Mostrar código-fonte de Soluções de equações diferenciais

A [[Transformada de Laplace]] é muito utilizada como método para resolver equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes, com coeficientes variáveis, para equações diferenciais ordinárias simultâneas (sistemas de equações diferenciais), para equações diferenciais parciais e demais variações. Portanto, pode ser aplicada na resolução de diferentes problemas de engenharia.
De modo genérico, o processo para resolver as equações diferenciais segue 3 etapas:
# Transformar a equação do problema em uma equação algébrica. Esta nova equação obtida é denominada '''Equação subsidiária'''.
# Manipular a equação subsidiária obtida e resolvê-la.
# Encontrar a solução da equação diferencial através da [[Transformada de Laplace|Transformada de Laplace Inversa]].

Este procedimento de transformar um problema de cálculo em um problema algébrico é chamado de [[Cálculo Operacional]] e dentre as vantagens principais deste método estão dois pontos importantes:
* Resolução de forma mais direta dos problemas de valor inicial. Por exemplo, no caso de equações diferenciais ordinárias não homogêneas não há necessidade de resolver previamente a equação diferencial ordinária homogênea correspondente.
* É aplicado para problemas que envolvem descontinuidades, impulsos ou funções periódicas com facilidade devido à função Degrau Unitário e o [[Transformada de Laplace|Delta de Dirac]].
Seguem abaixo algumas aplicações da Transformada de Laplace para resolução de problemas no campo da Engenharia.

== Aplicação às Vigas ==
A equação diferencial que rege este problema é:
::::<math> \frac{d^{4}y(x)}{dx^{4}} = \frac{W(x)}{EI} </math>
Onde I é o momento de inércia da viga e o E é o módulo de Young. E W(x) representa a carga e é dado por:
::::<math> W(x)= P_{0}\delta(x-\frac{L}{3}) </math>
Aplicando a Transformada de Laplace temos:
::::<math> \mathcal{L}\{\frac{d^{4}y(x)}{dx^{4}}\}=\mathcal{L}\{\frac{W(x)}{EI}\} </math>
::::<math> s^4Y(s)- s^3y(0)-s^2y'(0)-sy''(0)-y'''(0) = \frac{P_{0}}{EI}e^{\frac{-L}{3}s} </math>
Resolvendo algebricamente e considerando os valores iniciais: 
::::<math> y(0)=y'(0)=0, y''(0)=C_{1}  e  y'''(0)=C_{2} </math> 
Obtemos a seguinte equação:
::::<math> Y(s)= \frac{C_{1}}{s^3} + \frac{C_{2}}{s^4} + \frac{P_{0}}{EI} \frac{e^{\frac{-L}{3}s}}{s^4}\, </math>.
Aplicando a transformada inversa de Laplace, encontramos a expressão para y(x):
::::<math> y(x) = \frac{C_{1}}{2!}x^2 + \frac{C_{2}}{3!}x^3 + \frac{P_{0}}{EI} \frac{(x-L/3)^3}{3!} u(x-L/3)\, </math>.

Aplicando as outras duas condições iniciais disponíveis: y(L) = 0 e y'(L)=0, descobre-se as duas constantes e encontra-se a solução final do problema. Se considerarmos L=5, o gráfico da solução é dado pela figura 1.

==Aplicação Reação Química==
Este exemplo traz um sistema de equações diferenciais ordinárias para ser resolvido de forma simples, pelo método da Transformada de Laplace. Considera-se um mecanismo simplificado:
<br /> R→I→P <br /> 
Podemos representar as concentrações como:
::::<math> r'(t)= -2r(t) </math>.
::::<math> i'(t)= 2r(t) - 4i(t) </math>.
::::<math> p'(t)= 4i(t) </math>.
Considerando α=2 e γ=4 como constantes positivas conhecidas e as condições iniciais de r(0)=1, i(0)=p(0)=0, calculamos a transformada de Laplace para cada uma das equações: 
::::<math> \mathcal{L}\{r'(t)\}=sR(s)-r(0)= -2R(s)   </math>.
::::<math> \mathcal{L}\{i'(t)\}=sI(s) - i(0)= 2R(s) -4I(s)   </math>.
::::<math> \mathcal{L}\{p'(t)\}=sP(s) -p(0)=4I(s)   </math>.

