráfico têm o mesmo [[declive]]; as retas vermelha e verde têm o mesmo [[Interceptação em Y|intercepto em y]] (cruza o [[Sistema de coordenadas cartesiano|eixo y]] no mesmo local).]]
[[Imagem:1D_line.svg|miniaturadaimagem|290x290px|Uma representação de um [[segmento de reta]].]]
A noção de {{PU-AO45|reta|recta}} ou '''linha reta''' foi introduzida por matemáticos antigos para representar objetos retos (isto é, sem [[curvatura]]) com largura e profundidade desprezíveis. As retas são uma idealização de tais objetos. Até o século XVII, as retas eram definidas como "[...] a primeira espécie de quantidade, que possui apenas uma dimensão: comprimento, sem largura nem profundidade, e nada mais é do que o fluxo ou a passagem do ponto que [...] partirá de seu imaginário movendo algum vestígio de comprimento, isento de qualquer largura. […] A linha reta é aquela que se estende igualmente entre seus pontos".<ref>Em francês (antigo): "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude. […] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses poincts." Páginas 7 e 8 de ''Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions'', de Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).</ref>

[[Euclides]] descreveu uma reta como "comprimento sem largura" que "reside igualmente em relação aos pontos em si"; ele introduziu vários [[Axioma|postulados]] como propriedades básicas não prováveis a partir das quais ele construiu toda a geometria, que agora é chamada [[geometria euclidiana]] para evitar confusão com outras geometrias que foram introduzidas desde o final do século XIX (como [[geometria não euclidiana]], [[Geometria projetiva|projetiva]] e [[Geometria afim|afim]]).

Na matemática moderna, dada a multiplicidade de geometrias, o conceito de uma reta está intimamente ligado à maneira como a geometria é descrita. Por exemplo, na [[geometria analítica]], uma reta no plano é frequentemente definida como o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem uma determinada [[equação linear]], mas em um cenário mais abstrato, como a [[geometria de incidência]], uma reta pode ser um objeto independente, distinto de o conjunto de pontos que estão nele.

Quando uma geometria é descrita por um conjunto de axiomas, a noção de uma reta geralmente é deixada indefinida (o chamado objeto [[Noção primitiva|primitivo]]). As propriedades das retas são determinadas pelos axiomas que se referem a elas. Uma vantagem dessa abordagem é a flexibilidade que ela oferece aos usuários da geometria. Assim, na [[geometria diferencial]], uma reta pode ser interpretada como [[geodésica]] (caminho mais curto entre os pontos), enquanto em algumas geometrias projetivas uma reta é um [[espaço vetorial]] bidimensional (todas as combinações lineares de dois vetores independentes). Essa flexibilidade também se estende além da matemática e, por exemplo, permite que os físicos pensem no caminho de um feixe de luz como sendo uma reta.

== Definições versus descrições ==
Todas as definições são, em última análise, de natureza [[Definição circular|circular]], pois dependem de conceitos que devem ter definições, uma dependência que não pode ser continuada indefinidamente sem retornar ao ponto de partida. Para evitar esse círculo vicioso, certos conceitos devem ser tomados como conceitos [[Noção primitiva|primitivos]]; termos que não têm definição.<ref>{{Harvnb|Coxeter|1969|p=4}}</ref> Na geometria, é frequente o conceito de reta ser tomado como primitivo.{{sfn|Faber|1983|loc=Part III|p=95}} Nas situações em que uma reta é um conceito definido, como na [[geometria analítica]], algumas outras ideias fundamentais são consideradas primitivas. Quando o conceito de reta é primitivo, o comportamento e as propriedades das retas são ditados pelos [[axioma]]s que eles devem satisfazer.

