Mostrar código-fonte de Teoria das categorias

Na [[matemática]], a '''teoria das categorias''' provê uma linguagem interdisciplinar capaz de delinear resultados e construções gerais, separando-os dos específicos a cada área, possibilitando a simplificação e clarificação de demonstrações. A teoria centra-se nos conceitos de [[categoria (teoria das categorias)|categoria]], que é uma abstração do conceito de [[composição de funções]], de [[functor]], transformações entre categorias, e de [[transformação natural (teoria das categorias)|transformação natural]], a qual provê um significado preciso para expressões como "natural" e "canônico".<ref name=riehlPref>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=Prefácio}}</ref>

O conceito de categorias, functores e transformações naturais, em maior generalidade, foi introduzido por [[Samuel Eilenberg]] e [[Saunders Mac Lane]], em 1945, em seu artigo "''General Theory of Natural Equivalences''". Nos anos seguintes, a teoria das categorias foi empregada na [[topologia algébrica]] e [[álgebra homológica]], por [[Norman Steenrod]], [[Alexander Grothendieck]] e outros. Em 1958, [[Daniel Kan]] descobre o conceito de [[adjunção (teoria das categorias)|functores adjuntos]], que, segundo Mac Lane, são "onipresentes na matemática".<ref name=maclaneNotasCat>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=§I, notas}}</ref><ref name=maclaneIntro>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=Introdução}}</ref><ref name=maclaneNotasAdj>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=§IV, notas}}</ref><ref name=stanford>{{citar web |url=https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ |titulo=Category Theory |obra=Stanford Encyclopedia of Philosophy |acessodata=20 de abril de 2020}}</ref> Desde então, houve diversos desenvolvimentos.<ref name=amsHistoriaCat>{{harv | DUREN | 1988 | loc=Concepts and Categories in Perspective by Saunders Mac Lane}}</ref>

Sendo de alto nível de abstração, é recomendada, antes do estudo de teoria das categorias, familiaridade de conceitos básicos de [[álgebra linear]], [[álgebra abstrata]] e [[topologia (matemática)|topologia]], por exemplo.<ref name=riehlPref />

==Categoria==
{{Artigo principal|Categoria (teoria das categorias)}}
Uma '''categoria''' {{math|''C''}} consiste nos seguintes elementos:
* Uma coleção de '''objetos''' de {{math|''C''}}.
* Para cada dupla {{math|''a'', ''b''}} de objetos, uma coleção de '''setas''' (ou '''morfismos''') do '''domínio''' (ou '''origem''') {{math|''a''}} até o '''contradomínio''' (ou '''destino''') {{math|''b''}}, para as quais são usadas a notações {{math|''f'' : ''a'' → ''b''}} e {{math|''f'' ∈ hom<sub>''C''</sub>(''a'', ''b'')}}.
* Para cada objeto {{math|''a''}}, uma seta de {{math|''a''}} até {{math|''a''}}, chamada '''identidade''' {{math|1<sub>''a''</sub> : ''a'' → ''a''}}.
* Para cada tripla de objetos {{math|''a'', ''b'', ''c''}}, uma operação de '''composição''', levando
*: cada seta {{math|''f'' : ''a'' → ''b''}} e cada seta {{math|''g'' : ''b'' → ''c''}} a uma seta {{math|''g'' ∘ ''f'' : ''a'' → ''c''}}.
* Devem ser satisfeitas as igualdades:
*: (Lei da identidade) Para todos objetos {{math|''a'', ''b''}} e todas as setas {{math|''f'' : ''a'' → ''b''}}, vale {{math|1<sub>''b''</sub> ∘ ''f'' {{=}} ''f'' {{=}} ''f'' ∘ 1<sub>''a''</sub>}}.
*: (Associatividade) Para todos objetos {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} e todas as setas {{math|''f'' : ''a'' → ''b''}}, {{math|''g'' : ''b'' → ''c''}} e {{math|''h'' : ''c'' → ''d''}}, vale {{math|(''h'' ∘ ''g'') ∘ ''f'' {{=}} ''h'' ∘ (''g'' ∘ ''f'')}}.<ref name=maclaneDef>{{harv | MAC LANE | loc=§I.1, §I.2}}</ref><ref name=riehlDef>{{harv | RIEHL | loc=§1.1}}</ref><ref name=accDef>{{harv | ADÁMEK | loc=§I.3.1}}</ref>

