Mostrar código-fonte de Teoria dos erros

{{Formatar referências|data=maio de 2013}}
{{Reciclagem|data=março de 2013}}
{{mais notas|data=agosto de 2012| arte=| Brasil=| ciência=| geografia=| música=| Portugal=| sociedade=|1=Este artigo ou se(c)ção|2=|3=|4=|5=|6=}}
O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve '''erros''' de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.).<ref>http://wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/Ensino/Disciplinas/LabFisI_Eng/ApostilaTeoriaDosErros.pdf Teoria dos Erros - Unesp</ref>

Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real.

== Tipos de erro ==
* ''Erros nos dados experimentais e nos valores dos parâmetros'':
** ''Sistemáticos'' (nos dados de entrada) - Erros que atuam sempre no mesmo sentido e podem ser eliminados mediante uma seleção de aparelhagem e do método e condições de experimentação. A coleta de dados decorrente de medidas das observações e experimentos, na maioria das vezes, traz consigo erros que são inerentes aos próprios instrumentos de medida.
** ''Fortuitos'' (gerados pelo modelo) - Erros com origem em causas indeterminadas que actuam em ambos os sentidos de forma não previsível. Estes erros podem ser atenuados, mas não completamente eliminados.
* ''[[Erro de truncamento|Erros de truncatura]]'' - Resultam do uso de fórmulas aproximadas, ou seja, uma truncatura da realidade.É preciso fazermos a substituição de uma expressão ou fórmula infinita por uma finita ou discreta. Por exemplo, quando se tomam apenas alguns dos termos do desenvolvimento em série de uma função.
* ''[[Erro de arredondamento|Erros de arredondamento]]'' - Resultam da representação de [[Número real|números reais]] com um número finito de [[Algarismo significativo|algarismos significativos]].
<ref>Aspectos teóricos e computação,Cálculo Numérico; 2ªEdição-,Ruggiero, Lopes,Editora Pearson </ref>

== Erro absoluto e erro relativo ==
A partir do momento em que se calcula um resultado por aproximação, é preciso saber como estimar e delimitar o erro cometido nessa aproximação.
Todos os tipos de erro acima podem ser expressos como "erro absoluto" ou como "erro relativo". Também, pode ser tratados pela [[Análise numérica|Análise Numérica]] ou pela [[Estatística]].<ref>http://www2.fisica.uminho.pt/Topicos%20de%20Fisica/Elementos%20de%20teoria%20de%20erros.htm Elementos de teoria de erros</ref>

Seja <math>X</math> um número com valor exacto e <math>x</math> um valor aproximado de <math>X</math>. A diferença entre o valor exato e o valor aproximado é o '''erro de X'''

Ao módulo deste valor, chama-se de '''Erro absoluto de X'''.

Como geralmente não temos acesso ao valor exato <math>X</math>, o erro absoluto não tem na maior parte dos casos utilidade prática. Assim, temos que determinar um majorante de <math>\Delta</math>. Este valor designa-se de <math>\bar{\Delta}</math>. Satisfaz a condição:

O mínimo do conjunto dos majorantes <math>\bar{\Delta}</math> de <math>\Delta</math>, chama-se "erro máximo absoluto" em que <math>x</math> representa <math>X</math>.

Em face das regras de arredondamento consideradas, um número com <math>m</math> casas decimais deve supor-se afectado de um erro máximo absoluto de:

Geralmente, mais útil do que o erro máximo absoluto é a relação entre este e a grandeza que está afectada pelo erro.

Ao quociente entre o "erro absoluto" e o módulo do valor exacto, chama-se '''Erro relativo''' de <math>X</math>.

<math>\delta = \frac{\Delta}{|X|}</math>

No entanto, na prática não temos acesso ao erro relativo e temos que usar o majorante deste.

Se <math>\Delta</math> muito menor que <math>X</math> então,

<math>\delta = \frac{\Delta}{|X|}\le \frac{\bar{\Delta}}{|x|}</math>

=== Exemplos ===
Sejam os valores <math>x</math>=0.000006 e <math>\bar{x}</math>=0.000004, o erro absoluto é de 2x10<sup>-6</sup> e o erro relativo é de 0,33333...

Seja <math>p</math>='''<math>\scriptstyle{\pi}</math>''' e <math>p</math><sup>*</sup>=3,1416, o erro absoluto é de 7.346x10<sup>-6</sup> e o erro relativo é de 2.338x10<sup>-6</sup>.

Seja <math>v</math> = 40320 e <math>v</math><sup>*</sup>=39990, o erro absoluto é de 4.2x10<sup>-2</sup> e o erro relativo é de 1.042x10<sup>-2</sup>.
<ref>Cálculo numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos,Sperandio,Mendes e Monken, editora Pearson 1ª reimpressão,2003  </ref>
<ref>Análise Numérica,Burden e Richard L., editora Thomson, 2003  </ref>

== Primeiro problema fundamental da teoria dos erros ==
Estando os dados de um problema afetados de erro, calcula-se um majorante do erro em que a solução calculada representa a solução exata.

1. ''Erro na avaliação de funções de uma variável''
::<math>\Delta x \le |f'(x)|\Delta \bar{x}</math>

2. ''Erro na avaliação de funções com mais de uma variável''
::<math>\Delta x \le \sum_{k=1}^N |\frac{\delta f}{\delta x_i}|\bar{\Delta x_i^0}</math>

que é a '''Fórmula Fundamental da Teoria dos Erros'''

== Problema inverso da teoria dos erros ==
O problema inverso da teoria dos erros consiste em determinar a precisão com que se devem utilizar os valores aproximados <math>x_1^0, x_2^0, x_3^0,... x_n^0</math> de <math>x_1, x_2, x_3, ..., x_n</math> para que <math>f(x_1^0, x_2^0, x_3^0,... x_n^0)</math> seja um valor aproximado de <math>f(x_1, x_2, x_3, ..., x_n)</math> com erro máximo absoluto inferior a um valor <math>\epsilon</math> pré-estabelecido.

Por simplicidade escolhe-se entre:

# ''Princípio das influências iguais''
# ''Princípio dos erros iguais''

== Ver também ==
* [[Estatística]]
* [[Desvio padrão]]

{{Referências}}

== Ligações externas ==
* {{Link||2=http://www.inmetro.gov.br/legislacao/rtac/pdf/RTAC001549.pdf|3=Vocabulário Internacional de Metrologia}}

{{Controle de autoridade}}
{{Portal3|Física|Probabilidade e Estatística}}

{{DEFAULTSORT:Teoria Erros}}
[[Categoria:Análise numérica|Erros, Teoria Dos]]
[[Categoria:Erro]]
[[Categoria:Estatística|Erros, Teoria Dos]]