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A '''teoria da investigação bayesiana''' consiste na aplicação da [[Inferência bayesiana|estatística bayesiana]] à busca de objetos perdidos. Tem sido usada repetidas vezes para encontrar embarcações marítimas perdidas, como o [[USS Scorpion (SSN-589)|USS ''Scorpion'']]. Também desempenhou um papel importante na recuperação das [[Caixa negra|caixas-pretas]] no desastre do [[Voo Air France 447|voo 447 da Air France]] em 2009. Foi usada na tentativa de encontrar os destroços do avião do [[Voo Malaysia Airlines 370|voo 370 da Malaysia Airlines]].<ref>{{Citar periódico|data=2015-12-03|titulo=How an Eighteenth-Century Statistician Is Helping to Find MH370|url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2015-12-03/find-mh370-next-job-for-theory-used-to-show-existence-of-god|jornal=Bloomberg.com|lingua=en}}</ref><ref>{{Citar periódico|ultimo=Pearlman|primeiro=Jonathan|data=2015-12-03|titulo=MH370 search narrowed to 'hot-spot' as analysis finds plane did not conduct controlled landing|url=http://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/mh370/12030483/MH370-search-narrowed-to-hot-spot-as-analysis-finds-plane-did-not-conduct-controlled-landing.html|lingua=en-GB|issn=0307-1235}}</ref><ref>{{Citar periódico|data=2015-12-02|titulo=MH370 Hunters Narrow Down Most Likely Site of Wreckage|url=https://www.bloomberg.com/news/articles/2015-12-02/mh370-hunters-say-new-analysis-reaffirms-most-likely-wreck-site|jornal=Bloomberg.com|lingua=en}}</ref>

==Procedimento==
O procedimento usual é como se segue:
# Formula-se o maior número de hipóteses razoáveis possível sobre o que pode ter acontecido com o objeto.
# Para cada hipótese, constrói-se uma [[função densidade de probabilidade]] para a localização do objeto.
# Constrói-se uma função que dá a probabilidade de realmente encontrar um objeto no local <math>X</math> quando se busca lá, se ele realmente estiver no local <math>X</math>. Em uma busca no oceano, isto é geralmente uma função da profundidade das águas — em partes rasas, as chances de encontrar um objeto são boas se a busca estiver no lugar certo. Em partes profundas, as chances são reduzidas.
# Combina-se a informação acima coerentemente para produzir uma mapa geral de densidade de probabilidade. Geralmente, isto significa simplesmente multiplicar as duas funções juntas. Isto dá a probabilidade de encontrar o objeto ao procurar no local <math>X</math> para todos os locais possíveis <math>X</math>. Isto pode ser visualizado como um [[Isolinha|mapa de contorno]] de probabilidade.
# Constrói-se um caminho de busca que começa no ponto de maior probabilidade e examina as áreas de probabilidade alta, em seguida, áreas de probabilidade média e, por fim, áreas de probabilidade baixa.
# Revisam-se todas as probabilidades continuamente durante a investigação. Por exemplo, se as hipóteses para o local <math>X</math> implicarem a provável desintegração do objeto e a investigação no local <math>X</math> não tiver encontrado nenhum fragmento, então, a probabilidade de que o objeto esteja em algum lugar ao redor é grandemente reduzida (ainda que geralmente não a zero), enquanto as probabilidades de que esteja em outros lugares são correspondentemente elevadas. O processo de revisão é feito aplicando o [[teorema de Bayes]].<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=B4fuBwAAQBAJ&pg=PA5&dq=Studies+on+the+Optimal+Search+Plan&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwjTt_Hz-IfZAhUKEJAKHXULBY8Q6AEIKDAA#v=onepage&q=Studies%20on%20the%20Optimal%20Search%20Plan&f=false|título=Studies on the Optimal Search Plan|ultimo=Iida|primeiro=Koji|data=2012-12-06|editora=Springer Science & Business Media|lingua=en|isbn=9781461228769}}</ref>
Em suma, busca-se primeiro onde há a maior probabilidade de que o objeto seja encontrado. Depois busca-se onde há menor probabilidade de achar o objeto e, posteriormente, onde a probabilidade é ainda menor (mas onde ainda é possível encontrar o objeto devido a limitações de combustível, amplitude, correntes marítimas, por exemplo), até se extinguirem as esperanças de achar o objeto a um custo razoável.<ref>{{citar livro|título=Search and Screening|ultimo=Koopman|primeiro=Bernard|editora=Operations Evaluation Group, Office of the Chief of Naval Operations, Navy Department|ano=1946|local=Washington, D.C.|páginas=|acessodata=}}</ref>

