Mostrar código-fonte de Teoria de campo escalar


[[Ficheiro:Line integral of scalar field.gif|miniaturadaimagem|[[Integral de linha]] de um [[campo escalar]], ''f''. A área sob a curva ''C'', traçada na superfície definida por ''z'' = ''f(x,y)'', é o valor da integral.]]
Na [[física teórica]], a '''teoria de campo escalar''' pode se referir a uma [[Teoria clássica de campos|teoria clássica]] ou [[Teoria quântica de campos|quântica]] [[Relatividade geral|relativisticamente]] [[invariante]] de [[Campo escalar|campos escalares]]. Um campo escalar é invariante em qualquer [[transformação de Lorentz]].<ref>{{Citar periódico |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.2.1541 |titulo=Broken Scale Invariance in Scalar Field Theory |data=1970-10-15 |acessodata=2022-02-08 |jornal=Physical Review D |número=8 |ultimo=Callan |primeiro=Curtis G. |paginas=1541–1547 |doi=10.1103/PhysRevD.2.1541}}</ref> O único [[campo quântico]] escalar fundamental que foi observado na natureza é o [[campo de Higgs]]. No entanto, os campos quânticos escalares aparecem nas descrições efetivas da teoria de campo de muitos fenômenos físicos. Um exemplo é o [[pion]], que na verdade é um [[Escalar|pseudoescalar]].<ref>Isso significa que não é invariante sob [[Paridade (física)|transformações de paridade]] que invertem as direções espaciais, distinguindo-o de um escalar verdadeiro, que é invariante de paridade. Ver [[iarchive:quantumtheoryoff00stev|Weinberg 1998]], Capítulo 19</ref>

Uma vez que não envolvem complicações de polarização, os campos escalares são frequentemente os mais fáceis de apreciar através da segunda [[Quantização (física)|quantização]]. Por esta razão, as teorias de campo escalar são frequentemente usadas para fins de introdução de novos conceitos e técnicas.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/23766387|título=Quantum field theory|ultimo=Brown|primeiro=Lowell S.|data=1992|editora=Cambridge University Press|local=Cambridge [England]|oclc=23766387}}</ref> A [[assinatura métrica]] empregada abaixo é (+, −, −, −).
== Teoria clássica de campo escalar ==
{{Mais informações|Função de Lagrange}}
Uma referência geral para esta seção é Ramond, Pierre (2001-12-21). [https://www.amazon.com/Field-Theory-Modern-Primer-2nd/dp/8187169842 Teoria de campo: uma cartilha moderna (segunda edição)]. EUA: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3, Ch 1.

=== Teoria linear (livre) ===
A teoria de campo escalar mais básica é a [[Linearidade|teoria linear]]. Através da [[Série de Fourier|decomposição de Fourier dos campos]], representa os [[modos normais]] de uma [[Oscilador harmônico quântico|infinidade de osciladores acoplados]] onde o limite do contínuo do índice do oscilador i é agora denotado por x. A [[Ação (física)|ação]] para a teoria de campo escalar relativística livre é então:
:<math>\begin{align}
  \mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \mathcal{L} \\
              &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - \frac{1}{2} m^2\phi^2\right] \\[6pt]
              &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi \partial_j\phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2\right],
\end{align}</math>
onde <math>\mathcal{L}</math> é conhecida como [[Função de Lagrange|densidade lagrangeana]]; {{math|''d''<sup>4&minus;1</sup>''x'' ≡ ''dx'' ⋅ ''dy'' ⋅ ''dz'' ≡ ''dx''<sup>1</sup> ⋅ ''dx''<sup>2</sup> ⋅ ''dx''<sup>3</sup>}} para as três coordenadas espaciais; [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta]{{math|''δ<sup>ij</sup>''}} é a função delta de Kronecker; e {{math|''∂''<sub>''ρ''</sub> {{=}} ''∂''/''∂x''<sup>''ρ''</sup>}}  para a {{mvar|''ρ''}}-ª coordenada {{math|''x''<sup>''ρ''</sup>}}.

Este é um exemplo de ação quadrática, pois cada um dos termos é quadrático no campo, ''{{mvar|φ}}''. O termo proporcional a {{math|''m''<sup>2</sup>}} às vezes é conhecido como termo de massa, devido à sua posterior interpretação, na versão quantizada desta teoria, em termos de massa de partículas.


