Mostrar código-fonte de Série temporal

[[Ficheiro:Series-Temporal-Aleatoria-Sazonal.png|thumb|250px|Séries temporal, aleatória e sazonal]]

Em [[estatística]], [[econometria]], [[matemática aplicada]] e [[processamento de sinais]], uma '''série temporal''' é uma coleção de observações feitas sequencialmente ao longo do tempo. Em modelos de [[regressão linear]] com [[dados cross-section]] a ordem das observações é irrelevante para a análise, em séries temporais a ordem dos dados é fundamental. Uma característica muito importante deste tipo de dados é que as observações vizinhas são dependentes e o interesse é analisar e modelar essa dependência.

As séries temporais existem nas mais variadas áreas de aplicação, como: [[finanças]], [[marketing]], [[economia]], seguros, [[demografia]], [[ciências sociais]], [[meteorologia]], [[energia]], epidemiologia, etc.

==Definição formal==
{{AP|variável}}
Uma série temporal é uma sequência de realizações (observações) de uma [[variável]] ao longo do tempo<ref name="wool">WOOLDRIDGE, Jeffrey M. '''Introductory Econometrics: a Modern Approach'''. 2000, South-Western College Publishing, a division of Thomson Learning. ISBN 0-538-85013-2. Capítulo 1, Página 8</ref>. Dito de outra forma, é uma [[sequência]] de pontos (dados numéricos) em ordem sucessiva, geralmente ocorrendo em intervalos uniformes. Portanto, uma série temporal é uma [[sequência]] de [[número]]s coletados em intervalos regulares durante um período de [[tempo]].

{| class="wikitable"
|-
! São séries temporais !! NÃO são séries temporais
|-
| width="50%"| Uma série que mostra a [[temperatura]] '''diária''' de uma [[cidade]] ao longo do ano. || Um [[conjunto]] de dados sobre a [[temperatura]] de várias [[cidade]]s, com dados recolhidos no mesmo dia ou em períodos diferentes.
|-
| Número de homicídios '''anuais''' num país<ref name=wool />:<math>H= \left \{ 191, 100, 156, 134, 201, 98 \right\}</math> || Número de homicídios de um certo país em determinado ano, '''em diferentes regiões'''.
|-
| O salário mensal de um determinado indivíduo ao longo do ano. || Os salário dos habitantes de uma cidade '''em janeiro de 2011'''.
|}

===Em Economia===
Em economia, desde o trabalho de [[Trygve Haavelmo]], têm-se interpretado séries temporais como realizações de processos estocásticos (aleatórios). Esta abordagem permite que o construtor do [[modelo econômico]] use a [[inferência estatística]] para construir e testar equações que caracterizam as relações entre variáveis econômicas<ref>ROYAL SWEDISH ACADEMY OF SCIENCES. '''Time-series Econometrics: Cointegration and Autoregressive Conditional Heteroskedasticity'''. Disponível em: <http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/HoldingPen/NobelPrizeInfo.pdf>. Acesso em; 18 de setembro de 2011.</ref>. Note-se que esta definição pressupõe que a série temporal contenha um componente estocástico, o que é verdade na vasta maioria dos casos práticos.

São exemplos de séries temporais utilizadas em economia:
*Preço, minuto a minuto, da ação de certa empresa na bolsa de valores<ref name=wool />:
:<math>P= \left \{ 8, 5, 5, 4, 6, 5 \right\}</math>
*Vendas mensais de carros<ref name=wool />:
:<math>V= \left \{ 8000, 7600, 4002, 6632 \right\}</math>

==Convenções utilizadas para representar uma série temporal==
Uma série temporal é geralmente representada por uma [[letra]]. A [[variável]] representada assume diferentes valores em diferentes momentos do tempo, e por isso utiliza-se um subscrito junto à [[letra]] para denotar o período a que o valor específico (realização) se refere. Por exemplo, se a [[variável]] "PIB anual do Brasil" for representada pela letra y, podemos denotar por y<sub>0</sub> o PIB do primeiro período. O dado do período seguinte seria, neste mesmo caso, y<sub>1</sub>.

