Mostrar código-fonte de Teorema de Pitágoras

{{Mais notas|data=janeiro de 2024}}[[Imagem:Areaspitagoras01.svg|thumb|290px|direita|O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos [[quadrado]]s construídos sobre os [[cateto]]s (''a'' e ''b'') equivale à [[Área#Quadrado|área do quadrado]] construído sobre a [[hipotenusa]] (''c'').]]
Na [[matemática]], o '''teorema de Pitágoras''' é uma [[Relação (matemática)|relação matemática]] entre os [[comprimento]]s dos lados de qualquer [[triângulo retângulo]].<ref>[http://books.google.com.br/books?hl=pt-BR&id=xeIzp5-ddcgC&dq=%22%22the+pythagorean+theorem+is+a+mathematical+relationship+between+the+sides%22&q=%22between+the+lenghts+of+the+sides+of+any%22#v=snippet&q=%22between%20the%20lenghts%20of%20the%20sides%20of%20any%22&f=false Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Diane Koenig. Prealgebra, pg. 855.]</ref> Na [[geometria euclidiana]], o [[teorema]] afirma que:
{{cquote|Em qualquer triângulo retângulo, o [[quadrado (aritmética)|quadrado]] do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.}}

Por definição, a [[hipotenusa]] é o lado oposto ao [[ângulo reto]], e os [[cateto]]s são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre [[área]]s:
{{cquote|Em qualquer triângulo retângulo, a área do [[quadrado (geometria)|quadrado]] cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.}}

Para ambos os enunciados, pode-se [[Equação|equacionar]]
<math display="block">c^2 = a^2 + b^2,</math>
onde ''c'' representa o comprimento da hipotenusa, e ''a'' e ''b'' representam os comprimentos dos outros dois lados.

O teorema de Pitágoras leva o nome do [[Matemática|matemático]] [[Grécia|grego]] [[Pitágoras]] (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e [[Prova matemática|demonstração]],<ref name=Baynes>{{citar livro|título=Greek Geometry from Thales to Euclid |autor =George Johnston Allman |página=26 |url=http://books.google.com/books?id=-gYCAAAAYAAJ&pg=PA26 |publicado=Hodges, Figgis, & Co |ano=1889 |citação=The discovery of the law of three squares, commonly called the "theorem of Pythagoras" is attributed to him by – amongst others –Vitruvius, Diogenes Laertius, Proclus, and Plutarch ... |edição=Reprinted by Kessinger Publishing LLC 2005 |isbn=143260662X}}</ref><ref name="Heath, Vol I, p. 144">Heath, Vol I, p. 144.</ref> embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que [[Matemática babilônica|matemáticos babilônicos]] conheciam [[algoritmo]]s para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam  um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).<ref name=Neugebauer>{{citar livro|título=The exact sciences in antiquity |página=36 |autor =Otto Neugebauer |isbn=0486223329 |ano=1969 |edição=Republication of 1957 Brown University Press 2nd |publicado=Courier Dover Publications |url=http://books.google.com/books?id=JVhTtVA2zr8C&pg=PA36}}</ref><ref name=Livio>{{citar livro|título=The golden ratio: the story of phi, the world's most astonishing number |autor = Mario Livio|autorlink = Mario Livio |página=25 |url=http://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=bUARfgWRH14C&oi=fnd&pg=PA25 |isbn=0767908163 |publicado=Random House, Inc |ano=2003 }}</ref><ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics]</ref>

O teorema de Pitágoras é um caso particular da [[lei dos cossenos]], do [[Matemática|matemático]] [[Pérsia|persa]] [[Ghiyath al-Kashi]] (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer [[triângulo]], dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três [[ângulo]]s.

== Fórmula e corolários ==
[[Imagem:Rtriangle.svg|thumb|direita|Um triângulo retângulo, de catetos ''a'' e ''b'', e de hipotenusa ''c'']]

Sendo ''c'' o [[comprimento]] da hipotenusa e ''a'' e ''b'' os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:
<math display="block">c^2 = a^2 + b^2.</math>

Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se os comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser calculado:
<math display="block"> c=\sqrt{a^2+b^2}, b=\sqrt{c^2-a^2} \text{ e } a=\sqrt{c^2-b^2} .</math>

Outro [[corolário]] do teorema é que:

{{cquote|Em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa é maior que qualquer um dos catetos, mas menor que a soma deles.<ref>Uma generalização disso é a [[desigualdade triangular]].</ref>}}

maior que qualquer um dos catetos pois todos os comprimentos são necessariamente números positivos, e c² > b², logo c > b, e c² > a², logo c > a. E a hipotenusa é menor que a soma dos catetos, pois c² = b² + a², e (b+a)² = b² + 2ba + a², logo c² < (b+a)², logo c < b + a.