As vantagens do método bayesiano são que 1) todas as informações disponíveis são usadas coerentemente (isto é, em uma maneira "à prova de furo") e 2) o método automaticamente produz estimativas do custo para uma dada probabilidade de sucesso. Em outras palavras, mesmo antes do começo das buscas, pode-se dizer, hipoteticamente, "há uma chance de 65% de encontrar o objeto em uma busca de 5 dias. A probabilidade aumentará para 90% depois de uma busca de 10 dias e para 97% depois de uma busca de 15 dias" ou uma afirmação semelhante. Assim, a viabilidade econômica da busca pode ser estimada antes de comprometer recursos com a busca.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/898769200|título=Introduction to Stochastic Dynamic Programming.|ultimo=M.|primeiro=Ross, Sheldon|ultimo2=E.|primeiro2=Lukacs,|data=2014|editora=Elsevier Science|local=Burlington|isbn=9781483269092|oclc=898769200}}</ref>

Além do USS ''Scorpion'', outras embarcações localizadas pela teoria da investigação bayesiana incluem o MV ''Derbyshire'', a maior embarcação britânica já perdida no mar, e o SS ''Central America''.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Stone|primeiro=Lawrence D.|data=1992|titulo=Search for SS "Central America": Mathematical Treasure Hunting|url=http://www.jstor.org/stable/25061572|jornal=Interfaces|volume=22|numero=1|paginas=32–54}}</ref> Também mostrou-se bem sucedida na busca de uma [[Bomba de hidrogénio|bomba de hidrogênio]] perdida na sequência do [[Incidente Palomares|incidente de Palomares]] e na recuperação do avião do voo Air France 447 no Oceano Atlântico.<ref>{{Citar web|url=https://www.informs.org/ORMS-Today/Public-Articles/August-Volume-38-Number-4/In-Search-of-Air-France-Flight-447|titulo=In Search of Air France Flight 447|acessodata=2018-02-02|obra=INFORMS|ultimo=INFORMS|lingua=en-US}}</ref>

A teoria da investigação bayesiana foi incorporada ao ''software'' de planejamento de missão CASP (''Computer Assisted Search Program'' ou Programa de Busca Assistida por Computador) usado pela [[Guarda Costeira dos Estados Unidos]] para [[Busca e resgate|busca e salvamento]]. Este programa foi posteriormente adaptado para busca em terra ao adicionar fatores de cobertura de terreno e solo para uso pela [[Força Aérea dos Estados Unidos]] e pela Patrulha Aérea Civil dos Estados Unidos.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Richardson|primeiro=Henry R.|ultimo2=Discenza|primeiro2=Joseph H.|data=1980-12-01|titulo=The United States Coast Guard Computer-Assisted Search Planning system (CASP)|url=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/nav.3800270413/abstract|jornal=Naval Research Logistics Quarterly|lingua=en|volume=27|numero=4|paginas=659–680|doi=10.1002/nav.3800270413|issn=1931-9193}}</ref>

==Formulação matemática==
Suponha que uma área quadrada tem uma probabilidade <math>p</math> de conter os destroços e que a probabilidade de detectar com sucesso os destroços se eles estiverem lá é <math>q</math>. Se o quadrado for examinado e nenhum destroço for encontrado, então, pelo teorema de Bayes, a probabilidade revisada de que os destroços estejam na quadrado é dada por:<blockquote><math>  p'=\frac{p(1-q)}{(1-p)+p(1-q)}=p\frac{1-q}{1-pq}<p.</math></blockquote>Para cada outra área quadrada, se sua [[Probabilidade a priori|probabilidade ''a priori'']] for <math>  r</math>, sua [[Probabilidade a posteriori|probabilidade ''a posteriori'']] é dada por:<blockquote><math> r'=r\frac{1}{1-pq}>r. </math><ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=dtVieJ245z0C&printsec=frontcover&dq=Optimal+Statistical+Decisions&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwiusNX5-IfZAhVBhZAKHUwMDhgQ6AEIKDAA#v=onepage&q=Optimal%20Statistical%20Decisions&f=false|título=Optimal Statistical Decisions|ultimo=DeGroot|primeiro=Morris H.|data=2005-01-28|editora=John Wiley & Sons|lingua=en|isbn=9780471726142}}</ref></blockquote>

==Busca em caixas==
Assuma que um objeto estacionário está escondido em uma de <math>n</math> caixas. Para cada caixa <math>i</math>, há três parâmetros conhecidos: o custo de uma única busca no local <math>i</math>, <math>c_i</math>; a probabilidade de encontrar o objeto por uma única busca no local <math>i</math> se ele estiver neste local, <math>a_i</math>; e a probabilidade que o objeto esteja no local <math>i</math>, <math>p_i</math>. Um investigador procura o objeto. Ele sabe as probabilidades ''a priori'' desde o começo e atualiza estas probabilidades pela lei de Bayes a cada tentativa (sem sucesso). O problema de encontrar o objeto ao mínimo custo esperado é um problema clássico resolvido pelo matemático norte-americano [[David Blackwell]]. Surpreendentemente, a política ótima é fácil de descrever: a cada estágio, procura-se no local que maximiza <math>\frac{p_ia_i}{c_i}</math>.<ref>{{Citar livro|url=https://www.worldcat.org/oclc/680492397|título=Theory of optimal search|ultimo=1942-|primeiro=Stone, Lawrence D.,|data=1975|editora=Academic Press|local=New York|isbn=9780080956275|oclc=680492397}}</ref> Isto é na verdade um caso especial do índice de Gittins.

