Mostrar código-fonte de Soma da série de Grandi

{{Artigo principal|[[Série de Grandi]]}}

== Considerações gerais ==
=== Estabilidade e linearidade ===
As manipulações formais que conduzem a 1 − 1 + 1 − 1 + · · · sendo atribuído um valor de <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub> inclui:
* Adição ou [[subtração]] de duas séries termo-a-termo,
* Multiplicação através de um termo-a-termo escalar,
* "Deslocar" as séries com nenhum mudança na soma, e
* Aumento da soma adicionando um novo termo na cabeça da série.
Todas essas são manipulações legais para as somas de séries convergentes, mas 1 − 1 + 1 − 1 + · · · não é uma [[série convergente]].

Todavia, há muitos métodos de soma que respeitam essas manipulações e que atribuem uma "suma" à série de Grandi. Dois destes métodos mais simples são: [[soma de Cesàro]] e [[Série divergente#Soma de Abel|soma de Abel]].<ref>Davis pp.152, 153, 157</ref>

== Separação de escalas ==
Dado qualquer função φ(x) tal que φ(0) = 1, o limite de φ a +∞ é 0, e a derivada de φ é integral sobre (0, +∞), então a generalizada φ-soma da série de Grandi existe e é igual a <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>:
:<math>S_\varphi = \lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty(-1)^m\varphi(\delta m) = \frac12.</math>

A soma de Cesàro ou Abel é recuperada por deixar de φ ser uma [[função triangular]] ou exponencial, respectivamente. Se φ é assumido adicionalmente ser ''continuamente'' diferenciável, então a reivindicação pode ser provada aplicando o [[teorema do valor médio]] e convertendo a soma em em integral. Rapidamente:

:<math>\begin{array}{rcl}
S_\varphi & = &\displaystyle \lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty\left[\varphi(2k\delta) - \varphi(2k\delta-\delta)\right] \\[1em]
  & = & \displaystyle \lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty\varphi'(2k\delta+c_k)(-\delta) \\[1em]
  & = & \displaystyle-\frac12\int_0^\infty\varphi'(x) \,dx = -\frac12\varphi(x)|_0^\infty = \frac12.
\end{array}</math><ref>Saichev pp.260-262</ref>

{{Referências|Notas e referências}}

== Referências ==
<div class="references-small">
* {{citar livro|último =Bromwich |primeiro =T.J. |ano=1926 |anooriginal=1908 |edição=2e |título=An Introduction to the Theory of Infinite Series}}
* {{citar livro|último =Davis |primeiro =Harry F. |título=Fourier Series and Orthogonal Functions |ano=1989 |month=maio |publicado=Dover |isbn= 0-486-65973-9}}
* {{citar livro|último =Hardy |primeiro =G.H. |autorlink =Godfrey Harold Hardy|título=Divergent Series |ano=1949 |publicado=Clarendon Press |id=}}
* {{citar periódico|último =Kline |primeiro =Morris |título=Euler and Infinite Series |periódico=Mathematics Magazine |volume=56 |número=5 |ano=1983 |month=novembro |páginas=307-314 |url=http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28198311%2956%3A5%3C307%3AEAIS%3E2.0.CO%3B2-M}}
* {{citar livro|autor =Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński |título=Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1 |publicado=Birkhaüser |ano=1996 |isbn= 0-8176-3924-1,}}
* {{citar livro|último =Smail |primeiro =Lloyd |título=History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes |ano=1925 |publicado=University of Oregon Press |id=}}
* {{citar livro|autor =Weidlich |primeiro =John E. |título=Summability methods for divergent series |ano=1950 |month=junho |publicado=Stanford M.S. theses}}
</div>

{{esboço-matemática}}

{{DEFAULTSORT:Soma Serie Grandi}}
[[Categoria:Séries matemáticas]]