Mostrar código-fonte de Simetria rotacional

<!-- {{Use American English|date=March 2019}} -->
{{Descrição curta|Simetria (algo que parece o mesmo) sob rotação}}
<!-- {{More citations needed|date=June 2018}} --> [[File:The armoured triskelion on the flag of the Isle of Man.svg|thumb|O [[tríscele]] que aparece na [[bandeira da Ilha de Man]] tem simetria rotacional porque parece o mesmo quando girado em um terço de uma volta completa em torno de seu centro. Como sua aparência é idêntica em três orientações distintas, sua simetria rotacional é tripla.]]

A '''simetria rotacional''', também conhecida como '''simetria radial''' na [[geometria]], é a propriedade que uma forma tem quando parece a mesma após alguma rotação por uma volta parcial. O grau de simetria rotacional de um objeto é o número de orientações distintas nas quais ele parece exatamente o mesmo para cada rotação.

Certos objetos geométricos são parcialmente simétricos quando girados em certos ângulos, como [[quadrado]]s girados 90°, no entanto, os únicos objetos geométricos que são totalmente simétricos rotacionalmente em qualquer ângulo são esferas, círculos e outros [[esferoide]]s.<ref>[https://arxiv.org/pdf/1807.09654.pdf Simetria rotacional de esferas de Weingarten em três variedades homogêneas. Por Jose A. Galvez, Pablo Mira]</ref><ref>[https://www.researchgate.net/profile/Dmitrii-Maksimov/publication/317939298_Topological_Bound_States_in_the_Continuum_in_Arrays_of_Dielectric_Spheres/links/5a58a612aca2725b780773f5/Topological-Bound-States-in-the-Continuum-in-Arrays-of-Dielectric-Spheres.pdf Estados limitantes topológicos no contínuo em arranjos de esferas dielétricas. Por Dmitrii N. Maksimov, Instituto de física LV Kirensky, Krasnoyarsk, Rússia]</ref>

== Tratamento formal ==
<!-- {{VT|:en:Rotational invariance}} -->
Formalmente, a simetria rotacional é a [[simetria]] em relação a algumas ou todas as [[Movimento de rotação|rotações]] no [[espaço euclidiano]] ''m''-dimensional. As rotações são {{Ill|en|isometrias diretas|Euclidean_group#Direct_and_indirect_isometries|nlk=true}}, isto é, [[Isometria (geometria)|isometrias]] que preservam a [[Orientabilidade|orientação]]. Portanto, um [[grupo de simetria]] de simetria rotacional é um subgrupo de ''E''<sup>+</sup>(m) (ver [[grupo euclidiano]]).

A simetria com relação a todas as rotações sobre todos os pontos implica [[Invariante por translação|simetria translacional]] com relação a todas as translações, de modo que o espaço é homogêneo e o grupo de simetria é todo o E(m). Com a {{Ill|en|noção modificada de simetria para campos vetoriais|Symmetry#Mathematical_model_for_symmetry|nlk=true}}, o grupo de simetria também pode ser E+(m).

Para simetria em relação às rotações em torno de um ponto, podemos tomar esse ponto como origem. Estas rotações formam o [[grupo ortogonal]] especial SO(''m''), o grupo de [[Matriz ortogonal|matrizes (arranjos) ortogonais ''m''×''m'' com determinante 1. Para {{math|1=''m'' = 3}} este é o [[Grupo de rotação|grupo de rotação SO(3)]].

Em outra definição da palavra, o grupo de rotação de um objeto é o grupo de simetria dentro de E<sup>+</sup>(n), o [[Grupo euclidiano|grupo de isometrias diretas]]; em outras palavras, a interseção do grupo de simetria total e o grupo de isometrias diretas. Para objetos [[Quiralidade (matemática)|quirais]] é o mesmo que o grupo de simetria completo.

As leis da física [[Isotropia|são SO(3)-invariantes]] se não distinguirem diferentes direções no espaço. Por causa do [[teorema de Noether]], a simetria rotacional de um sistema físico é equivalente à lei de conservação do [[momento angular]].

=== Simetria rotacional discreta ===

'''Simetria rotacional de ordem ''n''''', também chamada de '''simetria rotacional de ''n'' dobra(s)''', ou '''simetria rotacional discreta de e''n''ésima ordem''', em relação a um ponto particular (em ''2D'') ou eixo (em ''3D'') significa que a rotação em um ângulo de 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3⁄7°, etc.) não altera o objeto. Uma simetria de "1 dobra" não é, ou é sem, simetria (todos os objetos parecem iguais após uma rotação de 360°).

