Mostrar código-fonte de Sistema de equações lineares

{{Ver desambig|este=Sistema de equações lineares|2=Sistema (desambiguação)}}{{Mais notas|data=junho de 2021}}
[[File:Secretsharing 3-point.svg|thumb|Um sistema linear com três variáveis determina um conjunto de [[Plano (geometria)|planos]]. O ponto de intersecção é a solução.]]
Em [[Matemática]], um '''sistema de equações lineares''' (abreviadamente, '''sistema linear''') é um [[conjunto]] [[finito]] de [[equação linear|equações lineares]] aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de [[Variável (matemática)|variáveis]].<ref name="POOLE">{{citar livro|último=Poole|primeiro=David|url=http://books.google.com.br/books?id=PjKg05aVMJYC|título=Álgebra linear|edição=1|editora=Pioneira Thompson Learning|local=São Paulo|ano=2005}}</ref> Por exemplo,
<math display="block">\begin{alignat}{7}
3x &&\; + \;&& 2y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 1 & \\
2x &&\; - \;&& 2y             &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 0 &
\end{alignat}</math>

é um sistema de três equações com três variáveis (''x, y ''e'' z''). Uma '''solução''' para um [[sistema linear]] é uma atribuição de números às incógnitas que satisfazem simultaneamente todas as equações do sistema. Uma [[Resolução de equações|solução]] para o sistema acima é dada por
<math display="block">\begin{alignat}{2}
x &\,=\,& 1 \\
y &\,=\,& -2 \\
z &\,=\,& -2
\end{alignat}</math>

já que esses valores tornam válidas as três equações do sistema em questão. A palavra "''sistema''" indica que as equações devem ser consideradas em conjunto, e não de forma individual, isto é, cada uma das equações precisa ser satisfeita.

Em matemática, a teoria de sistemas lineares é a base e uma parte fundamental da [[álgebra linear]], um tema que é usado na maior parte da matemática moderna. Deve-se observar que, em primeiro lugar, a ''equação linear'' é, necessariamente, uma [[equação polinomial]]. Em diversos ramos da [[matemática aplicada]] e [[ciências naturais]], podemos encontrar vários usos de ''sistemas lineares''. Exemplos são a [[física]], a [[economia]], a [[engenharia]], a [[biologia]], a [[geografia]], a [[navegação]], a [[aviação]], a [[cartografia]], a [[demografia]] e a [[astronomia]].<ref name="EHOW">{{citar web|url=http://www.ehow.com/facts_5316332_use-linear-equations.html|título=Use of Linear Equations|autor=Aberdeen, Stan|publicado=Ehow|acessodata=16 de janeiro de 2012}}</ref>

[[Algoritmo]]s computacionais são para encontrar soluções constituem uma parte importante da [[álgebra linear numérica]], e desempenham um papel proeminente nas áreas de aplicação da álgebra linear. Tais métodos têm uma grande importância para obter soluções rápidas e [[acurácia|acuradas]].<ref name="CALCUL">{{citar web|url=http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/linsolver.en|título=Calculadora online que soluciona sistemas de equações lineares}}</ref> Pode-se muitas vezes [[Aproximação|aproximar]] um [[equação não-linear|sistema de equações não-lineares]] por um sistema linear, uma técnica chamada de [[linearização]] e útil ao elaborar [[Modelo (matemática)|modelos matemáticos]] ou realizar [[Modelagem computacional|simulações computacionais]] de um sistema mais complexo. 

O ''sistema linear'' também pode ser conceituado como um sistema de [[equação do primeiro grau|equações do primeiro grau]], ou seja, um sistema no qual as equações possuem apenas [[polinômios]] em que cada parcela tem apenas uma [[incógnita]]. Em outras palavras, num ''sistema linear'', não há [[potência]] diferente de [[um]] ou [[zero]] e tampouco pode haver [[multiplicação]] entre ''incógnitas''.

Muitas vezes, os coeficientes das equações são [[Número real|números reais]] ou [[Número complexo|complexos]] e as soluções são procuradas no mesmo conjunto de números, mas a teoria e os algoritmos aplicam os coeficientes e soluções em qualquer [[Corpo (matemática)|campo]].