== Demonstrações ==
Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por [[Pitágoras]].<ref>[http://books.google.com.br/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA31&dq=%22pythagoras'+proof%22+areas&hl=pt-BR&sa=X&ei=bM_xUI-xMZHW8gSygYGIDA&ved=0CF0Q6AEwBg#v=onepage&q=%22pythagoras'%20proof%22%20areas&f=false Eli Maor, The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, pg 31]</ref> O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro ''The Pythagorean Proposition'', de [[Elisha Scott Loomis]], por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes.<ref name='Loomis'>{{citar web|url=http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED037335.pdf |título=The Pythagorean Proposition, Classics in Mathematics Education Series |acessodata=2010-05-04 |obra=[[Education Resources Information Center]] |publicado=[[Institute of Education Sciences]] (IES) of the [[U.S. Department of Education]] }}</ref> Há uma demonstração no livro [[Os Elementos]], de [[Euclides]].<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html Euclid's Elements, Book I, Proposition 47]</ref> E também ofereceram demonstrações, o matemático [[Índia|indiano]] [[Bhaskara Akaria]], o [[polímata]] [[Itália|italiano]] [[Leonardo da Vinci]], e o vigésimo [[presidente]] dos [[Estados Unidos]], [[James A. Garfield]].<ref>[http://www.jimloy.com/geometry/pythag.htm Proof #6]</ref><ref>{{Citar web |url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ |titulo=Proof #16 |acessodata=2009-06-15 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20160629193953/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ |arquivodata=2016-06-29 |urlmorta=yes }}</ref><ref name=Garfield>Published in a weekly mathematics column: {{citar periódico|periódico=The New England Journal of Education |volume=3 |página=161 |ano=1876 |autor =James A Garfield}} as noted in {{citar livro |título=The mathematical universe: An alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities |url=http://books.google.com/books?lr=&cd=1&as_brr=0&as_drrb_is=q&as_minm_is=0&as_miny_is=&as_maxm_is=0&as_maxy_is=&id=3tG_FRQ9N1QC&dq=%22mathematical+universe%22+inauthor%3AWilliam+inauthor%3ADunham&q=New+England+Journal#search_anchor |autor=William Dunham |ano=1997 |publicado=Wiley |isbn=0471176613 |página=96 }} and in [http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/Dates/April.pdf A calendar of mathematical dates: April 1, 1876] {{Wayback|url=http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/Dates/April.pdf |date=20100714153516 }} by V. Frederick Rickey</ref> O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.

=== Por comparação de áreas ===
[[Imagem:Pythagorean proof.png|frame|direita]]
# Desenha-se um [[quadrado]] de lado <math>b + a;</math>
# De modo a subdividir este [[quadrado]] em quatro [[retângulo]]s, sendo dois deles quadrados de lados, respectivamente, <math>a</math> e <math>b:</math> Traça-se dois segmentos de reta [[paralelismo|paralelos]] a dois lados consecutivos do quadrado, sendo cada um deles interno ao quadrado e com o mesmo comprimento que o lado do quadrado;
# Divide-se cada um destes dois [[retângulo]]s em dois [[Triângulo retângulo|triângulos retângulos]], traçando-se as [[diagonal|diagonais]]. Chama-se <math>c</math> o comprimento de cada diagonal;
# A área da região que resta ao retirar-se os quatro triângulos retângulos é igual a <math>b^2 + a^2;</math>
# Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado <math>b + a,</math> mas coloca-se os quatro triângulos retângulos noutra posição dentro do quadrado: a posição que deixa desocupada uma região que é um quadrado de lado <math>c.</math>
# Assim, a área da região formada quando os quatro triângulos retângulos são retirados é igual a <math>c^2.</math>

Como <math>b^2 + a^2</math> representa a [[Área#Quadrado|área do quadrado maior]] subtraída da soma das [[Área#Triângulo|áreas dos triângulos retângulos]], e <math>c^2</math> representa a mesma área, então '''<math>b^2 + a^2 = c^2</math>'''. Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da [[hipotenusa]] é igual à soma dos quadrados dos [[cateto]]s.

=== Por semelhança de triângulos ===
[[Imagem:Triangulos semelhantes.png|thumb|250px|direita|Demonstração que utiliza o conceito de [[Semelhança (geometria)|semelhança]]: os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas posições e tamanhos.]]
Esta demonstração se baseia na [[proporcionalidade]] dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a [[Razão (matemática)|razão]] entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.

Sendo ''ABC'' um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em ''C'', como mostrado na figura. Desenha-se a [[Altura (geometria)|altura]] com origem no ponto ''C'', e chama-se ''H'' sua intersecção com o lado ''AB''. O ponto ''H'' divide o comprimento da hipotenusa, ''c'', nas partes ''d'' e ''e''. O novo triângulo, ''ACH'', é semelhante ao triângulo ''ABC'', pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em ''A'', significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também,<ref>Pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus ([[32ª proposição de Euclides]]).</ref> marcado como ''θ'' na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo ''CBH'' também é semelhante à ''ABC''. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

<math display="block"> \frac{a}{c}=\frac{e}{a}</math> e <math display="block">\frac{b}{c}=\frac{d}{b}.</math>

O primeiro resultado é igual ao [[cosseno]] de cada ângulo ''θ'' e o segundo resultado é igual ao [[seno]].

Estas relações podem ser escritas como:
<math display="block">a^2=c\times e</math> e <math>b^2=c\times d.</math>
Somando estas duas igualdades, obtém-se
<math display="block">a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2 ,</math>
que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:
<math display="block">a^2+b^2=c^2 \ .</math>

==== Uma variante<ref>[http://www.av8n.com/physics/scaling.htm#sec-py John Denker, Introduction to Scaling Laws]</ref><ref>[http://terrytao.wordpress.com/2007/09/14/pythagoras-theorem/] Blog de [[Terence Tao]]</ref><ref>[http://server22.obmep.org.br:8080/media/servicos/recursos/296665.o 2ª edição do número especial da Revista do Professor de Matemática – RPM, pgs. 34-39.]</ref> ====
Usando a mesma figura da demonstração acima, após ser mostrado que ΔABC, ΔACH e ΔCBH são semelhantes, pode-se demonstrar o teorema de Pitágoras usando-se o fato de que "a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre lados correspondentes", da seguinte forma: Chamando-se a área de ΔABC de ''x'', a área de ΔACH é x*(b/c)², e a área de ΔCBH é x*(a/c)² (pois c, b e a são as hipotenusas de ΔABC, ΔACH e ΔCBH, respectivamente). Então, como a área do triângulo inteiro é a soma das áreas dos dois triângulos menores, tem-se x*(a/c)² + x*(b/c)² = x, então (a/c)² + (b/c)² = 1, então a² + b² = c².

