Mostrar código-fonte de Torção de uma curva

{{fusão de|Torsão de uma curva}}

No [[geometria diferencial de curvas]] elementar em [[três dimensões]], a '''torção de uma [[curva]]''' mede quão agudamente é torcida para fora do plano da [[curvatura]]. Tomada em conjunto, a curvatura e a torção de uma curva espacial são análogas à [[curvatura]] de uma [[curva plana]]. Por exemplo, elas são os coeficientes do sistema de [[equação diferencial|equações diferenciais]] para o [[triedro de Frenet]] dado pelas [[Triedro de Frenet|fórmulas de Frenet-Serret]].<ref>Paul Saurel; [http://www.jstor.org/stable/1967458?seq=1#page_scan_tab_contents On the Torsion of a Curve]]; ''Annals of Mathematics'', Second Series, Vol. 9, No. 3 (Apr., 1908), pp. 144-148.</ref>

== Definição ==
[[File:Torus-Knoten uebereinander Animated.gif|thumb|upright|Animação da Torção e da rotação do vetor binormal correspondente]]

Definimos como uma curva no espaço a seguinte função

:<math>\vec{r} = \vec{r}(s) \,.</math>

parametrizada pelo [[comprimento do arco]] <math>s</math> e com vetor tangente unitário

:<math>\vec{t}(s) = \vec{r}\,'(s) \,.</math>

Se a curvatura <math>\kappa</math> da curva em um certo ponto é diferente de zero, então, neste ponto os [[Vetor unitário|vetores unitários]], [[Triedro de Frenet|vetor normal]] <math>\vec{n}(s)</math> e [[Triedro de Frenet|vetor binormal]] <math>\vec{b}(s) </math> serão os seguintes:

:<math>\vec{n}(s)
= \frac{\vec{t}\,'(s)}{|\vec{t}\,'(s)|}
= \frac{\vec{r}\,''(s)}{|\vec{r}\,''(s)|} \,.</math>

:<math>\vec{b}(s) = \vec{t}(s) \times \vec{n}(s)</math>

A '''torção''' <math>\tau</math> mede a velocidade de rotação do vetor binormal no ponto escolhido. Ela pode ser encontrada de acordo com a seguinte equação

:<math>\tau(s) = -\vec{b}\,'(s) \cdot \vec{n}(s) \,.</math>

<br>
'''Significado geométrico:''' A torção <math>\displaystyle \tau(s)</math> mede a velocidade do vetor binormal. Quanto maior for, mais rápido o vetor binormal gira em torno do eixo dado pelo vetor tangente. Podemos visualizar o seu significado na ilustração gráfica presente neste artigo, na qual o vetor tangente está representado na cor marrom, o vetor normal, em verde, e o vetor binormal, em azul. No gráfico, o valor da torção é representado pela cor azul, e, em verde, o valor da [[curvatura]].

== Definição Alternativa ==
Definimos '''r''' = '''r(t)''' como uma [[equação paramétrica]] de uma curva no espaço. Assumimos que a parametrização é regural e que a curvatura não desapareça.
Se '''r(t)''' é uma função  diferenciável três vezes em relação a ''t'' com valores no espaço '''R'''<sup>3</sup>, e os vetores 

: <math> \mathbf{r'}(t), \mathbf{r''}(t) </math>

são linearmente independentes, então, a torção pode ser calculada com a seguinte formula:

:<math>\tau  = {{\det \left( {r',r'',r'''} \right)} \over {\left\| {r' \times r''} \right\|^2}} = {{\left( {r' \times r''} \right)\cdot r'''} \over {\left\| {r' \times r''} \right\|^2}}.</math>

na qual as derivadas são em respeito a ''t'' e o símbolo de multiplicação <math>\times</math> representa o [[produto vetorial]]. 

{{referências}}

[[Categoria:Geometria diferencial]]
[[Categoria:Curvas]]