== Exemplo básico ==
O tipo mais simples de sistema linear envolve duas equações e duas variáveis:
<math display="block">\begin{alignat}{5}
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 1 & \\
2x &&\; + \;&& -y &&\; = \;&& -2&.
\end{alignat}</math>
Um método para resolver tal sistema é do seguinte modo: em primeiro lugar, resolva a equação superior para x em termos de y:
<math display="block">x = 1- 3y.</math>
Agora substitua essa expressão para x na equação inferior:
<math display="block">2\left(1-3y\right)-y=-2.</math>
Isto resulta numa única equação envolvendo apenas a variável <math>y.</math> Resolvendo, obtemos <math>y = 4/7,</math> e voltando para a equação e substituindo y por seu valor, vem que <math>x = -5/7.</math> Este método se generaliza para sistemas com variáveis adicionais (veja "eliminação de variáveis" abaixo, ou o artigo sobre [[álgebra elementar]]).

== Forma geral ==
Um sistema geral de m equações lineares com n incógnitas pode ser escrito como:

<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&                && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\
\end{alignat}</math>

Aqui, <math>x_1, x_2,\ldots,x_n</math> são as incógnitas, <math>a_{11},a_{12},\ldots,a_{mn}</math> são os coeficientes do sistema e <math>b_1,b_2,\ldots,b_m</math> são os termos constantes.<ref>{{citar livro|nome = José Ruy|sobrenome = Giovanni|título = Matemática completa|ano = 2002|isbn = 85-322-4827-6|nome2 = José Roberto|sobrenome2 = Bonjorno|nome3 = José Ruy Giovanni|sobrenome3 = Jr.|local = São Paulo|editora = FTD|páginas = 592|página = 199|capítulo = 14|seção = 3}}</ref>

Muitas vezes, os coeficientes e as incógnitas são [[Número real|números reais]] ou [[Número complexo|complexos]], mas pode-se encontrar também [[Número inteiro|números inteiros]] e [[Número racional|racionais]], já que são polinômios e elementos de uma [[estrutura algébrica]] abstrata.

=== Equação vetorial ===
Um ponto de vista extremamente útil é que cada incógnita é um peso para um [[vetor coluna]] em uma [[combinação linear]].<math>
 x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} +
 x_2 \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} +
 \cdots +
 x_n \begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
</math>

Isso permite que seja exercida toda a linguagem e teoria dos [[Espaço vetorial|espaços vetoriais]] (ou, mais geralmente, [[Módulo (álgebra)|módulos]]). Por exemplo: o [[Espaço vectorial gerado|espaço vetorial gerado]] é o conjunto de todas as possíveis combinações lineares dos vetores sobre o lado esquerdo, e as equações têm uma solução apenas quando o vetor da mão direita se encontra nesse espaço vetorial gerado. Se cada vetor desse espaço vetorial gerado tem exatamente uma expressão como uma combinação linear dos vetores dados à esquerda, então qualquer solução é única. De qualquer maneira, o espaço vetorial gerado tem uma [[Base (álgebra linear)|base]] de vetores [[Independência linear|linearmente independentes]] que garantem exatamente uma expressão; e o número de vetores nessa base (a sua dimensão) não pode ser maior do que ''m'' ou ''n'', mas pode ser menor. Isto é importante porque, se tivermos ''m'' vetores independentes, a solução é garantida, independentemente do lado direito, o que não ocorre de outra forma.

=== Equação matricial ===
A equação vetorial é equivalente a uma equação [[Matriz (matemática)|matricial]] da forma
<math display="block">A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math>
onde ''A'' é uma matriz ''m''×''n'', '''x''' é um [[vetor coluna]] com ''n'' elementos e '''b''' é um vetor coluna com ''m'' elementos.

<math display="block">
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{x}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{b}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}
</math>

Agora, o número de vetores em uma base para o espaço vetorial gerado é expresso como o ''[[Posto matricial|posto]]'' da matriz.

O método matricial pode ser usado para resolver sistemas de equações lineares em que o número de incógnitas é igual ao número de equações, ou seja, sistemas de equações linear com uma matriz quadrada dos coeficientes das incógnitas.