=== Demonstração de Bhaskara<ref>[http://www.jimloy.com/geometry/pythag.htm Proof #6 in Jim Loy, The Pythagorean Theorem]</ref> ===
[[Imagem:Teorema-pitagoras-area-quadrado.png|thumb|360px|direita]]
A análise da figura da direita permite computar a [[Quadrado#F.C3.B3rmulas m.C3.A9tricas|área do quadrado]] construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (''b−a''). Equacionando-se, segue que:
<math display="block">c^2 = 4 \cdot \frac {ab}{2}+ (b-a)^2</math>
Logo:
<math display="block">c^2 = 2ab + b^2 -2ba + a^2</math> (o termo ''(b-a)²'' é um [[produto notável]])
<math display="block">c^2 = b^2 + a^2 \ .</math> (por [[comutatividade]] da [[multiplicação]]: ''2ab = 2ba'')

=== Por cálculo diferencial ===
Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças em um lado produzem mudanças na hipotenusa e usando um pouco de [[cálculo]]. É uma demonstração baseada na interpretação métrica do teorema, visto que usa comprimentos, não áreas.

[[Imagem:PythagoreanDerivation.svg|thumb|direita|Demonstração que usa equações diferenciais]]

Como resultado da mudança ''da'' no lado ''a'',
<math display="block">\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}</math>

por semelhança de triângulos e para mudanças diferenciais. Então,
<math display="block">c\, dc = a\,da</math>

por [[separação de variáveis]].

que resulta da adição de um segundo termo para as mudanças no lado ''b''.

Pela [[Integral|integração]], segue:

<math display="block">c^2 = a^2 + \mathrm{constante}.</math>

Quando ''a'' = 0 então ''c'' = ''b'', então a "constante" é ''b''<sup>2</sup>. Logo,

<math display="block">c^2 = a^2 + b^2.</math>

=== Num espaço com um produto interno ===
Pode-se estender o teorema de Pitágoras a espaços com [[produto interno]] e com uma [[Norma (matemática)|norma]] induzida por este. Nessa situação:

<math display="block">\|x\| ^2 = \langle x, x \rangle.</math>

Dois vetores '''x''' e '''y''' são ditos perpendiculares se:

<math display="block"> \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle = 0.</math>

Segue então:

<math display="block">\|x+y\|^2= \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle +\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle =\|x\|^2+\|y\|^2, </math>

que é o teorema de Pitágoras.

=== Pelo rearranjo das partes ===
[[Imagem:pythag.gif|thumb|esquerda|Demonstração pelo rearranjo de quatro triângulos retângulos idênticos]]
[[Imagem:Pythagoras-2a.gif|thumb|direita|Animação mostrando outra demonstração por rearranjo.<ref>{{citar web|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#10 |título= Pythagorean Theorem, proof number 10|autor =[[Alexander Bogomolny]] |data= |obra=Cut the Knot |publicado= |acessodata=27 de fevereiro de 2010}}</ref>]]

Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda. Como a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área preta total é constante também. E a área preta pode ser dividida em quadrados delineados pelos lados ''a, b, c'' do triângulo, demonstrando que {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}} = ''c''<sup>2</sup>.

Na animação à direita, um grande quadrado inicial é formado da área ''c ''<sup>2</sup> tornando adjacentes quatro triângulos retângulos idênticos, deixando um pequeno quadrado no centro do grande quadrado, de modo a acomodar a diferença de comprimentos dos lados dos triângulos. Dois retângulos são formados, de lados ''a'' e ''b'', movendo-se os triângulos. Incorporando o pequeno quadrado central com um destes retângulos, os dois retângulos são feitos em dois quadrados de áreas ''a ''<sup>2</sup> e ''b ''<sup>2</sup>, mostrando que ''c ''<sup>2</sup> = {{nowrap|''a ''<sup>2</sup> + ''b ''<sup>2</sup>}}.

=== Demonstração de Euclides ===
[[Imagem:Demonstr. Euclides.jpg|thumb|Demonstração de Euclides do Teorema de Pitágoras]]

A finalidade é mostrar que a área do quadrado AOMG é igual à área do quadrado AIHD e que BEFG é igual a BCHI, mostrando que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos. Veja que a reta definida por HL passa pelo centro do ângulo reto AGB e é ortogonal ao segmento AB. Temos que GL = AB, pois ambos são a hipotenusa do triângulo; e AB = HI, pois que ABCD é um quadrado. Logo GL=HI (o triângulo ABG é igual ao triângulo GML). Assim sendo, as áreas dos quadriláteros AIHD e ANLG são iguais, visto que tem a mesma base (HI = GL) e a mesma altura (AI). Mas temos que as áreas dos quadriláteros ANLG e AOMG são também iguais, pois que tem a base AG em comum e a mesma altura AO. Resulta que, pelo silogismo grego, se Y=Z e Z=W, então Y=W, em termo de área vale: AIHD = ANLG e ANLG = AOMG, então AIHD = AOMG.<ref name ="main">HOGBEN, Lancelot. MARAVILHAS DA MATEMÁTICA Vol. 1 , Editora Globo, Porto Alegre, 1956.</ref>

Para mostrar que BEFG = BCHI segue-se de modo análogo.<ref name ="main" />

Euclides mostra, desta forma puramente geométrica, que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

== Recíproca ==
[[Imagem:Egiptian triangle.svg|thumb|160px|O "[[triângulo egípcio]]", de medidas 3, 4, 5, é, portanto, um triângulo retângulo.]]
A [[recíproca]] do teorema de Pitágoras também é verdadeira:<ref>{{Citar web|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI48.html|titulo=Euclid's Elements, Book I, Proposition 48|acessodata=2024-03-24|website=aleph0.clarku.edu}}</ref>

: "Para qualquer triângulo com lados l, m, e r, se l² + [[Metro quadrado|m²]] = r², então o ângulo entre l e m mede 90°".

ou, usando apenas palavras,

{{cquote|Se num triângulo o quadrado em um dos lados for igual à soma dos quadrados construídos sobre os dois lados restantes do triângulo, o ângulo formado pelos dois lados restantes do triângulo é um ângulo reto.}}

Ela pode ser provada usando-se a [[lei dos cossenos]].<ref>James Stuart Tanton. Encyclopedia of Mathematics, pg. 426.</ref>

