Mostrar código-fonte de Temperamento igual

{{Wide image|Equal Temper w limits.svg|700px|Uma comparação de alguns temperamentos iguais.<ref name="Sethares">Sethares compara vários temperamentos iguais em um gráfico com os eixos invertidos em relação aos eixos na primeira comparação de temperamentos iguais, e com eixos idênticos na segunda.[https://books.google.com/books?id=KChoKKhjOb0C&pg=PA58&vq=%22tuning+of+one+octave+of+notes%22&source=gbs_search_r&cad=1_1&sig=ACfU3U2dq8ONjfazmWxdojVsQ3TFyz-kTg (fig. 4.6, p. 58)]</ref> O gráfico se estende por uma [[oitava]] horizontalmente (abra a imagem para visualizar toda a largura), e cada retângulo sombreado tem a largura de um passo em uma escala. As razões de [[Entonação justa|intervalo justo]] são separadas em linhas pelos seus limites primos.|400px|right}}
[[File:Chromatische toonladder.png|thumb|300px|A escala cromática de 12 tons em temperamento igual, partindo de C, com uma oitava completa ascendente, notada apenas com sustenidos.<br />{{audio|ChromaticScaleUpDown.ogg|Tocar ascendente e descendente}}]]
Um '''temperamento igual''' é um sistema de afinação ou [[temperamento musical]] que aproxima [[Entonação justa|intervalos justos]] dividindo uma [[oitava]] (ou outro intervalo) em etapas iguais. Isso significa que a razão entre as [[frequência]]s de qualquer par de notas adjacentes é a mesma, o que resulta em um tamanho de etapa percebido como igual, já que a [[Altura (música)|altura]] é percebida aproximadamente como o [[logaritmo]] da frequência.<ref>{{citar web |último1=O'Donnell |primeiro1=Michael |título=Perceptual Foundations of Sound |url=http://people.cs.uchicago.edu/~odonnell/Scholar/Work_in_progress/Digital_Sound_Modelling/lectnotes/node4.html |acessodata=2017-03-11}}</ref>

Na [[música clássica]] e na música ocidental em geral, o sistema de afinação mais comum desde o século XVIII tem sido o '''temperamento igual de 12 tons''' (também conhecido como '''temperamento igual de 12 notas''', '''12-TET''' ou '''12-ET'''), que divide a oitava em 12 partes, todas iguais em uma [[escala logarítmica]], com uma razão igual à raiz 12ª de 2 ({{radic|2|12}} ≈ 1.05946). O menor intervalo resultante, {{frac|12}} da largura de uma oitava, é chamado de [[semitom]] ou meio tom. Nos [[Mundo ocidental|países ocidentais]], o termo temperamento igual, sem qualificação, geralmente se refere ao 12-TET.

Nos tempos modernos, o 12-TET é geralmente afinado em relação a um tom-padrão de 440 Hz, chamado de [[Lá 440]], o que significa que uma nota, [[Lá]], é afinada em 440 [[hertz]] e todas as outras notas são definidas como múltiplos de semitons acima ou abaixo dela, em frequência. O tom-padrão nem sempre foi de 440 Hz; ele variou consideravelmente e, em geral, aumentou nos últimos poucos séculos.<ref>The History of Musical Pitch in Europe p493-511 Herman Helmholtz, Alexander J. Ellis ''On The Sensations of Tone'', Dover Publications, Inc., New York</ref>

Outros temperamentos iguais dividem a oitava de maneira diferente. Por exemplo, algumas músicas foram escritas em 19-TET e 31-TET, enquanto o sistema de tons árabe usa 24-TET.

Em vez de dividir uma oitava, um temperamento igual também pode dividir um intervalo diferente, como a versão temperada igualmente da escala Bohlen-Pierce, que divide o intervalo justo de uma oitava e quinta (razão 3:1), chamado de "tritave" ou "pseudo-oitava" nesse sistema, em 13 partes iguais.

Para sistemas de afinação que dividem a oitava igualmente, mas não são aproximações de intervalos justos, o termo '''divisão igual da oitava''', ou '''EDO''' em inglês, pode ser usado.