A equação de movimento para esta teoria é obtida pela extremação da ação acima. Tem a seguinte forma, linear em {{mvar|φ}},

: <math>\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi+m^2\phi=\partial^2_t\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0 ~,</math>

onde ∇<sup>2</sup> é o [[operador de Laplace]]. Esta é a [[equação de Klein-Gordon]], com a interpretação como uma equação de campo clássica, em vez de uma equação de onda da [[mecânica quântica]].

=== Teoria não linear (interagindo) ===
A generalização mais comum da teoria linear acima é adicionar um [[potencial escalar]] {{math|''V''(Φ)}} ao Lagrangiano, onde normalmente, além de um termo de massa, ''V'' é um polinômio em {{mvar|Φ}}. Diz-se às vezes que tal teoria está [[Interação|interagindo]], porque a [[equação de Euler-Lagrange]] agora é não linear, implicando uma [[Autointeração|auto-interação]] <math>\Sigma</math>. A ação para a teoria mais geral é

: <math>\begin{align}
  \mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \mathcal{L} \\[3pt]
              &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - V(\phi) \right] \\[3pt]
              &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[
                   \frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi -
                   \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n!} g_n\phi^n
                 \right]
\end{align}</math>


Os fatores ''n''! na expansão são introduzidos porque são úteis no diagrama de expansão de Feynman da teoria quântica, conforme descrito abaixo.

A equação de movimento de Euler-Lagrange correspondente é agora

: <math>\eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu\phi + V'(\phi) = \partial^2_t \phi - \nabla^2 \phi + V'(\phi) = 0.</math>

=== Escala e análise dimensional ===
{{main|Unidades naturais}}
[[Ficheiro:Kerr.black.hole.shadow.and.horizons.thumb.gif|miniaturadaimagem|Sombra (preto) e horizontes e [[ergosferas]] (branco) de um [[buraco negro]] em [[Rotação estelar|rotação]].]]
As quantidades físicas nessas teorias de campo escalar podem ter dimensões de comprimento, tempo ou massa, ou alguma combinação dos três.

No entanto, em uma teoria relativista, qualquer quantidade  {{mvar|t}}, com dimensões de tempo, pode ser facilmente convertida em um comprimento, {{math|''l'' {{=}}''ct''}}, usando a [[velocidade da luz]], {{mvar|c}}. Da mesma forma, qualquer comprimento {{mvar|l}} é equivalente a uma massa inversa, {{math|{{mvar|ħ}}{{=}}''lmc''}}, usando a [[constante de Planck]], {{mvar|ħ}}. Em unidades naturais, pensa-se em um tempo como um comprimento, ou tempo ou comprimento como uma massa inversa.

Em suma, pode-se pensar nas dimensões de qualquer quantidade física como definida em termos de apenas uma dimensão independente, e não em termos de todas as três. Isso é mais frequentemente chamado de [[Dimensão de escala|dimensão de massa]] da quantidade. O conhecimento das dimensões de cada quantidade permite restaurar de ''forma única'' as dimensões convencionais de uma expressão de unidades naturais em termos desta dimensão de massa, simplesmente reinserindo as potências necessárias de  {{mvar|ħ}} e {{mvar|c}} necessário para a consistência dimensional.

Uma objeção concebível é que essa teoria é clássica e, portanto, não é óbvio como a constante de Planck deveria fazer parte da teoria. Se desejado, pode-se de fato reformular a teoria sem dimensões de massa: No entanto, isso seria à custa de obscurecer ligeiramente a conexão com o campo escalar quântico. Dado que se tem dimensões de massa, a constante de Planck é pensada aqui como uma ''essencialmente arbitrária quantidade de referência fixa de ação'' (não necessariamente ligado à quantização), portanto com dimensões apropriadas para converter entre massa e [[Comprimento recíproco|comprimento inverso]].
====Escala dimensional====
A dimensão de escala clássica, ou dimensão de massa,  {{mvar|Δ}}, de  {{mvar|φ}} descreve a transformação do campo sob um reescalonamento de coordenadas:
:<math>x\rightarrow\lambda x</math>
:<math>\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.</math>

