Mostrar código-fonte de Transformadas de seno e de cosseno

[[File:Bowed violin string in slow motion.gif|thumb|As [[vibração|vibrações]] de uma corda de [[violino]] podem ser analisadas de forma mais simples através da transformada de seno do que através da transformada de Fourier.]]
Em matemática, a '''transformada de seno''' (ou transformada de Fourier de seno) e a '''transformada de cosseno''' (ou transformada de Fourier de cosseno) de uma [[função (matemática)|função]] <math>f(x)</math> são as [[transformada integral|transformadas integrais]] definidas, respectivamente, pela parte [[número imaginário|imaginária]] e pela parte [[número real|real]] da [[transformada de Fourier]] de <math>f(x)</math>.<ref name="Wolfram">{{citar web|url=http://mathworld.wolfram.com/FourierSineTransform.html|titulo=Fourier Sine Transform|publicado=site MathWorld|acessodata=11 de junho de 2010}}</ref>

Essas transformadas podem ser consideradas casos especiais da [[transformada de Fourier]] que aparecem naturalmente quando <math>f(x)</math> é uma [[Funções pares e ímpares|função, respectivamente, ímpar ou par]].
* A transformada de cosseno de uma função par concorda<ref group="nota" name="nota1">Multiplicadores fixos convencionais podem aparecer, dependendo do autor.</ref> com a transformada de Fourier
* A transformada de seno de uma função ímpar concorda<ref group="nota" name="nota1"/> com a transformada de Fourier
* Mais geralmente, a transformada de cosseno/seno da parte par/ímpar de uma função é igual<ref group="nota" name="nota1"/> a 1/i vezes a parte par/ímpar da transformada de Fourier daquela função, se as componentes de frequência negativa forem desconsideradas.<ref group="nota">As funções que aparecem em aplicações de Física e Engenharia em geral não possuem componentes de frequência negativa. Para mais detalhes, consultar o verbete '''[[sistema causal]]'''.</ref><ref name="Bracewell16">R. Bracewell - ''The Fourier Transform and its Applications'', 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1, Cap. 2, pp. 16 a 17</ref>

Como os [[transformada integral#núcleo da transformada|núcleos]] das transformações não possuem as propriedades notáveis da [[função exponencial]] complexa usada pela transformada de Fourier, as transformadas de seno e de cosseno são menos interessantes matematicamente; por outro lado, certas características as tornam adequadas para aplicação em problemas específicos, especialmente no caso das suas versões [[tempo discreto|discretas]].<ref name="Yip274">P. Yip - ''Sine and Cosine Transforms'' '''in''' A. Poularikas (''org'') - ''The Transforms and Applications Handbook'', 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pp. 274 a 275</ref>

== Definição ==

Como a transformada de Fourier é definida por<ref group="nota">As convenções para definição da transformada de Fourier variam de autor para autor, com relação à grandeza da variável (frequência angular ou linear) e fatores multiplicadores. Aqui foi adotada a mesma convenção empregada no verbete principal [[Transformada de Fourier#Transformada contínua de Fourier|Transformada de Fourier]].</ref>


:<math> F(\omega) = \mathcal{F}(f)(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt.</math>


Expandindo o integrando por meio da [[fórmula de Euler]], obtemos a integral


:<math>F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)(\cos\,{\omega t} - i\,\sin{ \,\omega t})\,dt,</math>


que pode ser escrita como a soma de duas integrais


:<math>F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\cos\,{\omega t} \,dt - i\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\sin\,{\omega t}\,dt.</math>


Se <math>f(t)</math> for uma função ímpar, o produto ''f(t)''cosω''t'' será também uma função ímpar, enquanto que o produto ''f(t)sinωt'' será uma função par. Uma vez que a integral está sendo calculada em um intervalo simétrico em torno da origem (i.e. -∞ to +∞), a primeira integral deve ser igual a zero, e a segunda pode ser expressa de forma simplificada como


:<math>F(\omega)= -i \int\limits_{0}^\infty f(t)\sin\,{\omega t} \,dt,</math>


que é a transformada de seno da função <math>f(t)</math>. Obviamente, a função resultante <math>F(</math>ω<math>)</math> será também uma função ímpar.


Raciocínio similar aplicado à transformada inversa de Fourier resulta em uma segunda transformada de seno


:<math>f(t)= i \; \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^\infty F(\omega)\sin\,{\omega t} \,d\omega.</math>


Os fatores numéricos nas fórmulas das transformadas de Fourier são convencionais, por isso os multplicadores podem ser omitidos, resultando na forma mais comum das transformadas de seno e sua inversa


:<math>\mathcal{S} \{ f(t) \} \;=\; S(\omega) \;=\; \int\limits_{0}^\infty f(t)\sin\,{\omega t} \,dt \;\;\;\;\; (1a)</math>


e


:<math>f(t) \;=\; \mathcal{S}^{-1} \{ S(\omega) \} \;=\; \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^\infty S(\omega)\sin\,{\omega t} \,d\omega \;\;\;\;\; (1b)</math>