Ensembles de cordas sem trastes, que podem ajustar a afinação de todas as notas, exceto as cordas soltas, e grupos vocais, que não têm limitações mecânicas de afinação, às vezes usam uma afinação muito mais próxima da justa [[entonação]] por razões acústicas. Outros instrumentos, como alguns [[Instrumento de sopro|instrumentos de sopro]], [[Teclado (instrumento musical)|teclado]] e com [[traste]]s, muitas vezes apenas aproximam o temperamento igual, onde limitações técnicas impedem afinações exatas.<ref>Varieschi, G., & Gower, C. (2010). Intonation and compensation of fretted string instruments. ''American Journal of Physics, 78''(47), 47-55. https://doi.org/10.1119/1.3226563</ref> Alguns instrumentos de sopro que podem curvar facilmente seu tom, mais notavelmente [[trombone]]s, usam afinação semelhante a ensembles de cordas e grupos vocais.

{{Wide image|EDO errors.png|700px|Uma comparação de temperamentos iguais entre 10-TET e 60-TET em cada intervalo principal de limites primos pequenos (vermelho: 3/2, verde: 5/4, índigo: 7/4, amarelo: 11/8, ciano: 13/8). Cada gráfico colorido mostra a quantidade de erro (em cents) na aproximação mais próxima do intervalo justo correspondente (a linha preta no centro). Duas curvas pretas que cercam o gráfico em ambos os lados representam o erro máximo possível, enquanto as cinzas dentro delas indicam a metade disso.|400px|right}}

== Propriedades gerais ==
Em um temperamento igual, a distância entre dois passos adjacentes da escala é o mesmo [[Intervalo (música)|intervalo]]. Como a identidade percebida de um intervalo depende da sua [[Razão (matemática)|razão]], essa escala em passos iguais é uma [[Progressão geométrica|sequência geométrica]] de multiplicações. (Uma [[Progressão aritmética|sequência aritmética]] de intervalos não soaria espaçada uniformemente e não permitiria [[Transposição (música)|transposição]] para diferentes [[Tom|tonalidades]].) Especificamente, o menor intervalo em uma escala temperada igual é a razão:

:<math>r^n = p</math>
:<math>r = \sqrt[n]{p}</math>

Onde a razão ''r'' divide a razão ''p'' (tipicamente a [[oitava]], que é 2:1) em ''n'' partes iguais.

As escalas são frequentemente medidas em [[Cent (música)|cents]], que dividem a oitava em 1200 intervalos iguais (cada um chamado de cent). Essa escala [[Logaritmo|logarítmica]] torna mais fácil a comparação de diferentes sistemas de afinação do que a comparação de razões e tem um uso considerável na [[etnomusicologia]]. O passo básico em cents para qualquer temperamento igual pode ser encontrado tomando a largura de ''p'' acima em cents (geralmente a oitava, que tem 1200 cents de largura), chamada de ''w'' abaixo, e dividindo-a em ''n'' partes:

:<math>c = \frac{w}{n}</math>

Na análise musical, o material pertencente a um temperamento igual muitas vezes é representado por uma notação inteira, o que significa que um único número inteiro é usado para representar cada altura. Isso simplifica e generaliza a discussão do material de altura dentro do temperamento de modo similar ao que tomar o [[logaritmo]] de uma multiplicação a reduz a uma adição. Além disso, aplicando a [[aritmética modular]] onde o módulo é o número de divisões da oitava (geralmente 12), esses números inteiros podem ser reduzidos a classes de tons, o que remove a distinção (ou reconhece a similaridade) entre alturas com o mesmo nome, por exemplo, dó é 0 independentemente do registro da oitava. O padrão de codificação [[MIDI]] usa designações de nota inteiras.

== Temperamento igual de doze tons ==
{{AP|12 temperamentos iguais}}
O temperamento igual de doze tons, que divide a oitava em 12 intervalos de tamanho igual, é o sistema musical mais amplamente utilizado hoje, especialmente na música ocidental." Essa frase explica o que é o "12-tone equal temperament" e destaca sua importância no contexto da música ocidental.