As unidades de ação são as mesmas que as unidades de {{mvar|ħ}}, e assim a ação em si tem dimensão de massa zero. Isso corrige a dimensão de escala do campo {{mvar|φ}} para
:<math>\Delta =\frac{D-2}{2}.</math>

==== Invariância de escala ====
Há um sentido específico no qual algumas teorias de campos escalares são [[Invariância de escala|invariantes em escala]]. Embora as ações acima sejam todas construídas para ter dimensão de massa zero, nem todas as ações são invariáveis sob a transformação de escala
:<math>x\rightarrow\lambda x </math>
:<math>\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.</math>

A razão pela qual nem todas as ações são invariantes é que geralmente se pensa nos parâmetros ''m'' e {{math|''g''<sub>''n''</sub>}}  x como quantidades fixas, que não são redimensionadas sob a transformação acima. A condição para que uma teoria de campo escalar seja invariante de escala é então bastante óbvia: todos os parâmetros que aparecem na ação devem ser quantidades adimensionais. Em outras palavras, uma teoria invariante de escala é aquela sem qualquer escala de comprimento fixo (ou equivalentemente, escala de massa) na teoria.

Para uma teoria de campo escalar com dimensões de espaço-tempo ''D'', o único parâmetro adimensional  {{math|''g''<sub>''n''</sub>}} satisfaz {{mvar|n}} =<math>\frac{D2}{D-2}</math>. Por exemplo, em {{math|''D''}} = 4, somente  {{math|''g''<sub>4</sub>}} é classicamente adimensional e, portanto, a única teoria de campo escalar classicamente invariante em escala em {{math|''D''}} = 4 é a teoria sem massa [[Interação quártica|{{mvar|φ}}<sup>4</sup>]].<ref>{{Citar livro|url=http://worldcat.org/oclc/246756886|título=Field theory : a modern primer|ultimo=Pierre.|primeiro=Ramond,|data=1990|editora=Addison-Wesley|oclc=246756886}}</ref>

A invariância de escala clássica, no entanto, normalmente não implica invariância de escala quântica, por causa do [[grupo de renormalização]] envolvido.

==== Invariância conforme ====
Uma transformação
:<math>x\rightarrow \tilde{x}(x)</math>
é dito [[Simetria conformal|conforme]] se a transformação satisfaz
:<math>\frac{\partial\tilde{x^\mu}}{\partial x^\rho}\frac{\partial\tilde{x^\nu}}{\partial
 x^\sigma}\eta_{\mu\nu}=\lambda^2(x)\eta_{\rho\sigma}</math>
para alguma função {{math|''λ''(''x'')}}.

O grupo conforme contém como subgrupos as [[Isometria (geometria)|isometrias]] da métrica <math>\eta_{\mu\nu}</math> (o [[grupo de Poincaré]]) e também as transformações de escala (ou [[Invariância de escala|dilatações]]) consideradas acima. De fato, as teorias de escala invariante na seção anterior também são conformemente invariantes.
===Teoria {{mvar|φ}}<sup>4</sup> ===
[[Ficheiro:Asymbif.gif|miniaturadaimagem|Quebra de [[simetria]] em [[Bifurcação de autovalores degenerados|conjuntos de bifurcação]]]]
A teoria {{mvar|φ}}<sup>4</sup> massiva ilustra uma série de fenômenos interessantes na teoria escalar de campos.

A densidade lagrangeana é
:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 -\frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g}{4!}\phi^4.</math>

==== Quebra espontânea de simetria ====
Esta Lagrangiana tem uma simetria ℤ₂ sob a transformação φ→ −φ. Este é um exemplo de uma [[Simetria (física)|simetria interna]], em contraste com uma [[Simetrias de espaço-tempo|simetria espaço-temporal]].


se {{math|''m''<sup>2</sup>}} é positivo, o potencial 
:<math>V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2 +\frac{g}{4!}\phi^4</math>
tem um único mínimo, na origem. A solução φ=0 é claramente invariante sob a simetria ℤ₂.

Por outro lado, se {{math|''m''<sup>2</sup>}} é negativo, então pode-se ver prontamente que o potencial
:<math>\, V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{g}{4!}\phi^4\!</math>
tem dois mínimos. Isso é conhecido como um potencial de poço duplo, e os estados de energia mais baixos (conhecidos como vácuo, na linguagem teórica de campo quântico) em tal teoria não são invariantes sob a simetria ℤ₂ da ação (na verdade, mapeia cada um dos dois vácuos). no outro). Neste caso, diz-se que a simetria ℤ₂ é [[Quebra espontânea de simetria|quebrada espontaneamente]].