Há, por exemplo, categorias:
* cujos objetos são conjuntos, e cujos morfismos são funções entre conjuntos;
* cujos objetos são [[grupo (matemática)|grupos]], e cujos morfismos são homomorfismos de grupos;
* cujos objetos são [[espaço topológico|espaços topológicos]], e cujos morfismos são funções contínuas;
* cujos objetos são os elementos de um conjunto [[pré-ordem|pré-ordenado]] fixo {{math|(''P'', ≤)}}, e tal que, para quaisquer objetos {{math|''x'', ''y'' ∈ ''P''}}, o número de morfismos {{math|''x'' → ''y''}} é exatamente um se {{math|''x'' ≤ ''y''}}, e zero se {{math|¬ (''x'' ≤ ''y'')}}.<ref name=maclaneExmCat1>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=§I.1, §I.2}}</ref>
* cujos objetos são vértices de um [[grafo]], e cujos morfismos são caminhos nesse grafo.<ref name=maclaneExmCatLivre>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=§II.7}}</ref>
Nestes dois últimos exemplos, percebe-se que os objetos podem não ter "elementos", e os morfismos podem não ter relação com funções.

[[Imagem:Injective object.svg|thumb|direita|O diagrama acima é comutativo exatamente quando {{math|''f'' {{=}} ''g'' ∘ ''h''}}.]]

Para a representação de relações entre os morfismos, usam-se diagramas consistindo de alguns dos objetos e setas de uma categoria; uma sequência de setas, cada uma tendo destino coincidindo com a origem da seguinte, representa a composição de morfismos correspondentes. Um desses diagramas é chamado [[diagrama comutativo]] quando quaisquer duas sequências de setas que iniciam num mesmo objeto, e que terminam também num mesmo objeto, têm composições iguais.<ref name=adamekDiagCom>{{harv | ADÁMEK | 2004 | loc=§I.3.4}}</ref><ref name=riehlDiagCom>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=§1.6}}</ref>

'''Dualizar''' consiste em inverter o sentido de cada uma das setas em um diagrama; cada categoria tem uma [[categoria (teoria das categorias)#Categoria oposta|categoria oposta]]. Desse modo, os teoremas e definições em teoria das categorias se organizam em duplas, um enunciado sendo obtido do outro trocando cada categoria pela oposta; por exemplo, um [[epimorfismo]] é um [[monomorfismo]] na categoria oposta, um [[coproduto]] é um [[produto categorial|produto]] na categoria oposta etc.<ref name=riehlDual>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=§1.2}}</ref>

===Tipos de morfismos===
{{Artigo principal|Categoria (teoria das categorias)#Tipos de morfismos}}
Como os objetos de uma categoria podem não ter "elementos", generalizações de conceitos como [[função injetiva]] e [[função sobrejetiva]] devem envolver somente setas, e pode haver mais de uma generalização possível.

{{Rquote |1=right |2=Como uma categoria consiste de setas, nossa disciplina também poderia ser descrita como aprender como viver sem elementos, usando setas em vez deles. |3=[[Saunders Mac Lane]]<ref name=maclanePrefCitaEls>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=Prefácio}}. Texto original: "Since a category consists of arrows, our subject could also be described as learning how to live without elements, using arrows instead."</ref>}}

