Mostrar código-fonte de Triângulo

{{ver desambiguação}}
{{Info/Polígono
 | nome         = Triângulo ou trilátero
 | imagem       = Triangle illustration.svg
 | legenda      = Um triângulo
 | tipo         = [[polígono convexo]]
 | arestas      = 3
 | schläfli     = {3} (se for equilátero)
 | área         = vários métodos;<br />[[#Área|ver abaixo]]
 | ângulo       = 60° (se for equilátero)
}}
No [[plano (geometria)|plano]], o '''triângulo''' (também aceito como '''trilátero'''{{Nota de rodapé|nota=Na realidade, num trilátero apenas se consideram os lados da figura e não a porção de plano (triângulo) limitada pelo trilátero}}) é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três [[segmentos de reta]] que [[Entes geométricos fundamentais#Posição de uma reta no plano|concorrem]], dois a dois, em três [[Ponto (matemática)|pontos]] diferentes formando três lados e três [[ângulo]]s internos que somam 180°.<ref name="Brasil Escola">{{citar web |url=http://www.brasilescola.com/matematica/triangulo.htm |título=Triângulo |acessodata=20 de dezembro de 2012 |autor=Danielle de Miranda |coautores= |data= |ano= |mes= |formato= |obra=R7 |publicado=Brasil Escola |páginas= |língua= |citação= }}</ref> Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse caso, são chamados de [[triângulo geodésico|triângulos geodésicos]] e têm propriedades diferentes. Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não-colineares (pertencente a um [[Plano (geometria)|plano]], em decorrência da definição dos mesmos), por três segmentos de reta.<ref name="InfoEscola" />

O triângulo é o único [[polígono]] que não possui diagonais, e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente.<ref name="InfoEscola">{{citar web |url=http://www.infoescola.com/geometria/area-de-um-triangulo/ |título=Área de um Triângulo |acessodata=20 de dezembro de 2012 |autor=Marcia Tomaz |coautores= |data=7 de outubro de 2011 |ano= |mes= |formato= |obra= |publicado=InfoEscola |páginas= |língua= |citação= }}</ref> O [[perímetro]] de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa (curvado na face externa) e a região externa de região côncava (curvado na face interna).

== Definição ==
[[Imagem:Ângulo externo do triangulo.jpg|miniaturadaimagem|350x350px|Os ângulos <math>\hat{A},</math> <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{C}</math> são ângulos internos de <math>D\hat{E}A,</math> enquanto <math>\hat{E}</math> é ângulo externo.]]
Na [[Geometria euclidiana|geometria euclidiana plana]], define-se um triângulo da seguinte forma:

Dados três pontos, <math>A,</math> <math>B</math> e <math>C,</math> não colineares, à reunião dos segmentos <math>\overline{AB},</math> <math>\overline{AC}</math> e <math>\overline{BC}</math> chama-se triângulo <math>ABC,</math> denotado por <math>\triangle{ABC}.</math>

Assim:

<math>\triangle{A,B,C}=\overline{A,B}\cup\overline{A,C}\cup\overline{B,C}</math><ref name=":0" />

== Elementos de um triângulo ==
* [[Vértice|Vértices:]] os [[Ponto (matemática)|pontos]] <math>A,</math> <math>B</math> e <math>C</math> são os vértices do <math>\triangle{ABC}.</math>
* Lados: os [[Segmentos de recta|segmentos]] <math>\overline{AB}</math> (de [[Medida (matemática)|medida]] c), <math>\overline{AC}</math> (de [[Medida (matemática)|medida]] b) e <math>\overline{BC}</math> (de [[Medida (matemática)|medida]] a), são os lados do triângulo <math>ABC.</math>
* Ângulos internos: os [[ângulo]]s <math>B\hat{A}C</math> ou <math>\hat{A},</math> <math>A\hat{B}C</math> ou <math>\hat{B}</math> e <math>A\hat{C}B</math> ou <math>\hat{C}</math> são os [[ângulo]]s internos do triângulo <math>ABC,</math> ou seja, são os ângulos entre os lados de um triângulo.
* Ângulos externos: são os [[ângulo]]s formados pelo prolongamento de um dos lados com um lado adjacente. Por exemplo, se tomarmos a [[semirreta]] <math>\overrightarrow{BC}</math>  e um [[Ponto (matemática)|ponto]] <math>D</math> sob ela, mas externo ao triângulo, e o lado <math>\overline{AC},</math> temos o [[ângulo]] <math>A\hat{C}D,</math> que é um [[ângulo]] externo do triângulo <math>ABC.</math>
Diz-se que os lados <math>\overline{AB},</math> <math>\overline{AC},</math> <math>\overline{BC}</math> e os [[ângulo]]s <math>\hat{C},</math> <math>\hat{B}</math> e <math>\hat{A}</math> são, respectivamente, opostos.<ref name=":0" />