==== Soluções de torção ====
A teoria φ4 com um ''{{math|''m''<sup>2</sup>}}''  negativo também tem uma solução kink, que é um exemplo canônico de um sóliton. Tal solução é da forma

:<math>\phi(\vec{x}, t) = \pm\frac{m}{2\sqrt{\frac{g}{4!}}}\tanh\left[\frac{m(x - x_0)}{\sqrt{2}}\right]</math>
onde  {{mvar|x}} é uma das variáveis espaciais (φ é considerada independente de t, e as demais variáveis espaciais). A solução interpola entre os dois vácuos diferentes do potencial de poço duplo. Não é possível deformar a torção em uma solução constante sem passar por uma solução de energia infinita, e por esta razão a torção é dita estável. Para ''D''>2 (ou seja, teorias com mais de uma dimensão espacial), essa solução é chamada de [[parede de domínio]].

Outro exemplo bem conhecido de uma teoria de campo escalar com soluções de torção é a [[Equação Seno-Gordon|teoria seno-Gordon]].

=== Teoria de campos escalares complexos ===
[[Ficheiro:Qcd fields field (physics).svg|miniaturadaimagem|Campos devido a [[Carga de cor|cargas de cor]], como em [[Quark|quarks]] ('''''G''''' é o [[Tensor de força do campo de glúons|tensor de força de campo de glúons]]). Estas são combinações "incolores". Acima: A carga colorida tem "estados neutros ternários", bem como a neutralidade binária (análoga à [[carga elétrica]]). Abaixo: As combinações quark/[[antiquark]].]]
Em uma teoria de campo escalar complexo, o campo escalar assume valores nos [[Número complexo|números complexos]], em vez dos números reais. O campo escalar complexo representa partículas de [[Spin|spin-0]] e [[Antipartícula|antipartículas]] com carga. A ação considerada normalmente toma a forma
:<math>\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t
\mathcal{L} = \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi
-V(|\phi|^2)\right]</math>

Este tem uma simetria [[Grupo de círculo|''U''(1)]], equivalentemente [[Grupo ortogonal|O(2)]], cuja ação no espaço de campos gira <math>\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi</math>, para algum ângulo de fase real {{mvar|α}}.

Quanto ao campo escalar real, a quebra espontânea de simetria é encontrada se ''m''<sup>2</sup> é negativo. Isso dá origem ao [[Quebra espontânea de simetria|potencial de chapéu mexicano]] de Goldstone, que é uma rotação do [[potencial de poço duplo]]<ref>{{Citar periódico |url=https://www.arxiv-vanity.com/papers/1209.2521/ |titulo=The double well potential in quantum mechanics: a simple, numerically exact formulation |data=2012-09-12 |acessodata=2022-02-17 |ultimo=Jelic |primeiro=V. |ultimo2=Marsiglio |primeiro2=F. |lingua=en}}</ref> de um campo escalar real por 2π radianos em torno do eixo ''V''<math> (\phi) </math>.A quebra de simetria ocorre em uma dimensão superior, ou seja, a escolha do vácuo quebra uma simetria ''U''(1) contínua em vez de discreta. Os dois componentes do campo escalar são reconfigurados como um modo massivo e um [[Bósons Nambu–Goldstone|bóson Goldstone]] sem massa.<ref>{{Citar livro|url=http://cds.cern.ch/record/343400|título=Field theories with "superconductor" solutions|ultimo=Goldstone|primeiro=J.|data=1961}}</ref>

===Teoria ''O''(''N'')===
{{Artigo principal|Modelo sigma}}
Pode-se expressar a teoria de campo escalar complexa em termos de dois campos reais, ''φ''<sup>1</sup> = Re ''φ''   e    ''φ''<sup>2</sup> = Im ''φ'',  Pode-se expressar a teoria de campo escalar complexa em termos de dois campos reais, ''U''(1) = ''O''(2) simetria interna. Embora tais campos se transformem como um vetor sob a ''simetria interna'', eles ainda são escalares de Lorentz.