== Consequências e usos ==
Talvez nenhuma outra [[Relação (matemática)|relação]] [[Geometria|geométrica]] seja tão utilizada em [[matemática]] como o teorema de Pitágoras. Na [[geometria cartesiana]], muito usada em ciências e engenharia, todos os cálculos que envolvem relações espaciais e trigonometria têm como base este teorema.<ref>[http://math.berkeley.edu/~giventh/papers/eu.pdf] [[:en:Alexander Givental]], The Pythagorean Theorem: What is it about?</ref> É possível utilizar o teorema de Pitágoras em todos os [[polígono]]s, pois eles podem ser divididos em [[triângulo]]s e esses em triângulos retângulos.<ref>Rhoad, Milauskas & Whipple. Geometry for Enjoyment and Challenge, pg 384.</ref> E por extensão, em todos os [[poliedro]]s.

=== A diagonal do quadrado ===
[[Imagem:Square with diagonal.PNG|145px|direita]]
A diagonal do [[quadrado]] divide-o em dois triângulos retângulos [[Congruência (geometria)|congruentes]]. Sendo <math>l</math> o lado e <math>d</math> a diagonal, segue que:
<math display="block">d^2=l^2+l^2=2\,l^2.</math>
Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:
<math display="block">d =\sqrt{2\,l^2}=l \sqrt{2}.</math><ref name="matelement9">Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo. Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 9 - Geometria Plana, pg. 239.</ref>

=== A altura do triângulo equilátero ===
[[Imagem:Equilateral triangle.PNG|180px|direita]]
A altura do [[triângulo equilátero]] divide-o em dois triângulos retângulos [[Congruência (geometria)|congruentes]]. Sendo <math>l</math> o lado e <math>h</math> a altura, segue que:

<math display="block">l^2=h^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2=h^2+\frac{l^2}{4}</math>
<math display="block">h^2=\frac{3\,l^2}{4}.</math>

Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrada como:
<math display="block">h= \sqrt{\frac{3\,l^2}{4}}= \frac{l\sqrt3}{2}.</math><ref name="matelement9" />

=== A diagonal do cubo ===
[[Imagem:Cube diagonals.svg|thumb|direita|150px|AC' (em azul) é uma diagonal do cubo, enquanto AC (em vermelho) é uma diagonal de uma de suas faces]]
Seja ''a'' a medida da aresta de um [[cubo]] (isto é, a medida de um lado de uma das faces quadradas), pelo teorema de Pitágoras:
<math display="block">AC^2=a^2+a^2.</math> (I)
Pelo mesmo teorema, tem-se que:
<math display="block">AC'^2=a^2+AC^2.</math> (II)

De I e II:
<math display="block">AC'^2=a^2+a^2+a^2.</math>
Então:
<math display="block">AC'=\sqrt {3a^2}=a\sqrt {3}.</math><ref>Ira K. Wolf. {{Citação do google books|id=Otq2pK6APZYC|pag=91|texto=diagonal of a cube|How to Prepare for the SAT II: Math Level IC}}, pg. 91.</ref>

Nas geometrias n-dimensionais, por raciocínio análogo pode-se obter pelo teorema de Pitágoras os valores das diagonais do [[hipercubo]] unitário em função de sua respectiva dimensão: As diagonais de [[quadrado]], cubo, [[tesserato]] e n-cubo unitários medem, respectivamente, <math>\sqrt {2},</math> <math>\sqrt {3},</math> <math>\sqrt {4}</math> (ou seja, 2) e <math>\sqrt {n}.</math> <ref>[http://www.math.brown.edu/~banchoff/Beyond3d/chapter2/section05.html Banchoff - Diagonals of Cubes in Different Dimensions].</ref><ref>[http://www.math.brown.edu/~banchoff/Beyond3d/chapter8/section02.html Banchoff - Lengths and the Generalized Pythagorean Theorem].</ref><ref>[http://billpriceweb.com/dim4.html Price - A Study in Dimensions: Distances Within Basic Units].</ref><ref>Stan Gibilisco, Understanding Einstein's Theories of Relativity, pp. 98-100.</ref>

=== Identidade trigonométrica fundamental ===
{{principal|Identidade trigonométrica fundamental}}
[[Imagem:Trig functions.svg|thumb|direita|200px]]
<math display="block">\mathrm{sen}\, \theta = \frac{b}{c}, \quad \cos \theta = \frac{a}{c}.</math>
Disso, segue que:

<math display="block"> {\cos}^2 \theta + {\mathrm{sen}\,}^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1,</math>

=== Ternos pitagóricos ===
{{principal|Terno pitagórico}}
Um terno pitagórico (trio pitagórico) consiste em três números inteiros positivos ''a'', ''b'', e ''c'', tais que {{nowrap|''a'' <sup>2</sup> + ''b'' <sup>2</sup> {{=}} ''c'' <sup>2</sup>}}. Em outras palavras, um terno pitagórico representa os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde todos os três lados têm comprimentos inteiros. Essa tripla é geralmente escrita como {{nowrap|(''a'', ''b'', ''c'' ).}} Alguns exemplos bem conhecidos são {{nowrap|(3, 4, 5)}} e {{nowrap|(5, 12, 13)}}.

Um terno pitagórico primitivo é aquele em que ''a'', ''b'' e ''c'' são [[Números primos entre si|coprimos]] (o [[máximo divisor comum]] de a, b e c é 1).