Outra condição para a aplicabilidade do método matricial é a não degeneração da matriz de coeficientes para incógnitas, ou seja, o determinante da matriz deve ser diferente de zero.

O sistema de equações lineares, quando as condições acima são satisfeitas, pode ser representado em forma de matriz, e então resolvido encontrando a matriz inversa da matriz do sistema.

A solução dos sistemas de equações lineares pelo método da matriz baseia-se na seguinte propriedade da matriz inversa: o produto da matriz inversa e da matriz original é igual à [[matriz identidade]]. <ref>Introdução aos Métodos Numéricos [http://www.professores.uff.br/diomarcesarlobao/wp-content/uploads/sites/85/2017/09/note6.pdf]</ref>

Que seja necessário resolver um sistema de equações lineares:

a<sub>11</sub>x<sub>1</sub> + a<sub>12</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>13</sub>x<sub>3</sub> = b<sub>1</sub>

a<sub>21</sub>x<sub>1</sub> + a<sub>22</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>23</sub>x<sub>3</sub> = b<sub>2</sub>

a<sub>31</sub>x<sub>1</sub> + a<sub>32</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>33</sub>x<sub>3</sub> = b<sub>3</sub>

Escrevemos este sistema de equações em forma de matriz:

 | a<sub>11</sub>  a<sub>12</sub>  a<sub>13</sub> |   | x<sub>1</sub> |   | b<sub>1</sub> | 
 | a<sub>21</sub>  a<sub>22</sub>  a<sub>23</sub> | x | x<sub>2</sub> | = | b<sub>2</sub> | 
 | a<sub>31</sub>  a<sub>32</sub>  a<sub>33</sub> |   | x<sub>3</sub> |   | b<sub>3</sub> |

'''''Exemplo 1.''' Resolva o sistema de equações lineares pelo método da matriz:
''

2x<sub>1</sub> - x<sub>2</sub> = 1

3x<sub>1</sub>  + 5x<sub>2</sub>  = -1

A solução consiste nas seguintes etapas:

'''Etapa 1.''' Compomos as seguintes matrizes.

Matriz de coeficientes das incógnitas:

 A = | 2  -1 |  
     | 3   5 |  

  
Matriz de incógnitas:

 X = | x<sub>1</sub> |   
     | x<sub>2</sub> |  


Matriz de membros:
 
 B = |  1 |  
     | -1 |  


Verificar se a matriz de coeficientes para incógnitas é diferente de zero, ou seja, aplicar o método da matriz:
 
| A | = 2 . 5 - (-1) . 3 = 13 


O determinante desta matriz não é igual a zero, portanto, podemos aplicar o método da matriz.

'''Etapa 2.''' Encontre a matriz inversa de coeficientes para incógnitas:

 A<sup>-1</sup> = 1/13 . |  5  1 |  
              | -3  2 |  


'''Etapa 3.''' Encontre a matriz de valores desconhecidos:

 X = 1/13 . | 5   1 |  . |  1 | =
            | -1  2 |    | -1 |

   = 1/13 . |  4 | = |  4/13 |
            | -5 |   | -5/13 |

Então, temos a solução:

x<sub>1</sub> = 4/13, x<sub>2</sub> = 5/13


Vamos checar:

2 . 4/13 - (-5/13) = 1

3 . 4/13 + 5 . (-5/13) = -1

Portanto, a resposta está correta.

== Conceito ==
O ''sistema linear'' é correlacionada à [[álgebra linear]] e o entendimento mais profundo dos sistemas é dependente do domínio desta matéria.<ref name="HOFKUN">{{citar livro|último=Hoffman|primeiro=Kenneth|coautor=Kunze, Ray|título=Álgebra Linear|edição=1|editora=Polígono|local=São Paulo|ano=1971}}</ref>

Sendo assim, é importante o entendimento dos [[espaço vetorial|espaços vetoriais]], dos [[isomorfismo]]s, das [[transformação linear|transformações lineares]], da [[interpolação]] de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], da [[decomposição]] de um polinômio em fatores [[número primo|primos]], de [[anel comutativo|anéis comutativos]], do ''[[teorema]] da decomposição primária'', da ''forma de Jordan'' e das [[forma bilinear|formas bilineares]].