Isso pode ser generalizado para uma teoria de N campos escalares se transformando na representação vetorial da simetria [[grupo ortogonal|''O''(''N'')]]. O Lagrangiano para uma teoria de campo escalar invariante ''O''(''N'') é tipicamente da forma
:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\cdot\partial_\nu\phi -V(\phi\cdot\phi)</math>
usando um [[Espaço interno do produto|produto interno]] ''O''(''N'')-invariante apropriado<ref>{{Citar web|url=https://www.elsevier.com/books/topological-vector-spaces-distributions-and-kernels/treves/978-1-4831-9859-0|titulo=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels - 1st Edition|acessodata=2022-02-19|website=www.elsevier.com}}</ref>. A teoria também pode ser expressa para campos vetoriais complexos, ou seja, para <math>\phi\in\Complex^n</math>, Nesse caso, o grupo de simetria é o [[Grupo especial unitário|SU(N)]] do [[grupo de Lie]].

=== Acoplamentos de campo de gauge ===
Quando a teoria de campo escalar é acoplada de maneira [[Teoria de gauge|invariante de calibre]] à [[ação de Yang-Mills]], obtém-se a teoria de [[supercondutores]] de [[Teoria de Ginzburg-Landau|Ginzburg-Landau]]. Os [[Sóliton|sólitons]] topológicos dessa teoria correspondem a [[Vórtice|vórtices]] em um supercondutor; o mínimo do potencial do chapéu mexicano corresponde ao parâmetro de ordem do supercondutor.
== Teoria quântica de campos escalares ==

Uma referência geral para esta seção é Ramond, Pierre (2001-12-21). [http://www.phys.ufl.edu/~ramond/Chapter1_CUP.pdf Teoria de campo: uma cartilha moderna. EUA: Westview Press.] ISBN 0-201-30450-3[http://www.phys.ufl.edu/~ramond/Chapter1_CUP.pdf , cap. 4]
[[Ficheiro:Standing wave 2.gif|miniaturadaimagem|O estado de uma [[Teoria das cordas|corda]] vibrante pode ser modelado como um ponto em um [[espaço de Hilbert]]. A decomposição de uma corda vibrante em suas vibrações em tons distintos é dada pela projeção do ponto sobre os eixos coordenados no espaço.]]
Na [[teoria quântica de campos]], os campos e todos os observáveis construídos a partir deles são substituídos por [[Operador (física)|operadores quânticos]] em um [[espaço de Hilbert]]. Este espaço de Hilbert é construído em um [[Vácuo quântico|estado de vácuo]], e a dinâmica é governada por um [[Hamiltoniano (mecânica quântica)|Hamiltoniano quântico]], um [[Operador (física)|operador]] positivo-definido que aniquila o vácuo. Uma construção de uma teoria de campo escalar quântica é detalhada no artigo de [[quantização canônica]], que se baseia em relações de comutação canônica entre os campos. Essencialmente, a infinidade de osciladores clássicos reempacotados no campo escalar como seus modos normais (desacoplados), acima, agora são quantizados da maneira padrão, de modo que o respectivo campo de operador quântico descreve uma infinidade de [[Oscilador harmônico quântico|osciladores harmônicos quânticos]] atuando em um respectivo [[Espaço de Fock|espaço Fock]].

Em resumo, as variáveis básicas são o campo quântico ''φ'' e seu momento canônico ''π''. Ambos os campos com valor de operador são Hermitianos. Ambos os campos com valor de operador são Hermitianos. Nos pontos espaciais x→, y→ e em tempos iguais, suas relações de comutação canônicas são dadas por

:<math>\begin{align}
  \left[\phi\left(\vec{x}\right), \phi\left(\vec{y}\right)\right] =
    \left[\pi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= 0,\\
   \left[\phi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= i \delta\left(\vec{x} - \vec{y}\right),
\end{align}</math>

enquanto o hamiltoniano livre é, similarmente ao acima, 
:<math>H = \int d^3x \left[{1 \over 2}\pi^2 + {1 \over 2}(\nabla \phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2\right].</math>

Uma transformada espacial de Fourier leva a campos de espaço de momento
:<math>\begin{align}
  \widetilde{\phi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi(\vec{x}),\\
   \widetilde{\pi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\pi(\vec{x})
\end{align}</math>
que resolvem para operadores de aniquilação e criação
:<math>\begin{align}
           a(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) + i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),\\
   a^\dagger(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) - i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),
\end{align}</math>
onde <math>E = \sqrt{k^2 + m^2}</math> .

