Mostrar código-fonte de Teste t de Student

{{mais notas|data=Janeiro de 2011}}
O '''teste t de Student''' ou somente '''teste t''' é um [[Testes de hipóteses|teste de hipótese]] que usa conceitos [[Estatística|estatísticos]] para rejeitar ou não uma [[hipótese nula]] quando a [[estatística de teste]] (<math>t\;</math>) segue uma [[distribuição t de Student]].

Essa premissa é normalmente usada quando a estatística de teste, na verdade, segue uma [[distribuição normal]], mas a [[variância]] da população <math>\sigma</math><sup>2</sup> é desconhecida. Nesse caso, é usada a variância amostral <math>s\;</math><sup>2</sup> e, com esse ajuste, a estatística de teste passa a seguir uma distribuição t de Student.

== História ==
A estatística t foi introduzida em [[1908]] por [[William Sealy Gosset]], químico da cervejaria [[Guinness]] em [[Dublin]], Irlanda ("''student''" era seu [[pseudônimo]]).<ref>Richard Mankiewicz, ''The Story of Mathematics'' (Princeton University Press), p.158.</ref><ref name="Gossett">{{MacTutor Biography|id=Gosset}}</ref><ref>{{citar periódico|último =Fisher Box |primeiro =Joan |periódico=Statistical Science |ano=1987 |páginas=45–52 | volume=2 | url=http://www.jstor.org/stable/2245613 |título=Guinness, Gosset, Fisher, and Small Samples | doi=10.1214/ss/1177013437 |número=1 }}</ref> Gosset havia sido contratado devido à política inovadora de Claude Guinness de recrutar os melhores graduados de [[Universidade de Oxford|Oxford]] e [[Universidade de Cambridge|Cambridge]] para os cargos de [[Bioquímica|bioquímico]] e estatístico da indústria Guinness.<ref name="Gossett" /> Gosset desenvolveu o Teste t como um modo barato de monitorar a qualidade da cerveja tipo stout. Ele publicou o Teste t na revista acadêmica ''Biometrika'' em 1908, mas foi forçado a usar seu pseudônimo pelo seu empregador, que acreditava que o fato de usar estatística era um segredo industrial. De fato, a identidade de Gosset não foi reconhecida por seus colegas estatísticos.<ref>{{citar periódico|autor =Raju TN |título=William Sealy Gosset and William A. Silverman: two "students" of science |periódico=Pediatrics |volume=116 |número=3 |páginas=732–5 |ano=2005 |pmid=16140715 |doi=10.1542/peds.2005-1134}}</ref>

== Conceito ==
[[Ficheiro:Teste T Gráfico bicaudal v2.png|miniaturadaimagem|300x300px|Função Densidade de Probabilidade para t de Student, indicando o ''p-valor'' unicaudal para determinado ''t'']]
[[Ficheiro:Teste_T_Gráfico_bicaudal.gif‎|thumb|300px|Função Densidade de Probabilidade para t de Student, indicando o nível de confiança <math>\alpha</math> e o ''p-valor'' bicaudal para determinado ''t'']]

Se forem feitas inúmeras amostras de tamanho <math>n\!</math> a partir da mesma população e se fossem tiradas as médias de uma variável dessa população que possui uma [[distribuição normal]], a distribuição dessas inúmeras médias seguiria uma [[distribuição t de Student]]. Por exemplo, imaginemos que a altura das pessoas segue uma distribuição normal. Se selecionarmos diversas amostras aleatórias de 100 pessoas e calculássemos a média da altura das pessoas de cada amostra, essa média da altura das pessoas seguirá uma distribuição t de Student.

Perceba que, na distribuição t de Student, valores muito baixos ou muito altos tem menor probabilidade de ocorrer, indicando que é menos provável que a média de uma amostra apresente valores muito distantes da média da população.

O formato da distribuição t de Student depende do número de graus de liberdade. Quanto maior o número de graus de liberdade, mais "concentrada" é a distribuição. Para valores muito grandes de graus de liberdade, a distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal.

O '''Teste t''' consiste em formular uma hipótese nula e consequentemente uma [[hipótese alternativa]], calcular o valor de <math>t\!</math> conforme a fórmula apropriada (abaixo) e aplicá-lo à [[Função densidade|função densidade de probabilidade]] da distribuição t de Student medindo o tamanho da área abaixo dessa função para valores maiores ou iguais a <math>t\!</math>. Essa área representa a probabilidade da média dessa(s) amostra(s) em questão ter(em) apresentado o(s) valor(es) observado(s) ou algo mais extremo. Se a probabilidade desse resultado ter ocorrido for muito pequena, podemos concluir que o resultado observado é estatisticamente relevante. Essa probabilidade também é chamada de ''p-valor'' ou [[valor p]]. Consequentemente, o nível de confiança <math>\alpha\!</math> é igual a 1 - ''p-valor''.