A notação para simetria de ''n'' dobras é '''''C<sub>n</sub>''''' ou simplesmente "''n''". O [[grupo de simetria]] real é especificado pelo ponto ou eixo de simetria, juntamente com o ''n''. Para cada ponto ou eixo de simetria, o tipo de grupo abstrato é [[grupo cíclico]] de ordem ''n'', Z<sub>''n''</sub>. Embora para este último também seja usada a notação ''C''<sub>''n''</sub>, o ''C''<sub>''n''</sub> geométrico e o ''C''<sub>''n''</sub> abstrato devem ser distinguidos: existem outros grupos de simetria do mesmo tipo de grupo abstrato que são geometricamente diferentes <!-- (ver {{Ill|en|grupos de simetria cíclicos em ''3D''|Point_groups_in_three_dimensions#Cyclic_symmetry_groups_in_3D_cyclic_symmetry_groups|nlk=true}}) -->.

O {{Ill|en|domínio fundamental|Fundamental domain|nlk=true}} é um setor de 360°/n.

Exemplos sem [[simetria de reflexão]] adicional:

* ''n'' = 2, 180°: a ''díade''; as letras Z, N e S; os contornos, embora não as cores, do símbolo do [[Yin-yang|yin'' e ''yang'']]; a [[Bandeira do Reino Unido|bandeira da união]] (dividida ao longo da diagonal da bandeira e girada sobre o ponto central da bandeira)
* ''n'' = 3, 120°: ''tríade'', [[tríscele]], [[Enlace Borromeano|anéis borromeanos]]; às vezes o termo ''simetria trilateral'' é usado;
* ''n'' = 4, 90°: ''tétrade'', [[suástica]]
* ''n'' = 6, 60°: ''héxade'', [[Estrela de Davi]] (este tem [[simetria de reflexão]] adicional)
* ''n'' = 8, 45°: ''óctade'', teto de muqarnas octogonal gerado por computador (G.C.)

''C<sub>n</sub>'' é o grupo de rotação de um [[polígono]] regular de ''n'' lados em ''2D'' e de uma [[Pirâmide (arquitetura)|pirâmide]] regular de ''n'' lados em ''3D''.

Se houver, por exemplo, simetria rotacional em relação a um ângulo de 100°, então também em relação a um de 20°, o máximo divisor comum de 100° e 360°.

Uma [[hélice]] é um objeto ''3D'' típico com simetria rotacional (possivelmente também com eixos perpendiculares), mas sem simetria de espelho.

=== Exemplos ===

{| class="wikitable" width=600
|- 
! C2 ([[commons:Category:2-fold rotational symmetry|mais]])
! C3 ([[commons:Category:3-fold rotational symmetry|mais]])
! C4 ([[commons:Category:4-fold rotational symmetry|mais]])
! C5 ([[commons:Category:5-fold rotational symmetry|mais]])
! C6 ([[commons:Category:6-fold rotational symmetry|mais]])
|- valign=top
|[[File:Double_pendulum_flips_graph.png|120px]]<br>[[Duplo Pêndulo#Movimento caótico|Fractal de pêndulo duplo]]
|[[File:Finland road sign 166 (1995–2020).svg|120px]]<br>[[Sinalização rodoviária|Sinal de trânsito]] de [[rotatória]] 
|[[File:Cyclic symmetry 4.png|120px]]
|[[File:United States Bicentennial star 1976 (geometry).svg|120px]]<br>Estrela do {{Ill|en|bicentenário dos Estados Unidos|United States Bicentennial|nlk=true}} 
|[[File:Cyclic symmetry 6.png|120px]]
|- valign=top
|[[File:En-300px-Shogi.png|120px]]<br>A posição inicial em ''[[shogi]]''
|[[File:Snoldelev-three-interlaced-horns.svg|120px]]<br>''Design'' dos {{Ill|en|chifres de bebida|drinking horn|nlk=true}} interligados da {{Ill|en|pedra de Snoldelev|Snoldelev Stone|nlk=true}}
|[[File:Op-art-4-sided-spiral-tunnel-7.svg|120px]]
|[[File:15crossings-decorative-knot.svg|120px]]
|[[File:Olavsrose.svg|120px]]
|}

=== Vários eixos de simetria passando pelo mesmo ponto ===

Para {{Ill|en|simetria discreta|Discrete symmetry|nlk=true}} com múltiplos eixos de simetria passando pelo mesmo ponto, existem as seguintes possibilidades:

* Além de um eixo de ''n'' dobras, ''n'' eixos perpendiculares de duas dobras: os [[Grupo diedral|grupos de diedros]] ''D<sub>n</sub>'' de ordem 2''n'' ({{Math|''n'' ≥ 2}}). Este é o grupo de rotação de um [[prisma]] regular ou uma [[bipirâmide]] regular. Embora a mesma notação seja usada, o ''D<sub>n</sub>'' geométrico e o ''D<sub>n</sub>'' abstrato devem ser distinguidos: existem outros grupos de simetria do mesmo tipo de grupo abstrato que são geometricamente diferentes<!-- (veja {{Ill|en|grupos de simetria diedral em ''3D''|Dihedral_group#Dihedral_symmetry_groups_in_3D|nlk=true}}) -->.
* Eixos de 4×3 dobras e 3×2 dobras: o grupo de rotação ''T'' de ordem 12 de um [[tetraedro]] regular. O grupo é [[Isomorfismo|isomórfico]] ao [[grupo alternante]] ''A''<sub>4</sub>.
* Eixos de 3×4 dobras, 4×3 dobras e 6×2 dobras: o grupo de rotação ''O'' de ordem 24 de um [[cubo]] e um {{Ill|en|octaedro|Octahedron|nlk=true}} regular. O grupo é isomórfico ao {{Ill|en|grupo simétrico|Symmetric group|nlk=true}} ''S''<sub>4</sub>.
* Eixos de 6×5 dobras, 10×3 dobras e 15×2 dobras: o grupo de rotação ''I'' de ordem 60 de um [[dodecaedro]] e um [[icosaedro]]. O grupo é isomórfico ao grupo alternante ''A''<sub>5</sub>. O grupo contém 10 versões de ''D''<sub>3</sub> e 6 versões de ''D''<sub>5</sub> (simetrias rotacionais como prismas e antiprismas).

No caso dos [[Sólido platónico|sólidos platônicos]], os eixos duplos passam pelos pontos médios das arestas opostas, e o número deles é metade do número de arestas. Os outros eixos passam por vértices opostos e por centros de faces opostas, exceto no caso do tetraedro, onde os eixos triplos passam cada um por um vértice e o centro de uma face.

=== Simetria rotacional em relação a qualquer ângulo ===

A simetria rotacional em relação a qualquer ângulo é, em duas dimensões, [[Simetria circular e esférica|simetria circular]]. O domínio fundamental é uma [[Reta#Raio|meia-linha/reta]].

Em três dimensões, podemos distinguir '''simetria cilíndrica''' e '''simetria esférica''' (sem alteração ao girar em torno de um eixo ou para qualquer rotação). Ou seja, nenhuma dependência do ângulo usando [[coordenadas cilíndricas]] e nenhuma dependência de qualquer ângulo usando [[Sistema esférico de coordenadas|coordenadas esféricas]]. O domínio fundamental é um {{Ill|en|semiplano|Half-space (geometry)|nlk=true}} através do eixo e uma semirreta radial, respectivamente. '''Axisimétrico''' ou '''axissimétrico''' são [[adjetivo]]s que se referem a um objeto com simetria cilíndrica, ou '''axisimetria''' (ou seja, simetria rotacional em relação a um eixo central) como um [[Rosquinha|''donut'']] ([[Toro (topologia)|toro]]). Um exemplo de simetria esférica aproximada é a Terra (no que diz respeito à densidade e outras propriedades físicas e químicas).

Em ''4D'', a simetria rotacional contínua ou discreta sobre um plano corresponde à simetria rotacional ''2D'' correspondente em cada plano perpendicular, sobre o ponto de interseção. Um objeto também pode ter simetria rotacional em torno de dois planos perpendiculares, por exemplo, se for o [[produto cartesiano]] de duas figuras ''2D'' rotacionalmente simétricas, como no caso de, por exemplo, o {{Ill|en|duocilindro|Duocylinder|nlk=true}} e vários {{Ill|en|duoprismas|Duoprism|nlk=true}} regulares.

=== Simetria rotacional com simetria translacional ===

{| class=wikitable align=right width=400
|[[File:Wallpaper group diagram p4.png|160px]]<br>Disposição dentro de uma {{Ill|en|célula primitiva|Unit cell#Primitive cell|nlk=true}} de rotocentros de 2 e 4 dobras. Um {{Ill|en|domínio fundamental|Fundamental domain|nlk=true}} é indicado em amarelo.
|[[File:Wallpaper group diagram p6.png|240px]]<br>Arranjo dentro de uma célula primitiva de rotocentros de 2, 3 e 6 dobras, sozinhos ou em combinação (considere o símbolo de 6 dobras como uma combinação de um símbolo de 2 e um símbolo de 3 dobras); apenas no caso de simetria de 2 dobras, a forma do [[paralelogramo]] pode ser diferente. Para o caso p6, um domínio fundamental é indicado em amarelo.
|}

A simetria rotacional de 2 dobras junto com a [[Invariante por translação|simetria translacional]] única é um dos {{Ill|en|grupos de friso|Frieze group|nlk=true}}. Existem dois rotocentros<!-- {{Definition needed||date=April 2021}} --> por {{Ill|en|célula primitiva|Unit_cell#Primitive_cell|nlk=true}}.

