Mostrar código-fonte de Taxa marginal de substituição

Em [[microeconomia]], a '''taxa marginal de substituição''' do bem A pelo bem B, representado por '''TMgS (B,A)''', mede a taxa à qual o consumidor está propenso a substituir o bem A pelo bem B <ref>VARIAN, Hal. ''Microeconomia - Principios Basicos''. Rio de Janeiro: Editora Elsevier, 2006, 9ª reimpressão, p. 50. Tradução da 7ª edição em inglês.</ref>. Em outras palavras, esta taxa mede uma troca: o número de unidades do bem B (adquiridas) por unidade do bem A (sacrificada), desde que a troca busca mantenha o mesmo nível de satisfação ([[utilidade]]) do consumidor.

Esse nível de satisfação é representado matematicamente por uma [[função utilidade|utilidade]], cuja imagem gráfica é chamada de ''mapa de [[curvas de indiferença]]''. Cada ponto pertencentes a uma mesma [[curva de indeferença]] representa uma ''cesta'' composta por diferentes quantidades dos bens A e B, porém todas as cestas de uma mesma [[curva de indiferença]] apresentam a mesma [[utilidade]] para o consumidor. Entretanto, a cada ponto da curva (cada cesta) corresponde uma distinta taxa marginal de substituição.

A TMgS referente a uma cesta é dada pelo valor da derivada no ponto da [[curva de indiferença]] que representa a aludida cesta de bens (inclinação da reta tangente à curva naquele ponto). Dessa forma, a TMgS possui valor diferente para cada cesta representada pela curva, exceto em [[curvas de indiferença]] de bens ''substitutos'' ou ''complementares perfeitos'', onde a TMgS é (localmente) constante.

A taxa marginal de substituição depende da quantidade de cada bem que o consumidor possui no momento. Por princípio intuitivo, afirma-se que cada nova unidade de um determinado bem possui menos utilidade do que a unidade imediatamente anterior. Para compreender esse conceito, basta imaginar alguém "matando a sede": o primeiro copo d'água possui maior [[utilidade]] (satisfação) do que o segundo, este maior do que o terceiro, e assim por diante. Isso mostra que a [[utilidade marginal|utilidade]] de um bem é decrescente.

== Análise matemática básica ==
Represente a [[função de utilidade]] como <math>U(x,y)</math>, onde ''U'' é a função de utilidade, ''x'' e ''y'' são bens.
Adicionalmente:
:<math>{\color{Red}U_x=\partial U/\partial x}</math> = utilidade marginal com respeito ao bem ''x''
:<math>{\color{OliveGreen}U_y=\partial U/\partial y}</math> = utilidade marginal com respeito ao bem ''y''
Ao tomarmos a [[Diferencial total]] da função de utilidade, obtém-se:
:<math>\ dU={\color{Red}\partial U/\partial x}dx + {\color{OliveGreen}\partial U/\partial y}dy </math>, ou, substituindo,  <math>\ dU= {\color{Red}U_x}dx + {\color{OliveGreen}U_y}dy </math>
Considerando a [[Derivada total]] da função de utilidade com respeito ao bem ''x'',
:<math>\frac{dU}{dx}= U_x\frac{dx}{dx}+ U_y\frac{dy}{dx}</math>, ou seja,  <math>\frac{dU}{dx}= U_x.1 + U_y\frac{dy}{dx}</math>.
Em qualquer ponto da [[curva de indiferença]] temos ''dU/dx'' = 0, porque ''U''&nbsp;=&nbsp;''c'', onde ''c'' é uma constante. Então:
:<math> 0 = U_x + U_y\frac{dy}{dx}</math>, rearrumando,  <math>-\frac{dy}{dx} = \frac{{\color{Red}U_x}}{{\color{OliveGreen}U_y}}</math>
A taxa marginal de substituição é definida como '''menos''' a inclinação da curva de indiferença para qualquer cesta de bens que se considere (lado esquerdo da equação acima). Dessa maneira, ela se torna igual à razão entre as [[utilidade marginal|utilidades marginais]] de ''x'' e ''y'':
:<math>\ TMgS_{xy}=</math><math>{\color{Red}-U_x}\over{\color{OliveGreen}U_y}</math> <math>=</math> <math>{\color{Red}-\partial U/\partial x}\over{\color{OliveGreen}\partial U/\partial y}</math>.<ref name="MAS-COLELL, Andreu 1995">MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael D., e GREEN, Jerry R. ''Microeconomic Theory''. Oxford University press, 1995. ISBN 978-0-19-507340-9. Página 54.</ref>

== Propriedades ==
Quando os consumidores maximizam [[utilidade]] sujeitos a uma restrição orçamentária, a [[curva de indiferença]] é [[tangente]] à reta orçamentária, que representa as cestas de bens que custam exatamente a renda do consumidor, ou seja, considerando a renda ''m'' e os preços <math>p_x</math> e <math>p_y</math>:
:<math>\ m=p_x x + p_y y </math>    é, por definição, a reta orçamentária. Então:
:<math>\ y=\frac{m}{p_y} - \frac{p_x}{p_y}x </math>