== Tipos de triângulos ==
Os triângulos podem ser classificados conforme as relações entre seus lados ou entre seus ângulos.<ref name="Brasil Escola"/>

=== Quanto aos lados ===
Quanto aos lados, há três tipos de triângulos: equiláteros, isósceles e escalenos.

==== Triângulo equilátero ====
{{Artigo principal|Triângulo equilátero}}
Um triângulo é equilátero se, e somente se, os três lados forem congruentes, isso significa que um [[triângulo equilátero]] é um triângulo que possui todos os lados [[congruência (geometria)|congruentes]], ou seja, iguais. Um triângulo equilátero é também [[equiângulo]]: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°),<ref name="InfoEscola" /> sendo, portanto, classificado como um [[polígono regular]].

==== Triângulos isósceles ====
{{Artigo principal|Triângulo isósceles}}
Um triângulo é isósceles se, e somente se, pelo menos dois de seus três lados forem congruentes.

Isso significa que um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida. Assim, todo triângulo equilátero é, consequentemente, um [[Caso Especial|caso especial]] de triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.

Em todo triângulo isósceles os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes.<ref>{{Citar web|url=http://alunosonline.uol.com.br/matematica/tipos-de-triangulos.html|titulo=Classificação de triângulos. Classificação e tipos de triângulos - Alunos Online|acessodata=2016-08-03|obra=Alunos Online}}</ref>

==== Triângulo escaleno ====
Um triângulo é escaleno se, e somente se, dois lados quaisquer não forem congruentes.

Isso significa que em um triângulo escaleno as medidas dos três lados são diferentes. Assim, os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.<gallery>
Imagem:Triangolo-Equilatero.png|Triângulo equilátero
Imagem:Triangle.Isosceles.png|Triângulo isósceles
Imagem:Triangolo-Scaleno.png|Triângulo escaleno
</gallery>

=== Ângulos ===
Quanto aos ângulos, pode-se ter três tipos de triângulo: retângulo, obtusângulo e acutângulo.
* Um [[Triângulo Retângulo|triângulo retângulo]] possui um [[ângulo reto]].<ref name="Brasil Escola"/> Num triângulo [[retângulo]], denomina-se [[hipotenusa]] o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os [[ângulo agudo|ângulos agudos]] de um triângulo retângulo, opostos aos catetos, são complementares (ou seja, sua soma é igual a 90°).
* Um triângulo obtusângulo possui um [[ângulo obtuso]] e dois [[ângulo agudo|ângulos agudos]].
* Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos.

<gallery>
Imagem:Triangolo-Rettangolo.png|Triângulo retângulo
Imagem:Triangolo-Ottuso.png|Triângulo obtusângulo
Imagem:Triangle.Acute.png|Triângulo acutângulo
</gallery>

== Condição de existência de um triângulo ==
Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

<math display="block">|b-c| < a < b+c </math>

== Fatos básicos ==
Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por [[Euclides]] nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em [[300 a.C.]] Um triângulo é um [[polígono]].