Juntamente com a dupla simetria translacional, os grupos de rotação são os seguintes {{Ill|en|grupos de papel de parede|Wallpaper group|nlk=true}}, com eixos por célula primitiva:

* p2 (2222): 4×2 dobras; grupo de rotação de uma [[Rede diagonal|rede]] [[Paralelogramo|paralelogramma]], [[Retângulo|retangular]] e [[Losango|rômbica]].
* p3 (333): 3×3 dobras; ''não'' o grupo de rotação de qualquer rede (toda rede é a mesma de cabeça para baixo, mas isso não se aplica a esta simetria); é, por exemplo, o grupo de rotação do [[Malha plana por polígonos regulares#Malhas planas regulares|ladrilho triangular regular]] com os triângulos equiláteros coloridos alternadamente.
* p4 (442): 2×4 dobras, 2×2 dobras; grupo de rotação de uma rede [[Quadrado|quadrada]].
* p6 (632): 1×6 dobras, 2×3 dobras, 3×2 dobras; grupo de rotação de uma rede [[Hexágono|hexagonal]].
* Rotocentros de 2 dobras (incluindo possíveis de 4 e 6 dobras), se presentes, formam a translação de uma rede igual à rede translacional, dimensionada por um fator 1/2. No caso de simetria translacional em uma dimensão, aplica-se uma propriedade semelhante, embora o termo "rede" não se aplique.
* Rotocentros de 3 dobras (incluindo possíveis de 6 dobras), se presentes, formam uma rede hexagonal regular igual à rede translacional, girada em 30° (ou equivalente a 90°) e dimensionada por um fator <math>\frac{1}{3} \sqrt {3}</math>
* Rotocentros de 4 dobras, se presentes, formam uma rede quadrada regular igual à rede translacional, girada em 45° e dimensionada por um fator <math>\frac{1}{2} \sqrt {2}</math>
* Rotocentros de 6 dobras, se presentes, formam uma rede hexagonal regular que é a tradução da rede translacional.

A escala de uma rede divide o número de pontos por unidade de área pelo quadrado do fator de escala. Portanto, o número de rotocentros de 2, 3, 4 e 6 dobras por célula primitiva é 4, 3, 2 e 1, respectivamente, novamente incluindo 4 dobras como um caso especial de 2 dobras, etc.

Simetria rotacional de 3 dobras em um ponto e de 2 dobras em outro (ou idem em ''3D'' em relação a eixos paralelos) implica grupo de rotação p6, ou seja, simetria translacional dupla e simetria rotacional de 6 dobras em algum ponto (ou, em ''3D'', eixo paralelo). A distância de translação para a simetria gerada por um desses pares de rotocentros é <math>2\sqrt {3}</math> vezes a distância deles.

{| class=wikitable width=480
!Euclidean plane
!Hyperbolic plane
|- valign=top
|[[File:Tile V46b.svg|240px]]<br>{{Ill|en|Telha triangular Hexakis|Truncated trihexagonal tiling#Kisrhombille tiling|nlk=true}}, um exemplo de p6, [6,3]<sup>+</sup>, (632) (com cores) e p6m, [6,3], (*632) (sem cores); as linhas são eixos de reflexão se as cores forem ignoradas, e um tipo especial de eixo de simetria se as cores não forem ignoradas: a reflexão reverte as cores. As grades de linhas retangulares em três orientações podem ser distinguidas.
|[[File:Order-3 heptakis heptagonal tiling.png|240px]]<br>{{Ill|en|''Kisrhombille'' de ordem 3-7|3-7 kisrhombille|nlk=true}}, um exemplo de simetria [7,3]<sup>+</sup> (732) e [7,3], (*732) (sem cores)
|}

== Ver também ==

{{Div col}}
* [[Ambigrama]]
* [[Covariância de Lorentz]]
* [[Grupo de espaço]]
* [[Invariante por translação|Simetria translacional]]
<!-- * [[:en:Axial symmetry]]
* [[:en:Crystallographic restriction theorem]]
* [[:en:Point groups in three dimensions]]
* [[:en:Screw axis]] -->
{{Div col end}}

== Referências ==

{{Reflist}}

* {{Cite book |title=Symmetry |last=Weyl |first=Hermann |author-link=Hermann Weyl |year=1982 |orig-year=1952 l |publisher=''Princeton university press'' |location=Princeton |isbn=0-691-02374-3 |ref=Weyl 1982 |language=en }}

== Ligações externas ==

* {{Commonscat em linha|Rotational symmetry}}
*[http://www.mathsisfun.com/geometry/symmetry-rotational.html Exemplos de simetria de rotação] (em inglês) em ''Math is fun''

<!-- Categorias -->
[[Categoria:Simetria rotacional| ]]
[[Categoria:Simetria]]
<!-- [[:en:Category:Binocular rivalry]] -->