Mas a TMgS tangencia a reta orçamentária, possuindo a mesma inclinação dela nesse ponto: <math> TMgS_{xy} = -dy/dx </math>, ou seja, <math> TMgS_{xy} = p_x/p_y </math>. Dessa forma, quando o consumidor escolhe a cesta que maximiza sua utilidade, dentro de sua restrição orçamentária,
:<math>\ U_x/U_y=p_x/p_y </math>
:<math>\ U_x/p_x=U_y/p_y </math>
Este resultado importante nos diz que o consumidor maximiza utilidade ao alocar os recursos orçamentários de tal maneira que mantenha a mesma razão entre a utilidade marginal e preços para todos os bens.
A intuição econômica por trás desse resultado é que o consumidor maximiza utilidade ao igualar: i) a razão de troca dada pelo mercado, <math> _\frac{p_x}{p_y} </math>, que informa o [[custo de oportunidade]] da aquisição de uma unidade de ''x'' em termos de <math> _\frac{p_x}{p_y} </math> unidades do bem ''y''; e ii) a razão entre as utilidades marginais de ''x'' e ''y'', que é a taxa marginal de substituição, a quantidade que o consumidor abre mão no consumo de ''y'' para consumir mais de ''x'', permanecendo com o mesmo nível de satisfação, ou seja, permanecendo na mesma [[curva de indiferença]].

* Num '''ótimo''' interior (ou seja, que não é de canto), a taxa marginal de substituição entre quaisquer dois bens deve ser igual à razão entre seus preços<ref name="MAS-COLELL, Andreu 1995"/>
:<math>\frac{{\color{Red}\partial U/\partial x}}{{\color{OliveGreen}\partial U/\partial y}}=\frac{p_x}{p_y}</math>

==Equilíbrio econômico==
Quando as taxas marginais de substituição entre o bem x e o bem y forem diferentes para dois consumidores (consumidor <math>{\color{RubineRed}i}</math> e consumidor <math>{\color{RoyalBlue}j}</math>), isso significa que o consumidor "i" confere maior valor a um bem, enquanto o indivíduo "j" confere maior valor a outro. Nessa situação, há espaço para uma troca mutuamente benéfica (ou seja, uma melhora de [[Pareto]])<ref name=unb>RESENDE, Caio Cordeiro de. ''Falhas de Mercado: uma análise comparativa da escola do setor público tradicional e da escola austríaca''. Brasília: 2012, p. 24-5. Disponível em: <http://repositorio.unb.br/bitstream/10482/11094/2/2012_CaioCordeirodeResende.pdf>. Acesso em: 30 de setembro de 2013.</ref>. 

O equilíbrio econômico é atingido quando a ''taxa marginal de substituição entre cada par de bens é igual para todos os consumidores''. Matematicamente, portanto, teremos<ref name=unb></ref>:

{| class="wikitable"
|-
! Fórmula matemática !! Interpretação
|-
| :<math>\ TMgS_{xy}^{\color{RubineRed}i}=</math><math>\ TMgS_{xy}^{\color{RoyalBlue}j}</math> || No equilíbrio econômico, a taxa marginal de substituição entre os bens x e y, para o consumidor <math>{\color{RubineRed}i}</math>, é idêntica á taxa marginal de substituição entre os mesmos bens para o consumidor <math>{\color{RoyalBlue}j}</math>
|-
| <math>\left ( \frac{{\color{Red}U_x}}{{\color{OliveGreen}U_y}} \right )^{\color{RubineRed}i}</math><math>=</math> <math>\left ( \frac{{\color{Red}U_x}}{{\color{OliveGreen}U_y}} \right )^{\color{RoyalBlue}j}</math> || Como a taxa marginal de substituição é igual entre a razão entre as utilidades marginais, o equilíbrio econômico também pode ser entendido como: a razão entre as utilidades marginais para dos bens y e y, para o <math>{\color{RubineRed}i}</math>, deve ser igual à razão do consumidor <math>{\color{RoyalBlue}j}</math>
|}

== A Taxa Marginal de Substituição Técnica ==
A '''taxa marginal de substituiçaõ técnica''' é a taxa analoga a TMgS para o lado da [[oferta]], em um [[mercado]]. Essa taxa representa o que uma [[empresa]] pode substituir de um fator produtivo por outro, mantendo o mesmo nível de produção. Num mapa de curvas [[isoquanta]]s a Taxa Marginal de Substituição Técnica, é dada, assim como a TMgS, pela inclinação da curva que passa no ponto que representa da referida combinação de [[fatores de produção]].

{{Referências}}

{{esboço-economia}}
{{Controle de autoridade}}
{{Portal3|Economia}}

{{DEFAULTSORT:Taxa Marginal Substituicao}}
[[Categoria:Microeconomia]]