Em um tratamento axiomático simplificado ou não-axiomático da geometria, o conceito de uma noção primitiva pode ser abstrato demais para ser tratado. Nessa circunstância, é possível que seja fornecida uma ''descrição'' ou ''imagem mental'' de uma noção primitiva para fundamentar a construção da noção sobre a qual formalmente se basearia nos axiomas (não declarados). Descrições deste tipo podem ser referidas, por alguns autores, como definições neste estilo informal de apresentação. Essas não são definições verdadeiras e não podem ser usadas em provas formais de declarações. A "definição" da reta n&apos;''[[Os Elementos]]'' de Euclides se enquadra nessa categoria.{{sfn|Faber|1983|loc=Part III|p=95}} Mesmo no caso em que uma geometria específica está sendo considerada (por exemplo, [[geometria euclidiana]]), não há concordância geralmente aceita entre os autores sobre o que deve ser uma descrição informal de uma reta quando o assunto não está sendo tratado formalmente.

== Na geometria euclidiana ==
Quando a geometria foi formalizada pela primeira vez por [[Euclides]] n&apos;''[[Os Elementos]]'', ele definiu uma reta geral (reta ou curva) como "comprimento sem largura", com uma linha reta sendo uma linha "que se encontra uniformemente com os pontos em si".{{sfn|Faber|1983|loc=Appendix A|p=291}} Essas definições têm pouca finalidade, pois usam termos que não são, eles próprios, definidos. De fato, Euclides não usou essas definições neste trabalho e provavelmente as incluiu apenas para deixar claro ao leitor o que estava sendo discutido. Na geometria moderna, uma reta é simplesmente tomada como um objeto indefinido com propriedades dadas por [[axioma]]s,{{sfn|Faber|1983|loc=Part III|p=95}} mas às vezes é definida como um conjunto de pontos que obedecem a uma relação linear quando algum outro conceito fundamental é deixado indefinido.

Em uma formulação axiomática da geometria euclidiana, como a de [[Axiomas de Hilbert|Hilbert]] (os axiomas originais de Euclides continham várias falhas que foram corrigidas pelos matemáticos modernos),{{sfn|Faber|1983|loc=Part III|p=108}} afirma-se que uma reta tem certas propriedades que a relacionam a outras linhas e [[Ponto (matemática)|pontos]]. Por exemplo, para quaisquer dois pontos distintos, existe uma reta única que os contém e quaisquer duas retas distintas se cruzam no máximo em um ponto.{{sfn|Faber|1983|loc=Appendix B|p=300}} Em duas [[Dimensão|dimensões]], ou seja, o [[Plano (geometria)|plano]] euclidiano, duas retas que não se cruzam são chamadas [[Paralelismo|paralelas]]. Em dimensões mais altas, duas retas que não se cruzam são paralelas se estiverem contidas em um plano ou [[Retas reversas|reversas]] se não estiverem.

Qualquer coleção de muitas retas finitas divide o plano em [[Polígono convexo|polígonos convexos]] (possivelmente sem limites); essa partição é conhecida como um [[arranjo de retas]].

=== No plano cartesiano ===
Retas em um [[Sistema de coordenadas cartesiano|plano cartesiano]] ou, mais geralmente, em [[Espaço afim|coordenadas afins]], podem ser descritas algebricamente por [[Equação linear|equações lineares]].

Em [[Espaço bidimensional|duas dimensões]], a equação para retas não verticais é geralmente dada na ''forma de interceptação de inclinação'':<blockquote><math> y = ax + b </math></blockquote>Onde:

: <math> a </math> é o [[declive]] da reta (ou [[coeficiente angular]]).
: <math> b </math> é o [[Interceptação em Y|intercepto em y]] da reta.
: <math> x </math> é a [[Variáveis dependentes e independentes|variável independente]] da função <math> y = f(x) </math>.

A inclinação da reta através dos pontos <math>A(x_a, y_a)</math> e <math>B(x_b, y_b)</math>, quando <math>x_a \neq x_b</math>, é dado por <math>m = (y_b - y_a)/(x_b - x_a)</math> e a equação desta reta pode ser escrita como<math>y = a (x - x_a) + y_a</math>.