Teríamos, portanto, neste exemplo:

{| class="wikitable"
|-
! Período em análise !! Representação deste ano na série temporal !! Representação do valor assumido pela variável y em cada período !! Valor efetivamente assumido pela [[variável]] y em cada período ([[PIB]] do [[Brasil]] no ano)
|-
| 2004 || <math>2004={\color{Blue}0}</math> (ano inicial) || <math>y_{\color{Blue}0}</math> || <math>y_{\color{Blue}0}=1.941.498 \cdot 10^3</math> [[real brasileiro|reais]]<ref name=IBGE>IBGE. '''Componentes do Produto Interno Bruto sob as três óticas - 2004-2008'''. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/economia/contasnacionais/2008/tabelas_pdf/tab04.pdf {{Wayback|url=http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/economia/contasnacionais/2008/tabelas_pdf/tab04.pdf |date=20120627202944 }}>. Acesso em: 17 de setembro de 2011.</ref> = [[PIB]] anual de [[2004]].
|-
| 2005 || <math>2005={\color{Red}1}</math> || <math>y_{\color{Red}1}</math> || <math>y_{\color{Red}1}=2.147.239 \cdot 10^3</math> [[real brasileiro|reais]]<ref name=IBGE />
|-
| 2006 || <math>2006={\color{OliveGreen}2}</math> || <math>y_{\color{OliveGreen}2}</math> || <math>y_{\color{OliveGreen}2}=2.369.484 \cdot 10^3</math> [[real brasileiro|reais]]<ref name=IBGE />
|-
| 2007 || <math>2007={\color{RubineRed}3}</math> || <math>y_{\color{RubineRed}3}</math> || <math>y_{\color{RubineRed}3}=2.661.344 \cdot 10^3</math> [[real brasileiro|reais]]<ref name=IBGE />
|}

==Componentes de uma série temporal==
Uma série temporal pode ser genericamente decomposta nos seguintes itens<ref name=shikida>SHIKIDA, Pery Francisco Assis e MARGARIDO, Mario Antonio. '''Uma análise econométrica de sazonalidade dos preços da cana-de-açúcar, estado do Paraná, 2011-2007'''. In: Informações Econômicas, SP, v.39, n.2, fev. 2009. Disponível em: <ftp://ftp.sp.gov.br/ftpiea/publicacoes/IE/2009/tec7-0209.pdf>. Acesso em: 25 de agosto de 2012.</ref>:

{| class="wikitable"
|-
! Componente !! Descrição !! É um componente determinístico (fruto de uma equação)? !! É um componente estocástico (resultado de processo aleatório)?
|-
| '''Tendência'''|| Capta elementos de longo prazo relacionados com a série de tempo || Pode ser || Pode ser
|-
| '''Ciclo''' || Longas ondas, mais ou menos regulares, em torno de uma linha de tendência ||  || 
|-
| '''[[Sazonalidade]]''' || Capta os padrões regulares da série de tempo ||  || 
|-
| '''Aleatório''' || Capta todos os efeitos que não foram incorporados pela série de tempo via os três componentes anteriormente citados, ou seja, é o resíduo  || Não || Sempre
|}

==Lei de formação das séries temporais==
{{AP|Função}}

[[Ficheiro:Linear functions2.PNG|300px|thumb|Três funções lineares. Se o eixo "x" representar alguma variável explicativa ao longo do tempo, então estas funções são séries temporais que contém apenas o componente determinístico]]

As séries temporais são muitas vezes representadas por meio de [[função (matemática)|funções]] [[matemática]]s, ou seja, assume-se que o valor obtido é função de alguma outra [[variável]] (ou de diversas variáveis), ou, o que é a mesma coisa, que existe uma lei de formação que determina esta série temporal.

A função que determina a série temporal '''não''' precisa ser sempre [[função linear|linear]]. Na verdade, ela pode ter qualquer formato ([[função quadrática|quadrática]], [[função exponencial|exponencial]]...) e pode depender de mais de uma [[variável]]. No entanto, uma boa parte da (mas não toda a) [[econometria]] trata apenas de funções lineares, que são mais fáceis de modelar.

Os componentes de uma série temporal podem ser determinísticos e/ou estocásticos.

===Componente determinístico===
Quando os valores da série podem ser escritos através de uma [[função matemática]] '''perfeitamente''' determinada por uma ou mais variáveis, diz-se que ela contém apenas o componente determinístico.

====Exemplo 1====

Tome-se a seguinte [[função linear]], que chamaremos de função "f":

{| class="wikitable"
|-
! Função teórica !! Exemplo de forma que esta [[função (matemática)|função]] pode assumir
|-
| <math>y_t=a+b \cdot x_t</math> || <math>y_t=1+2 \cdot x_t</math> (linha verde na figura ao lado)
|}

Nesta [[função (matemática)|função]], a [[variável]] <math>y_t</math> depende de, ou é determinada pela, [[variável]] <math>x_t</math>. Matematicamente, poderíamos representar também de outra forma: <math>y=f(x)</math>.