Como exemplo, generalizando o conceito de função injetiva, um morfismo {{math|''f'' : ''a'' → ''b''}} é chamado [[monomorfismo]] se e só se
:para todo objeto {{math|''c''}} e morfismos {{math|''g'', ''h'' : ''c'' → ''a''}} satisfazendo {{math|''f'' ∘ ''g'' {{=}} ''f'' ∘ ''h''}}, vale {{math|''g'' {{=}} ''h''}}.
Na categoria dos conjuntos, na categoria dos grupos e na categoria dos espaços topológicos, os monomorfismos são exatamente as funções injetivas.<ref name=adamekMono>{{harv | ADÁMEK | 2004 | loc=§II.7.32}}</ref> Já um morfismo {{math|''f'' : ''a'' → ''b''}} é chamado [[seção (teoria das categorias)|seção]] se e só se existe {{math|''g'' : ''b'' → ''a''}} tal que {{math|''g'' ∘ ''f'' {{=}} 1<sub>''a''</sub>}}. Toda seção é um monomorfismo, mas a recíproca pode falhar; com efeito, na categoria dos grupos abelianos, as seções são exatamente os homomorfismos de grupos abelianos {{math|''f'' : ''A'' → ''B''}} que são injetivos e tais que {{math|''B''}} é a [[soma direta]] da imagem de {{math|''f''}} com algum subgrupo de {{math|''B''}}.<ref name=adamekSecao>{{harv | ADÁMEK | 2004 | loc=§II.7.20}}</ref>

Dualizando, um morfismo {{math|''f'' : ''b'' → ''a''}} é um [[epimorfismo]] se e só se
:para todo objeto {{math|''c''}} e morfismos {{math|''g'', ''h'' : ''a'' → ''c''}} satisfazendo {{math|''g'' ∘ ''f'' {{=}} ''h'' ∘ ''f''}}, vale {{math|''g'' {{=}} ''h''}}.
Na categoria dos conjuntos, os epimorfismos são precisamente as funções sobrejetivas. Na categoria dos anéis, no entanto, a inclusão {{math|ℤ → ℚ}} é um epimorfismo não sobrejetivo.<ref name=adamekEpi>{{harv | ADÁMEK | 2004 | loc=§II.7.40}}</ref>

Como outro exemplo, um [[isomorfismo (teoria das categorias)|isomorfismo]] é um morfismo {{math|''f'' : ''a'' → ''b''}} tal que há {{math|''g'' : ''b'' → ''a''}} satisfazendo {{math|''g'' ∘ ''f'' {{=}} 1<sub>''a''</sub>}} e {{math|''f'' ∘ ''g'' {{=}} 1<sub>''b''</sub>}}. Na categoria dos espaços topológicos, os isomorfismos são precisamente os [[homeomorfismo]]s.<ref name=riehlAbsConCat>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=§1.1}}</ref>

===Propriedade universal===
{{Artigo principal|Propriedade universal}}
Construções como [[produto cartesiano]], [[soma direta]], e [[espaço funcional]] podem ser generalizadas para todas as categorias. Com exemplo, dados objetos {{math|''a'', ''b''}} numa categoria {{math|''C''}}, um objeto {{math|''a'' × ''b''}}, junto a morfismos {{math|''p''<sub>''a''</sub> : ''a'' × ''b'' → ''a''}} e {{math|''p''<sub>''b''</sub> : ''a'' × ''b'' → ''b''}}, forma um sistema de [[produto categorial]] (binário) se e só se, para qualquer outro objeto {{math|''c''}} e quaisquer morfismos {{math|''f'' : ''c'' → ''a''}} e {{math|''g'' : ''c'' → ''b''}}, existe ''único'' morfismo {{math|''h'' : ''c'' → ''a'' × ''b''}} tal que {{math|''p''<sub>''a''</sub> ∘ ''h'' {{=}} ''f''}} e {{math|''p''<sub>''b''</sub> ∘ ''h'' {{=}} ''g''}}.

[[Imagem:Prodcat.png|thumb|right|Diagrama representado o produto categorial.]]

Dualmente, há o conceito de [[coproduto]] (binário). Na categoria dos conjuntos, os produtos correspondem aos produtos cartesianos, e os coprodutos correspondem às uniões disjuntas. Na categoria dos grupos abelianos, os produtos e coprodutos binários coincidem, e são chamados de soma direta.<ref name=adamekProd>{{harv | ADÁMEK | 2004 | loc=§III.10.20}}</ref><ref name=adamekCoprod>{{harv | ADÁMEK | 2004 | loc=§III.10.67}}</ref>

Uma '''propriedade universal''' é uma propriedade que envolve a existência de ''único'' morfismo que faz certo diagrama comutar. Maneiras de definir rigorosamente o conceito incluem [[functor representável|functores representáveis]] e [[limites e colimites]].<ref name=riehlPropUniv>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=§2}}</ref><ref name=riehlLim>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=§3}}</ref>

