Mostrar código-fonte de Reta real estendida projetivamente

[[Ficheiro:Real projective line.svg|direita|miniaturadaimagem|
A reta real estendida projetivamente pode ser visualizada como a reta numérica real enrolada em torno de um círculo (por alguma forma de [[projeção estereográfica]]) com um ponto no infinito.]]
Na [[análise real]], a '''reta real estendida projetivamente''' (também chamada de compactificação com um ponto da [[reta real]]), é a extensão da [[reta numérica]] por um ponto indicado {{Math|∞}}. É, portanto, o conjunto <math>\mathbb{R}\cup\{\infty\}</math> (em que <math>\mathbb{R}</math> é o conjunto dos [[Número real|números reais]]) com as operações aritméticas usuais estendidas estendido sempre que possível, e às vezes denotado por <math>\widehat{\mathbb{R}}.</math> O ponto adicionado é chamado de [[Ponto impróprio|ponto no infinito]], porque ele é considerado como um vizinho de ambas as extremidades da reta real. Mais precisamente, o ponto no infinito é o [[limite]] de toda sequência de números reais cujos valores absolutos são crescentes e ilimitados.

A reta real estendida projetivamente pode ser identificada com a reta projetiva sobre os reais em que foram atribuídos valores específicos três pontos (e.g. {{Math|0}}, {{Math|1}} e {{Math|∞}}). A reta real estendida projetivamente não deve ser confundida com a reta numérica real estendida, em que {{Math|+∞}} e {{Math|−∞}} são distintos.

== Divisão por zero ==
Ao contrário da maioria dos modelos matemáticos do conceito intuitivo de "número", esta estrutura permite a [[divisão por zero]]:

<math display="block">\frac{a}{0} = \infty</math>

para ''a'' diferente de zero. Em particular {{Math|1/0 {{=}} ∞}}, e, além disso, {{Math|1/∞ {{=}} 0}}, fazendo da [[Inverso multiplicativo|recíproca]], {{Math|1/''x''}}, uma [[Função parcial|função total]] nesta estrutura. A estrutura, no entanto, não é um [[Corpo (matemática)|corpo]], e nenhuma das operações aritméticas binárias são totais, como pode ser comprovado por exemplo, observando que {{Math|0⋅∞}} é indefinido, apesar da função recíproca ser total. No entanto, ela tem interpretações utilizáveis – por exemplo, em geometria, uma reta vertical tem [[Declive|inclinação]] ''infinita''.

== Extensões da reta real ==
A reta real estendida projetivamente estende o [[Corpo (matemática)|corpo]] dos [[Número real|números reais]] , da mesma forma que a [[esfera de Riemann]] estende o corpo dos [[Número complexo|números complexos]], pela adição de um único ponto chamado convencionalmente de <math>\infty.</math> 

Em contraste, a [[reta numérica real estendida]] (também chamada [[compactificação]] de dois pontos da reta real) distingue entre <math>+\infty</math> e <math>-\infty.</math>

== Ordem ==
A [[relação de ordem]] não pode ser estendida para <math>\widehat{\mathbb{R}}</math> de uma forma significativa. Dado um número <math>a \ne \infty,</math> não há argumentos convincentes para definir que <math>a > \infty</math> nem que <math>a < \infty.</math> Como <math>\infty</math> não pode ser comparado com nenhum dos outros elementos, não faz sentido manter esta relação em <math>\widehat{\mathbb{R}}.</math> . No entanto, a ordem em <math>\mathbb{R}</math> é usada em definições de <math>\widehat{\mathbb{R}}.</math> 

== Geometria ==
Fundamental para a ideia de que &#x221E; é um ponto ''como qualquer outro'' é a forma como a reta real projetiva é um espaço homogêneo, de fato [[Homeomorfismo|homeomorfo]] a um [[Circunferência|círculo]]. Por exemplo, o [[grupo linear geral]] das matrizes 2×2 [[Elemento inverso|invertíveis]] tem uma [[Ação (matemática)|ação transitiva]] sobre ele. A [[Ação (matemática)|ação de grupo]] pode ser expressa através de [[Transformação de Möbius|transformações de Möbius]], (também chamadas de transformações fracionárias lineares), com o entendimento de que quando o denominador da transformação fracionária linear é 0, a imagem é &#x221E;.