Se <math>f(t)</math> for uma função par, raciocínio similar resulta em


:<math>\mathcal{C} \{ f(t) \} \;=\; C(\omega) \;=\; \int\limits_{0}^\infty f(t)\cos\,{\omega t} \,dt \;\;\;\;\; (1c)</math>


que é a transformada de cosseno de <math>f(t)</math>, que é uma função par, e na fórmula da transformada inversa


:<math>f(t) \;=\; \mathcal{C}^{-1} \{ C(\omega) \} \;=\; \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^\infty C(\omega)\cos\,{\omega t} \,d\omega \;\;\;\;\; (1d) </math><ref>Mary L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', 2nd Ed, John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1</ref>


== Condições de existência ==
Para que as transformadas existam, é condição suficiente que
* f(t) seja absolutamente integrável no intervalo [0,∞]
* f'(t) seja [[Funções definidas em trechos|contínua por partes]] no intervalo [0,∞]

Se essas condições são satisfeitas, então, se F(ω) = F{f(t)} é a transformada de seno ou de cosseno de f(t), e F<sup>-1</sup>{F(ω)} é a respectiva inversa, então
* F<sup>-1</sup>{F(ω)} é igual a f(t) em todo subintervalo de [0,∞] onde f(t) é contínua
* F<sup>-1</sup>{F(ω)} é igual à média de f(t-ε) e f(t+ε) em toda descontinuidade de f(t)

Condições suficientes mais fortes são requeridas para algumas das propriedades tratadas [[#Propriedades|abaixo]]:
* f(t) seja absolutamente integrável no intervalo [0,∞]
* f(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞]

No que segue, trataremos esses dois conjuntos de condições por '''condições fracas''' e '''condições fortes''' de existência, respectivamente.<ref name="Yip276">P. Yip - ''op. cit.'', pp. 276 a 281, 294 a 297</ref>


== Propriedades ==

=== Escalamento no domínio do tempo<ref group="nota">Como as transformadas de seno e de cosseno são [[Operador linear|lineares]], as expressões <math>\mathcal{S} \{ a \cdot f(t) \} \;=\; a \cdot S(\omega) \text{ e } \mathcal{C} \{ a \cdot f(t) \} \;=\; a \cdot C(\omega) </math> são triviais.</ref> ===


:<math>\mathcal{C} \{ f(at) \} \;=\; \frac{1}{a} \cdot C \left( \frac{\omega}{a} \right) \qquad |\; a \;>\; 0 \;\;\;\;\; (2a)</math>


:<math>\mathcal{S} \{ f(at) \} \;=\; \frac{1}{a} \cdot S \left( \frac{\omega}{a} \right) \qquad |\; a \;>\; 0 \;\;\;\;\; (2b)</math><ref name="Yip276"/>

=== Deslocamento do eixo do tempo ===
Se a é um número real positivo e f<sub>p</sub>(t) é uma função par tal que
* f(<sub>p</sub>(t) = f(|t|) no intervalo [-a,∞]
* f(<sub>p</sub>(t) atende às [[#Condições de existência|condições fortes de existência das transformadas]] no intervalo [-a,∞]

então f(<sub>p</sub>(t) é a '''extensão par''' de f(t) nesse intervalo, e valem as relações


:<math>\mathcal{C} \{ f_p(t \;+\; a) \;+\; f_p(t \;-\; a) \} \;=\; \mathcal{C} \{ f(t \;+\; a) \;+\; f_p(|t \;-\; a|) \} \;=\; 2 \cdot \cos(a \omega) \cdot C(\omega) \;\;\;\;\; (2c)</math>


:<math>\mathcal{S} \{ f_p(t \;-\; a) \;-\; f_p(t \;+\; a) \} \;=\; \mathcal{S} \{ f(|t \;-\; a|) \;-\; f_p(t \;+\; a) \} \;=\; 2 \cdot \sin(a \omega) \cdot C(\omega) \;\;\;\;\; (2d)</math>


Se, por outro lado, a é um número real positivo e f<sub>i</sub>(t) é uma função ímpar tal que
* f(<sub>i</sub>(t) = sgn(t)·f(|t|) no intervalo [-a,∞], onde sgn(t) é a [[função sinal]]
* f(<sub>i</sub>(t) atende às [[#Condições de existência|condições fortes de existência das transformadas]] no intervalo [-a,∞]

então f(<sub>p</sub>(t) é a '''extensão ímpar''' de f(t) nesse intervalo, e valem as relações


:<math>\mathcal{S} \{ f_i(t \;+\; a) \;+\; f_i(t \;-\; a) \} \;=\; 2 \cdot \cos(a \omega) \cdot S(\omega) \;\;\;\;\; (2e)</math>


:<math>\mathcal{C} \{ f_i(t \;+\; a) \;+\; f_i(t \;-\; a) \} \;=\; 2 \cdot \sin(a \omega) \cdot C(\omega) \;\;\;\;\; (2f)</math><ref name="Yip276"/>