Dois triângulos são ditos [[similaridade (matemática)|semelhantes]] se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus [[ângulo]]s correspondentes forem iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo são paralelos entre si. O fato crucial sobre triângulos similares é que ''os comprimentos de seus lados são proporcionais''. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo.<ref name="InfoEscola" /> Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as [[função trigonométrica|funções trigonométricas]] de [[seno]] e [[cosseno]] podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na [[trigonometria]].

Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos α, β e γ e lados ''a'', ''b'' e ''c''. O lado ''a'' é oposto ao  vértice ''A'' e ao ângulo α, o lado ''b'' é oposto ao vértice ''B'' e ao ângulo β e o lado ''c'' é oposto ao  vértice ''C'' e ao ângulo γ.

Na [[geometria euclidiana]], de acordo com o [[Teorema de Tales (círculo)|teorema angular de Tales]], a [[32ª proposição de Euclides]] afirma que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos. Por exemplo:<ref name="Brasil Escola"/>
<math display="block">\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ</math>

[[Imagem:Triangulo180.jpg|Labelled triangle|thumb|Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma transversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º.]]

Existe um [[Corolário]] desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Ex: Sendo <math>e</math> a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice <math>C,</math> pode-se afirmar que: <math>e = \alpha + \beta</math>

[[Imagem:Pythagorean.svg|thumb|direita|[[Teorema de Pitágoras]].]]

Um teorema central é o [[Teorema de Pitágoras]], que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o [[quadrado]] da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira:

<math display="block">c^2 = a^2 + b^2 </math>

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela [[lei dos cossenos]]:

<math display="block">c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma </math>

Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se γ não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.

A [[lei dos senos]] diz:
<math display="block">\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}a=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}b=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}c=\frac1d</math>
onde ''d'' é o [[diâmetro]] da [[circunferência]] circunscrita ao triângulo (uma circunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar as medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.

Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: <math>1:1:\sqrt{2}.</math> O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: <math>1:\sqrt{3}:2.</math>

== Subdivisão de um triângulo ==
É possível dividir um triângulo<ref>Triângulos. <http://www.matematicamuitofacil.com/geometria.html>. Consultado em 04 de maio de 2016.</ref> em outros menores internos de modo que em cada vértice incida o mesmo número de segmentos.
Sendo ''t'' a quantidade de triângulos e ''v'' o número de vértices.
Em cada vértice incide uma quantidade ''y'' de segmentos.
<math>180t</math> é a soma dos ângulos internos; <math>360(v-3)</math> é a soma dos ângulos em cada vértice no interior do triângulo.
A soma dos ângulos internos do triângulo é 180 graus. Então
<math display="block">180t=360(v-3)+180</math>
<math display="block">v=\frac{t+5}{2}</math>
<math display="block">\frac{vy}{2}</math> é a quantidade de segmentos em função do número total de vértices.
<math display="block">\frac{3t+3}{2}</math> é a quantidade total de segmentos em função da quantidade de triângulos.
<math display="block">\frac{vy}{2}=\frac{3t+3}{2}</math>
<math display="block">y=\frac{3t+3}{v}=\frac{3t+3}{(t+5)/2}=6-\frac{24}{t+5}.</math>
Observando-se que <math>t</math> deve ser um [[número inteiro]], então <math>t+5</math> é um [[divisor]] de 24.
Então os possíveis valores de <math>t</math> são 1, 3, 7 e 19. Calcula-se, para cada um deles os valores de <math>y</math> e <math>v.</math> As possibilidades estão ilustradas na figura.
[[Imagem:Assssasddc.png|miniaturadaimagem|As quatro possibilidades de divisão do triângulo.]]

== Área ==
'''Produto Base Altura'''

A [[área]] de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:

<math display="block">A = {(B \cdot h)\over 2},</math> onde ''h'' é a altura do triângulo, ''b'' a medida da base.

'''Triângulos equiláteros'''

Se o triângulo for equilátero de lado ''l'', sua área ''A'' pode ser obtida com:

<math display="block">A = {l^2 \sqrt{3}\over 4}.</math>

Ou então usando sua altura ''h'' e a fórmula da base vezes a altura. A altura ''h'' de um triângulo equilátero é:

<math display="block">h = {l \sqrt{3}\over 2}.</math>

Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas usando as funções [[seno]] ou [[cosseno]] e usando a altura do triângulo, que o divide ao meio em dois [[Triângulo retângulo|triângulos retângulos]] iguais.