A convenção utilizada nesta série temporal é a seguinte:
*y representa o dado obtido.
*a representa o intercepto
*x representa a [[variável]] que determina y.
*o subscrito "t" indica o período à qual o dado se refere.

Se fôssemos analisar a função <math>y_t=1+2 \cdot x_t</math> a partir do período em que x=0, teríamos:

{| class="wikitable"
|-
! Período !! Valor assumido por x (informação coletada pelo pesquisador) !! Valor assumido por y (consequência do valor que x assumiu)
|-
| t=0 || <math>x_0=0</math> || <math>y_0=1+2 \cdot x_0=1+2 \cdot 0=1</math>
|-
| t=1 || <math>x_1=1</math> || <math>y_1=1+2 \cdot x_1=3</math>
|-
| t=2 || <math>x_2=2</math> || <math>y_2=1+2 \cdot x_2=5</math>
|}

====Exemplo 2====

Como o [[PIB]] do [[Brasil]] é sempre (perfeitamente) determinado pela soma do [[PIB]]s das cinco regiões, podemos escrever a seguinte lei de formação da série temporal y<sub>t</sub>:

:<math>y_t=n_t+ne_t+se_t+s_t+co_t</math>

onde:
:<math>y_t</math>=[[PIB]] do [[Brasil]] no ano "t",
:<math>n_t</math>=PIB da [[Região Norte do Brasil|Região Norte]] no ano "t",
:<math>ne_t</math>=PIB da [[Região Nordeste]] no ano "t",
:<math>se_t</math>=PIB da [[Região Sudeste]] no ano "t",
:<math>s_t</math>=PIB da [[Região Sul do Brasil|Região Sul]] no ano "t" e
:<math>co_t</math>=PIB da [[Região Centro-Oeste]] no ano "t"

Note que, como esta relação é sempre perfeita (não existe possibilidade de o [[PIB]] nacional ser maior ou menor que a soma dos [[PIB]]s regionais), diz-se que esta série temporal (y<sub>t</sub>) contém apenas o componente determinístico.

===Componente estocástico===
{{Artigo principal|Variável aleatória|Estocástico}}
Além dos componentes normais de uma [[função (matemática)|função]] [[matemática]] perfeitamente determinada, a representação de uma série temporal pode incluir um componente [[aleatoriedade|aleatório]], que deverá ser gerado por um [[processo estocástico]], normalmente representado por <math>\epsilon_t</math> ou <math>u_t</math>. Um exemplo de uma série temporal com componente aleatório é:

:<math>y_t = \begin{matrix} \underbrace{ a + b \cdot x_t } \\ \mbox{determinístico} \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{ \epsilon_t } \\ \mbox{estocástico} \end{matrix}</math>

Neste caso, a série temporal é denominada de estocástica. Note-se que uma série estocástica y<sub>t</sub> pode ou não conter um componente determinístico. O que lhe confere um carácter estocástico é o facto de não se poder determinar o seu valor exacto mesmo conhecendo a sua especificação e o valor de todos os seus determinantes, isto porque a série possui uma natureza intrinsecamente aleatória.

====Exemplo 1====
Suponha que dois irmãos façam uma aposta anual em dinheiro. A quantidade de dinheiro a ser paga ao irmão 1 é determinada pela série temporal abaixo (derivada do modelo anterior):

:<math>g_t = a + b \cdot x_t + \varepsilon_t </math>
onde
*<math>g_t</math> é o valor em reais que o irmão 1 vai receber. Se o valor for negativo, o irmão 1 deve pagar ao irmão 2, em vez de receber.
*a= intercepto = -2
*b= inclinação = 0,2
*<math>x_t</math> é a o número de anos que o irmão 1 tem no dia da aposta.
*<math>\epsilon_t</math> é uma [[variável aleatória]] com [[distribuição binomial]] que assume o valor 10 se chover no dia, e -20 se não chover. Note-se que esta variável '''introduz a incerteza''', pois não se pode saber, a priori, quanto o irmão 1 deverá pagar para, ou receber do, irmão 2.