==Functor==
{{Artigo principal|Functor}}

{{Rquote |1=right |2=[…] sempre que novos objetos abstratos são construídos de uma maneira especificada a partir de outros, é recomendado tratar a construção dos mapeamentos induzidos correspondentes nesses novos objetos como parte integral de sua definição. |3=[[Samuel Eilenberg]], [[Saunders Mac Lane]]<ref name=genTheoryFunctor>{{harv | EILENBERG | 1945 | p=236}}. Texto original: […] whenever new abstract objects are constructed in a specified way out of given ones, it is advisable to regard the construction of the corresponding induced mappings on these new objects as an integral part of their definition.</ref>}}

Um functor é uma correspondência entre objetos de duas categorias que pode ser estendida a uma correspondência entre morfismos, de modo que sejam preservadas as identidades e as composições. Mais precisamente, dadas categorias {{math|''C''}} e {{math|''D''}}, um '''functor''' (covariante) de {{math|''C''}} até {{math|''D''}}, escrito {{math|''F'' : ''C'' → ''D''}}, consiste
* de uma atribuição, a cada objeto {{math|''x'' ∈ ''C''}}, de um objeto {{math|''F''(''x'') ∈ ''D''}},
* de uma atribuição, a cada morfismo {{math|''f'' : ''x'' → ''y''}}, de um morfismo {{math|''F''<sub>''x'', ''y''</sub>(''f'') {{=}} ''F''(''f'') : ''F''(''x'') → ''F''(''y'')}},
satisfazendo
* {{math|''F''(1<sub>''x''</sub>) {{=}} 1<sub>''F''(''x'')</sub>}} para cada objeto {{math|''x'' ∈ ''C''}},
* {{math|''F''(''g'' ∘ ''f'') {{=}} ''F''(''g'') ∘ ''F''(''f'')}} para cada dupla de morfismos {{math|''f'' : ''x'' → ''y''}} e {{math|''g'' : ''y'' → ''z''}}.

Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores são: a correspondência entre cada conjunto {{math|''A''}} e seu [[conjunto de partes]] {{math|P(''A'')}} (levando cada {{math|''f'' : ''A'' → ''B''}} à função {{math|''f''<sup>→</sup> {{=}} (''S'' ⊆ ''A'') ↦ {{(}}''f''(''x'') {{!}} ''x'' ∈ ''S''{{)}}}}, de [[conjunto imagem|imagens]] de subconjuntos de {{math|''A''}}); a correspondência entre cada [[anel comutativo]] {{math|''K''}} e seu grupo de matrizes invertíveis {{math|GL<sub>''n''</sub>(''K'')}} de ordem {{math|''n''}}.<ref name=maclaneFunctor>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=§I.3}}</ref>

Noutros casos, há um '''functor contravariante''', atribuindo um morfismo {{math|''F''(''f'') : ''F''(''y'') → ''F''(''x'')}} a cada morfismo {{math|''f'' : ''x'' → ''y''}}, e invertendo a ordem das composições. Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores contravariantes são: a correspondência entre cada conjunto e seu conjunto de partes (levando cada {{math|''f'' : ''A'' → ''B''}} à função {{math|''f''<sup>←</sup> {{=}} (''T'' ⊆ ''B'') ↦ {{(}}''y'' {{!}} ''f''(''y'') ∈ ''T''{{)}}}}, de [[pré-imagem|pré-imagens]] de subconjuntos de {{math|''B''}}); a correspondência entre cada [[espaço vetorial]] e seu [[espaço dual]]; a correspondência entre cada anel comutativo e seu espaço de [[ideal primo|ideais primos]].<ref name=riehlFunctor>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=§1.3}}</ref>

===Transformação natural===
{{Artigo principal|Transformação natural (teoria das categorias)}}

{{Rquote |1=right |2=Não é muito enganoso, pelo menos historicamente, dizer que categorias são o que deve ser definido para definir functores, e que functores são o que deve ser definido para definir transformações naturais. |3=[[Peter Freyd]]<ref name=freydIntro>{{harv | FREYD | 1964 | loc=Introdução}}. Texto original: It is not too misleading, at least historically, to say that categories are that one must define in order to define functors, and that functors are what one must define in order to define natural transformations.</ref>}}