'''Semiperímetro'''

{{Artigo principal|[[Teorema de Heron]]}}

Outra maneira de calcular sua área é através do [[teorema de Herão]] (ou Heron), também conhecido como fórmula do semiperímetro:

<math display="block">A = {\sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}},</math>

onde:

<math display="block">s = {(a + b + c) \over 2}</math> é o semi-perímetro.

'''Lados'''

Também podemos calcular a área a partir dos lados do triângulo. Sendo ''a'' e ''b'' dois lados quaisquer de um triângulo, e <math>\alpha</math> o ângulo entre eles, temos que a área é:

<math display="block">A = {a \cdot b \cdot sen(\alpha) \over 2}</math>

'''Raio circunscrito'''

{{Artigo principal|[[Lei dos senos]]}}

Há ainda a fórmula da área do triângulo em função das medidas dos lados <math>a, b, c</math> e do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo <math>r,</math> demonstrada pela lei dos senos:

<math display="block">A = {a \cdot b \cdot c \over {4*r}}</math>

== Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo ==
=== [[Mediatriz]] ===
[[Imagem:Triangle.Circumcenter.png|frame|direita|O [[circuncentro]] é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.]]

A [[mediatriz]] é a [[reta]] perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o [[circuncentro]], que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.

O [[Teorema de Tales (círculo)|teorema de Tales]] (ou lei angular de Tales) determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.

=== Altura ===
[[Imagem:Triangle.Orthocenter.png|frame|esquerda| O ponto de interseção das alturas é o [[ortocentro]].]]

Altura é um [[segmento de reta]] perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura.

O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se '''[[ortocentro]] (H)'''. No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro forma um sistema ortocêntrico.

A altura de todo e qualquer triângulo é dado pela fórmula:
<math display="block">h^2 = {b^2-(c-x)(c+x)\cdot  }</math>

* b = hipotenusa do triângulo retângulo formado com a altura do triângulo em questão.
* h = altura procurada.
* c = base do triângulo.
* x = parte da base C do triângulo que foi dividida pela altura.

=== [[Mediana (geometria)|Mediana]] ===
[[Imagem:Triangle.Centroid.png|frame|direita|O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.]]

[[Mediana (geometria)|Mediana]] é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou [[centro de gravidade]] do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos.<ref name="InfoEscola"/> O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo equilátero, as medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas são coincidentes.<ref name="Brasil Escola"/> No isósceles, apenas as que chegam ao lado diferente, no escaleno, nenhuma delas. Ainda para o triângulo Isósceles, vale ressaltar que a formação da bissetriz, coincidindo com o ponto médio de sua base, divide três semirretas iguais, as quais são percebidas com a inscrição do [[círculo]] formado pelo incentro da bissetriz, onde há duas semirretas, as quais serão o raios do círculo, sendo assim, dividindo-se em três partes iguais a altura do triângulo (que também coincide com a mediana e a bissetriz, cada <math>\dfrac{1}{3}</math>), explicam-se as relações de a semirreta que parte do ponto central do círculo até o lado do triângulo valer o mesmo que o raio, isto é, <math>\dfrac{1}{3}</math> e que o resto até o vértice oposto a esse lado valer <math>\dfrac{2}{3}.</math>

Síntese para o triângulo isósceles, propriedade baricentro: semirretas divididas em dois segmentos, sendo que um é o dobro do outro. Entende-se portanto no triângulo isósceles que se uma parte vale <math>\dfrac{1}{3},</math> a outra valerá o dobro: <math>2\cdot \dfrac{1}{3}</math> = <math>\dfrac{2}{3}.</math>

=== [[Bissetriz]] ===
[[Imagem:Triangle.Incircle.png|frame|esquerda|O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro.]]