Um sistema linear, partindo da premissa de que tem resultado existente e determinado e não há dependência entre as equações, deve ter o mesmo número de [[equação|equações]] e de incógnitas. O número de variáveis (incógnitas) também é chamado de quantidade de [[Dimensão (matemática)|dimensões]] do problema. O número de dimensões está relacionado ao ''espaço vetorial''. Por outro lado, os números que são subsumidos às incógnitas das equações podem ser de vários [[conjunto universo|universos]]. Em geral, se resolvem sistemas para [[número real|números reais]], mas também existem sistemas para [[número complexo|números complexos]] e ainda para outros tipos de números. Assim, para n dimensões no conjunto dos números reais, diz-se que se trabalha no conjunto {{Unicode|&#x211D;}}<sup>n</sup>.

Para que o resultado de um sistema seja [[existência|existente]] e ''determinado'', não pode haver redundância, o que é chamado também dependência entre as matrizes que representam as equações.

== Histórico ==
A história dos sistemas de equações lineares começa no oriente. Em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, surge a ideia de determinante<ref name="SOMAT">{{citar web|url=http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas.php|título=Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes|autor=Domingues, Hygino H.|publicado=Só Matemática|acessodata=16 de janeiro de 2012}}</ref> (como polinômio que se associa a um quadrado de números).

O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de [[Leibniz]], ligado também a sistemas lineares.

A conhecida [[regra de Cramer]]  é na verdade uma descoberta do escocês [[Colin Maclaurin]] (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu ''Treatise of algebra''.

O suíço [[Gabriel Cramer]] (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra independentemente.

O francês [[Étienne Bézout]] (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, tratou do assunto, sendo complementado posteriormente por [[Laplace]], em ''Pesquisas sobre o [[cálculo integral]] e o sistema do mundo''.

O termo ''[[determinante]]'', com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de [[Cauchy]] sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, sugeriu a notação que hoje é aceita como convenção.

Já o alemão [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobi]] fez a leitura dessa [[teoria]] da forma como atualmente se estuda.

==Solução==
A solução de um sistema linear é a atribuição de valores às variáveis {{nowrap|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}} de modo a satisfazer ambas equações. O grupo de todas as soluções possíveis é chamado de [[conjunto-solução|conjunto solução]].<ref name="AntonBusby2006">Howard Anton; Robert C. Busby (2006). [http://books.google.com/books?id=VBjDEE7BQhUC&pg=PA70 ''Algebra Linear Contemporânea'']. Bookman. p. 70. ISBN 978-85-7780-091-9.</ref>

Um sistema linear pode comportar-se em qualquer uma das três formas possíveis:<ref name="Barbosa">José A. Trigo Barbosa. [http://books.google.com/books?id=S9BiodfMa6wC&pg=PA25 ''Noções sobre Matrizes e Sistemas de Equações Lineares''],2a edição. FEUP edições. p. 25. ISBN 978-972-752-137-1.</ref><ref name="CabralPerdigão">Isabel Cabral; Cecília Perdigão; Carlos Saiago. [http://books.google.com/books?id=KJel20ZnkxAC&pg=PA88 ''Álgebra linear: teoria, exercícios resolvidos e exercícios propostos com soluções'']. Escolar Editora. p. 88. ISBN 978-972-592-239-2.</ref>
# '''Sistema Possível Determinado – S.P.D.''': É o sistema que possui apenas uma única solução possível, quando o determinante é diferente de 0 (D ≠ 0). Esse sistema pode ser chamado de ''sistema possível'' e suas equações de ''equações compatíveis''. 
# '''Sistema Possível Indeterminado – S.P.I.''': É o sistema que possui múltiplas soluções e o seu determinante é igual a zero (D = 0).
# '''Sistema Impossível – SI''': É o sistema que não admite uma solução, sendo designado por ''sistema impossível'' e suas equações como ''equações incompatíveis''. Nesse caso, o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0). <ref>{{citar web |url=https://www.todamateria.com.br/sistemas-lineares/ |titulo=Sistemas Lineares |acessodata=15 de março de 2021}}</ref>

== Técnicas de resolução ==
Existem inúmeros métodos de resolução de sistemas, como distintas propriedades matemáticas. Para aplicações computacionais complexas, veja [[algebra liner computacional]]. Alguns [[método paple e lápis|métodos papel e lapis]] existem.    