Intuitivamente, uma transformação natural é uma família de morfismos numa categoria dados simultaneamente por uma mesma definição, sem depender de escolhas "arbitrárias". Por exemplo, para cada {{math|''V''}} espaço vetorial, há mapeamento linear ''natural'' {{math|''e''}} de {{math|''V''}} ao [[espaço dual|dual]] de seu dual, dado por {{math|''e''(''v'') {{=}} ''f'' ↦ ''f''(''v'')}}. Mais precisamente, uma '''transformação natural''' entre functores {{math|''F'', ''G'' : ''C'' → ''D''}} é uma família de morfismos {{math|''η''<sub>''X''</sub> : ''F''(''X'') → ''G''(''X'')}}, para cada {{math|''X''}} objeto de {{math|''C''}}, satisfazendo
:para qualquer morfismo {{math|''f'' : ''X'' → ''Y''}}, {{math|''η''<sub>''Y''</sub> ∘ ''F''(''f'') {{=}} ''G''(''f'') ∘ ''η''<sub>''X''</sub>}}.<ref name=riehlNat>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=§1.4}}</ref>

[[Imagem:Natural_Transformation_between_two_functors.svg|thumb|right|upright=1.5|Diagrama comutativo da condição de naturalidade.]]

Eis exemplos:
* A projeção {{math|''G'' → ''G''∕[''G'', ''G'']}} de cada grupo em sua abelianização (quociente pelo [[subgrupo comutador]]) pode ser representada como uma transformação natural.<ref name=maclaneNat>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=§I.4}}</ref>
* A [[dualidade de Pontryagin]] pode ser descrita como a existência de isomorfismo natural {{math|''G'' ≅ ''G''<sup>∧∧</sup>}}, para cada {{math|''G''}} [[grupo abeliano]] [[grupo localmente compacto|localmente compacto]], onde {{math|''H''<sup>∧</sup>}} denota o grupo topológico dos homomorfismos contínuos de {{math|''H''}} a {{math|𝕋}}, grupo multiplicativo dos complexos de valor absoluto um.<ref name=nlabPontr>{{citar web |titulo=Pontrjagin dual – ''n''Lab |url=https://ncatlab.org/nlab/show/Pontrjagin+dual |acessodata=20 de abril de 2020}}</ref>

Functores e transformações naturais permitem definir o conceito de [[equivalência de categorias]].