=== Deslocamento do eixo da frequência ===


:<math>\mathcal{C} \{ f(t) \cdot \cos(at) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} C(\omega \;+\; a) \;+\; C(\omega \;-\; a) \right]   \;\;\;\;\; (2g)</math>


:<math>\mathcal{C} \{ f(t) \cdot \sin(at) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} S(\omega \;+\; a) \;-\; S(\omega \;-\; a) \right]   \;\;\;\;\; (2h)</math>


:<math>\mathcal{S} \{ f(t) \cdot \cos(at) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} S(\omega \;+\; a) \;+\; S(\omega \;-\; a) \right]   \;\;\;\;\; (2i)</math>


:<math>\mathcal{S} \{ f(t) \cdot \sin(at) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} C(\omega \;+\; a) \;-\; C(\omega \;-\; a) \right]   \;\;\;\;\; (2j)</math><ref name="Yip276"/>

=== Diferenciação no domínio do tempo ===
Se f<sup>n</sup>(t), com n em algarismos romanos, denota a derivada de ordem n de f(t), t<sub>k</sub><sup>p</sup> denota uma das m(p) descontinuidades da derivada de ordem p de f(t) (com p < n, evidentemente, e p em algarismos romanos), e h<sub>k</sub><sup>p</sup> denota a amplitude dessas descontinuidades, então valem as relações seguintes:


:<math>h_k^p \;=\; f^p(t_k^p \;+\; \epsilon) \;-\; f^p(t_k^p \;-\; \epsilon) \;\;\;\;\; (2k)</math>


:<math>\mathcal{C} \{ f^{I}(t) \} \;=\; \omega S(\omega) \;-\; f(0) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m} h_k \cos(\omega t_k)</math>


:<math>\mathcal{C} \{ f^{II}(t) \} \;=\; -\omega^2 C(\omega) \;-\; f^I(0) \;-\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \sin(\omega t_k) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \cos(\omega t_k)</math>


:<math>\mathcal{C} \{ f^{III}(t) \} \;=\; -\omega^3 S(\omega) \;+\; \omega ^2 f(0) \;-\; f^{II}(0) \;+\; \omega ^2 \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \omega \cos(\omega t_k) \;+\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \sin(\omega t_k) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(II)} h_k^{II} \cos(\omega t_k)</math>


:<math>\mathcal{C} \{ f^{IV}(t) \} \;=\; \omega^4 C(\omega) \;+\; \omega^2 f^I(0) \;-\; f^{III}(0) \;+\; \omega ^3 \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \omega \sin(\omega t_k) \;+\; \omega ^2 \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \cos(\omega t_k) \;-\; ...</math>


<center><math>... \;-\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^{m(II)} h_k^{II} \sin(\omega t_k) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(III)} h_k^{III} \cos(\omega t_k)  \;\;\;\;\; (2l)</math></center>


e assim por diante; para a transformada de seno:


:<math>\mathcal{S} \{ f^{I}(t) \} \;=\; \omega C(\omega) \;+\; \sum_{k \;=\; 1}^{m} h_k \sin(\omega t_k)</math>


:<math>\mathcal{S} \{ f^{II}(t) \} \;=\; -\omega^2 S(\omega) \;+\; \omega f(0) \;-\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \cos(\omega t_k) \;+\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \sin(\omega t_k)</math>


:<math>\mathcal{C} \{ f^{III}(t) \} \;=\; -\omega^3 C(\omega) \;+\; \omega ^2 f(0) \;-\; f^{II}(0) \;+\; \omega ^2 \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \omega \sin(\omega t_k) \;-\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \cos(\omega t_k) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(II)} h_k^{II} \sin(\omega t_k)</math>


:<math>\mathcal{C} \{ f^{IV}(t) \} \;=\; \omega^4 S(\omega) \;-\; \omega^3 f(0) \;+\; \omega f^{II}(0) \;-\; \omega ^3 \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \omega \cos(\omega t_k) \;+\; \omega ^2 \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \sin(\omega t_k) \;+\; ...</math>


<center><math>...  \;+\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^{m(II)} h_k^{II} \cos (\omega t_k) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(III)} h_k^{III} \sin(\omega t_k) \;\;\;\;\; (2m)</math></center>


e assim por diante.<ref name="Yip276"/>

=== Integração no domínio do tempo ===


:<math>\mathcal{C} \left\{ \int_t^{\infty} f(t) \; dt \right\} \;=\; \frac{1}{\omega} S(\omega) \;\;\;\;\; (2n)</math>


:<math>\mathcal{S} \left\{ \int_0^{t} f(t) \; dt \right\} \;=\; \frac{1}{\omega} C(\omega) \;\;\;\;\; (2o)</math>


também neste caso f(t() precisa atender às [[#Condições de existência|condições fortes de existência das transformadas]].<ref name="Yip276"/>