Normalmente é usado um "ponto de corte" para o ''p-valor'' ou para o nível de confiança para definir se a hipótese nula deve ser rejeitada ou não. Se o ''p-valor'' for menor que esse "ponto de corte", a hipótese nula é rejeitada. Caso contrário, a hipótese nula não é rejeitada.

É comum que sejam usados os "pontos de corte" para ''p-valor'' 0,1%, 0,5%, 1%, 2% ou 5%, fazendo com que os níveis de confiança sejam, respectivamente, 99,9%, 99,5%, 99%, 98% ou 95%. Caso seja usado o ''p-valor'' 5% como "ponto de corte" e a área abaixo da função densidade de probabilidade da distribuição t de Student seja menor do que 5%, pode-se afirmar que a hipótese nula é rejeitada com nível de confiança de 95%.

Note que não rejeitar a hipótese nula não é a mesma coisa que afirmar que a hipótese alternativa é válida com o mesmo nível de confiança. Isso seria uma interpretação incorreta do teste.

=== Unicaudal vs. Bicaudal ===
Dependendo da definição da hipótese nula, deve ser usado uma ou duas caudas da distribuição t de Student na avaliação do teste. Por exemplo, se a hipótese nula for <math>\bar{x} \le \mu_0</math> e a hipótese alternativa <math>\bar{x} > \mu_0</math>, o teste deve ser feito somente para valores maiores do que <math>t\!</math> e, portanto, ao consultar a função densidade de probabilidade da distribuição t de Student, deve-se considerar somente a área superior a <math>t\!</math>, ou seja, somente uma das "caudas" da distribuição.

Por outro lado, se a hipótese nula for <math>\bar{x}=\mu_0</math> e, consequentemente, a hipótese alternativa <math>\bar{x} \ne \mu_0</math>, teríamos que avaliar ao mesmo tempo a possibilidade de  <math>\bar{x} < \mu_0</math> e de <math>\bar{x} > \mu_0</math>. Para isso, ao consultar a função densidade de probabilidade da distribuição t de Student, devem ser consideradas as áreas abaixo da curva para valores superiores a <math>t\!</math> e inferiores a <math>-t\!</math>, ou seja, as duas "caudas" da distribuição. Como a distribuição é simétrica, os tamanhos dessas áreas são iguais.

== Teste t para média de uma amostra ==
O teste t para média de uma amostra consiste em medir a probabilidade da média da amostra em questão ter apresentado o valor observado <math>\bar{x}</math> ou algo mais extremo, dada a média da população <math>\mu_0\!</math>.

Para fazer isso, estipulamos, por exemplo, que a hipótese nula é <math>\bar{x} \le \mu_0</math> e que, por consequência, a hipótese alternativa é <math>\bar{x} > \mu_0</math>. Usamos a seguinte fórmula para o cálculo da estatística t:

:<math>t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\tfrac{s}{\sqrt{n}}}</math>

Em que:
* <math>\bar{x}</math>: Média da amostra;
* <math>\mu_0\!</math>: Valor fixo usado para comparação com a média da amostra;
* <math>s\!</math>: [[Desvio padrão]] amostral;
* <math>n\!</math>: Tamanho da amostra.

Quanto maior <math>t\!</math>, mais confiança temos ao rejeitar a hipótese nula, ou seja, mais certeza temos ao afirmar que <math>\bar{x} \le \mu_0</math> não é verdadeiro.

Note que, na fórmula acima, quanto maior <math>\bar{x}-\mu_0</math>, maior será <math>t\!</math>. Ou seja, quanto maior a distância dos valores observados ao valor que estamos comparando, mais certeza teremos em afirmar que eles são diferentes. Do mesmo modo, <math>t\!</math> aumenta quando o tamanho da amostra <math>n\!</math> é maior ou quando o desvio padrão <math>s\!</math> é menor. Teoricamente, o desvio padrão a ser usado deveria ser o da população (normalmente identificado com o símbolo <math>\sigma\!</math>), mas em muitos casos práticos esse valor é desconhecido, sendo necessário aproximá-lo pelo desvio padrão amostral <math>s\!</math>:

:<math>s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}</math>

=== Exemplo prático ===
Determinado carro consegue percorrer 15 km a cada litro de combustível gasto em uma estrada plana e de boas condições, mas essa distância pode variar devido a diversos fatores. Digamos que a distância percorrida por litro de combustível tenha uma distribuição normal com média 15 km e desvio padrão de 2 km.

Suponhamos que seja feita uma modificação no motor desse carro com o objetivo de aumentar a distância percorrida por litro de combustível. Depois da modificação, foram realizados 10 testes. Nesses testes, a média das distâncias percorridas por litro de combustível foi de 16,6 km.