A análise detalhada da ação mostra que, para quaisquer três pontos distintos ''P'', ''Q'' e ''R'', existe uma transformação fracionária linear levando ''P'' a 0, ''Q'' a 1, e ''R'' a &#x221E;, isto é, o grupo das transformações fracionárias lineares é triplamente [[Ação (matemática)|transitivo]] sobre a reta real projetiva. Isso não pode ser estendido para quádruplas, pois a [[Razão anarmônica|razão cruzada]] é invariante.

A terminologia reta projetiva é apropriada, pois os pontos estão em uma correspondência biunívoca com os [[Subespaço vetorial|subespaços vetoriais]] unidimensionais de <math>\mathbb{R}^2.</math> 

== Operações aritméticas ==

=== Motivação para operações aritméticas ===
As operações aritméticas neste espaço são uma extensão das mesmas operações sobre os reais. Uma motivação para as novas definições vem dos limites de funções de uma variável real.

=== Operações aritméticas que são definidas ===
Além das operações usuais do subconjunto <math>\mathbb{R}</math> de <math>\widehat{\mathbb{R}},</math> as seguintes operações são definidas para <math>a \in \widehat{\mathbb{R}},</math> com as exceções indicadas:

<math display="block">
\begin{align}
a + \infty = \infty + a & = \infty, & a \neq \infty \\
a - \infty = \infty - a & = \infty, & a \neq \infty \\
a / \infty = a \cdot 0 = 0 \cdot a & = 0, & a \neq \infty \\
\infty / a & = \infty, & a \neq \infty \\
a / 0 = a \cdot \infty = \infty \cdot a & = \infty, & a \neq 0 \\
0 / a & = 0, & a \neq 0
\end{align}
</math>


=== Operações aritméticas que permanecem indefinidas ===
As expressões a seguir não podem ser motivadas pela consideração de limites de funções reais, e nenhuma definição das mesmas permite que a formulação das propriedades algébricas usuais seja mantida inalterada em sua forma para todos os casos definidos.{{Efn|No entanto, existe uma extensão em que todas as operações algébricas, quando restritas às operações definidas em <math>\widehat{\mathbb{R}},</math> recaem nas regras usuais: ver [[:en:Wheel theory]].}} Consequentemente, eles são mantidos indefinidos:

<math display="block">
\begin{align}
& \infty - \infty \\
& \infty \cdot 0 \\
& 0 \cdot \infty \\
& \infty / \infty \\
& 0 / 0
\end{align}
</math>

== Propriedades algébricas ==
As seguintes igualdades significam: ''ou ambos os lados são indefinidos, ou ambos os lados são definidos e iguais. '' Isso é verdadeiro para quaisquer <math>a, b, c \in \widehat{\mathbb{R}}.</math> 

<math display="block">
\begin{align}
(a + b) + c & = a + (b + c) \\
a + b & = b + a \\
(a \cdot b) \cdot c & = a \cdot (b \cdot c) \\
a \cdot b & = b \cdot a \\
a \cdot \infty & = \frac{a}{0} \\
\end{align}
</math>

As seguintes propriedades são verdadeiras sempre que o lado direito estiver definido, para quaisquer <math>a, b, c \in \widehat{\mathbb{R}}.</math> 

<math display="block">
\begin{align}
a \cdot (b + c) & = a \cdot b + a \cdot c \\
a & = (\frac{a}{b}) \cdot b & = \,\,& \frac{(a \cdot b)}{b} \\
a & = (a + b) - b & = \,\,& (a - b) + b
\end{align}
</math>

Em geral, todas as leis da aritmética que são válidas para <math>\mathbb{R}</math> também são válidas para <math>\widehat{\mathbb{R}}</math> sempre que todas as expressões presentes estiverem definidas.