=== Integração no domínio da frequência ===


:<math>\mathcal{S}^{-1} \left\{ \int_{\omega}^{\infty} C(\omega) \; d \omega \right\} \;=\; -\frac{1}{t} f(t) \;\;\;\;\; (2p)</math>


:<math>\mathcal{C}^{-1} \left\{ \int_{\omega}^{\infty} S(\omega) \; d \omega \right\} \;=\; \frac{1}{t} f(t) \;\;\;\;\; (2q)</math>


também neste caso f(t() precisa atender às [[#Condições de existência|condições fortes de existência das transformadas]].<ref name="Yip276"/>


=== Potências de t ===


:<math>\mathcal{C} \{ t^{2n} \cdot f(t) \} \;=\; (-1)^n \; \frac{d^{2n}}{d \omega ^{2n}} \; C(\omega)</math>


:<math>\mathcal{C} \{ t^{2n \;+\; 1} \cdot f(t) \} \;=\; (-1)^{n \;+\; 1} \; \frac{d^{2n \;+\; 1}}{d \omega ^{2n \;+\; 1}} \; S(\omega) \quad |\; n \;>\; 0  \;\;\;\;\; (2r)</math>


:<math>\mathcal{S} \{ t^{2n} \cdot f(t) \} \;=\; (-1)^n \; \frac{d^{2n}}{d \omega ^{2n}} \; S(\omega)</math>


:<math>\mathcal{S} \{ t^{2n \;+\; 1} \cdot f(t) \} \;=\; (-1)^{n \;+\; 1} \; \frac{d^{2n \;+\; 1}}{d \omega ^{2n \;+\; 1}} \; C(\omega) \quad |\; n \;>\; 0  \;\;\;\;\; (2s)</math>


onde <math>\frac{d^p}{d \omega ^p} \; F( \omega)</math> denota a derivada de ordem p de F(ω). As funções a ser transformadas em cada caso devem atender às [[#Condições de existência|condições fortes de existência das transformadas]].<ref name="Yip276"/>

=== Lema de Riemann-Lebesgue ===
A formulação do [[lema de Riemann-Lebesgue]] para essas transformadas é a seguinte:


:<math>\lim_{\omega \to \infty} C(\omega) \;=\; \lim_{\omega \to \infty} S(\omega) \;=\; 0 \;\;\;\;\; (2t)</math>


Aqui também é necessário que f(t) atenda às [[#Condições de existência|condições fortes de existência das transformadas]].<ref name="Yip276"/>

=== Convolução ===
Se f(t) e g(t) atendem às condições (fracas) para existência das respectivas transformadas de cosseno, e f<sub>p</sub>(t) e g<sub>p</sub> são uma funções pares tal que
* f(<sub>p</sub>(t) = f(|t|) no intervalo [-∞,∞]
* g(<sub>p</sub>(t) = g(|t|) no intervalo [-∞,∞]

então f(<sub>p</sub>(t) e g(<sub>p</sub>(t) são as '''extensões pares''' de f(t) e g(t), respectivamente, nesse intervalo, e vale a relação


:<math>\mathcal{C} \{ f_p(t) \;*\; g_p(t) \} \;=\; 2 \cdot \mathcal{C} \{ f(t) \} \cdot \mathcal{C} \{ g(t) \} \;\;\;\;\; (2u)</math>


onde o símbolo '''*''' denota a [[convolução]] de duas funções.


Além disso, se f(t) e g(t) atendem às condições (fracas) para existência das respectivas transformadas de cosseno, e f<sub>i</sub>(t) e g<sub>i</sub> são uma funções pares tal que
* f(<sub>i</sub>(t) = sgn(t)·f(|t|) no intervalo [-∞,∞], onde sgn(t) é a função sinal
* g(<sub>i</sub>(t) = sgn(t)·g(|t|) no intervalo [-∞,∞]

então f(<sub>i</sub>(t) e g(<sub>i</sub>(t) são as '''extensões ímpares''' de f(t) e g(t), respectivamente, nesse intervalo, e vale a relação


:<math>\mathcal{C} \{ f_i(t) \;*\; g_i(t) \} \;=\; 2 \cdot \mathcal{S} \{ f(t) \} \cdot \mathcal{S} \{ g(t) \}  \;\;\;\;\; (2v)</math><ref name="Yip276"/>


== Relação com a Transformada de Fourier ==
A partir das expressões (1a) a (1d), pode-se escrever


:<math>\mathcal{F} \{f(t) \cdot u(t) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} C(\omega) \;-\; i S(\omega) \right] \;\;\;\;\; (3a)</math>


onde u(t) é a função [[Função de Heaviside|degrau unitário]].