No <math>\mathbb{R^2}</math>, cada reta <math>L</math> (incluindo retas verticais) é descrito por uma equação linear da forma<blockquote><math>L=\{(x,y)\mid ax+by=c\} </math></blockquote>com [[coeficiente]]s reais fixos <math> a </math>, <math> b </math> e <math> c </math> tal que <math> a </math> e <math> b </math> não são ambos zero. Usando esta forma, as retas verticais correspondem às equações com <math> b = 0 </math>.

Existem muitas maneiras variantes de escrever a equação de uma reta que pode ser convertida de uma para outra por manipulação algébrica. Essas formas geralmente são nomeadas pelo tipo de informação (dados) sobre a reta necessária para anotar a forma. Alguns dos dados importantes de uma reta são sua inclinação, [[Raiz (matemática)|interceptação em x]], pontos conhecidos na reta e interceptação em <math> y </math>.

A equação da reta que passa por dois pontos diferentes <math>P_0( x_0, y_0 )</math> e <math>P_1(x_1, y_1)</math> pode ser escrita como<blockquote><math>(y - y_0)(x_1 - x_0) = (y_1 - y_0)(x - x_0)</math></blockquote>Se <math>x_0 \neq x_1</math>, esta equação pode ser reescrita como<blockquote><math>y=(x-x_0)\,\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+y_0</math></blockquote>ou<blockquote><math>y=x\,\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+\frac{x_1y_0-x_0y_1}{x_1-x_0}\,.</math></blockquote>Em [[Espaço tridimensional|três dimensões]], as retas ''não'' podem ser descritas por uma única equação linear; portanto, elas são frequentemente descritas por [[Equação paramétrica|equações paramétricas]]:<blockquote><math> x = x_0 + at </math>

<math> y = y_0 + bt </math>

<math> z = z_0 + ct </math></blockquote>onde:

: <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math> são todas funções da variável independente <math>t</math> que varia sobre os números reais.
: (<math>x_0</math>, <math>y_0</math>, <math>z_0</math>) é qualquer ponto da reta.
: <math>a</math>,'' <math>b</math>,'' <math>c</math> e estão relacionados com o declive da reta, de tal modo que o [[Vetor (matemática)|vetor]] (<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>) é paralelo à reta.

Eles também podem ser descritos como soluções simultâneas de duas [[Equação linear|equações lineares]]<blockquote><math> a_1x+b_1y+c_1z-d_1=0 </math>

<math> a_2x+b_2y+c_2z-d_2=0 </math></blockquote>de tal modo que <math> (a_1,b_1,c_1)</math> e <math> (a_2,b_2,c_2)</math> não são proporcionais (as relações <math> a_1=ta_2, b_1=tb_2, c_1=tc_2 </math> implicam <math>t = 0</math>) Isso ocorre porque em três dimensões uma única equação linear geralmente descreve um [[Plano (geometria)|plano]] e uma reta é o que é comum a dois planos de [[interseção]] distintos.

==== Na forma normal ====
A ''forma normal'' (também chamada de ''forma normal de Hesse'',<ref>{{Citation|título=Plane Analytic Geometry: With Introductory Chapters on the Differential Calculus|primeiro1 =Maxime|último =Bôcher|publicado=H. Holt|ano=1915|autorlink=Maxime Bôcher|página=44|url=https://books.google.com/books?id=bYkLAAAAYAAJ&pg=PA44|arquivourl=https://web.archive.org/web/20160513124511/https://books.google.com/books?id=bYkLAAAAYAAJ&pg=PA44|arquivodata=2016-05-13|idioma=en}}</ref> após o matemático alemão [[Otto Hesse|Ludwig Otto Hesse]]) é baseada no ''segmento [[Normal (geometria)|normal]]'' de uma determinada reta, que é definida como o segmento de reta desenhado a partir da [[Origem de coordenadas|origem]] perpendicular à reta. Esse segmento une a origem ao ponto mais próximo da reta até a origem. A forma normal da equação de uma linha reta no plano é dada por:<blockquote><math> y \sin \theta + x \cos \theta - p = 0 ,</math></blockquote>onde <math> \theta</math> é o ângulo de inclinação do segmento normal (o ângulo orientado do [[vetor unitário]] do eixo <math> x</math> para esse segmento) e <math> p</math> é o comprimento (positivo) do segmento normal. A forma normal pode ser derivada da forma geral <math>ax+by=c</math> dividindo todos os coeficientes por<blockquote><math>\frac{c}{|c|}\sqrt{a^2 + b^2}.</math></blockquote>Diferentemente das formas de interceptação, essa forma pode representar qualquer reta, mas também exige que apenas dois parâmetros finitos, <math> \theta</math> e <math> p</math>, sejam especificados. Se <math> p > 0</math>, então <math> \theta</math> é definido exclusivamente no módulo <math>2 \pi</math>.