Esses operadores satisfazem as relações de comutação
:<math>\begin{align}
  \left[a(\vec{k}_1), a(\vec{k}_2)\right] =
    \left[a^\dagger(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= 0,\\
            \left[a(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= (2\pi)^3 2E \delta(\vec{k}_1 - \vec{k}_2).
\end{align}</math>

O estado <math>| 0\rangle</math> aniquilado por todos os operadores a é identificado como vácuo nu, e uma partícula com momento k→ é criada aplicando  <math>a^\dagger(\vec{k})</math> ao vácuo.

Aplicando todas as combinações possíveis de operadores de criação ao vácuo constrói o espaço de Hilbert relevante: Esta construção é chamada de espaço Fock. O vácuo é aniquilado pelo Hamiltoniano
:<math>H = \int {d^3k\over (2\pi)^3}\frac{1}{2} a^\dagger(\vec{k}) a(\vec{k}) , </math>
onde a [[Energia de ponto zero|energia do ponto zero]] foi removida por ordenação de Wick. (Veja [[Quantização (física)|quantização canônica]].)
[[Ficheiro:Feynman paths.png|miniaturadaimagem|Estes são cinco dos infinitos [[Formulação de Feynman da mecânica quântica|caminhos]] disponíveis para uma partícula se mover do ponto A no instante t para o ponto B no instante ''t''’(>''t''). Caminhos que se cruzam ou retrocedem no tempo não são permitidos.]]
As interações podem ser incluídas adicionando um Hamiltoniano de interação. Para a teoria ''φ''<sup>4</sup>, isso corresponde a adicionar um termo ordenado Wick ''g'':''φ''<sup>4</sup>:/4'''!''' ao hamiltoniano, e integrando sobre ''x''. As amplitudes de espalhamento podem ser calculadas a partir deste Hamiltoniano na [[Representação de Dirac|representação de Dirac de interação]]. Estes são construídos na teoria da perturbação por meio da série Dyson, que fornece os produtos ordenados no tempo, ou funções de Green de ''n''-partículas <math>\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle</math> conforme descrito no artigo da [[série de Dyson]]. As funções de Green também podem ser obtidas a partir de uma função geradora que é construída como solução da [[equação de Schwinger-Dyson]].

===Integral do caminho de Feynman===
A expansão do [[diagrama de Feynman]] pode ser obtida também a partir da [[Formulação de Feynman da mecânica quântica|formulação integral de caminho de Feynman]].<ref> Uma referência geral para esta seção é {{cite book|last=Ramond|first=Pierre|title=Field Theory: A Modern Primer|publisher=Westview Press|location=USA|date=2001-12-21|isbn=0-201-30450-3|edition=Second}}</ref> Os [[Valor esperado do vácuo|valores esperados do vácuo]] ordenados no tempo de polinômios em {{mvar|φ}}, conhecidas como [[Função de Green|funções de Green]] de partículas ''n'', são construídas integrando sobre todos os campos possíveis, normalizado pelo valor esperado de vácuo sem campos externos,

:<math>\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\}|0\rangle =
  \frac
    {\int \mathcal{D}\phi \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}}
    {\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}}.
</math>

Todas essas funções de Green podem ser obtidas expandindo a exponencial em ''J''(''x'')φ(''x'') na função geradora
:<math>
  Z[J] =
    \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right)} =
    Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} J(x_1) \cdots J(x_n) \langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle.
</math>

Uma [[rotação de Wick]] pode ser aplicada para tornar o tempo imaginário. Alterar a assinatura para (++++) transforma a integral de Feynman em uma [[Função de partição (mecânica estatística)|função de partição da mecânica estatística]] no [[espaço euclidiano]],

:<math>Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left[{1 \over 2}(\nabla\phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2 + {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right]}.</math>

Normalmente, isso é aplicado ao espalhamento de partículas com momentos fixos, nesse caso, uma [[transformada de Fourier]] é útil, dando em vez disso
:<math>\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi e^{-\int {d^4p \over (2\pi)^4} \left({1\over 2}(p^2+m^2)\tilde\phi^2-\tilde{J}\tilde\phi+{g \over 4!}{\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)}\right)}.</math>

onde <math>\delta(x)</math> é a [[Delta de Dirac|função delta de Dirac]].