== Intervalos e topologia ==
O conceito de [[Intervalo (matemática)|intervalo]] pode ser estendido para <math>\widehat{\mathbb{R}}.</math> No entanto, como ele não é um conjunto ordenado, o intervalo tem um significado um pouco diferente. As definições para  os intervalos fechados são as seguintes (presume-se que 
<math>a, b \in \mathbb{R}, a < b</math>):

<math display="block">
\begin{align}
\left[a, b\right] & = \lbrace x \mid x \in \mathbb{R}, a \leq x \leq b \rbrace  \\
\left[a, \infty\right] & = \lbrace x \mid x \in \mathbb{R}, a \leq x \rbrace  \cup \lbrace \infty \rbrace  \\
\left[b, a\right] & = \lbrace x \mid x \in \mathbb{R}, b \leq x \rbrace  \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x \mid x \in \mathbb{R}, x \leq a \rbrace  \\
\left[\infty, a\right] & = \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x \mid x \in \mathbb{R}, x \leq a \rbrace  \\
\left[a, a\right] & = \{ a \}  \\
\left[\infty, \infty\right] & = \lbrace \infty \rbrace 
\end{align}
</math>

Com a exceção de quando os pontos são iguais, os intervalos abertos e semiabertos correspondentes são definidos removendo as respectivas extremidades.

<math>\widehat{\mathbb{R}}</math> quanto o [[conjunto vazio]] são intervalos, e o mesmo se aplica a qualquer conjunto formado pela exclusão de um único ponto de <math>\widehat{\mathbb{R}}.</math> {{Efn|Se é requerida a consistência do complemento, de modo que <math>[a,b]^\complement = (b,a)</math> e <math>(a,b]^\complement = (b,a]</math> para quaisquer <math>a, b \in \widehat{\mathbb{R}}</math> (em que o intervalo em qualquer lado está definido), todos os intervalos com exceção de <math>\varnothing</math> e <math>\widehat{\mathbb{R}}</math> podem ser representados naturalmente usando esta notação, com <math>(a,a)</math> sendo interpretado como <math>\widehat{\mathbb{R}}\setminus \{ a \},</math> e os intervalos semiabertos com extremidades iguais, como <math>(a,a],</math> permanecendo indefinidos.}}

O uso dos intervalos abertos como [[Base (topologia)|base]] define uma [[Espaço topológico|topologia]] em <math>\widehat{\mathbb{R}}.</math> Para obter uma base é suficiente considerar os intervalos abertos em <math>\mathbb{R},</math> de comprimento finito, e os intervalos<math>(b, a) = \{x \mid x \in \mathbb{R}, b < x\} \cup \{\infty\} \cup \{x \mid x \in \mathbb{R}, x < a\}</math> para quaisquer <math>a, b \in \mathbb{R}</math> tais que <math>a < b.</math> 

Como foi dito, a topologia é [[Homeomorfismo|homeomorfa]] a um [[Circunferência|círculo]]. Assim, ele é metrizável correspondente (para um dado homeomorfismo) à métrica ordinária neste círculo (seja ela a medição em linha reta ou ao longo do círculo). Não há nenhuma métrica que seja uma extensão da métrica ordinária sobre <math>\mathbb{R}.</math> 

== Aritmética de intervalos ==
A aritmética de intervalos estende-se a <math>\widehat{\mathbb{R}}</math> a partir de <math>\mathbb{R}.</math> O resultado de uma operação aritmética nos intervalos é sempre um intervalo, exceto quando os intervalos com uma [[operação binária]] contêm valores incompatíveis, levando a um resultado indefinido.{{Efn|Por exemplo, a razão dos intervalos <math>[0,1]/[0,1]</math> contém <math>0</math> em ambos os intervalos, e como <math>0/0</math> é indefinido, o resultado da divisão destes intervalos é indefinido.}} Em particular, tem-se, para cada <math>a, b \in \widehat{\mathbb{R}}:</math> 

<math display="block">x \in [a, b] \iff \frac{1}{x} \in \left[ \frac{1}{b}, \frac{1}{a} \right] ,</math>

independentemente de qualquer dos intervalos incluir ou não <math>0</math> e <math>\infty.</math> 

== Cálculo ==
As ferramentas de [[cálculo]] podem ser usadas para analisar funções de <math>\widehat{\mathbb{R}}.</math> As definições são motivadas pela topologia deste espaço.