=== Em coordenadas polares ===
Nas [[coordenadas polares]] no plano euclidiano, a forma intercepto-inclinação da equação de uma reta é expressa como:<blockquote><math>r=\frac{ar\cos\theta+b}{\sin\theta},</math></blockquote>onde <math> a</math> é a inclinação da reta e <math> b</math> é o intercepto em <math> y</math>. Quando <math> \theta = 0</math>, o gráfico será indefinido. A equação pode ser reescrita para eliminar descontinuidades desta maneira:<blockquote><math>r\sin\theta=ar\cos\theta+b.</math></blockquote>Nas coordenadas polares no plano euclidiano, a forma de interceptação da equação de uma reta que não é horizontal, não vertical e que não passa pelo polo pode ser expressa como<blockquote><math>r=\frac{1}{\frac{\cos\theta}{x_o}+\frac{\sin\theta}{y_o}}</math></blockquote>onde <math>x_o</math> e <math>y_o</math> representam as interceptações em <math>x</math> e <math>y</math>, respectivamente. A equação acima não é aplicável para retas verticais e horizontais, porque nesses casos uma das interceptações não existe. Além disso, não é aplicável em retas que passam pelo mastro, pois, neste caso, as intercepções <math>x</math> e <math>y</math> são zero (o que não é permitido aqui, pois <math>x_o</math> e <math>y_o</math> são denominadores). Uma reta vertical que não passa pelo polo é dada pela equação<blockquote><math>r\cos\theta=x_o.</math></blockquote>Da mesma forma, uma reta horizontal que não passa pelo polo é dada pela equação<blockquote><math>r\sin\theta=y_o.</math></blockquote>A equação de uma reta que passa através do polo é simplesmente dada como:<blockquote><math>\tan\theta=a</math></blockquote>onde <math>a</math> é a inclinação da reta.

=== Como uma equação vetorial ===
A equação vetorial da reta através dos pontos <math>A</math> e <math>B</math> é dada por <math>\mathbf{r} = \mathbf{OA} + \lambda\, \mathbf{AB}</math> (onde <math>\lambda</math> é [[Grandeza escalar|escalar]]).

Se '''<math>a</math>''' é o vetor '''<math>OA</math>''' e '''<math>b</math>''' é o vetor '''<math>OB</math>''', então a equação da reta pode ser escrita como: <math>\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda (\mathbf{b} - \mathbf{a})</math>.

Um raio começando no ponto <math>A</math> é descrito pela limitação de <math>\lambda</math>. Um raio é obtido se <math>\lambda\geq0</math>, e o raio oposto vem de <math>\lambda\leq0</math>.

=== No espaço euclidiano ===
No [[espaço tridimensional]], uma [[Equação linear|equação de primeiro grau]] nas variáveis <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math> define um plano; portanto, duas dessas equações, desde que os planos que eles originam não sejam paralelos, definem uma reta que é a interseção dos planos. De maneira mais geral, no espaço <math>n</math>-dimensional <math>n-1</math>, as equações de primeiro grau nas variáveis de [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas]] <math>n</math> definem uma reta sob condições adequadas.

De um modo mais geral [[espaço euclidiano]], <math>\R^n</math> (e, analogamente, em todos os outros [[espaço afim]]), a reta <math>L</math> passando através de dois pontos diferentes <math>A</math> e <math>B</math> (considerado como vetores) é o subconjunto<blockquote><math>L = \{(1-t)\,a+t\,b\mid t\in\mathbb{R}\}</math></blockquote>A direção da reta é de <math>a</math> <math>(t=0)</math> para <math>b</math> <math>(t=1)</math>, ou seja, na direção do vetor <math>b-a</math>. Diferentes escolhas de <math>a</math> e <math>b</math> podem produzir a mesma reta.