===Eliminação de Gauss===
O [[Eliminação de Gauss|método de eliminação de Gauss]], que também é conhecido como escalonamento é um método que consiste de manipular o sistema através de algumas operações elementares, que transforma a matriz estendida em uma matriz triangular, que após isso, a solução é obtida via substituição regressiva.

Seja '''Ax = b''' um sistema linear. O [[Eliminação de Gauss|método de eliminação de Gauss]] para se encontrar a solução do sistema consiste nas seguintes etapas
:*'''Etapa 1:''' Obter a matriz aumentada na forma <math>\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}</math> que representa o sistema de equações.
:*'''Etapa 2:'''Transformar a matriz aumentada <math>\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}</math> em uma matriz aumentada na forma <math>\begin{bmatrix}\bar A|\bar b\end{bmatrix}</math> onde <math>\bar A</math> é uma [[matriz triangular]] superior.
:*'''Etapa 3:''' Resolver o sistema linear <math>\begin{bmatrix}\bar A|\bar b\end{bmatrix}</math> da Etapa 2 por substituição regressiva.

====Etapa 1====
Considere o sistema linear de 3 equações abaixo:
<math display="block">\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2             &&\; + \;&& a_{13} x_3  &&\; = \;&& b_1 & \qquad (L_1) \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2             &&\; + \;&& a_{23} x_3 &&\; = \;&& b_2  & \qquad (L_2) \\
a_{31} x_1 &&\; + \;&& a_{32} x_2 &&\; +\;&& a_{33} x_3  &&\; = \;&& b_3 & \qquad (L_3) 
\end{alignat}</math>

A matriz aumentada A do sistema é:

<math>\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}^{(0)}</math> = 
<math> \left[ \begin{array}{ccc|c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3
\end{array} \right]
</math>

====Etapa 2====

=====Fase 1=====
Deseja-se zerar todos os elementos da primeira coluna abaixo da [[Diagonal de uma matriz|diagonal principal]].
Assim, sendo <math> a_{11} \ne 0 ,</math> define-se as constantes <math> k = a_{21} / a_{11}</math> e <math> w = a_{31} / a_{11}</math> e faz-se as seguintes operações lineares:

<math display="block"> L_2^{(1)} \leftarrow L_2 - k.L_1 </math>

<math display="block"> L_3^{(1)} \leftarrow L_3 - w.L_1 </math>

Obtendo-se:

<math display="block">\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}^{(1)}</math> = <math> \left[ \begin{array}{ccc|c}
a_{11}^{(1)} & a_{12}^{(1)} & a_{13}^{(1)} & b_1^{(1)} \\
0 & a_{22}^{(1)} & a_{23}^{(1)} & b_2^{(1)} \\
0 & a_{32}^{(1)} & a_{33}^{(1)} & b_3^{(1)}
\end{array} \right]
</math>

=====Fase 2=====
Agora, deve-se zerar todos os elementos da segunda coluna abaixo da diagonal principal.
Sendo o pivô o elemento <math> a_{22}^{(1)} </math> e a linha pivô  a linha 2 de <math>\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}^{(1)},</math> supõe-se <math> a_{22}^{(1)} \ne 0 ,</math> e define-se uma nova constante <math> v = a_{32}^{(1)} / a_{22}^{(1)}.</math> 
Realizando a operação

<math display="block"> L_3^{(2)} \leftarrow L_3^{(1)} - v.L_2^{(1)} </math>

obtém-se:

<math display="block">\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}^{(2)}</math> = <math> \left[ \begin{array}{ccc|c}
a_{11}^{(2)} & a_{12}^{(2)} & a_{13}^{(2)} & b_1^{(2)} \\
0 & a_{22}^{(2)} & a_{23}^{(2)} & b_2^{(2)} \\
0 & 0 & a_{33}^{(2)} & b_3^{(2)}
\end{array} \right]
</math>

:*Note que <math>\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}^{(2)}</math> é uma matriz aumentada cuja matriz <math> A </math> é uma matriz triangular superior.