=== História ===
As duas figuras frequentemente creditadas com a conquista do cálculo exato do temperamento igual são [[Zhu Zaiyu]] (também romanizado como Chu-Tsaiyu. Chinês: 朱載堉) em 1584 e [[Simon Stevin]] em 1585. De acordo com Fritz A. Kuttner, um crítico da teoria,<ref name=Kuttner163 /> sabe-se que Zhu "apresentou um método altamente preciso, simples e engenhoso para o cálculo aritmético de monocórdios de temperamento igual em 1584" e que Stevin "ofereceu uma definição matemática de temperamento igual, além de um cálculo um pouco menos preciso dos valores numéricos correspondentes em 1585 ou posteriormente". Os desenvolvimentos ocorreram de forma independente.<ref>Fritz A. Kuttner. "Prince Chu Tsai-Yü's Life and Work: A Re-Evaluation of His Contribution to Equal Temperament Theory", p.200, ''Ethnomusicology'', Vol. 19, No. 2 (May 1975), pp. 163–206.</ref>

Kenneth Robinson atribui a invenção do temperamento igual a Zhu<ref name=Robinson>Kenneth Robinson: ''A critical study of Chu Tsai-yü's contribution to the theory of equal temperament in Chinese music''. (Sinologica Coloniensia, Bd. 9.) x, 136 pp. Wiesbaden: Franz Steiner Verlag GmbH, 1980. DM 36. p.vii "Chu-Tsaiyu the first formulator of the mathematics of "equal temperament" anywhere in the world</ref> e fornece citações textuais como evidência.<ref name=Robinson221>Robinson, Kenneth G., and Joseph Needham. 1962. "Physics and Physical Technology". In Science and Civilisation in China, vol. 4: "Physics and Physical Technology", Part 1: "Physics", edited by Joseph Needham. Cambridge: University Press. p. 221.</ref> Em um texto datado de 1584, Zhu escreveu: "Eu fundei um novo sistema. Eu estabeleço um pé como o número do qual os outros devem ser extraídos e, usando proporções, eu os extraio. No total, tem-se que encontrar as figuras exatas para os tocadores de pitch em doze operações."<ref name=Robinson221 /> Kuttner discorda e observa que sua afirmação "não pode ser considerada correta sem grandes qualificações".<ref name=Kuttner163>Fritz A. Kuttner. p. 163.</ref> Kuttner propõe que nem Zhu nem Stevin alcançaram o temperamento igual e que nenhum dos dois deve ser considerado um inventor.<ref name=Kuttner220>Fritz A. Kuttner. p. 200.</ref>

==== China ====
[[Imagem:乐律全书全-1154.jpg|thumb|right|os pitch pipes de temperamento igual de Zhu Zaiyu]]
A China havia anteriormente desenvolvido aproximações para o temperamento igual de 12 notas, mas Zhu foi a primeira pessoa a resolver matematicamente o temperamento igual de 12 notas,<ref name=Cho>Gene J. Cho "The Significance of the Discovery of the Musical Equal Temperament in the Cultural History," [http://en.cnki.com.cn/Article_en/CJFDTOTAL-XHYY201002002.htm http://en.cnki.com.cn/Article_en/CJFDTOTAL-XHYY201002002.htm] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120315013436/http://en.cnki.com.cn/Article_en/CJFDTOTAL-XHYY201002002.htm |data=2012-03-15 }}</ref> o qual ele descreveu em sua obra ''Fusão da Música e do Calendário'' (律暦融通) em 1580 e ''Compendium Completo de Música e Afinação'' (''Yuelü quan shu'' 樂律全書) em 1584.<ref>{{citar web |url=http://uts.cc.utexas.edu/~rhart/papers/quantifying.html |título=Quantifying Ritual: Political Cosmology, Courtly Music, and Precision Mathematics in Seventeenth-Century China Roger Hart Departments of History and Asian Studies, University of Texas, Austin |publicado=Uts.cc.utexas.edu |acessodata=2012-03-20 |urlmorta=sim |arquivourl=https://web.archive.org/web/20120305174554/http://uts.cc.utexas.edu/~rhart/papers/quantifying.html |arquivodata=2012-03-05 }}</ref> Joseph Needham também fornece uma conta detalhada.<ref>Science and Civilisation in China, Vol IV:1 (Physics), Joseph Needham, Cambridge University Press, 1962–2004, pp 220 ff</ref> Zhu obteve seu resultado dividindo o comprimento da corda e do tubo sucessivamente por {{radic|2|12}} ≈ 1.059463 e para o comprimento do tubo por {{radic|2|24}},<ref>The Shorter Science & Civilisation in China, An abridgement by Colin Ronan of Joseph Needham's original text, p385</ref> de modo que após 12 divisões (uma oitava), o comprimento era reduzido pela metade.