=== Vizinhanças ===
Sejam <math>x \in \widehat{\mathbb{R}}, A \subseteq \widehat{\mathbb{R}}.</math> 

* ''A'' é uma [[Vizinhança (matemática)|vizinhança]] de ''x'' [[Se e somente se|se, e somente se,]] ''A'' contém um intervalo aberto ''B'' e <math>x \in B.</math> 
* ''A'' é uma vizinhança à direita de x se, e somente se, existe <math>y \in \widehat{\mathbb{R}}\setminus \{x\}</math> de tal forma que ''A'' contém <math>[x, y).</math> 
* ''A'' é uma vizinhança à esquerda de x se, e somente se, existe <math>y \in \widehat{\mathbb{R}}\setminus \{x\}</math> de tal forma que ''A'' contém <math>(y, x].</math> 
* ''A'' é uma [[Vizinhança (matemática)|vizinhança perfurada]] (à direita, à esquerda) de ''x'' se, e somente se, existe <math>B \subseteq \widehat{\mathbb{R}}</math> tal que ''B'' é uma vizinhança (à direita, à esquerda) de x, e <math>A = B \setminus \{x\}.</math> 

=== Limites ===

==== Definições básicas de limites ====
Sejam <math>f : \widehat{\mathbb{R}} \to \widehat{\mathbb{R}}, p \in \widehat{\mathbb{R}}, L \in \widehat{\mathbb{R}}.</math> 

O [[Limite de uma função|limite]] de ''f(x)'' quando ''x'' tende a ''p'' é ''L'', denotado por

<math display="block">\lim_{x \to p}{f(x)} = L</math>

se, e somente se, para cada vizinhança ''A'' de ''L'', existe uma vizinhança perfurada ''B'' de ''p'', tal que <math>x \in B</math> implica <math>f(x) \in A.</math> 

O limite lateral de ''f(x)'' quando ''x'' tende a ''p'' pela direita (esquerda) é ''L'', denotado por

<math display="block">\lim_{x \to p^{+}}{f(x)} = L</math> &nbsp;&nbsp; <math>\left (\lim_{x \to p^{-}}{f(x)} = L\right )</math>

se, e somente se, para cada vizinhança ''A'' de ''L'', existe uma vizinhança perfurada à direita (à esquerda) ''B'' de ''p'', tal que <math>x \in B</math> implica <math>f(x) \in A.</math> 

Pode ser mostrado que <math>\lim_{x \to p}{f(x)} = L</math> se, e somente se, <math>\lim_{x \to p^{+}}{f(x)} = L</math> e <math>\lim_{x \to p^{-}}{f(x)} = L.</math> 

==== Comparação com os limites em <math>\mathbb{R}</math> ====
As definições dadas acima podem ser comparadas com as definições usuais de limites de funções reais. Nas afirmações a seguir, <math>p, L \in \mathbb{R},</math> o primeiro limite é como definido acima, e o segundo limite é no sentido habitual:

* <math>\lim_{x \to p}{f(x)} = L</math> é equivalente a <math>\lim_{x \to p}{f(x)} = L.</math> 
* <math>\lim_{x \to \infty^{+}}{f(x)} = L</math> é equivalente a<math>\lim_{x \to -\infty}{f(x)} = L.</math> 
* <math>\lim_{x \to \infty^{-}}{f(x)} = L</math> é equivalente a<math>\lim_{x \to +\infty}{f(x)} = L.</math> 
* <math>\lim_{x \to p}{f(x)} = \infty</math> é equivalente a <math>\lim_{x \to p}{|f(x)|} = +\infty.</math> 
* <math>\lim_{x \to \infty^{+}}{f(x)} = \infty</math> é equivalente a <math>\lim_{x \to -\infty}{|f(x)|} = +\infty.</math> 
* <math>\lim_{x \to \infty^{-}}{f(x)} = \infty</math> é equivalente a <math>\lim_{x \to +\infty}{|f(x)|} = +\infty.</math> 

==== Definição estendida de limites ====
Seja <math>A \subseteq \widehat{\mathbb{R}}.</math> Então ''p'' é um [[Ponto limite|ponto-limite]] de ''A'' se, e somente se, toda vizinhança de ''p'' inclui um ponto <math>y \in A</math> tal que <math>y \neq p.</math> 

Sejam <math>f : \widehat{\mathbb{R}} \to \widehat{\mathbb{R}}, A \subseteq \widehat{\mathbb{R}}, L \in \widehat{\mathbb{R}}, p \in \widehat{\mathbb{R}},</math> ''p'' um ponto-limite de ''A''. O limite de ''f(x)'' quando ''x'' tende a ''p'' por ''A'' é ''L'', se, e somente se, para cada vizinhança ''B'' de ''L'', existe uma vizinhança perfurada ''C'' de ''p'', tal que <math>x \in A \cap C</math> implica <math>f(x) \in B.</math> 