O truque padrão para avaliar essa [[integral funcional]] é escrevê-la como um produto de fatores exponenciais, esquematicamente,
:<math>\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi \prod_p \left[e^{-(p^2+m^2)\tilde\phi^2/2} e^{-g/4!\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)} e^{\tilde{J}\tilde\phi}\right].</math>

Os dois segundos fatores exponenciais podem ser expandidos como séries de potências, e a combinatória dessa expansão pode ser representada graficamente através de [[Diagrama de Feynman|diagramas de Feynman]] da [[interação quártica]].

A integral com g = 0 pode ser tratada como um produto de infinitas integrais gaussianas elementares: o resultado pode ser expresso como uma soma de [[diagramas de Feynman]], calculado usando as seguintes regras de Feynman:
* Cada campo  {{overset|~|''φ''}}(''p'') na função de Green Euclidiano de ''n'' pontos a função de Green é representada por uma linha externa (meia-aresta) no gráfico, e associada ao momento ''p''.
* Cada vértice é representado por um fator −''g''.
* Em uma dada ordem ''g''<sup>''k''</sup>, todos os diagramas com n linhas externas e {{mvar|k}} vértices são construídos de modo que o momento que flui em cada vértice seja zero. Cada linha interna é representada por um propagador 1/(''q''<sup>2</sup> + ''m''<sup>2</sup>), onde {{mvar|q}} é o momento que flui através dessa linha.
*Quaisquer momentos irrestritos são integrados sobre todos os valores.
* O resultado é dividido por um fator de simetria, que é o número de maneiras pelas quais as linhas e os vértices do grafo podem ser rearranjados sem alterar sua conectividade.
* Não inclua gráficos contendo "bolhas de vácuo", subgráficos conectados sem linhas externas.

A última regra leva em conta o efeito da divisão por  {{overset|~|''Z''}}[0].  As regras de Feynman do espaço Minkowski são semelhantes, exceto que cada vértice é representado por ''−ig'', enquanto cada linha interna é representada por um propagador ''i''/(''q''<sup>2</sup>−''m''<sup>2</sup>+''iε''), onde o termo {{mvar|ε}} representa a pequena rotação de Wick necessária para fazer convergir a integral gaussiana do espaço de Minkowski.

===Renormalização===
[[Ficheiro:Beta function on real plane.png|miniaturadaimagem|Função {{math|''β''}} no plano real]]
As integrais sobre momentos irrestritos, chamadas "[[Integral de linha|integrais de loop]]", nos gráficos de Feynman normalmente divergem. Isso normalmente é tratado pela [[renormalização]], que é um procedimento de adição de contra-termos divergentes ao Lagrangeano de tal forma que os diagramas construídos a partir do Lagrangeano original e dos contra-termos sejam finitos.<ref>Consulte a referência anterior ou, para mais detalhes, - {{Citar livro|url=http://archive.org/details/quantumfieldtheo0000itzy|título=Quantum field theory|ultimo=Itzykson|primeiro=Claude|data=1980|editora=New York : McGraw-Hill International Book Co.|outros=Internet Archive}}</ref> Uma escala de renormalização deve ser introduzida no processo, e a constante de acoplamento e a massa tornam-se dependentes dela.

A dependência de uma constante de acoplamento {{mvar|g}} na escala {{mvar|λ}} é codificado por uma [[Função beta (física)|função Beta]], {{math|''β''(''g'')}},definido por
:<math>\beta(g) = \lambda\,\frac{\partial g}{\partial \lambda} ~.</math>

Essa dependência da escala de energia é conhecida como "a execução do parâmetro de acoplamento", e a teoria dessa dependência sistemática de escala na teoria quântica de campos é descrita pelo [[grupo de renormalização]].

As funções beta são geralmente calculadas em um esquema de aproximação, mais comumente [[Teoria de perturbações|teoria de perturbação]], onde se assume que a constante de acoplamento é pequena. Pode-se então fazer uma expansão nas potências dos parâmetros de acoplamento e truncar os termos de ordem superior (também conhecidos como contribuições de ''[[Diagrama de Feynman|loop]]'' mais altas, devido ao número de ''loops'' nos gráficos de Feynman correspondentes).