==== Pontos colineares ====
Três pontos são ''colineares'' se estiverem na mesma reta. Três pontos ''[[ Posição geral|geralmente]]'' determinam um [[Plano (geometria)|plano]], mas no caso de três pontos colineares isso ''não'' acontece.

Em [[Espaço afim|coordenadas afins]], no espaço <math>n</math>-dimensional os pontos <math>X=(x_1,x_2,...,x_n)</math>, <math>Y=(y_1,y_2,...,y_n)</math>, e <math>Z=(z_1,z_2,...,z_n)</math> são colineares se a [[Matriz (matemática)|matriz]]{{Quote|<math>\begin{bmatrix}
 1 & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
 1 & y_1 & y_2 & \dots & y_n \\
 1 & z_1 & z_2 & \dots & z_n
\end{bmatrix}
</math>}}tiver uma [[Posto matricial|classificação]] inferior a 3. Em particular, para três pontos no plano <math>(n=2)</math>, a matriz acima é quadrada e os pontos são colineares se e somente se seu [[determinante]] for zero.

Equivalentemente para três pontos em um plano, os pontos são colineares se e somente se a inclinação entre um par de pontos for igual à inclinação entre qualquer outro par de pontos (nesse caso, a inclinação entre o par de pontos restante será igual às outras inclinações). Por extensão, <math>k</math> pontos em um plano são colineares se e somente se algum <math>(k-1)</math> pares de pontos tiverem as mesmas inclinações em pares.

Na [[geometria euclidiana]], a [[Distância euclidiana|distância Euclidiana]] <math>d</math> <math>(a, b)</math> entre dois pontos <math>a</math> e <math>b</math> podem ser usadas para expressar a colinearidade entre três pontos por:<ref>[[Alessandro Padoa]], Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne, [[International Congress of Mathematicians]], 1900</ref><ref>[[Bertrand Russell]], [[The Principles of Mathematics]], p. 410</ref><blockquote>Os pontos <math>a</math>,'' <math>b</math> e <math>c</math> são colineares se e somente se <math>d</math> <math>(x, a)=d</math> <math>(c, a)</math> e <math>d</math> <math>(x, b)=d</math> <math>(c, b)</math> implica <math>x=c</math>.''</blockquote>No entanto, existem outras noções de distância (como a [[Geometria do táxi|distância de Manhattan]]) para as quais essa propriedade não é verdadeira.

Nas geometrias em que o conceito de uma reta é uma [[noção primitiva]], como pode ser o caso em algumas [[Geometria sintética|geometrias sintéticas]], são necessários outros métodos para determinar a colinearidade.

=== Tipos de retas ===
De certo modo,{{Efn|Tecnicamente, o [[grupo de colineação]] atua [[ação transitiva|transitivamente]] no conjunto de retas.}} todas as retas da geometria euclidiana são iguais, pois, sem coordenadas, não se pode diferenciá-las uma da outra. No entanto, as retas podem desempenhar papéis especiais em relação a outros objetos na geometria e ser divididas em tipos de acordo com esse relacionamento. Por exemplo, em relação a uma [[cônica]] (uma [[circunferência]], [[elipse]], [[parábola]] ou [[hipérbole]]), as retas podem ser:

* [[Tangente (geometria)|tangentes]], que tocam a cônica em um único ponto;
* [[Reta secante|secantes]], que cruzam a cônica em dois pontos e passam por seu interior;
* externas, que não encontram a cônica em nenhum ponto do plano euclidiano; ou
* uma [[Cónica|diretriz]], cuja distância de um ponto ajuda a estabelecer se o ponto está na cônica.

No contexto da determinação do [[paralelismo]] na geometria euclidiana, uma [[Transversal (geometria)|transversal]] é uma reta que cruza duas outras retas que podem ou não ser paralelas uma à outra.