Zhu criou vários instrumentos ajustados ao seu sistema, incluindo tubos de bambu.<ref>Lau Hanson, Abacus and Practical Mathematics p389 (em Chinês {{lang|zh|劳汉生 《珠算与实用数学》 389页}})</ref>

==== Europa ====
Alguns dos primeiros europeus a defenderem o temperamento igual foram os alaudistas [[Vincenzo Galilei]], [[Giacomo Gorzanis]] e [[Francesco Spinacino]], todos eles compositores que escreveram música utilizando este sistema.<ref>Galilei, V. (1584). Il Fronimo... Dialogo sopra l'arte del bene intavolare. [[Girolamo Scotto|G. Scotto]]: Venice, ff. 80–89.</ref><ref>{{citar web |url=http://www.philresound.co.uk/page4.htm |título=Resound – Corruption of Music |publicado=Philresound.co.uk |acessodata=2012-03-20 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20120324234829/http://www.philresound.co.uk/page4.htm |arquivodata=2012-03-24 |urlmorta=sim }}</ref><ref>Giacomo Gorzanis, c. 1525 – c. 1575 Intabolatura di liuto. Geneva, 1982</ref><ref>{{citar web |url=http://www.sunstar.com.ph/cebu/business/bickering-blocking-cebu-s-progress |título=Spinacino 1507a: Thematic Index |publicado=Appalachian State University |urlmorta=sim |arquivourl=https://web.archive.org/web/20110725182053/http://www.library.appstate.edu/music/lute/16index/tspi07a.html |arquivodata=2011-07-25 |acessodata=2012-06-14}}</ref>

[[Simon Stevin]] foi o primeiro a desenvolver o 12-TET com base na raiz duodécima de dois, o qual ele descreveu em Van De Spiegheling der singconst (cerca de 1605), publicado postumamente em 1884.<ref>{{citar web |url=http://diapason.xentonic.org/ttl/ttl21.html |título=Van de Spiegheling der singconst, ed by Rudolf Rasch, The Diapason Press |publicado=Diapason.xentonic.org |data=2009-06-30 |acessodata=2012-03-20 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20110717015203/http://diapason.xentonic.org/ttl/ttl21.html |arquivodata=2011-07-17 |urlmorta=sim }}</ref>

Os músicos que tocavam instrumentos de cordas dedilhadas, como alaúd e violão, geralmente preferiam o temperamento igual,<ref>"Lutes, Viols, Temperaments" Mark Lindley {{ISBN|978-0-521-28883-5}}</ref> enquanto outros eram mais divididos.<ref>Andreas Werckmeister: Musicalische Paradoxal-Discourse, 1707</ref> No final, o temperamento igual de 12 tons prevaleceu. Isso permitiu a modulação enarmônica, novos estilos de tonalidade simétrica e politonalidade, [[música atonal]] como a escrita com a [[Dodecafonismo|técnica dos 12 tons]] ou [[serialismo]], e o ''[[jazz]]'' (pelo menos sua componente de piano) se desenvolver e florescer.

=== Matemática ===
{{anchor|12TET}}
[[Imagem:Monochord ET.png|thumb|Uma oitava de 12-TET em um monocórdio]]
No temperamento igual de 12 tons, que divide a oitava em 12 partes iguais, a largura de um [[semitom]], isto é, a razão de frequência do intervalo entre duas notas adjacentes, é a raiz duodécima de dois:

:<math>\sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}} \approx 1.059463</math>

Este intervalo é dividido em 100 [[Cent (música)|cents]].

==== Calculando frequências absolutas ====
{{VT|Lista de frequências das teclas de piano}}
Para encontrar a frequência, ''P<sub>n</sub>'', de uma nota em 12-TET, pode ser usada a seguinte definição:

:<math>P_{n} = P_{a}\left( \sqrt[12]{2} \right)^{(n-a)}</math>

Nesta fórmula, ''P<sub>n</sub>'' é a altura, ou frequência (geralmente em hertz), que você está tentando encontrar. ''P<sub>a</sub>'' é a frequência de uma altura de referência. n e a são números atribuídos à altura desejada e à altura de referência, respectivamente. Esses dois números vêm de uma lista de inteiros consecutivos atribuídos a semitons consecutivos. Por exemplo, A<sub>4</sub> (a altura de referência) é a 49ª tecla da extremidade esquerda de um piano (afinado em [[Lá 440|440 Hz]]), e C<sub>4</sub> (Dó central) e F#4 são a 40ª e 46ª teclas, respectivamente. Esses números podem ser usados para encontrar a frequência de C<sub>4</sub> e F#<sub>4</sub>:

:<math>P_{40} = 440\left( \sqrt[12]{2} \right)^{(40-49)} \approx 261.626 \ \mathrm{Hz}</math>
:<math>P_{46} = 440\left(\sqrt[12]{2} \right)^{(46-49)} \approx 369.994 \ \mathrm{Hz} </math>

==== Convertendo frequências para seus equivalentes em temperamento igual ====
Para converter uma frequência (em Hz) para sua contraparte igual em 12-TET, a seguinte fórmula pode ser usada:

<math>E_{n}=a\cdot2^{\frac{\operatorname{round}\left(12\log_{2}\left(\frac{n}{a}\right)\right)}{12}}</math>

''E<sub>n</sub>'' é a frequência de um pitch em temperamento igual, e a é a frequência de um pitch de referência. Por exemplo, se considerarmos o pitch de referência igual a 440 Hz, podemos ver que as frequências de E<sub>5</sub> e C#<sub>5</sub> são, respectivamente:

<math>E_{660}=440\cdot2^{\frac{\operatorname{round}\left(12\log_{2}\left(\frac{660}{440}\right)\right)}{12}}\approx659.255 \ \mathrm{Hz}</math>

<math>E_{550}=440\cdot2^{\frac{\operatorname{round}\left(12\log_{2}\left(\frac{550}{440}\right)\right)}{12}}\approx554.365 \ \mathrm{Hz}</math>

==== Comparação com a afinação justa ====
Os intervalos de 12-TET se aproximam de forma próxima de alguns intervalos de [[afinação justa]].<ref>{{citar livro|url=https://archive.org/details/genesismusicacco00part|título=Genesis of a Music|primeiro1=Harry|data=1979|publicado=Da Capo Press|página=[https://archive.org/details/genesismusicacco00part/page/n167 134]|isbn=0-306-80106-X|último1=Partch|url-access=limitado|edição=2nd}}</ref> Os quintos e quartos são quase indistinguivelmente próximos de intervalos justos, enquanto terças e sextas estão mais distantes.

Na tabela a seguir, os tamanhos de vários intervalos justos são comparados com seus equivalentes temperados em 12 notas, dados como uma proporção bem como em [[Cent (música)|centésimos]].