Assim, teremos:

{| class="wikitable"
|-
! ano !! Idade do irmão 1 (variável x<sub>t</sub>) !! Choveu? !! Valor de <math>\epsilon_t</math> (consequência de ter chovido ou não) !! Valor de <math>g_t = a + b \cdot x_t + \epsilon_t </math> (=valor a ser pago ou recebido)
|-
| <math>t={\color{Blue}0}</math> || 19 || sim || 10 || <math>g_{\color{Blue}0} = -2 + 0,2 \cdot 19 + 10 = 11,8 </math> reais
|-
| <math>t={\color{Red}1}</math> || 20 || não || -20 || <math>g_{\color{Red}1} = -2 + 0,2 \cdot 20 -20 = -18 </math> reais
|-
| <math>t={\color{OliveGreen}2}</math> || 21 || sim || 10 || <math>g_{\color{OliveGreen}2} = -2 + 0,2 \cdot 21 +10 = 12,2 </math> reais
|-
| <math>t={\color{RubineRed}3}</math> || 22 || não || -20 || <math>g_{\color{RubineRed}3} = -2 + 0,2 \cdot 22 -20 = -17,6 </math> reais
|}

====Exemplo 2====
Alguns autores afirmam que o [[desemprego]] do [[Brasil]] é '''aproximadamente''' determinado pelos seguintes fatores: produção (PIB); produtividade;  salário real e população economicamente ativa<ref>CAMPOS,Ma. de Fátima  S. de Souza e CAMPOS, Luís Henrique Romani. '''Evolução do Mercado de Trabalho no Brasil no período 1991-2000 e seus Reflexos sobre o Desemprego:  Um Estudo Empírico'''. Disponível em: <http://www.sep.org.br/artigo/6_congresso_old/vicongresso38.pdf{{Ligação inativa|data=agosto de 2019}}>. 2001?. Acesso em: 17 de setembro de 2011.</ref>. É importante enfatizar que esta é uma determinação aproximada. Afinal, o desemprego pode aumentar por outros fatores, como por exemplo o fechamento inesperado de uma grande empresa, um decreto aumentando o salário mínimo para R$ 10 mil reais etc. Portanto, estas variáveis explicam aproximadamente, mas não exatamente, a taxa de desemprego.

Assim, ignorando algumas tecnicalidades para simplificar, poderíamos elaborar a seguinte lei de formação:

:<math>d_t=\begin{matrix} \underbrace{ a+b \cdot y_t + c \cdot p_t + d \cdot s_t + e \cdot i_t } \\ \mbox{determinístico} \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{ \varepsilon_t } \\ \mbox{estocástico} \end{matrix}</math>

onde:
*d<sub>t</sub> é a [[taxa de desemprego]] de determinado período
*y<sub>t</sub> é o [[PIB]] do [[país]]
*p<sub>t</sub> é a produtividade por [[trabalhador]], medida por exemplo em unidades produzidas por trabalhador
*s<sub>t</sub> é o [[salário]] real do trabalhador, medido em [[real brasileiro|reais brasileiros]] corrigidos pelo [[IPCA]] a preços do último período analisado
*i<sub>t</sub> é o percentual da população [[brasil]]eira que está economicamente ativa em cada período
*<math>\epsilon_t</math> é um componente aleatório idêntica e independentemente extraído de uma [[distribuição normal]]

==Classificação das séries temporais==
As séries temporais podem ser estacionárias ou não estacionárias (têm ou não [[raiz unitária]]). Além disso, podem ser [[estocástico|estocásticas]] ou determinísticas<ref name="bueno">BUENO, Rodrigo de Losso da Silveira. '''Econometria de Séries Temporais'''. São Paulo: Cengage Learning, 2008. 299 páginas. ISBN 978-85-221-0642-4</ref>.

Quando os valores da série podem ser escritos através de uma [[função matemática]]  <math>y = f(tempo)</math> diz-se que a série é determinística. Quando a série envolve, além de uma função matemática do tempo, também um [[Aleatoriedade|termo aleatório]] <math>y = f(tempo,\varepsilon)</math> a série é chamada estocástica. Normalmente as séries temporais são analisadas a partir de seus principais movimentos descritos como: [[tendência]], ciclo, sazonalidade e variações aleatórias.

===Série estacionária===
{{AP|série convergente}}
Uma série estacionária é o que em [[matemática]] costuma se chamar [[série convergente]], ou seja, aquela que flutua em torno de uma mesma [[média]] ao longo do [[tempo]]<ref name=bueno />.

Para garantir que o componente estocástico também flutue ao redor de uma mesma [[média]], assume-se, por exemplo que ele seja um componente aleatório idêntica e independentemente extraído de uma [[distribuição normal]]. Digamos:

: <math>\epsilon_t \sim N \left(0,\sigma^2 \right)</math>, ou seja, o componente aleatório provém de uma [[distribuição normal]] com média [[zero]] e [[variância]] finita.