Lista de ternos pitagóricos primitivos até 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

=== A incomensurabilidade ===
{{principal|Número irracional}}
Pitágoras sabia na época, entretanto, que seu teorema tinha uma falha: Quando os catetos do triângulo eram iguais, seu teorema não funcionava, pois não haveria uma medida racional para a hipotenusa. Conta a História que a primeira atitude de Pitágoras frente a essa incoerência na matemática foi a de esconder tal fato.<ref name ="main" />
Matemáticos e geômetras que o sucederam desde aquela época tentavam compreender o porquê da incomensurabilidade – os lados do triângulo não tinham medida em comum, ou seja, não podiam ser medidos de forma exata através de uma unidade comum a ambos.<ref name ="main" />

Com efeito, suponha que seja a hipotenusa ''p'' e que os catetos sejam iguais e representados pela letra ''q''. Sabe-se que ''p / q'' é uma fração irredutível (se não fosse torná-la-íamos, até que não mais pudéssemos, restando um numerador par e um denominador ímpar, ou vice-versa). Da aplicação do teorema resulta ''p² = 2q²''. Obviamente ''p²'' é par, pois é o dobro de ''q²'', ou seja, vem de um produto de um número multiplicado por ''2''. Se ''p²'' é par, implica que ''p'' é par (o quadrado de um número par é sempre número par e o quadrado de um número ímpar é sempre número ímpar), logo ''q'' obrigatoriamente deve ser ímpar, senão a fração dada acima não seria irredutível. Fazendo agora ''p'' = ''2k'' (o que pode ser feito, pois p é par) reescrevemos: ''(2k)² = 2q²'' simplificando resulta ''4k² = 2q²'' que resulta ''2k² = q²'', o que quer dizer, pelo mesmo raciocínio anterior, que ''q'' é par, o que é absurdo pois antes resultou ser ímpar. Um número não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo.<ref name ="main" />

A solução só veio 25 séculos depois, no século XIX, com [[Richard Dedekind|Dedekind]] quando foi necessária cortar a reta dos [[números racionais]] e introduzir o conjunto dos [[números irracionais]] para suprir essa deficiência da Matemática.<ref name ="main" />

[[Imagem:Euclid Corollary 5.svg|direita|thumb|198x198px|[[Espiral de Teodoro]]]]
Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que comprimentos [[Comensurável|incomensuráveis]] (ou seja, cuja [[razão]] é um [[número irracional]], tal como a [[raiz quadrada]] de 2), podem ser construídos, com instrumentos como [[Construções com régua e compasso|régua e compasso]]. Um triângulo retângulo com ambos os catetos de medida unitária tem uma hipotenusa de [[comprimento]] igual à raiz quadrada de 2. A figura da direita mostra como construir segmentos de reta com comprimentos iguais à raiz quadrada de qualquer [[número inteiro]] positivo.

=== Valor de pi ===
{{principal|pi}}
[[Imagem:Valor de pi por polígonos.png|thumb|direita|170px|A fórmula para o novo perímetro em cada duplicação é deduzida dos triângulos retângulos que surgem na construção]]
Em ''Sobre as Medidas do Círculo'', [[Arquimedes]] utilizou o teorema de Pitágoras para calcular uma aproximação para o valor do número [[pi]]. Ele fez isso posicionando um [[hexágono]] regular [[Figura inscrita|circunscrito]] a um [[círculo]] e um hexágono regular menor [[Figura inscrita|inscrito]] no círculo, e então realizando a progressiva duplicação do número de lados de cada [[polígono regular]] assim obtido, cujo [[perímetro]] em cada nova etapa ele calculava por meio do teorema de Pitágoras.<ref>[http://books.google.com.br/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA54 MAOR, Eli. The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History, pp. 50-56.]</ref>

=== Distância entre dois pontos ===
{{principal|Geometria analítica}}
O teorema de Pitágoras pode ser traduzido para a linguagem das coordenadas de [[Descartes]]:

Seja <math>A=(x_1,y_1)</math> e <math>B=(x_2,y_2).</math> Para auxiliar, seja <math>C=(x_2,y_1).</math>

Como A e C possuem mesma [[ordenada]], <math>d(A,C)=\left|x_1-x_2 \right|.</math>

Como B e C possuem mesma [[abcissa]], <math>d(B,C)=\left| y_1-y_2 \right|</math>

Então <math>d(A,B)=\sqrt[]{d(A,C)^2+d(B,C)^2}=\sqrt[]{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.</math><ref>A. Kolmogorov et al. Mathematics: Its Content, Methods and Meaning, pgs. 186-187.</ref>

== Generalizações ==
=== Lei dos cossenos ===
{{principal|Lei dos cossenos}}
O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. A [[lei dos cossenos]] permite calculá-lo em qualquer [[triângulo]]. Assim, o teorema de Pitágoras é um caso especial do teorema mais geral que relaciona o comprimento dos lados de qualquer triângulo, a lei dos cossenos é a seguinte:
<math display="block">c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\theta},</math>
onde θ é o ângulo entre os lados ''a'' e ''b''. Quando θ é 90 graus, cos(θ) = 0, assim, a fórmula reduz-se ao teorema de Pitágoras.

=== Teorema de Gua ===
{{principal|Teorema de Gua}}
[[Ficheiro:De gua theorem 1.svg|200px|direita]]
O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um [[Simplex (topologia)|n-simplex]] retângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num [[tetraedro]] retângulo (isto é, que tem três faces perpendiculares entre si - os "catetos"), o quadrado da área da "hipotenusa" (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

=== Figuras semelhantes nos três lados ===
[[Imagem:Pythagoras generalizatoin 1.JPG|thumb|200px|direita]]

O teorema de Pitágoras foi generalizado por [[Euclides]] em seu livro ''[[Os Elementos]]'' para estender-se além das áreas dos quadrados nos três lados, para figuras semelhantes:<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/bookVI.html] ''Elementos''. Livro VI, Proposição 31</ref><ref>[[Elon Lages Lima]]. Medida e Forma em Geometria, pgs. 26-27.</ref>

{{cquote|Erguendo-se figuras semelhantes nos lados de um triângulo retângulo, então a soma das áreas das duas menores é igual à área da maior.}}
Outro matemático que demonstrou essa afirmação foi [[George Pólya]], e o resultado ficou conhecido como Generalização do Teorema de Pitágoras que diz:

Se C, A e B são três figuras semelhantes, construídas, respectivamente, sobre a hipotenusa e os catetos do triângulo retângulo, então as áreas das figuras A, B e C satisfazem a relação A(C) = A(A) + A(B)<ref>{{Citar periódico|ultimo=Silva|primeiro=João|ultimo2=Fanti|primeiro2=Ermínia|ultimo3=Pedroso|primeiro3=Hermes|data=julho de 2016|titulo=Teorema de Pitágoras: extensões e generalizações|url=http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/v6/v6_art3.pdf|jornal=C.Q.D.- Revista Eletrônica Paulista de Matemática|volume=6|paginas=21–47|doi=10.21167/cqdvol6201623169664jebselcfhap2147|acessodata=14/11/2019| issn=2316-9664}}</ref> (Podemos observar essa figura ao lado).