====Etapa 3====
Resolve-se o sistema <math>\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}^{(2)}.</math> Assim:

<math display="block"> x_3 = b_{3}^{(2)} / a_{33}^{(2)}</math>       <math>, \ a_{33}^{(2)} \ne 0 </math>
<math display="block"> x_2 = (b_{2}^{(2)} - (a_{23}^{(2)} x_3))  /  a_{22}^{(2)} </math>
<math display="block"> x_1 = (b_{1}^{(2)} - (a_{12}^{(2)} x_2) - a_{13}^{(2)} x_3)  /  a_{11}^{(2)}</math>

Assim, encontra-se a solução <math> \begin{Bmatrix} x_1, \ x_2, \ x_3 \end{Bmatrix} </math> do sistema <math>\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}^{(2)},</math> que é a mesma  solução de <math>\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}.</math> 

*Observação: o método da Eliminação de Gauss só poderá ser usado para resolver sistemas lineares associados a matrizes escalonadas reduzidas com  elementos das suas diagonais principais não-nulos, ou seja, <math> a_{11}^{(1)}, a_{22}^{(2)}, a_{33}^{(3)},...,a_{nn}^{(n)} \ne 0 .</math> 

=== Método da substituição ===
O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo igualdade com um polinômio.
Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.

=== Método da comparação ===
Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações.
e as equações ficam mais detalhadas.

=== Método de Adição ===
O método de adição, é uma solução de sistemas lineares. Porem é mais usado quando se tem duas equações e duas incógnitas, Basicamente deve-se somar as equações a fim de cancelarmos uma variável no sistema.

Exemplo:
       21x + y = 13
       29x - y = 12
Podemos organiza-la para facilitar, deixando-a assim:
      21x + 29x + y - y = 13 + 12Texto em subscrito
Resultando em:
      21x + 29x = 13 + 12
      50x = 25
      x = 50 / 25 => 2
Assim encontramos o resultado da variável X, porem não acabou, temos que substituir o x na segunda equação
      29x - y = 12
      29(2) - y = 12 
      58 - y = 12
      y = - 12 + 58
      y = 46
Sendo assim, o conjunto solução é:
      S ( x , y ) = (2 , 46)

=== Fatorizações de matrizes ===
Os métodos mais utilizados computacionalmente para resolver sistemas lineares envolvem [[Fatorização|fatorizações de matrizes]]. O mais conhecido, a [[eliminação de Gauss]], origina a [[fatoração LU]]. Resolver o sistema ''Ax=b'' é equivalente a resolver os sistemas mais simples ''Ly=b'' e ''Ux=6''.

=== Regra de Cramer ===
A Regra de Cramer é uma fórmula explícita para a solução de um sistema de equações lineares, com cada variável dada por um quociente de dois determinantes. Por exemplo, a solução para o sistema

<math display="block">\begin{alignat}{7}
 x &\; + &\; 3y &\; - &\; 2z &\; = &\; 5 \\
3x &\; + &\; 5y &\; + &\; 6z &\; = &\; 7 \\
2x &\; + &\; 4y &\; + &\; 3z &\; = &\; 8
\end{alignat}</math>

é dada pela

<math display="block">
x=\frac
{\,\left| \begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;y=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;z=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}.
</math>

Para cada variável, o denominador é a determinante da matriz de coeficientes, enquanto o numerador é o determinante de uma matriz na qual cada coluna foi substituída pelo vetor de termos constantes.

Embora a regra de Cramer seja importante teoricamente, tem pouco valor prático para grandes matrizes, uma vez que o cálculo de grandes determinantes é um processo [[complexidade de algoritmos|computacionalmente custoso]]. 

Além disso, a regra de Cramer tem pobres propriedades numéricas, tornando-a inadequada para resolver até mesmo pequenos sistemas de forma confiável, a menos que as operações forem executadas em aritmética racional com precisão ilimitada.