{| class="wikitable"
|-
!  !! Série temporal estacionária apenas com componente determinístico !! Série temporal estacionária com componente estocástico (contém <math>\epsilon_t</math>), com ou sem o componente determinístico
|-
| Exemplo teórico || '''Exemplo 1''': <math>y_t = \mu</math>, onde <math>\mu</math> é uma constante; '''Exemplo 2''': <math>y_t = \mu + b \cdot y_{t-1}</math>, onde b é uma constante || <math>y_t = \mu + \epsilon_t</math>, onde <math>\mu</math> é uma constante; <math>\epsilon_t \sim N \left(0,\sigma^2 \right)</math>
|-
| Exemplo com números || '''Exemplo 1''': <math>y_t = 5</math>; '''Exemplo 2''': <math>y_t = 2 + 0,5 \cdot y_{t-1}</math> || <math>y_t = 5 + \epsilon_t</math>; <math>\epsilon_t \sim N \left(0,\sigma^2 \right)</math>
|}

===Série não estacionária===
{{AP|série divergente}}
{{AP|raiz unitária}}

A série não estacionária (ou [[série divergente|divergente]], em [[matemática]]), é aquela que tem [[raiz unitária]].

{| class="wikitable"
|-
!  !! Série temporal não estacionária apenas com componente determinístico !! Série temporal não estacionária com componente estocástico (contém <math>\epsilon_t</math>), com ou sem o componente determinístico
|-
| Exemplo teórico || '''Exemplo 1''': <math>y_t = \mu + b \cdot t</math>, onde <math>\mu</math> é uma constante e t é o período; '''Exemplo 2''': <math>y_t = \mu + c \cdot y_{t-1} + b \cdot t</math>, onde b é uma constante || <math>y_t = \mu + b \cdot t+ \epsilon_t</math>, onde b é uma constante
|-
| Exemplo com números || '''Exemplo 1''': <math>y_t = 2 + 0,5 \cdot t</math>; '''Exemplo 2''': <math>y_t = 1 + 0,1 \cdot y_{t-1} + 2 \cdot t</math> || <math>y_t = 0,1 + 2 \cdot t+ \epsilon_t</math>
|}

==Estudo de séries temporais==

Existem duas formas de estudar '''séries temporais'''. Uma '''análise da série temporal''' é um método para tentar entender a série temporal, de forma a entender a estrutura que gerou a série. Uma '''previsão a partir da série temporal''' procura construir um modelo matemático a partir do qual seja possível prever valores futuros da série.
Os modelos para estudar as séries temporais são muito conhecidos por seus acrônimos em inglês, montados a partir de ''AR'' (modelos auto-regressivos), 'I' (modelos integrados) e ''MA'' (modelos de [[média móvel]]). Por exemplo, o modelo [[ARIMA]] é um modelo auto-regressivo, integrado e de média móvel.

==Especificidade das séries temporais em relação aos dados cross section==
Ao contrário do que ocorre com os dados cross-section, os dados de uma série temporal geralmente são dependentes no tempo. Por exemplo, no caso de uma série do [[PIB]] anual do [[Brasil]], pode-se imaginar facilmente que o [[PIB]] de determinado ano é muito parecido com o [[PIB]] do ano anterior. Se tomarmos, por outro lado, dados em cross section do PIB de diversos países no mesmo ano, não há nenhuma razão para crer, a priori, que o PIB de um dos países da amostra seja parecido com o PIB de outro país da amostra.

Em [[economia]], a [[teoria]] de [[relação de recorrência|equações de diferenças]] subjaz todos os métodos de séries temporais empregadas. É justo dizer que a [[econometria]] de séries temporais está preocupada com a estimativa de equações a diferenças contendo componentes estocásticos<ref>ENDERS, Walter. '''Applied Econometric Time Series'''. Second Edition. Wiley series in probability and statistics. ISBN 0-471-23065-0.</ref>.

== Ver também ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_statistical_packages Comparação de pacotes estatísticos]
* [[Gretl]]
* [[EViews]]
* [[GNU R]]
*[[operador defasagem]]

== Referências ==
* EHLERS, R. S. "Análise de séries temporais". 4 ed. 2007.
<references/>

{{esboço-matemática}}

{{Econometria|state=expanded}}
{{Processos estocásticos}}
{{Estatística}}
{{Portal3|Economia|Matemática}}

{{Portal3|Probabilidade e Estatística}}

[[Categoria:Estatística]]
[[Categoria:Econometria]]
[[Categoria:Tipos de dados estatísticos]]