Demonstração: Usaremos o resultado que garante que se duas figuras X e X' são semelhantes com razão de semelhança <math>K\in\mathbb{R}</math>, então <math>A(X)/A(X')=K^2</math>. Como as figuras A, B e C são semelhantes, temos que

<math>\frac{A(A)}{A(C)}=\left(\frac{a}{c}\right)^2=\frac{a^2}{c^2}\,\,\,e\,\,\,\frac{A(B)}{A(C)}=\left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{b^2}{c^2}</math>

Daí, obtemos

<math>\frac{A(A)+A(B)}{A(C)}=\frac{a^2 + b^2}{c^2}</math>

e como o triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras, temos que <math>c^2=a^2 + b^2</math>, substituindo na equação anterior, encontramos

<math>\frac{A(A)+A(B)}{A(C)}=\frac{c^2}{c^2}=1\Rightarrow A(C)=A(A)+A(B)</math>

== Nas geometrias não euclidianas ==
[[Imagem:Triangle sphérique.svg|direita|thumb|140px|Um [[triângulo esférico]]]]
[[Imagem:Hyperbolic triangle.svg|direita|thumb|140px|Um [[triângulo hiperbólico]]]]
O teorema de Pitágoras é derivado dos [[axioma]]s da [[geometria euclidiana]], por isso, acreditava-se que a versão euclidiana não fosse válida nas [[geometria não euclidiana|geometrias não euclidianas]].<ref>[http://books.google.com.br/books?id=j0dkJQwORvYC&printsec=frontcover&hl=pt-BR#v=onepage&q=%22Pythagorean%20theorem%20is%20false%22&f=false Stephen Hawking. God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed History, pg 4.]</ref> (Foi mostrado que o teorema de Pitágoras é equivalente ao [[postulado das paralelas]], que por sua vez, é equivalente à afirmação de que "a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos", usada em todas as demonstrações apresentadas do teorema).<ref>[http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtml Scott E. Brodie. The Pythagorean Theorem is Equivalent to the Parallel Postulate.]</ref> Em outras palavras, numa geometria não euclidiana, a relação entre os lados de um triângulo deveria necessariamente tomar outra forma. Por exemplo, na geometria esférica, a² + b² ≠ c².

Seja ''c'' a hipotenusa de um triângulo retângulo numa geometria não euclidiana e ''a'' e ''b'' os catetos. O teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:
* Na [[geometria esférica]], tem-se
*: <math>\cos(c)=\cos(a)\cos(b).</math>
* Na [[geometria hiperbólica]] tem-se
*: <math>\cosh(c)=\cosh(a)\cosh(b).</math>

Entretanto, existe uma versão para a geometria hiperbólica (usando uma métrica adequada) na qual o teorema apresenta-se no formato conhecido.<ref>{{citar periódico|ultimo = Ungar|primeiro = Abraham|titulo = From Pythagoras To Einstein: The Hyperbolic Pythagorean Theorem|jornal = Foundations of physics|doi = 10.1023/A:1018874826277|acessadoem = 26/12/2015}}</ref>

Quanto aos [[Espaço vetorial|espaços vetoriais]], em alguns deles o teorema de Pitágoras (ou mesmo generalizações dele) é verdadeiro e em outros ele é falso.<ref>Charles R. Leake, [http://philpapers.org/rec/LEAHSI Hidden symbolism in verbal problems taught to students in mathematics classes] (publicado em Semiotica 125 (1-3):155-164 (1999)).</ref> Sabe-se, por exemplo, que o teorema de Pitágoras é verdadeiro em espaços pré-hilbertianos.<ref>David C. Nachman, [http://www2.gsu.edu/~fncdcn/Asset%20pricing/Notes_on_Hilbert_Spaces2.PDF Notes on Hilbert Space: The Projection Theorem and Some of Its Consequences, p. 3.]</ref><ref>Hilbert space. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Hilbert_space&oldid=24082</ref> [[Erhard Schmidt]] provou o teorema de Pitágoras para espaços vetoriais abstratos com produto interno.<ref>Elliott Ward Cheney, David Ronald Kincaid. [http://books.google.com.br/books?id=Gg3Uj1GkHK8C&pg=PA544 Linear Algebra: Theory and Applications, p. 544.]</ref> Dieter Brill e [[:en:Ted Jacobson|Ted Jacobson]] derivaram o análogo do teorema de Pitágoras no [[Espaço de Minkowski|espaço minkowskiano]] (que chamaram de "Teorema de Pitágoras para o [[espaço-tempo]]").<ref>Dieter Brill, Ted Jacobson. [http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0407022v2.pdf Spacetime and Euclidean Geometry].</ref>

Embora o teorema de Pitágoras seja necessariamente falso em qualquer espaço descontínuo, [[:en:Jean Paul Van Bendegem|Jean Paul Van Bendegem]] mostrou que num espaço desse tipo o teorema de Pitágoras pode ser usado como aproximação dentro de certos limites de tolerância.<ref>John R. McKie. [http://logica.ugent.be/philosophica/fulltexts/50-3.pdf Transition and Contradiction (publicado em Philosophica 50 (1992, 2) pp. 19-32)], p. 23.</ref>