Para [[Curva algébrica|curvas algébricas]] mais gerais, as retas também podem ser:

* linhas <math>i</math>-secantes, atendendo à curva em <math>i</math> pontos contados sem multiplicidade, ou
* [[Assintota|assíntotas]], às quais uma curva se aproxima arbitrariamente de perto, sem tocá-la.

Com relação aos [[triângulo]]s, temos:

* a [[reta de Euler]],
* as [[Reta de Simson|retas de Simson]] e
* [[Reta central (geometria)|retas centrais]].

Para um [[quadrilátero]] [[Polígono convexo|convexo]] com no máximo dois lados paralelos, a [[reta de Newton]] é a linha que conecta os pontos médios das duas [[Diagonais de um polígono|diagonais]].

Para um [[hexágono]] com vértices sobre uma cônica, temos a [[Teorema de Pascal|reta de Pascal]] e, no caso especial em que a cônica é um par de linhas, temos a [[Teorema de Papo|reta de Pappus]].

[[Paralelismo|Retas paralelas]] são linhas no mesmo plano que nunca se cruzam. As [[Interseção reta-reta|retas de interseção]] compartilham um único ponto em comum. Retas coincidentes coincidem entre si — cada ponto que está em um deles também está no outro.

[[Perpendicularidade|Retas perpendiculares]] são linhas que se cruzam em [[Ângulo reto|ângulos retos]].

No [[espaço tridimensional]], [[Retas reversas|retas inclinadas]] são linhas que não estão no mesmo plano e, portanto, não se cruzam.

== Na geometria projetiva ==
Em muitos modelos de [[geometria projetiva]], a representação de uma reta raramente se ajusta à noção de "curva reta", como é visualizada na geometria euclidiana. Na [[geometria elíptica]], vemos um exemplo típico disso.{{sfn|Faber|1983|loc=Part III|p=108}} Na representação esférica da geometria elíptica, as retas são representadas por [[Círculo máximo|círculos máximos]] de uma esfera com pontos diametralmente opostos identificados. Em um modelo diferente de geometria elíptica, as retas são representadas por [[Plano (geometria)|planos]] euclidianos que passam pela origem. Embora essas representações sejam visualmente distintas, elas satisfazem todas as propriedades (como dois pontos que determinam uma reta única) que as tornam representações adequadas para as retas nessa geometria.

== Extensões ==
=== Semirreta ===
Dada uma reta e qualquer ponto <math>A</math> nela, podemos considerar <math>A</math> como decompondo essa reta em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada de '''semirreta''' e o ponto <math>A</math> é chamado de ''ponto inicial''. O ponto <math>A</math> é considerado como parte da semirreta.{{Efn|Ocasionalmente, podemos considerar uma semirreta sem seu ponto inicial. Tais semirretas são chamados de semirretas ''abertas'', em contraste com a semirreta usual que se diz estar ''fechado''.}} Intuitivamente, uma semirreta consiste nos pontos de uma reta que passa por <math>A</math> e prossegue indefinidamente, começando em <math>A</math>, em uma direção apenas ao longo da reta. No entanto, para usar esse conceito de semirreta nas provas, é necessária uma definição mais precisa.