A função {{math|''β''}} em um loop (a primeira contribuição perturbativa) para a teoria {{mvar|φ}}<sup>4</sup> é
:<math>\beta(g) = \frac{3}{16\pi^2}g^2 + O\left(g^3\right) ~.</math>

O fato de o sinal na frente do termo de ordem mais baixa ser positivo sugere que a constante de acoplamento aumenta com a energia. Se esse comportamento persistisse em grandes acoplamentos, isso indicaria a presença de um [[polo de Landau]]<ref>{{Citar periódico |url=http://dx.doi.org/10.1016/0370-1573(88)90008-7 |titulo=Triviality pursuit: Can elementary scalar particles exist? |data=1988-09 |acessodata=2022-02-27 |jornal=Physics Reports |número=5 |ultimo=Callaway |primeiro=David J.E. |paginas=241–320 |doi=10.1016/0370-1573(88)90008-7 |issn=0370-1573}}</ref> em energia finita, decorrente da [[trivialidade quântica]].<ref>{{Citar periódico |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321386904311 |titulo=CAN elementary scalar particles exist?: (II). Scalar electrodynamics |data=1986-01-01 |acessodata=2022-02-27 |jornal=Nuclear Physics B |ultimo=Callaway |primeiro=David J. E. |ultimo2=Petronzio |primeiro2=Roberto |paginas=50–66 |lingua=en |doi=10.1016/0550-3213(86)90431-1 |issn=0550-3213}}</ref> No entanto, a pergunta só pode ser respondida de forma não perturbadora, uma vez que envolve forte acoplamento.


Uma teoria quântica de campos é considerada trivial quando o acoplamento renormalizado, calculado através de sua função beta, vai a zero quando o corte ultravioleta é removido. Consequentemente, o [[propagador]] se torna o de uma partícula livre e o campo não está mais interagindo.

Para uma interação {{mvar|φ}}<sup>4</sup>, [[Michael Aizenman]] provou que a teoria é de fato trivial, para dimensão espaço-tempo {{mvar|D}} ≥ 5.<ref name="Aiz81">
{{cite journal
 |last=Aizenman|first=M. |author-link=Michael Aizenman
 |year=1981
 |title=Proof of the Triviality of ''ϕ{{su|b=d|p=4}}'' Field Theory and Some Mean-Field Features of Ising Models for ''d'' > 4
 |journal=[[Physical Review Letters]]
 |volume=47
 |issue=1 |pages=1–4 |doi=10.1103/PhysRevLett.47.1 |bibcode=1981PhRvL..47....1A
}}</ref>

Para {{mvar|D}} = 4, a trivialidade ainda precisa ser comprovada com rigor, mas os cálculos de rede forneceram fortes evidências para isso. Este fato é importante, pois a trivialidade quântica pode ser usada para limitar ou até mesmo prever parâmetros como a massa do [[bóson de Higgs]]. Isso também pode levar a uma massa de Higgs previsível em cenários de segurança assintóticos.<ref>{{Citar periódico |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321387906572 |titulo=Is the standard model Higgs mass predictable? |data=1987-01-01 |acessodata=2022-02-27 |jornal=Nuclear Physics B |ultimo=Callaway |primeiro=David J. E. |ultimo2=Petronzio |primeiro2=Roberto |paginas=497–526 |lingua=en |doi=10.1016/0550-3213(87)90657-2 |issn=0550-3213}}</ref><ref>{{Citar periódico |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370269309014579 |titulo=Asymptotic safety of gravity and the Higgs boson mass |data=2010-01-18 |acessodata=2022-02-27 |jornal=Physics Letters B |número=2 |ultimo=Shaposhnikov |primeiro=Mikhail |ultimo2=Wetterich |primeiro2=Christof |paginas=196–200 |lingua=en |doi=10.1016/j.physletb.2009.12.022 |issn=0370-2693}}</ref>

{{referências}}
{{esboço-física}}
{{Portal3|Física}}

[[Categoria:Teoria quântica de campos]]
[[Categoria:Física de partículas]]
[[Categoria:Simetria]]
[[Categoria:Geometria diferencial]]