Resolvendo algebricamente cada uma das equações, com as respectivas substituições, obtemos:
::::<math> R(s)= \frac{1}{s+2} </math>.
::::<math> I(s)= \frac{2}{(s+2)(s+4)} </math>.
::::<math> P(s)= \frac{4}{s(s+2)(s+4)} </math>.
Agora, calcula-se a transformada inversa de Laplace e encontra-se as soluções r(t),i(t) e p(t).
::::<math> r(t)= e^{-2t} </math>.
::::<math> i(t)= - e^{-2t} + e^{-4t} </math>.
::::<math> p(t)= 2e^{-2t} - e^{-4t} - 1 </math>.




==Aplicação para Oscilador Harmônico==
Um '''oscilador harmônico''' sujeito a uma força pontual periódica.

Esta força pode ser representada por uma função [[Delta de Dirac]], com isso a equação do oscilador é:

::::<math> y''+y =4\delta (t-2\pi )</math>


::::<math>y(0)=1, y'(0)=0</math>.

Aplicando [[Transformada de Laplace]] dos dois lados temos

::::<math> \mathcal{L}\{y''+y\}= \mathcal{L}\{4\delta (t-2\pi )\}  </math> 


::::<math> S^{2}Y(S)-Sy(0)-y'(0)+Y(S) = 4e^{-2S \pi} </math>

Assim,

::::<math>Y(s)= \frac{s}{s^2+1}+\frac{4e^{2\pi s}}{s^2+1}\,</math>.

Agora aplicando a transformada inversa dos dois lados

::::<math> y(t)= cos(t) + 4 sen(t-2\pi ) U (t-2\pi)\,</math>.

Na qual <math>U(t-2\pi)\,</math>. é uma função degrau ou [[Função de Heaviside]].

==Aplicação para molas==

'''Molas Acopladas'''

Duas massas <math>m_{1}</math> e <math>m_{2}</math> estão presas  a duas molas de massas desprezíveis, com constantes elásticas <math>k_{1}</math> e <math>k_{2}</math> respectivamente.

Sejam <math>x_{1}(t)</math> e <math>x_{2}(t)</math> os deslocamentos verticais das massas em relação a posição de equilíbrio, temos que o alongamento da mola B será <math>x_{2}-x_{1}</math>

Pela segunda lei de Newton temos

<math>m_{1} \frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}=-k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1}) \qquad \mbox{e}</math>

<math>m_{2} \frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}}=-k_{2}(x_{2}-x_{1})</math>

A solução desse problema via transformada integral se torna simples, pois através dela o problema se torna equivalente a um sistema de equações lineares.

'''EXEMPLO''':

Sendo <math>k_{1}=6</math>, <math>k_{2}=4</math> e <math>m_{1}=m_{2}=1</math>, e dado que

<math>x_{1}(0)=x_{2}(0)=0</math> e <math>x'_{1}(0)=-x'_{2}(0)=1</math>     (condições)

Temos as seguintes EDO’s:

::<math>x''_{1}+10x_{1}-4x_{2}=0</math>


::<math>x''_{2}-4x_{1}+4x_{2}=0</math>

Aplicando transformada de Laplace nas duas equações temos:

<math>s^{2} X_{1}(s)-s x_{1}(0)-x'_{1}(0)+10X_{1}(s)-4X_{2}(s)=0</math>

<math>s^{2}X_{2}(s)-s x_{2}(0)-x'_{2}(0)+4X_{2}(s)-4X_{1}(s)=0</math>

Agora simplesmente resolvendo o sistema temos Utilizando as condições dadas em (condições)

<math>X_{1}= \frac{s^{2}}{(s^{2}+2)(s^{2}+12)}=-\frac{1/5}{s^{2}+2}+\frac{6/5}{s^{2}+12}</math>

Assim aplicando a transformada inversa temos:

<math>x_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{5}sen \sqrt{2}t+\frac{\sqrt{3}}{5}sen 2\sqrt{3}t</math>.

Encontrando <math>X_{2}</math> utilizando <math>X_{1}</math> encontrado anteriormente temos:

<math>X_{2}=-\frac{2/5}{s^{2}+2}-\frac{3/5}{s^{2}+12}</math>,

portanto, aplicando a transformada inversa, temos:

<math>x_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{5}sen\sqrt{2}t-\frac{\sqrt{3}}{10}sen2\sqrt{3}t</math>.

[[Categoria:Equações diferenciais]]
<ref>Matemática Superior para Engenharia. Erwin Kreyszig.9ªEdição, Volume 1.</ref>
<ref>Notas de Aula - Transformada de Laplace. Fábio Azevedo, Esequia Sauter e Irene Maria Fonseca Strauch. 2016</ref>