:<math>C(\omega) \;=\; \mathcal{F} \{f(t) \;+\; f(-t) \} \;\;\;\;\; (3b)</math>


:<math>S(\omega) \;=\; i \cdot \mathcal{F} \{f(t) \;-\; f(-t) \} \;\;\;\;\; (3c)</math><ref name="Bracewell16"/>


== Tabelas de transformadas de seno e de cosseno ==

{| class="wikitable"
|+ Tabela 1 - Transformadas de seno de algumas funções f(t)<ref name="Yip297">P. Yip - ''op. cit.'', pp. 297 a 304</ref>
|-
!width="100" align="center"|<math>f(t)</math>
!width="400" align="center"|<math>S(\omega)</math>
|-
|align="center"|<math>rect \left( \frac{t}{a} \;-\; 1 \right)</math>||align="center"|<math>\frac{1}{\omega} \left[ 1 \;-\; \cos (a \omega) \right]</math>
|-
|align="center"|<math>tri \left( \frac{t}{a} \;-\; 1 \right)</math>||align="center"|<math>\frac{1}{a \omega^2} \left[ \frac{}{} 2 \sin (a \omega) \;-\; \sin (2 a \omega) \right]</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{t} \cdot u(t \;-\; a)</math>||align="center"|<math>-Ci(a \omega)</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{\sqrt{t}}</math>||align="center"|<math>\sqrt{\frac{\pi}{2 \omega}}</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{z \;+\; t}</math>||align="center"|<math>\sin(a \omega) \cdot Ci(a \omega) \;-\; \cos(a \omega) \cdot si(a \omega)</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{a^2 \;+\; t^2}</math>||align="center"|<math>\frac{1}{2a} \left[ e^{-a \omega} \cdot \bar{Ei}(a \omega) \;-\; e^{a \omega} \cdot Ei(-a \omega) \right] </math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{a^2 \;-\; t^2}</math>||align="center"|<math>\frac{1}{a} \left[ \sin(a \omega) \cdot Ci(a \omega) \;-\; \cos(a \omega) \cdot Si(a \omega) \right]</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{b}{b^2 \;+\; (a \;-\; t)^2}</math>||align="center"|<math>\pi \sin(a \omega) \cdot e^{-b \omega}</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{a \;+\; t}{b^2 \;+\; (a \;+\; t)^2} \;-\; \frac{a \;-\; t}{b^2 \;+\; (a \;-\; t)^2}</math>||align="center"|<math>\pi \sin(a \omega) \cdot e^{-b \omega}</math>
|-
|align="center"|<math>e^{-bt}</math>||align="center"|<math>\frac{\omega}{b^2 \;+\; \omega ^2}</math>
|-
|align="center"|<math>\ln \left( \frac{t \;+\; a}{t \;-\; a} \right)</math>||align="center"|<math>\frac{\pi}{\omega} \sin(a \omega)</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{\sin (at)}{t}</math>||align="center"|<math>\frac{1}{2} \; \ln \left( \frac{\omega \;+\; a}{\omega \;-\; a} \right)</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{e^{-dt} \cdot \sin (ct)}{t}</math>||align="center"|<math>\frac{1}{4} \ln \left( \frac{b^2 \;+\; (\omega \;+\; a)^2}{b^2 \;+\; (\omega \;-\; a)^2} \right)</math>
|-
|align="center"|<math>e^{-dt} \cdot \cos (ct)</math>||align="center"|<math>\frac{1}{2} \left[ \frac{\omega \;-\; a}{b^2 \;+\; (\omega \;-\; a)^2} \;+\; \frac{\omega \;+\; a}{b^2 \;+\; (\omega \;+\; a)^2} \right]</math>
|-
|align="center"|<math>si (at)</math>||align="center"|<math>-\frac{\pi}{2 \omega} \qquad |\; \omega \;>\; a</math>
|-
|align="center"|<math>Ei (-at)</math>||align="center"|<math>- \frac{1}{2 \omega} \ln \left(\frac{\omega^2}{a^2} \;+\; 1 \right)</math>
|-
|}