==USS ''Scorpion''==
Em maio de 1968, o [[submarino nuclear]] da [[Marinha dos Estados Unidos]] USS ''Scorpion'' não chegou como esperado em seu porto de origem em [[Norfolk (Virgínia)|Norfolk, Virgínia]]. Os oficiais do comando da Marinha dos Estados Unidos estavam quase convencidos de que a embarcação havia sido perdida na [[Costa Leste dos Estados Unidos|Costa Leste]], mas uma busca extensiva lá não conseguiu encontrar os destroços do ''Scorpion''.

Então, o especialista em águas profundas da Marinha norte-americana John P. Craven sugeriu que o ''Scorpion'' poderia ter afundado em outro lugar. Craven organizou uma busca a sudoeste dos [[Açores]] baseado em uma controversa triangulação aproximada por [[Hidrofone|hidrofones]]. Craven teve direito a apenas um navio, o USNS ''Mizar'', e recebeu orientações de uma empresa de matemáticos consultores a fim de maximizar seus recursos. Uma metodologia de investigação bayesiana foi adotada. Comandantes de submarino experientes foram entrevistados a fim de construir hipóteses sobre o que poderia ter causado a perda do ''Scorpion''.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Richardson|primeiro=Henry R.|ultimo2=Stone|primeiro2=Lawrence D.|data=1971-06-01|titulo=Operations analysis during the underwater search for Scorpions|url=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/nav.3800180202/abstract|jornal=Naval Research Logistics Quarterly|lingua=en|volume=18|numero=2|paginas=141–157|doi=10.1002/nav.3800180202|issn=1931-9193}}</ref>

O espaço do mar foi dividido em áreas quadradas e uma probabilidade foi atribuída a cada quadrado, sob cada uma das hipóteses, para dar um número de quadrados de probabilidade, um para cada hipótese. Estes foram justapostos para produzir um mapa geral de probabilidade. A probabilidade atribuída a cada quadrado era então a probabilidade de que os destroços estivessem naquele quadrado. Um segundo mapa foi construído com as probabilidades que representavam a probabilidade de encontrar com sucesso os destroços se aquele quadrado fosse examinado e se os destroços estivessem realmente lá. Esta era uma função conhecida da profundidade da água. O resultado de combinar este mapa com o mapa anterior foi um mapa que dava a probabilidade de encontrar os destroços em cada área quadrada do mar que fosse examinada.

No fim de outubro de 1968, o navio de pesquisa oceanográfica da Marinha norte-americana ''Mizar'' encontrou pedaços do casco do ''Scorpion'' no fundo a mar a cerca de 740 quilômetros a sudoeste dos açores e a mais de 3 mil metros de profundidade.<ref name=":0">{{citar periódico|ano=1969|titulo=Strange Devices That Found the Sunken Sub Scorpion|url=https://books.google.com.br/books?id=EyoDAAAAMBAJ&pg=PA66&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|jornal=Popular Science|acessodata=}}</ref> Isto aconteceu depois que a Marinha divulgou fitas de áudio de seu sistema de escuta submarina SOSUS (''Sound Surveillance System'' ou Sistema de Vigilância Sonora), que continha sons da destruição do ''Scorpion''. Subsequentemente, a corte de inquérito se reuniu novamente e outras embarcações, incluindo o [[batiscafo]] ''Trieste II'', foram despachadas à cena, coletando muitas imagens e outros dados.

Embora Craven tenha recebido muito crédito por ter localizado os escombros do ''Scorpion'', Gordon Hamilton, um especialista em acústica pioneiro no uso de [[hidroacústica]] para localizar com precisão pontos de queda de mísseis [[UGM-27 Polaris|Polaris]], foi fundamental para definir uma "caixa de busca" compacta na qual os destroços foram finalmente encontrados. Hamilton estabeleceu uma estação de escuta nas [[Canárias|Ilhas Canárias]] que obteve um sinal claro do que alguns cientistas acreditavam ser o ruído do casco da embarcação implodindo conforme o submarino ultrapassava a profundidade de queda. A bordo do ''Mizar'', um cientista do [[Laboratório de Pesquisa Naval dos Estados Unidos]] chamado Chester "Buck" Buchanan, usando uma câmera em um trenó que ele mesmo desenhou, finalmente encontrou o ''Scorpion''.<ref name=":0" /> O trenó, fabricado por J. L. "Jac" Hamm, da Divisão de Serviços de Engenharia do Laboratório de Pesquisa Naval, está abrigado no Museu Nacional da Marinha dos Estados Unidos. Buchanan havia encontrado o casco destroçado do USS ''Thresher'' em 1964 usando esta técnica.

==Ver também==
* [[Inferência bayesiana]]

== Referências ==
{{Reflist}}

{{Estatística}}
{{Matemática industrial e aplicada}}
{{Portal3|Probabilidade e Estatística|Matemática}}
[[Categoria:Estatística]]
[[Categoria:Inferência estatística]]
[[Categoria:Teoremas probabilísticos]]