Isso corresponde à definição topológica usual de continuidade, aplicada à [[Subespaço topológico|topologia de subespaço]] em <math>A\cup \lbrace p \rbrace,</math> e a restrição de ''f'' a <math>A\cup \lbrace p \rbrace.</math> 

=== Continuidade ===
Sejam

<math display="block">f : \widehat{\mathbb{R}} \to \widehat{\mathbb{R}},\quad p \in \widehat{\mathbb{R}}.</math>

A função ''f'' é [[Função contínua|contínua]] em ''p'' se, e somente se, ''f'' é definida em ''p'' e:

<math display="block">\lim_{x \to p}{f(x)} = f(p).</math>

Seja

<math display="block">f : \widehat{\mathbb{R}} \to \widehat{\mathbb{R}},\quad A \subseteq \widehat{\mathbb{R}}.</math>

A função ''f'' é contínua em ''A'' se, e somente se, para cada <math>p \in A,</math> ''f'' é definida em ''p'' e o limite de ''f''(''x'') quando ''x'' tende a ''p'' por ''A'' é ''f''(''p'').

Uma característica interessante é que toda [[função racional]] ''P''(''x'')/''Q''(''x''), em que ''P''(''x'') e ''Q''(não possuem fatores comuns, é contínua em <math>\widehat{\mathbb{R}}.</math> Além disso, se tan é estendida, de forma que

<math display="block">\tan\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) = \infty\text{ for }n \in \mathbb{Z},</math>

então, tan é contínua em <math>\mathbb{R}.</math> No entanto, muitas [[Função elementar|funções elementares]], tais como as funções [[Função trigonométrica|trigonométricas]] e [[Função exponencial|exponenciais]], são descontínuas no <math>\infty.</math> Por exemplo, o seno é contínuo em <math>\mathbb{R}</math> mas descontínuo, em <math>\infty.</math> 

Assim, 1/''x'' é contínua em <math>\widehat{\mathbb{R}}</math> mas não na reta numérica real estendida <math>\overline{\mathbb{R}}.</math> Por outro lado, a função arctan pode ser estendida continuamente em <math>\overline{\mathbb{R}},</math> mas não em <math>\widehat{\mathbb{R}}.</math> 

== Como uma variedade projetiva ==
Quando a reta real projetiva é considerada no contexto do plano projetivo real, então as consequências do [[Teorema de Desargues]] são implícitas. Em particular, a construção da relação de [[conjugado harmônico projetivo]] entre os pontos é parte da estrutura da reta projetiva real projetiva. Por exemplo, dado qualquer par de pontos, o [[Ponto impróprio|ponto no infinito]] é o conjugado harmônico projetivo de seu [[ponto médio]].

Como as projetividades preservam a relação harmônica, elas formam os [[Automorfismo|automorfismos]] da reta projetiva real. As projetividades são descritas algebricamente como homografias, uma vez que os [[Número real|números reais]] formam um [[Anel (matemática)|anel]], de acordo com a construção geral de uma reta projetiva sobre um anel. Coletivamente, elas formam o grupo PGL(2,R).

As projetividades que são suas próprias inversas são chamadas de [[Involução (matemática)|involuções]]. Uma '''involução hiperbólica''' tem dois [[Ponto fixo|pontos fixos]]. Dois destes correspondem às operações aritméticas elementares sobre a reta projetiva real: a negação e os [[Inverso multiplicativo|recíprocos]]. De fato, 0 e ∞ são fixados pela negação, enquanto que 1 e &#x2212;1 são fixados pelos recíprocos.

== Notas ==
{{notelist}}

== Ver também ==

* [[Plano projetivo complexo]]
* [[Ponto impróprio|Ponto no infinito]]

== Ligações externas ==

* [http://mathworld.wolfram.com/ProjectivelyExtendedRealNumbers.html Números Reais Estendidos Projetivamente -- A Partir de Mathworld]
[[Categoria:Infinito]]
[[Categoria:Geometria projetiva]]
[[Categoria:Análise real]]
[[Categoria:Espaços topológicos]]