Dados os pontos <math>A</math> e <math>B</math> distintos, eles determinam uma semirreta único com o ponto inicial <math>A</math>. Como dois pontos definem uma reta única, essa semirreta consiste em todos os pontos entre <math>A</math> e <math>B</math> (incluindo <math>A</math> e <math>B</math>) e todos os pontos <math>C</math> na reta através de <math>A</math> e <math>B</math>, de'' modo que <math>B</math> esteja entre <math>A</math> e <math>C</math>.''<ref>{{Harvnb|Wylie, Jr.|1964|loc=p. 59, Definition 3}}</ref> Às vezes, isso também é expresso como o conjunto de todos os pontos <math>C</math>, de modo que <math>A</math> não esteja entre <math>B</math> e <math>C</math>.''<ref>{{Harvnb|Pedoe|1988|loc=p. 2}}</ref> Um ponto <math>D</math>, na reta determinada por <math>A</math> e <math>B</math>,'' mas não na semirreta com o ponto inicial <math>A</math> determinado por <math>B</math>, determinará outra semirreta com o ponto inicial <math>A</math>. Com relação à semirreta <math>AB</math>, a semirreta <math>AD</math> é chamado de ''semirreta oposta''.
[[Imagem:Ray_(A,_B,_C).svg|centro|500x500px]]
Assim, diríamos que dois pontos diferentes, <math>A</math> e <math>B</math>, definem uma reta e uma decomposição dessa reta na [[união disjunta]] de um segmento aberto (<math>A</math>, <math>B</math>) e duas semirretas, <math>BC</math> e <math>AD</math> (o ponto <math>D</math> não é desenhado no diagrama, mas está à esquerda de <math>A</math> na reta <math>AB</math>). Estes não são semirretas opostas, pois têm pontos iniciais diferentes.

Na geometria euclidiana, duas semirretas com um ponto final comum formam um [[ângulo]].

A definição de uma semirreta depende da noção de intermediação para pontos em uma reta. Segue-se que as semirretas existem apenas para geometrias para as quais essa noção existe, tipicamente [[geometria euclidiana]] ou [[geometria afim]] sobre um [[Corpo ordenado]]. Por outro lado, as semirretas não existem na [[geometria projetiva]] nem em uma geometria sobre um corpo não ordenado, como [[Número complexo|números complexos]] ou qualquer [[Corpo finito]].

Na [[Topologia (matemática)|topologia]], uma semirreta no espaço <math>X</math> é uma incorporação contínua de <math>\R^+\rightarrow X</math>. É usado para definir o importante conceito de [[Fim (topologia)|fim]] do espaço.

=== Segmento de reta ===
Um segmento de reta é uma parte de uma reta que é delimitada por dois pontos finais distintos e contém todos os pontos na reta entre seus pontos finais. Dependendo de como o segmento de reta é definido, um dos dois pontos finais pode ou não fazer parte do segmento de reta. Dois ou mais segmentos de reta podem ter algumas das mesmas relações que as retas, como paralelas, cruzadas ou inclinadas, mas, diferentemente das linhas, elas podem não ser uma delas, se são [[Coplanaridade|coplanares]] e não se cruzam ou são [[colinearidade|colineares]].

=== Geodésica ===
A "falta" e a "retidão" de uma reta, interpretadas como a propriedade de que a [[distância]] ao longo da reta entre dois de seus pontos é minimizada (ver [[desigualdade triangular]]), pode ser generalizada e leva ao conceito de [[geodésica]] em [[Espaço métrico|espaços métricos]].

{{Notas}}
{{Referências}}

== Bibliografia ==
* {{Citation|último =Coxeter|primeiro1 =H.S.M|título=Introduction to Geometry|edição=2nd|publicado=John Wiley & Sons|ano=1969|local=Nova Iorque|isbn=0-471-18283-4|url=https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe}}
* {{Citation|título=Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry|último =Faber|primeiro1 =Richard L.|ano=1983|publicado=Marcel Dekker|local=Nova Iorque|isbn=0-8247-1748-1}}
* {{Citation|último =Pedoe|primeiro1 =Dan|título=Geometry: A Comprehensive Course|ano=1988|publicado=Dover|local=Mineola, NY|isbn=0-486-65812-0}}
* {{Citation|último =Wylie, Jr.|primeiro1 =C.R.|título=Foundations of Geometry|publicado=McGraw-Hill|local=Nova Iorque|ano=1964|isbn=0-07-072191-2}}

== Ligações externas ==
* {{springer|title=Line (curve)|id=p/l059020}}
* {{MathWorld|urlname=Line|title=Line}}
* {{Link|en|2=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml |3=Equações da reta |4=em [[Cut-the-Knot]]}}

{{Portal3|Matemática|Geometria}}
{{Controle de autoridade}}

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[[Categoria:Conceitos matemáticos]]