===Adjunção===
{{Artigo principal|Adjunção (teoria das categorias)}}
Uma '''adjunção''' entre functores {{math|''F'' : ''C'' → ''D''}} e {{math|''G'' : ''D'' → ''C''}} é uma família natural de isomorfismos, para quaisquer objetos {{math|''c''}} de {{math|''C''}} e {{math|''d''}} de {{math|''D''}},<math display="block">
\hom_D (F(c), d) \cong \hom_C (c, G(d)) .
</math>Neste caso, diz-se que {{math|''F''}} é adjunto esquerdo e {{math|''G''}} é adjunto direito. Exemplos de adjunções incluem:
* Sendo {{math|''C'' {{=}} '''Set'''}} a categoria de conjuntos e {{math|''D'' {{=}} ''K''-'''Vet'''}} a categoria de espaços vetoriais sobre um corpo fixo {{math|''K''}}, a adjunção<math display="block">
\hom_{K-\mathbf{Vet}} (K[S], V) \cong \hom_{\mathbf{Set}} (S, G(V))
</math>onde {{math|''K''[''S'']}} é um espaço vetorial de base indexada pelo conjunto {{math|''S''}}, e {{math|''G''(''V'')}} é o conjunto de elementos do espaço vetorial {{math|''V''}}.<ref name=riehlAdj>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=§4}}</ref>
* Sendo {{math|''C'' {{=}} '''Set'''}} a categoria de conjuntos e {{math|''D'' {{=}} '''Grp'''}} a categoria de grupos, a adjunção<math display="block">
\hom_{\mathbf{Grp}} (F(S), H) \cong \hom_{\mathbf{Set}} (S, G(H))
</math>onde {{math|''F''(''S'')}} é o [[grupo livre]] no conjunto {{math|''S''}}, e {{math|''G''(''H'')}} é o conjunto de elementos do grupo {{math|''H''}}.
* Sendo {{math|''D'' {{=}} '''CompMet'''}} a categoria dos [[espaço métrico|espaços métricos]] [[espaço completo|completos]] (cujos morfismos são os mapeamentos [[função uniformemente contínua|uniformemente contínuos]]) e {{math|''C'' {{=}} '''Met'''}} a categoria dos espaços métricos, a adjunção<math display="block">
\hom_{\mathbf{CompMet}} (K(M), N) \cong \hom_{\mathbf{Met}} (M, G(N))
</math>onde {{math|''K''(''M'')}} é a completação do espaço métrico {{math|''M''}}, e {{math|''G''(''N'') {{=}} ''N''}}.<ref name=maclaneAdj>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=§IV.2}}</ref>
* Sendo {{math|''C'' {{=}} ''D'' {{=}} '''Ab'''}} a categoria dos grupos abelianos, e sendo {{math|''H''}} grupo abeliano fixo, a adjunção<math display="block">
\hom_{\mathbf{Ab}} (A \otimes H, B) \cong \hom_{\mathbf{Ab}} (A, \operatorname{Hom}(H, B))
</math>onde {{math|⊗}} denota o [[produto tensorial]] entre grupos abelianos, e {{math|Hom(''H'', ''B'')}} denota o grupo abeliano de homomorfismos de grupo {{math|''H'' → ''B''}}.<ref name=riehlAdj1>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=§4.3}}</ref>
* Sendo {{math|''C'' {{=}} '''Top'''}} a categoria dos espaços topológicos e {{math|''D'' {{=}} '''CHaus'''}} a categoria dos espaços [[espaço compacto|compactos]] de [[espaço de Hausdorff|Hausdorff]], a adjunção<math display="block">
\hom_{\mathbf{CHaus}}(F(X), K) \cong \hom_{\mathbf{Top}}(X, G(K))
</math>onde {{math|''F''(''X'')}} é a [[compactificação de Stone–Čech]] de {{math|''X''}}, e {{math|''G''(''K'') {{=}} ''K''}}.<ref name=maclaneAdj1>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=§V.8}}</ref>

Se um functor {{math|''F'' : ''C'' → ''D''}} é adjunto esquerdo a {{math|''G'' : ''D'' → ''C''}}, a composição {{math|''G'' ∘ ''F'' : ''C'' → ''C''}} faz parte de uma [[mónade (teoria das categorias)|mônade]] em {{math|''C''}}.<ref name=riehlMon>{{harv | RIEHL | 2014 | loc=§5.1}}</ref>

==Aplicações==
Abaixo, seguem algumas aplicações elementares da teoria das categorias.