{| class="wikitable"  style="margin:auto;"
|-
! Nome do Intervalo
! Valor exato em 12-TET
! Valor decimal em 12-TET
! Cents
! Intervalo na afinação justa
! Cents na afinação justa
! Diferença
|-
| Uníssono ([[Dó|C]])
| 2{{sup|{{frac|0|12}}}} = 1
| 1
| 0
| {{frac|1|1}} = 1
| 0
| 0
|-
| Segunda menor ([[Ré bemol|D♭]])
| 2{{sup|{{frac|1|12}}}} = {{radic|2|12}}
| {{#expr:2^(1/12) round 6}}
| 100
| {{frac|16|15}} = 1.06666…
| {{#expr:1200*ln(16/15)/ln2 round 2}}
| {{#expr:100-1200*ln(16/15)/ln2 round 2}}
|-
| Segunda maior ([[Ré|D]])
| 2{{sup|{{frac|2|12}}}} = {{radic|2|6}}
| {{#expr:2^(1/6) round 6}}
| 200
| {{frac|9|8}} = 1.125
| {{#expr:1200*ln(9/8)/ln2 round 2}}
| {{#expr:200-1200*ln(9/8)/ln2 round 2}}
|-
| Terça menor ([[Mi bemol|E♭]])
| 2{{sup|{{frac|3|12}}}} = {{radic|2|4}}
| {{#expr:2^(1/4) round 6}}
| 300
| {{frac|6|5}} = 1.2
| {{#expr:1200*ln(6/5)/ln2 round 2}}
| {{#expr:300-1200*ln(6/5)/ln2 round 2}}
|-
| Terça maior ([[Mi|E]])
| 2{{sup|{{frac|4|12}}}} = {{radic|2|3}}
| {{#expr:2^(1/3) round 6}}
| 400
| {{frac|5|4}} = 1.25
| {{#expr:1200*ln(5/4)/ln2 round 2}}
| +{{#expr:400-1200*ln(5/4)/ln2 round 2}}
|-
| Quarta justa ([[Fá|F]])
| 2{{sup|{{frac|5|12}}}} = {{radic|32|12}}
| {{#expr:2^(5/12) round 6}}
| 500
| {{frac|4|3}} = 1.33333…
| {{#expr:1200*ln(4/3)/ln2 round 2}}
| +{{#expr:500-1200*ln(4/3)/ln2 round 2}}
|-
| Trítono ([[Sol bemol|G♭]])
| 2{{sup|{{frac|6|12}}}} = {{sqrt|2}}
| {{#expr:2^(1/2) round 6}}
| 600
| {{frac|64|45|}}= 1.42222…
| {{#expr:1200*ln(64/45)/ln2 round 2}}
| {{#expr:600-1200*ln(64/45)/ln2 round 2}}
|-
| Quinta justa ([[Sol|G]])
| 2{{sup|{{frac|7|12}}}} = {{radic|128|12}}
| {{#expr:2^(7/12) round 6}}
| 700
| {{frac|3|2}} = 1.5
| {{#expr:1200*ln(3/2)/ln2 round 2}}
| {{#expr:700-1200*ln(3/2)/ln2 round 2}}
|-
| Sexta menor ([[Lá bemol|A♭]])
| 2{{sup|{{frac|8|12}}}} = {{radic|4|3}}
| {{#expr:2^(2/3) round 6}}
| 800
| {{frac|8|5}} = 1.6
| {{#expr:1200*ln(8/5)/ln2 round 2}}
| {{#expr:800-1200*ln(8/5)/ln2 round 2}}
|-
| Sexta maior ([[Lá|A]])
| 2{{sup|{{frac|9|12}}}} = {{radic|8|4}}
| {{#expr:2^(3/4) round 6}}
| 900
| {{frac|5|3}} = 1.66666…
| {{#expr:1200*ln(5/3)/ln2 round 2}}
| +{{#expr:900-1200*ln(5/3)/ln2 round 2}}
|-
| Sétima menor ([[Si bemol|B♭]])
| 2{{sup|{{frac|10|12}}}} = {{radic|32|6}}
| {{#expr:2^(5/6) round 6}}
| 1000
| {{frac|16|9}} = 1.77777…
| {{#expr:1200*ln(16/9)/ln2 round 2}}
| +{{#expr:1000-1200*ln(16/9)/ln2 round 2}}
|-
| Sétima maior ([[Si|B]])
| 2{{sup|{{frac|11|12}}}} = {{radic|2048|12}}
| {{#expr:2^(11/12) round 6}}
| 1100
| {{frac|15|8}}= 1.875
| {{#expr:1200*ln(15/8)/ln2 round 2}}0
| +{{#expr:1100-1200*ln(15/8)/ln2 round 2}}
|-
| Oitava ([[Dó|C]])
| 2{{sup|{{frac|12|12}}}} = 2
| 2
| 1200
| {{frac|2|1}} = 2
| 1200.00
| 0
|}

=== Sete divisões iguais da quinta ===
Violinos, violas e cellos são afinados em quintas perfeitas (G–D–A–E para violinos e C–G–D–A para violas e cellos), o que sugere que sua razão de semitom é ligeiramente mais alta do que na convencional equalização de 12 tons. Como uma quinta perfeita está na relação de 3:2 com o seu tom base, e esse intervalo compreende sete etapas, cada tom está na razão de {{radic|{{frac|3|2}}|7}} para o próximo (100,28 cents), o que proporciona uma quinta perfeita com uma razão de 3:2, mas com uma oitava ligeiramente ampliada com uma razão de ≈ 517:258 ou ≈ 2.00388:1, em vez do usual 2:1, porque 12 quintas perfeitas não correspondem a sete oitavas.<ref>{{citar web |url=http://aredem.online.fr/aredem/page_cordier.html |título=Le tempérament égal à quintes justes |último=Cordier |primeiro=Serge |publicado=Association pour la Recherche et le Développement de la Musique |língua=fr |acessodata=2010-06-02}}</ref> Durante a execução, no entanto, o violinista escolhe as notas pelo ouvido, e apenas as quatro notas das cordas soltas garantem essa razão de 3:2.

{{Referências}}

[[Categoria:Temperamentos iguais]]