O teorema de Pitágoras também foi generalizado para as [[geometria de Riemann|geometrias riemannianas]].<ref>Lawrence Sklar. [http://books.google.com.br/books?id=ROoByILsD7QC&pg=PA47 Space, Time, and Spacetime, p. 47].</ref> Investigações nesse tema remontam ao próprio [[Bernhard Riemann]], e a questão acerca da validade do teorema de Pitágoras na vizinhança de um ponto foi abordada por, dentre outros, [[Hermann von Helmholtz]], [[Sophus Lie]] e [[Hermann Weyl]].<ref>Max Jammer. [http://books.google.com.br/books?id=R83CAgAAQBAJ&pg=PT141 Concepts of Space: The History of Theories of Space in Physics], pp. 141-142.</ref>

== História ==
[[Imagem:Plimpton 322.jpg|thumb|A [[Plimpton 322|tabuleta Plimpton 322]] registra ternos pitagóricos. (ver também: [[Matemática babilônica]])]]
[[Imagem:Chinese pythagoras.jpg|thumb|250px|Ilustração do livro [[Chou Pei Suan Ching]], que sugere uma demonstração do teorema para um triângulo específico (de lados 3, 4 e 5).]]

O teorema de Pitágoras foi descoberto independentemente nas antigas civilizações [[Babilônia|babilônica]], [[Índia|indiana]], [[China|chinesa]] e [[Grécia|grega]].<ref>[http://www.siam.org/news/news.php?id=2067 Anna Barry - Was Pythagoras the First to Discover Pythagoras’s Theorem?]</ref>

A história do teorema pode ser dividida em quatro partes: o conhecimento de [[Terno pitagórico|trios pitagóricos]], conhecimento da relação entre os lados de um [[triângulo retângulo]], conhecimento das relações entre ângulos adjacentes, e demonstrações do teorema dentro de sistemas dedutivos.

=== Egito ===

O historiador da matemática alemão [[Moritz Cantor]], tomando por base que 3² + 4² = 5² era conhecido dos egípcios e que eles usavam cordas em [[agrimensura]], especulou que eles construíam ângulos retos por meio de uma corda com nós para formar um triângulo de lados 3, 4 e 5.<ref name="craig">[http://books.google.com.br/books?id=_zliInaOM8UC&pg=PA14&lpg=PA14&dq=%22Moritz+Cantor%22+pythagorean+egyptians+rope&source=bl&ots=KmXBIJlC5L&sig=_BPcM0hAVMUV3dxerneTAwJdDts&hl=pt-BR&sa=X&ei=kQxcUKS0A4Ta8wSyrYGADA&ved=0CCQQ6AEwAQ#v=onepage&q=%22Moritz%20Cantor%22%20pythagorean%20egyptians%20rope&f=false Craig Smorynski - History of Mathematics: A Supplement, pg. 14]</ref> [[Bartel van der Waerden]] afirmou que não há evidências que sustentem esta especulação,<ref name="craig" /> visão compartilhada por [[Thomas Little Heath]].<ref>[http://books.google.com.br/books?id=Z5VoBGy3AoAC&printsec=frontcover&dq=pythagoras+theorem+geometric+history&source=bl&ots=SJKszjsKi_&sig=pbQlxagjGVqcQJ_vj-Z-wd4uwA0&hl=pt-BR&sa=X&ei=XhJcULT1O7KN0QGeiYHIDw&ved=0CDAQ6AEwAA#v=onepage&q=%22there%20seems%20to%20be%20no%22&f=false Eli Maor - The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, pg. 15]</ref>

=== Mesopotâmia ===

Há provas que os antigos [[babilónia|babilônios]] já conheciam o teorema muito antes de Pitágoras. Tabletes de barro do período de 1800 a.C. a 1600 a.C. foram encontrados e estudados, estando hoje em vários museus. Um deles, Plimpton 322, mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas, ilustrando trios pitagóricos.

=== Índia ===

Na [[Índia]], o [[Sulba Sutra]] escrito por [[Baudhayana]] em data incerta entre os séculos VIII a.C. e II a.C., contém uma lista de trios pitagóricos descobertos algebricamente, um enunciado do teorema de Pitágoras, e uma demostração [[Geometria|geométrica]] deste para um triângulo retângulo isósceles. O ''Sulba Sutra'' de [[Apastamba]] (''ca.'' 600&nbsp;a.C.) contém uma demostração numérica do caso geral do teorema de Pitágoras, usando cálculo de áreas. Van der Waerden acreditava que esta demostração "estava certamente baseada em tradições antigas". [[Carl Benjamin Boyer]] pensava que os elementos achados em ''[[Shulba Sutras|Śulba-sũtram]]'' deviam ter raízes mesopotâmicas.<ref>{{citar livro |nome=Carl Benjamin |sobrenome=Boyer |autorlink=Carl Benjamin Boyer|ano=1968 |título=A history of mathematics |url=http://books.google.com/?id=1ZDuAAAAMAAJ&cd=1&dq=China+and+India+rules+for+the+construction+of+right+angles+inauthor%3ACarl+inauthor%3ABenjamin+inauthor%3ABoyer&q=diagonal+of+a+rectangle+is+equal+to+the+sum+#search_anchor |capítulo=China and India |página=229 |notas="encontramos regras para a construção de ângulos retos mediante o uso de cordas divididas em três partes cujas longitudes formam uma terna pitagórica, como, por exemplo 3:4:5, 5:12:13, 8:15:17 ou 12:35:37. Porém todas estas ternas podem ser derivadas facilmente das antigas regras babilônicas; por tanto, é bastante provável a influencia mesopotâmica nos ''Sulvasũtras''. Aspastamba sabia que o quadrado da diagonal de um retângulo é igual à soma dos quadrados dos dois lados adjacentes, mas esta forma do teorema de Pitágoras também pode ser derivada da Mesopotâmia. [...] Tão conjecturais são a origem e o período dos ''Sulvasũtras'' que não se pode dizer se estas regras estão relacionadas ou não com a agrimensura egípcia ou com o posterior problema grego da duplicação do altar. Há várias datações num amplo período de quase um milênio, desde o século VIII a.C. até o século II de nossa era." |editor=Wiley |língua=inglês}}. Veja-se também {{citar livro |título=A History of Mathematics |nome1=Carl B. |sobrenome1=Boyer |nome2=Uta C. |sobrenome2=Merzbach |isbn=0-470-52548-7 |url=http://books.google.com/?id=xwIZQwAACAAJ&printsec=frontcover&dq=editions:UOM39015015720447 |publicado=Wiley |edição=3ª |ano=2010 |lingua=inglês}}</ref>