A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.

Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se '''incentro'''.

O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito.

Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado oposto.

As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas.

Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito.

Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro, o circuncentro e o baricentro são o mesmo ponto.

=== Reta de Euler ===
{{Artigo principal|[[Reta de Euler]]}}
É a reta que contém o [[ortocentro]], o [[baricentro]] e o [[circuncentro]] (os centros).

=== Círculo dos Nove Pontos ===
É a circunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices.

== Relações de desigualdades entre lados e ângulos ==
* '''1ª relação''': Um ângulo externo de um triângulo é o resultado da soma dos dois ângulos internos não-adjacentes.
* '''2ª relação''': Se dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.
* '''3ª relação''': Em todo triângulo, qualquer lado tem medida maior que a diferença entre as medidas dos outros dois.

== Teorema da Base Média ==
O teorema da base média do triângulo afirma que, dado um triângulo qualquer, o segmento com extremos nos pontos médios de dois lados desse triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual a metade desse terceiro lado.<ref name=":0">DOLCE, Osvaldo; POMPEU, José N. Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 9 - Geometria Plana - 9ª Ed. 2013</ref>

=== Demonstração ===
[[Imagem:Triangulo base média 1.png|thumb|Triângulo ABC qualquer.]]
[[Imagem:Triangulo base média demostração.png|thumb|Demonstração da base média]]
Dado um <math display=inline> \triangle ABC </math> qualquer, sendo ''M'' ponto médio do lado <math display=inline> \overline{AB}</math>  e N o ponto médio do lado <math display=inline>\overline{AC}.</math> Queremos mostrar que  <math display=inline>\overline{MN}/ \! / \overline{BC} </math> e ainda  <math display=inline>MN = \frac{1}{2} BC.</math>

Hipótese: <math display=inline>\left \{ \begin{matrix} \overline{AM} \equiv \overline{MB} \\ \overline{AN} \equiv \overline{NC} \end{matrix} \right. \quad\quad </math> Tese:<math display=inline>  \left \{ \begin{matrix} \overline{MN} / \! / \overline{BC} \\ MN = \left ( \frac{1}{2} \right ) BC \end{matrix} \right.  </math>

Traçando <math>s</math> paralela a <math display=inline> \overline{AB},</math> passando por C. Onde <math display=inline>\overleftrightarrow {MN} \cap s = D </math>

Pelo caso lado, ângulo, ângulo oposto: <math display=inline>\triangle AMN \equiv \triangle CDN  \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \overline{AN} \equiv \overline{CN} \text { (hipótese) }  \\  A\hat{N}M \equiv C\hat{N}D \text { (oposto pelo vértice) } \\ A\hat{M}N \equiv C\hat{D}N \text{  (alternos internos) } \end{matrix} \right.</math>

Consequentemente temos <math> \overline{CD} \equiv \overline{AM} \equiv \overline{MB} </math> e como <math> \overline{CD} / \! / \overline{MB} </math> temos que BCDM é [[paralelogramo]], logo <math> \overline{MN} / \! / \overline{BC} .</math> Ainda da congruência dos triângulos temos <math> \overline{MN} \equiv \overline{ND} </math> e como <math> \overline{MD} \equiv \overline{BC} ,</math> então <math> MN=\frac{1}{2}BC .</math>

== Ver também ==
{{Wikilivros|Matemática elementar|Geometria plana/Triângulos|Triângulos}}
* [[Lista de construções do desenho geométrico]]

* [[Trigonometria]]
* [[Triângulo de Pascal]]
* [[Triângulo de Sierpinski]]
* [[Triângulo de Penrose]]
* [[Triângulo de Ouro]]

{{Notas}}
{{Referências}}

=== Bibliografia ===
* Boyer, Carl B. (1996). ''História da matemática''. 2ª Edição. São Paulo. Edgard Blücher ltda. ISBN 85-212-0023-4.

{{Polígonos}}

[[Categoria:Polígonos]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]
[[Categoria:Triângulos| ]]
[[Categoria:Geometria]]