Mostrar código-fonte de Transformação de séries de Kummer

Em [[matemática]], especificamente na área da [[análise numérica]], a '''transformação de séries de Kummer''' é um método usado para acelerar a convergência de uma série infinita. O método foi inicialmente sugerido por [[Ernst Kummer]] em 1837.

Seja
:<math>A=\sum_{n=1}^\infty a_n</math>
uma soma infinita cujo valor deseja-se determinar, e
:<math>B=\sum_{n=1}^\infty b_n</math>
uma soma infinita com termos comparáveis cujo valor é conhecido. Se
:<math>\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \gamma \ne 0</math>
então A é mais facilmente determinado como
:<math>A=\gamma B + \sum_{n=1}^\infty \left ( 1-\gamma \frac{b_n}{a_n} \right ) a_n=\gamma B + \sum_{n=1}^\infty a_n-\gamma b_n.</math>

==Exemplo==
O método é aplicado para acelerar a [[fórmula de Leibniz para π]]:
:<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \,=\, \frac{\pi}{4}.</math>
Primeiro são agrupados termos em pares como
:<math>1 - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) -  \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \cdots </math>
:<math>\, = 1 - 2\left(\frac{1}{15} + \frac{1}{63} + \cdots \right) = 1-2A</math>
onde
:<math>A = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{16n^2-1}.</math>
Com
:<math>B = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \cdots</math>
:<math>\, = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \cdots</math>
que é uma [[soma telescópica]] com resultado {{frac|1|2}}.
Neste caso
:<math>\gamma  = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{16n^2-1}}{\frac{1}{4n^2-1}} = \frac{4n^2-1}{16n^2-1} = \frac{1}{4} </math>
e a transformação de Kummer fornece 
:<math>A=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left ( 1-\frac{1}{4} \frac{\frac{1}{4n^2-1}}{\frac{1}{16n^2-1}} \right ) \frac{1}{16n^2-1}.</math>
Esta é simplificada como 
:<math>A=\frac{1}{8} - \frac{3}{4} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(16n^2-1)(4n^2-1)}</math>
que converge muito mais rapidamente que a série original.

==Referências==
*{{SpringerEOM|title=Kummer transformation|id=Kummer_transformation|last=Senatov|first=V.V.}}
*{{cite book
|last       = Knopp
|first      = Konrad 
|title         = Theory and Application of Infinite Series
|url           = https://books.google.com/books?id=ac_DAgAAQBAJ&lpg=PA265&ots=Iv0UK5NQQ7&pg=PA247#v=onepage&f=false
|year      = 2013 
|publisher = Courier Corporation
|page      = 247
}}
*{{cite web
|url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/analysis/series_acceleration.pdf
|title=Accelerating Convergence of Series
|author=[[Keith Conrad]]
}}
*{{cite journal
|last1= Kummer
|first1=E.
|year= 1837
|title=Eine neue Methode, die numerischen Summen langsam convergirender Reihen zu berech-nen
|journal= J.  Reine  Angew.  Math.
|issue= 16
|pages= 206–214
|url=https://archive.org/details/journalfrdierei23crelgoog/page/n215
}}

==Ligações externas==
*{{MathWorld|title = Kummer's Series Transformation|urlname = KummersSeriesTransformation}}

[[Categoria:Análise numérica]]