* Functores são usados para expressar conceitos de [[topologia algébrica]]; com efeito, foi nessa área que o conceito começou a ser reconhecido.<ref name=maclaneFunTopAlg>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=§I.3}}</ref>
* Os [[adjunção (teoria das categorias)#Existência de adjuntos|teoremas do functor adjunto]] podem ser usados para demonstrar a existência (e propriedades) de [[grupo livre|grupos livres]], monoides livres, anéis livres etc. (mas não "corpos livres", que não existem), da [[:en:Stone–Čech_compactification|compactificação de Stone–Čech]] e de "maiores [[espaço topológico quociente|quocientes]] de Hausdorff".<ref name=maclaneTeoFunAdj>{{harv | MAC LANE | 1998 | loc=§V.5, V.8}}</ref><ref name=riehlTeoFunAdj>{{harv | RIEHL | 1998 | loc=§4.6}}</ref>
* Como adjuntos esquerdos são functores [[adjunção (teoria das categorias)#Adjunção e limites|cocontínuos]], {{math|''F''(''A'' ⨿ ''B'') ≅ ''F''(''A'') ∗ ''F''(''B'')}}, onde {{math|''F''(_)}} denota o [[grupo livre]], {{math|⨿}} denota a união disjunta, e {{math|∗}} denota o [[:en:Free_product|produto livre]] ([[coproduto]] de grupos).
* Se {{math|''M''}} é um {{math|(''R'', ''S'')-}}[[:en:Bimodule|bimódulo]], o functor {{math|''M'' ⊗<sub>''S''</sub> _}} é adjunto esquerdo, logo cocontínuo, e em particular é [[:en:Exact_functor|functor exato]] ''direito'' (não "exato esquerdo"); isto tem aplicações à [[álgebra homológica]].<ref name=riehlFunCont>{{harv | RIEHL | 1998 | loc=§4.5}}</ref>
* O grupo {{math|ℤ<sub>''p''</sub>}} dos [[inteiro p-ádico|inteiros {{math|''p''}}-ádicos]] pode ser descrito como o [[limites e colimites|limite]] do functor representado diagramaticamente por<math display="block">
\cdots \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/p^3 \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/p^2 \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/p
</math>e o grupo {{math|ℤ[{{sfrac|1|''p''}}]∕ℤ}} [[grupo de Prüfer|de Prüfer]] pode ser descrito como o [[limites e colimites|colimite]] do functor representado diagramaticamente por<ref name=riehlPref /><math display="block">
\mathbb{Z}/p \xrightarrow{[n] \mapsto [p\cdot n]} \mathbb{Z}/p^2 \xrightarrow{[n] \mapsto [p\cdot n]} \mathbb{Z}/p^3 \rightarrow \cdots
</math>
* [[Mónade (teoria das categorias)|Mônades]] são usadas na linguagem de programação [[Haskell (linguagem de programação)|Haskell]] para modelar, por exemplo, a manipulação de estado global e o não determinismo.<ref>{{citar periódico |último=Wadler |primeiro=Philip |data=agosto de 2001 |título=Monads for functional programming |url=https://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/marktoberdorf/baastad.pdf |department=Departamento de ciência da computação, [[Universidade de Glásgua]] |acessodata=28 de fevereiro de 2020}}</ref>
* Tom Leinster emprega teoria das categorias para construir um [[objeto inicial]] numa categoria envolvendo [[espaço de Banach|espaços de Banach]], dando, assim, uma caracterização alternativa do espaço {{math|L<sup>1</sup>([0 … 1])}} das funções [[integral de Lebesgue|Lebesgue-integráveis]] no intervalo {{math|[0 … 1]}}.<ref>{{citar periódico |url=https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/glasgowpssl/ |último=Leinster |primeiro=Tom |data=maio de 2006 |título=A universal Banach space |acessodata=22 de abril de 2020}}</ref>

{{Referências}}
==Bibliografia==
* {{citar livro |ultimo1=ADÁMEK |primeiro1=Jiří |ultimo2=HERRLICH |primeiro2=Horst |ultimo3=STRECKER |primeiro3=George E. |data=2004 |titulo=Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats |url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc}}
* {{citar livro |ultimo=MAC LANE |primeiro=Saunders |data=1998 |titulo=Categories for the Working Mathematician |series=Graduate Texts in Mathematics |edicao=2 |editora=Springer |isbn=0-387-98403-8}}
* {{citar livro |ultimo=RIEHL |primeiro=Emily |data=2014 |titulo=Category Theory in Context |url=http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context/}}
* {{citar livro |titulo=AMS History of Mathematics, Volume 1: A Century of Mathematics in America, Part I |data=1988 |isbn=0-8218-0124-4 |editora=American Mathematical Society |último=DUREN |primeiro=Peter |url=https://www.ams.org/publicoutreach/math-history/hmath1-index}}
* {{citar periódico |titulo=General Theory of Natural Equivalences |ultimo1=EILENBERG |primeiro1=Samuel |ultimo2=MAC LANE |primeiro2=Saunders |data=1945 |periódico=Transactions of the American Mathematical Society |url=https://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf |acessodata=20 de abril de 2020}}
* {{citar livro |titulo=Abelian Categories: An Introduction to the Theory of Functors |url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html |series=Harper's Series in Modern Mathematics |ultimo=FREYD |primeiro=Peter |data=1964 |editora=Harper & Row}}

{{Álgebra}}
{{Fundamentos da matemática}}
{{Teoria das categorias}}
{{Áreas da matemática}}

[[Categoria:Teoria das categorias]]