{| class="wikitable"
|+ Tabela 2 - Transformadas de cosseno de algumas funções f(t)<ref name="Yip281">P. Yip - ''op. cit.'', pp. 281 a 290</ref>
|-
!width="100" align="center"|<math>f(t)</math>
!width="400" align="center"|<math>C(\omega)</math>
|-
|align="center"|<math>rect \left( \frac{t}{a} \;-\; 1 \right)</math>||align="center"|<math>\frac{1}{\omega} \sin (a \omega)</math>
|-
|align="center"|<math>tri \left( \frac{t}{a} \;-\; 1 \right)</math>||align="center"|<math>\frac{1}{a \omega^2} \left[ \frac{}{} 2 \cos (a \omega) \;-\; \cos (2 a \omega) \right]</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{t} \cdot u(t \;-\; a)</math>||align="center"|<math>-si(a \omega)</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{\sqrt{t}}</math>||align="center"|<math>\sqrt{\frac{\pi}{2 \omega}}</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{z \;+\; t}</math>||align="center"|<math>- \cos(a \omega) \cdot Ci(a \omega) \;-\; \sin(a \omega) \cdot si(a \omega)</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{b^2 \;+\; t^2}</math>||align="center"|<math>\frac{\pi}{2b} \; e^{- b \omega}</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{a^2 \;-\; t^2}</math>||align="center"|<math>\frac{\pi}{2a} \sin(a \omega)</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{d}{d^2 \;+\; (c \;-\; t)^2} \;+\; \frac{d}{d^2 \;+\; (c \;+\; t)^2}</math>||align="center"|<math>\pi \cos(c \omega) \cdot e^{-d \omega}</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{c \;-\; t}{d^2 \;+\; (c \;-\; t)^2} \;+\; \frac{c \;+\; t}{d^2 \;+\; (c \;+\; t)^2}</math>||align="center"|<math>\pi \sin(c \omega) \cdot e^{-d \omega}</math>
|-
|align="center"|<math>e^{-bt}</math>||align="center"|<math>\frac{b}{b^2 \;+\; \omega ^2}</math>
|-
|align="center"|<math>e^{-bt^2}</math>||align="center"|<math>\frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{b} } \; e^{\frac{\omega^2}{4b}}</math>
|-
|align="center"|<math>\frac{1}{t} \; \left( e^{-bt} \;-\; e^{-ht} \right)</math>||align="center"|<math>\frac{1}{2} \ln \left( \frac{h^2 \;+\; \omega ^2}{b^2 \;+\; \omega ^2} \right)</math>
|-
|align="center"|<math>sinc (t)</math>||align="center"|<math>\frac{\pi}{2a} u(a - \omega)</math>
|-
|align="center"|<math>e^{-bt} \cdot \sin (at)</math>||align="center"|<math>\frac{1}{2} \left[ {a \;+\; \omega}{b^2 \;+\; (a \;+\; \omega)^2} \;+\; \frac{a \;-\; \omega}{b^2 \;-\; (a \;-\; \omega)^2} \right]</math>
|-
|align="center"|<math>e^{-dt} \cdot \sin (ct)</math>||align="center"|<math>\frac{d}{2} \left[ \frac{1}{b^2 \;+\; (a \;+\; \omega)^2} \;+\; \frac{1}{b^2 \;-\; (a \;-\; \omega)^2} \right]</math>
|-
|align="center"|<math>si (at)</math>||align="center"|<math>- \frac{1}{2 \omega} \ln \left( \frac{\omega \;+\; a}{\omega \;-\; a} \right) </math>
|-
|align="center"|<math>Ci (at)</math>||align="center"|<math>- \frac{\pi}{2 \omega} \qquad |\; \omega \;>\; a</math>
|-
|align="center"|<math>Ei (-at)</math>||align="center"|<math>- \frac{1}{\omega} \arctan \left(\frac{\omega}{a} \right)</math>
|-
| colspan=2|'''onde:'''
* <math> u(x) \, </math> é a função [[Função de Heaviside|degrau unitário]]
* <math> Ci(x) \, </math> é a função [[Integral trigonométrica|cosseno integral]]
* <math> Si(x) \, </math> é a função [[Integral trigonométrica|seno integral]]
* <math> si(x) \, </math> está relacionada à função Si(x)
* <math> Ei(x) \, </math> é a função [[exponencial integral]]
* <math> \bar{Ei}(x) \, </math> está relacionada à função Ei(x)<ref group="nota">Pela expressão <math>\bar{Ei}(x) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} Ei(x \;+\; i0) \;+\; Ei(x \;-\; i0) \right]</math>.</ref>
* <math> rect(x) \, </math> é a [[função retangular]]
* <math> tri(x) \, </math> é a [[função triangular]]
* <math> sinc(x) \, </math> é a função [[seno cardinal]]
* <math> a \in \mathcal{R} \;|\; a \;>\; 0 \, </math>
* <math> b,h \in \mathcal{C} \;|\; \Re \{ b \} \;>\; 0 \, </math>
* <math> c,d \in \mathcal{C} \;|\; \Im \{c \} \;<\; \Re \{ d \} \, </math>
* <math> z \in \mathcal{C} \;|\; 0 \;\le\; Arg(z) \;<\; \pi \, </math>
|}


== Exemplos de aplicação ==

=== Análise de vibrações sob condições específicas ===

Uma corda de violino, afastada da posição de repouso em um ponto qualquer diferente do centro, experimentará vibrações após liberada. Chamemos y(x,t) à distância da corda em relação à posição de repouso em um dado ponto x qualquer e em um instante dado t. Sempre se pode escolher um [[sistema de coordenadas]] em que o comprimento da mesma é unitário; da mesma forma, a amplitude do deslocamento inicial produzido pode ser feita unitária. Seja x = b a posição em que foi inserida a perturbação. A corda estará sujeita à [[condição de contorno]] y(0,t) = y(1,t) = 0 para todo t, e podemos escrever


