Mostrar código-fonte de Teorema de Frisch-Waugh-Lovell

{{mais-notas|data=Abril de 2011}}
[[Ficheiro:Uio frisch 2006 0025.jpg|miniaturadaimagem|Ragnar Frisch]]
Em [[Econometria]], o '''teorema Frisch–Waugh–Lovell''' (FWL) recebeu este nome em homenagem aos econometristas [[Ragnar Frisch]], [[Frederick V. Waugh]] e [[Michael C. Lovell]].<ref name="lovell.2005.12.28">[[Michael C. Lovell]], ''A Simple Proof of the FWL (Frisch-Waugh-Lovell) Theorem'', 28 de dezembro de 2005 [http://mlovell.web.wesleyan.edu/Publications/SPFWLTheorem.pdf <small><nowiki>[em linha]</nowiki></small>]</ref> Ele dá uma alternativa para estimação de coeficientes econométricos.

Para entender este teorema, tome um modelo econométrico de [[mínimos quadrados ordinários]] (OLS, na conhecida sigla em inglês) do [[vetor]] y em relação a dois conjuntos de variáveis, <math>X</math> e <math>Z</math>. O número de observações de cada uma das variáveis é "n":

:<math> Y = {\color{Blue}X} \alpha + {\color{Red}Z} \beta + u \! </math>,

ou, expandindo as matrizes,

:<math>\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}= </math> <math> \begin{matrix} \underbrace{ {\color{Blue}\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1k} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2k} \\ \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & n_{1k} \end{bmatrix}} } \\ \mbox{matriz n x k} \end{matrix} </math> <math> \cdot \begin{matrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{bmatrix} } \\ \mbox{matriz k x 1} \end{matrix} +</math> <math> \begin{matrix} \underbrace{ {\color{Red}\begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2m} \\ \vdots \\ z_{n1} & z_{n2} & \cdots & n_{1m} \end{bmatrix}} } \\ \mbox{matriz n x m} \end{matrix} </math> <math> \cdot \begin{matrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_m \end{bmatrix} } \\ \mbox{matriz m x 1} \end{matrix} +</math>  <math>\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} </math>

O que o teorema afirma é que a estimação de sub-vetor <math>\beta</math> será a mesma daquela obtida pela regressão modificada dada por:

:<math> {\color{PineGreen}M_X} Y = {\color{PineGreen}M_X} {\color{Red}Z} \beta + {\color{PineGreen}M_X} u \!, </math>,

onde <math>{\color{PineGreen}M_X} = I - {\color{Blue}X}(X'{\color{Blue}X})^{-1}X'. \! </math>

Este resultado implica que todas as regressões secundárias são desnecessárias: usando matrizes de projeção (como <math>{\color{PineGreen}M_X}</math>) para tornar todas as variáveis ortogonais entre si resultará nos mesmos resultados que rodar a regressão com todos os não-ortogonais incluídos.

{{referências}}

==Ligações externas ==
*[http://homepages.nyu.edu/~mrg217/ols_matrix.pdf Método dos mínimos quadrados ordinários na forma matricial] (em inglês)
*[http://www.econ.ku.dk/metrics/Econometrics2_05_II/ProblemSets/PS03.pdf Teorema FWL wm um problema] (em inglês)
*[http://www.depeco.econo.unlp.edu.ar/doctrab/doc29.pdf Representação geométrica do teorema FWL] (em inglês)

== Bibliografia ==
*Ragnar Frisch; Frederick V. Waugh "Partial Time Regressions as Compared with Individual Trends" ''[[Econometrica]]'', '''1''' (4) (Oct., 1933), pp.&nbsp;387–401.
*Lovell, M., 1963, Seasonal adjustment of economic time séries, ''[[Journal of the American Statistical Association]]'', '''58''', pp.&nbsp;993–1010.
*Lovell, M., 2008, A Simple Proof of the FWL (Frisch,Waugh,Lovell) Theorem, ''[[Journal of Economic Education]]''.

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[[Categoria:Econometria]]