=== China ===

Na [[China]], o teorema também já era conhecido cerca de 600 anos antes do período Pitagórico. O problema "Gou Gu", do famoso livro chinês [[Chou Pei Suan Ching|Zhoubi Saunjing]] é uma evidência da existência de conhecimento a respeito do teorema.<ref>[http://www.chinapage.com/math/s9/pythagoras.html Proof of Guogu or Pythagoras' Theorem] {{Wayback|url=http://www.chinapage.com/math/s9/pythagoras.html |date=20100712082218 }} {{en}}</ref>

=== Grécia ===

[[Pitágoras]] (569 a.C. - 475 a.C.) usou métodos algébricos para construir trios pitagóricos, de acordo com os comentários de [[Proclo]] sobre [[Euclides]]. Proclo, porém, escreveu entre os anos 410 e 485 d.C. Segundo [[Thomas Little Heath]] (1861–1940), não existe nenhuma atribuição específica do teorema a Pitágoras na literatura grega que se conserva dos cinco séculos posteriores à época em que Pitágoras viveu.<ref name="Euclides">{{citar livro |apelido=Euclides |título=Os Elementos |títulotrad=The Elements (3 vols.) |editor-nome=Johan Ludvig |editor-sobrenome=Heiberg |cita=Introdución e comentario de Sir Thomas L. Heath |editora=Dover |anooriginal=1908 |ano=1956 |volume=1 (Livros I e II) |página=351 |isbn= 0-486-60088-2 |url=http://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false |lingua=en}}</ref> No entanto, quando autores como [[Plutarco de Queroneia|Plutarco]] e [[Marco Túlio Cícero|Cícero]] atribuíram o teorema a Pitágoras, fizeram-no de tal forma que sugeria que esta atribuição era amplamente conhecida e livre de qualquer dúvida.<ref name="Euclides"/><ref name="heath">*{{citar livro|título=A History of Greek Mathematics (2 Vols.)|último =Heath |primeiro =Sir Thomas |publicado= Clarendon Press, Oxford |url=http://books.google.com/?id=h4JsAAAAMAAJ&pg=PA144 |página=144 ''ff'' |capítulo=The 'Theorem of Pythagoras' |ano=1921 |edição= Dover Publications, Inc. (1981) |isbn= 0-486-24073-8|ref=harv}}</ref> "Se esta fórmula é corretamente atribuída ao próprio Pitágoras, [...] pode-se assumir com certeza que pertence ao período mais antigo da matemática pitagórica".<ref name=Fritz>Uma cuidadosa discussão das contribuições de Hipaso pode ser encontrada em {{citar periódico |título=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum  |autor=Kurt Von Fritz |revista=The Annals of Mathematics. Second Series |volume=46 |data=Abril de 1945|páginas=242–264 |jstor=1969021 |número=2 |editor=Annals of Mathematics |lingua=inglês}}</ref>

Segundo Proclo, por volta do ano 400 a.C. [[Platão]] forneceu um método para encontrar trios pitagóricos que combinava [[álgebra]] e geometria. A [[Método axiomático|demonstração axiomática]] do teorema mais antiga que se conhece aparece nos [[Elementos de Euclides]], que data aproximadamente do ano 300 a.C.<ref name= Aaboe>{{citar livro |título=Episodes from the early history of mathematics |nome=Asger |sobrenome=Aaboe |link_author=Asger Aaboe|url=http://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA51 |página=51 |notas="... não foi antes de Euclides que achamos uma sequência lógica de teoremas gerais com demostrações adequadas." |isbn=0-88385-613-1 |ano=1997 |editor=Mathematical Association of America |lingua=inglês}}</ref>

== Ver também ==
{{Col-begin}}
{{Col-1-of-3}}
* [[Álgebra]]
* [[Lista de construções do desenho geométrico]]
* [[Perpendicularidade]]
* [[Teorema]]
* [[Terno pitagórico]]
* [[Triângulo]]
* [[Trigonometria]]

{{Col-2-of-3}}
* [[Área]]
* [[Geometria]]
* [[Mosaico pitagórico]]
* [[Número irracional]]
* [[Regra do paralelogramo]]
* [[Teorema de Tales (interseção)|Teorema de Tales]]
* [[Terno pitagórico]]
* [[Último teorema de Fermat]]
{{Col-3-of-3}}

{{Wikilivros|Matemática elementar|Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo|Triângulo retângulo}}
{{commonscat|Pythagorean theorem}}
{{Fim}}

{{Referências}}

== Ligações externas ==
* [http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/Pitagoras.html Demonstração do teorema de Pitágoras (segundo Euclides)]
* {{link|en|2=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml|3=Pythagorean Theorem and its many proofs|4=O teorema de Pitágoras e suas muitas demonstrações, no [[Cut-the-Knot]].}}
* [http://www.ime.unicamp.br/~sandra/MA520/handouts/lab9.pdf Geometria Analítica e Desenho Geométrico, Unicamp: Teorema de Pitágoras] Introdução, a demonstração de Da Vinci, e História do teorema.

{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Teoremas em geometria plana|Pitagoras]]
[[Categoria:Geometria]]
[[Categoria:História da matemática]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]