=== Método de Jacobi ===

O método de Jacobi é obtido a partir do sistema linear:

a<sub>11</sub>x<sub>1</sub> + a<sub>12</sub>x<sub>2</sub> + ... + a<sub>1n</sub>x<sub>n</sub> = y<sub>1</sub>

a<sub>21</sub>x<sub>1</sub> + a<sub>22</sub>x<sub>2</sub> + ... + a<sub>2n</sub>x<sub>n</sub> = y<sub>2</sub>

...

a<sub>n1</sub>x<sub>1</sub> + a<sub>n2</sub>x<sub>2</sub> + ... + a<sub>nn</sub>x<sub>n</sub> = y<sub>n</sub>

Agora, isolando x<sub>1</sub> da primeira linha, obtemos: 

x<sub>1</sub><sup>(k+1)</sup> = y<sub>1</sub> - (a<sub>12</sub>x<sub>2</sub><sup>(k)</sup> + ... + a<sub>1n</sub>x<sub>n</sub><sup>(k)</sup>) / a<sub>11</sub>


Fazendo isso para os próximos x<sub>i</sub> de cada equação linear, o resultado será algo como:

x<sub>1</sub><sup>(k+1)</sup> = y<sub>1</sub> - (a<sub>12</sub>x<sub>2</sub><sup>(k)</sup> + ... + a<sub>1n</sub>x<sub>n</sub><sup>(k)</sup>) / a<sub>11</sub>

x<sub>2</sub><sup>(k+1)</sup> = y<sub>2</sub> - (a<sub>21</sub>x<sub>2</sub><sup>(k)</sup> +  a<sub>23</sub>x<sub>3</sub><sup>(k)</sup>  + ... + a<sub>2n</sub>x<sub>n</sub><sup>(k)</sup>) / a<sub>22</sub>

...

x<sub>n</sub><sup>(k+1)</sup> = y<sub>2</sub> - (a<sub>n1</sub>x<sub>1</sub><sup>(k)</sup> + ... + a<sub>n,n-2</sub>x<sub>n-2</sub><sup>(k)</sup> + a<sub>n,n-1</sub>x<sub>n-1</sub><sup>(k)</sup>) / a<sub>nn</sub>


Uma forma mais abreviada de escrever a equação seria:

x<sub>(1)</sub> = aproximação inicial

x<sub>i</sub><sup>(k+1)</sup> = (y<sub>i</sub> - Σ<sub>j=1<sub>j ≠ i</sub></sub><sup>n</sup>  a<sub>ij</sub>x<sub>j</sub><sup>(k)</sup>) / a<sub>ii</sub>


Logo, resolvendo o sistema linear abaixo via Método de Jacobi: 

10x + y = 23

x + 8y = 26


Iniciando com x<sup>(1)</sup> = y<sup>(1)</sup> = 0.


x<sup>(k+1)</sup> = 23 - y<sup>k</sup> / 10

y<sup>(k+1)</sup> = 26 - x<sup>k</sup> / 8

x<sup>(2)</sup> = 23 - y<sup>(1)</sup> / 10 = 2,3

y<sup>(2)</sup> = 26 - x<sup>(1)</sup> / 8 = 3,25

x<sup>(3)</sup> = 23 - y<sup>(2)</sup> / 10 = 1,975

y<sup>(3)</sup> = 26 - x <sup>(2)</sup> / 8 = 2,9625<ref>Métodos iterativos para sistemas lineares [https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/sdsl-metodos_iterativos_para_sistemas_lineares.html#x58-850004.7.1]</ref>


{{referências}}

==Ligações externas==
*[https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/main.html Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo], mantido pelo [[Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul|Instituto de Matemática e Estatística]] da [[Universidade Federal do Rio Grande do Sul]].
*[https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-oct/sdsl.html Solução de sistemas linear] em [https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/ Cálculo Numérico - Um Livro Colaborativo], mantido pelo [[Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul|Instituto de Matemática e Estatística]] da [[Universidade Federal do Rio Grande do Sul]]



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[[Categoria:Matemática]]
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