<math>y(x,0) \;=\; \left\{ \begin{matrix} 0 & : & x \;<\; 0 \\ \frac{x}{b} & : & 0 \;<\; x \;<\; b \\ \\ \frac{1 \;-\; x}{1 \;-\; b} & : & b \;<\; x \;<\; 1 \\ \\ 0 & : & x \;>\; 1 \end{matrix} \right.</math>


A transformada de seno de y(x,t) é, de acordo com a definição (1a)


<math>\mathcal{F} \{ y(x,0) \} \;=\; Y(\omega) \;=\; \int_{0}^{\infty} y(x,0) \cdot \sin (\omega x) \; dx</math>


<math>Y(\omega) \;=\; \int_{0}^{b} \frac{x}{b} \cdot \sin (\omega x) \; dx \;+\; \int_{b}^{1} \frac{1 \;-\; x}{1 \;-\; b} \cdot \sin (\omega x) \; dx \;=\; \frac{1}{b} \left. \left[ \frac{\sin(\omega x)}{\omega^2} \;-\; \frac{x \cos(\omega x)}{\omega} \right] \right|_0^b \;+\; \left. \frac{x}{1 \;-\; b} \right|_b^1 \;-\; \frac{1}{1 \;-\; b} \left. \left[ \frac{\sin(\omega x)}{\omega^2} \;-\; \frac{x \cos(\omega x)}{\omega} \right] \right|_b^1</math>


<math>Y(\omega) \;=\; \frac{1}{b} \left[ \frac{\sin(\omega b)}{\omega^2} \;-\; \frac{b \cos(\omega b)}{\omega} \right] \;+\; \frac{1 \;-\; b}{1 \;-\; b} \;-\; \frac{1}{1 \;-\; b} \left[ \frac{\sin(\omega)}{\omega^2} \;-\; \frac{\cos(\omega)}{\omega} \;-\; \frac{\sin(\omega b)}{\omega^2} \;+\; \frac{b \cos(\omega b)}{\omega} \right]</math>


<math>Y(\omega) \;=\; 1 \;+\; \left( \frac{1}{b \omega^2(1 \;-\; b)} \right) \cdot \left( \frac{}{} (1 \;-\ b) \left[ \sin(\omega b) \;-\; \omega b \cos(\omega b) \right] \;-\; \left[ b \sin(\omega) \;-\; \omega b \cos(\omega) \;-\; b \sin(\omega b) \;+\; \omega b^2 \cos(\omega b) \right] \right)</math>


<math>Y(\omega) \;=\; 1 \;+\; \left( \frac{1}{b \omega^2(1 \;-\; b)} \right) \cdot \left( \frac{}{} \sin(\omega b) \;-\; \omega b \cos(\omega b) \;-\; b \sin(\omega) \;+\; \omega b \cos(\omega) \right)</math>


que só envolve coeficientes reais e é mais simples que a transformada de Fourier de y(x,0).

Neste exemplo as condições de contorno levaram à escolha natural da transformada de seno. Um exemplo em que a transformada de cosseno seria a escolha natural é a análise de ondas estacionárias em um canal fechado em ambas as extremidades.<ref name="Bracewell319">R. Bracewell - ''op. cit.'', Cap. 12, pp. 319 a 320</ref>

=== Solução de equação diferencial parcial sob condições específicas ===

Seja a equação diferencial parcial


<math>\frac{\partial}{\partial t} \; u(x,t) \;+\; \frac{\partial ^2}{\partial x} \; u(x,t) \;=\; h(x,t)</math>


onde u é a função de duas variáveis, x e t, que se deseja encontrar, e as condições de contorno são u(x,0) = f(x) e u(0,t) = g(t), sendo dadas as funções h(x,t), f(x) e g(t). Aplicando-se a transformação de seno em relação à variável x, e em vista das propriedades (2m), teremos


<math>\frac{\partial}{\partial t} \; U(\omega,t) \;+\; \omega^2 U(\omega,t) \;-\; \omega \cdot g(t) \;=\; H(\omega,t)</math><ref group="nota" name="nota2">Considerou-se que as funções são todas contínuas e obedecem às condições fortes de existência das transformadas.</ref>


onde U(ω,t) e H(ω,t) são as transformadas de seno de u(x,t) e h(x,t), respectivamente. Resolvendo-se a equação para U(ω,t)


<math>U(\omega,t) \cdot e^{\omega^2 t} \;=\; \int_0^t \left[ \omega \cdot g(\tau) \;+\; H(\omega,\tau) \right] e^{\omega^2 \tau} \; d \tau \;+\; C_1</math>


onde C<sub>1</sub> é uma constante de integração. Fazendo-se t = 0 nesta última equação, teremos <math>U(\omega,0) \;=\; C_1 \;=\; F(\omega)</math>, onde F(ω) é a transformada de seno de f(x). Assim,