A princípio, como 16,6 km é uma distância superior a 15 km, parece que a modificação no motor aumentou a distância percorrida por litro de combustível. Mas, para comprovar esse efeito de forma estatística, definimos a hipótese nula <math>\bar{x}\le\mu_0</math> e calculamos o valor de <math>t\!</math>.

Neste caso, temos:
:<math> \bar{x} = 16,6 \,\mathrm{km}</math>
:<math> \mu_0 = 15 \, \mathrm{km}</math>
:<math> s = 2 \, \mathrm{km}</math>
:<math> n = 10 </math>

Assim,
:<math>t=\frac{16,6-15}{\tfrac{2}{\sqrt{10}}}=2,53 </math>

Conforme a função de densidade de probabilidade da distribuição t de Student com 9 (10-1) graus de liberdade, existe 1,61% de probabilidade de valores superiores a 2,53 terem sido obtidos caso a distância percorrida por litro de combustível não ter sido alterada. Se estivermos usando nível de confiança de 95%, '''rejeitaríamos a hipótese nula''' <math>\bar{x}\le\mu_0</math>. Isso pode ser explicado de duas formas:
* A probabilidade obtida com o t calculado (1,61%) é inferior ao "ponto de corte" do ''p-valor'' (5%), ou
* O valor t do "ponto de corte" escolhido (95% de confiança, que corresponde ao t de 1,833), é inferior ao t calculado (2,53).

Na primeira explicação, é necessário calcular a área abaixo da função densidade de probabilidade da distribuição t de Student com 9 graus de liberdade para valores superiores a 2,53 usando algum software estatístico ou planilha de cálculo. Na segunda explicação, além dos softwares estatísticos ou planilhas de cálculo, também poderia-se chegar no valor 1,833 usando uma tabela de valores para distribuição t de Student, que normalmente constam em livros de estatística.

Perceba que, se usássemos nível de confiança de 99%, ao invés de 95%, '''não rejeitaríamos a hipótese nula''' porque:
* A probabilidade obtida com o t calculado (1,61%) é superior ao "ponto de corte" do ''p-valor'' (1%), ou
* O valor t do "ponto de corte" escolhido (99% de confiança, que corresponde ao t de 2,821), é superior ao t calculado (2,53).

== Teste t para médias de duas amostras ==
=== Tamanhos iguais, variâncias iguais ===
Este teste só deve ser usado quando:
* o tamanho das amostras (''n'') dos dois grupos são iguais;
* Podemos assumir que as duas distribuições possuem a mesma variância.
A estatística t é calculada conforme a fórmula:
:<math>t = \frac{\bar {x}_1 - \bar{x}_2}{S_{x_1x_2} \cdot \sqrt{\frac{2}{n}}}</math>
,onde
:<math>\ S_{x_1x_2} = \sqrt{\frac{S_{x_1}^2+S_{x_2}^2}{2}}</math>
A quantidade de graus de liberdade a ser usado nesse teste é <math>2n-2</math>.

=== Tamanhos diferentes, variâncias iguais ===
Este teste só deve ser usado quando podemos assumir que as duas distribuições possuem a mesma variância.

A estatística t é calculada conforme a fórmula:
:<math>t = \frac{\bar {x}_1 - \bar{x}_2}{S_{x_1x_2} \cdot \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}</math>
,onde
:<math> S_{x_1x_2} = \sqrt{\frac{(n_1-1)S_{x_1}^2+(n_2-1)S_{x_2}^2}{n_1+n_2-2}}.</math>
A quantidade de graus de liberdade a ser usado nesse teste é <math>n_1+n_2-2</math>.

=== Tamanhos diferentes, variâncias diferentes ===
Este teste é usado quando as amostras possuem variâncias diferentes. Para confirmar se as variâncias são realmente diferentes, é recomendável realizar um teste de variâncias.

A estatística t é calculada conforme a fórmula:
:<math>t = {\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \over s_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}}</math>
,onde
:<math>s_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} = \sqrt{{s_1^2 \over n_1} + {s_2^2  \over n_2}}</math>

A quantidade de graus de liberdade a ser usado nesse teste é:
:<math>\frac{(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2)^2}{(s_1^2/n_1)^2/(n_1-1) + (s_2^2/n_2)^2/(n_2-1)}</math>

Essa equação é chamada de [[Equação Welch–Satterthwaite]].

== Teste t para coeficiente de regressões ==
{{Vertambém |Método dos mínimos quadrados #Teste de significância dos coeficientes}}
O Teste t também pode ser usado para testar a significância de coeficientes de regressões. Em geral esse teste é usado para confirmar se a variável que está sendo usada na regressão está realmente contribuindo para a estimativa.

==Ver também==
* [[Distribuição t de Student]]
* [[Testes de hipóteses]]
* [[Estatística de teste]]
* [[Valor p]]

{{referências}}

{{Estatística}}

{{Portal3|Probabilidade e Estatística}}

[[Categoria:Estatística]]