<math>U(\omega,t) \;=\; e^{-\omega^2 t} \left( \int_0^t \left[ \omega \cdot g(\tau) \;+\; H(\omega,\tau) \right] e^{\omega^2 \tau} \; d \tau \;+\; F(\omega) \right)</math>


e u(x,t) é obtida a partir da aplicação da transformada inversa de seno a esta última equação.<ref name="Yip313">P. Yip - ''op. cit.'', pp. 313 a 320</ref>

=== Solução de equação diferencial ordinária sob condições específicas ===

Seja a equação diferencial de segunda ordem


<math>x''(t) \;+\; \lambda x(t) \;=\; f(t)</math>


onde λ é uma constante, com condições de contorno x'(0) = 0 e x(∞) = 0, e sendo dada a função f(t)


<math>f(t) \;=\; \left\{ \begin{matrix} 0 & : & t \;\le\; 0 \\ A & : & 0 \;<\; t \;<\; b \\ 0 & : & t \;\ge\; b \end{matrix} \right. \;=\; A \left[ \frac{}{} 1 \;-\; u(t-b) \right] </math>


onde u(x) é a função degrau unitário. Aplicando-se a transformação de cosseno às equações, e em vista das propriedades (2l), teremos


<math>- \omega^2 X(\omega) \;-\; \lambda ^2 X(\omega) \;=\; \frac{A}{\omega} \sin (\omega b)</math>


onde X(ω) é a transformada de cosseno de x(t). Resolvendo-se para X(ω), tem-se


<math>X(\omega) \;=\; \frac{A}{\lambda ^2} \left[ \frac{\omega \sin (\omega b)}{\omega^2 \;+\; \lambda ^ 2}\;-\; \frac{\sin (\omega b)}{\omega} \right] </math>


A aplicação da transformada inversa fornece a resposta


<math>X(\omega) \;=\; \left\{ \begin{matrix} \frac{A}{\lambda^2} \left[ e^{-\lambda b} \cosh(\lambda t) \;-\; 1 \right] & : & t \;<\; b \\ \\ - \frac{A}{\lambda^2} e^{-\lambda t} \sinh(\lambda b) & : &  t \;>\; b \end{matrix} \right. </math>



As condições de contorno favoreceram o uso da transformada de cosseno; confrontar essas condições com as dos exemplos anteriores, que favoreceram o uso da transformada de seno. A solução por meio daquela transformação evitou o emprego de [[Número complexo|números complexos]], que seriam usados se fosse escolhida em seu lugar a transformada de Fourier.<ref name="Yip313"/>


== Transformações relacionadas ==
=== As transformadas discretas de seno e de cosseno ===
Em aplicações práticas, as transformadas são aplicadas não a funções contínuas do tempo, e sim a [[Amostragem de sinal|amostras]] de tais funções. Os dados obtidos têm duração finita e natureza discreta, tanto no tempo quanto na amplitude. A esses conjuntos de dados aplicam-se as versões discretas das transformações: a [[transformada discreta de seno]] (DST, do inglês ''Discrete Sine Transform'') e a  [[transformada discreta de cosseno]] (DCT, do inglês ''Discrete Cosine Transform''). Na verdade, podem-se definir 4 tipos diferentes para cada uma delas, de acordo com critérios diversos; essas transformadas são denotadas de duas formas diferentes: DST1, DST2, DST3 e assim por diante, ou então DST-I, DST-II, DST-III e assim por diante, dependendo do autor.<ref name="Yip305">P. Yip - ''op. cit.'', pag. 305</ref><ref name="Hafed">Z. Hafed e M. Levine - ''Face Recognition Using the Discrete Cosine Transform'' '''in''' ''International Journal of Computer Vision'', 43(3), 2001, pp. 167 a 188</ref>

=== Transformações multidimensionais ===
Assim como a transformada de Fourier, as transformadas de seno e de cosseno podem ser estendidas para um maior número de dimensões de forma simples. Transformações bidimensionais encontram aplicação em diversas áreas, como [[processamento de imagem]], por exemplo.

<br style="clear:both;">
=== Transformações especiais ===

O processamento digital, especialmente quando combinado com algum tipo de compressão, pode introduzir [[Artefato (processamento de sinal)|artefatos]] perceptíveis, como na imagem à esquerda (a imagem à direita é o original) na foto ao lado. Transformações especiais, como a [[transformada discreta modificada de cosseno]] e a [[transformada discreta local de seno]], foram desenvolvidas de forma a diminuir tais distorções. Essas transformadas se enquadram na categoria de [[Transformada superposta|transformadas superpostas]] (ing. ''lapped transforms'').<ref name="Yip320">P. Yip - ''op. cit.'', pp. 320 a 324</ref>
<br style="clear:both;">

== Ver também ==
* [[Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier]]
* [[Domínio do tempo]]
* [[Domínio da frequência]]
* [[Teorema da convolução]]
* [[Sistema causal]]


== Notas ==
<references group="nota"/>


{{referências}}
{{Portal3|Matemática}}
[[Categoria:Transformadas]]
[[Categoria:Análise harmônica]]
[[Categoria:Transformadas integrais]]