Mostrar código-fonte de Triângulo retângulo especial

[[Imagem:Euler diagram of triangle types.svg|miniatura|320px|Posição de alguns triângulos especiais em um [[diagrama de Euler]] do tipo de triângulos, usando a definição  de que triângulos isósceles tem no mínimo dois lados iguais, i.é, triângulos equilaterais são isósceles.]]
Um '''triângulo retângulo especial''' é um [[triângulo retângulo]] com alguma característica regular que facilita cálculos sobre um [[triângulo]], ou para o qual existem fórmulas simples. Por exemplo, um triângulo retângulo pode ter ângulos formando relações características, como 45°–45°–90°. Este é denominado um triângulo retângulo "baseado em ângulo". Um triângulo retângulo "baseado em lado" tem lados com comprimentos formando relações de [[Número natural|números inteiros]], como 3&nbsp;:&nbsp;4&nbsp;:&nbsp;5, ou de outros números especiais, como a [[proporção áurea]]. Conhecendo as relações dos ângulos ou dos lados destes triângulos retângulos especiais é possível calcular rapidamente vários comprimentos em problemas geométricos sem a necessidade de recorrer a métodos mais avançados.

==Baseado em ângulo==
[[Imagem:Special right triangles for trig.svg|direita|miniatura|Triângulos baseados em ângulos inscritos em um círculo unitário são de fácil visualização e lembram [[Função trigonométrica|funções trigonométricas]] de múltiplos de 30 e 45 graus.]]

Triângulos retângulos especiais baseados em ângulo são especificados pelas relações dos ângulos que compões o triângulo. Os ângulos deste triângulos são tais que o maior ângulo, que tem 90 graus ou <math>\scriptstyle{\pi}</math>/2 radianos, é igual à soma dos outros dois ângulos.

Os comprimentos dos lados são geralmente deduzidos com base no [[círculo unitário]] ou outros métodos [[Geometria|geométricos]]. Esta abordagem pode ser usada para reproduzir rapidamente os valores das funções trigonométricas para os ângulos de 30°, 45° e 60°.

Triângulos especiais são usados para auxiliar no cálculo de funções trigonométricas comuns, como a seguir:

{| class="wikitable"
![[Grau (geometria)|graus]] !! [[radiano]]s !! [[Grado (ângulo)|grados]] !! [[Volta (geometria)|voltas]] !! [[Seno|sen]] !! [[Cosseno|cos]] !! [[tangente|tan]] !! [[cotangente|cotan]]
|-
|0°|| <math>0</math> || <math>0^g</math> || <math>0</math> || <math>\frac{\sqrt{0}}{2}=0</math>|| <math>\frac{\sqrt{4}}{2}=1</math>|| <math>0</math> || indefinido
|-
|30° || <math>\frac{\pi}{6}</math> || <math>33\frac{1}{3}^g</math> || <math>\frac{1}{12}</math> || <math>\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}</math>|| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> || <math>\sqrt{3}</math>
|-
|45° || <math>\frac{\pi}{4}</math> || <math>50^g</math>|| <math>\frac{1}{8}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}</math> || <math>1</math> || <math>1</math>
|-
|60° || <math>\frac{\pi}{3}</math> || <math>66\frac{2}{3}^g</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>
|-
|90° || <math>\frac{\pi}{2}</math> ||<math>100^g</math> || <math>\frac{1}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{4}}{2}=1</math> || <math>\frac{\sqrt{0}}{2}=0</math> || indefinido || <math>0</math>
|}

{{multiple image
|width     = 120
|image1    = Tile V488 bicolor.svg
|caption1  = 45°–45°–90°
|image2    = Tile V46b.svg
|caption2  = 30°–60°–90°
}}
Os triângulos 45°–45°–90°, 30°–60°–90° e 60°–60°–60° são três exemplos de [[Triângulo de Schwarz|triângulos de Schwarz]] no plano, significando que os mesmos [[Tesselação|tesselam]] o plano por reflexão em seus lados; ver [[grupo triangular]].

===Triângulo 45°–45°–90°===
[[Imagem:45-45-triangle.svg|miniatura|150px|Comprimentos dos lados de um triângulo 45°–45°–90°]]

Em geometria plana, a construção da diagonal de um quadrado resulta em um triângulo cujos três ângulos tem a razão 1&nbsp;:&nbsp;1&nbsp;:&nbsp;2, formando no total 180° ou <math>\scriptstyle{\pi}</math> radianos. Assim, os ângulos tem respectivamente 45° ({{Frac-2|<math>\scriptstyle{\pi}</math>|4}}), 45° ({{Frac-2|<math>\scriptstyle{\pi}</math>|4}}) e 90° ({{Frac-2|<math>\scriptstyle{\pi}</math>|2}}). Os lados deste triângulo estão na razão 1&nbsp;:&nbsp;1&nbsp;:&nbsp;{{sqrt|2}}, que segue imediatamente do [[teorema de Pitágoras]].

Triângulos com estes ângulos são os únicos triângulos retângulos possíveis que são também [[Triângulo isósceles|triângulos isósceles]] em geometria euclidiana. Contudo, em [[geometria esférica]] e [[geometria hiperbólica]] existem triângulos isósceles com infinitas combinações de ângulos.

===Triângulo 30°–60°–90°===
[[Imagem:30-60-90.svg|miniatura|150px|Comprimentos dos lados de um triângulo 30°–60°–90°]]

Este é um triângulo com ângulos na razão 1&nbsp;:&nbsp;2&nbsp;:&nbsp;3 e medidas respectivas 30°, 60° e 90°. Os lados estão na razão 1&nbsp;:&nbsp;[[Raiz quadrada de três|{{sqrt|3}}]]&nbsp;:&nbsp;2.

A prova deste fato 'e clara usando [[trigonometria]]. A prova [[Geometria|geométrica]] é:

:Desenhe um triângulo equilátero ''ABC'' com lados de comprimento 2 e com o ponto ''D'' no ponto médio do segmento ''BC''.  Desenhe uma linha vertical de ''A'' a ''D''.  Então ''ABD'' é um triângulo 30°–60°–90° com hipotenusa de comprimento 2 e base ''BD'' de comprimento 1.

:O fato de que o lado restante ''AD'' tem comprimento [[Raiz quadrada de três|{{sqrt|3}}]] segue imediatamente do [[teorema de Pitágoras]].

O triângulo 30°–60°–90° é o único triângulo retângulo cujos ângulos estão em uma progressão aritmética. A prova deste fato é simples e segue do fato que se ''α'', {{nowrap|''α'' + ''δ''}} e {{nowrap|''α'' + 2''δ''}} são os ângulos em progressão então a soma dos ângulos {{nowrap|3''α'' + 3''δ''}} = 180°. Após dividir por 3, o ângulo {{nowrap|''α'' + ''δ''}} deve ser 60°. O ângulo reto é 90°, sendo então o ângulo restante 30°.

==Baseado em lado==
Triângulos retângulos cujos lados tem comprimentos inteiros, com os lados conhecidos coletivamente por [[Terno pitagórico|triplas pitagóricas]], possuem ângulos que não podem ser todos [[Número racional|números racionais]] de [[Grau (geometria)|graus]].<ref>{{citar periódico|título=Rational Triangle|último =Weisstein|primeiro =Eric W|periódico=MathWorld|url=http://mathworld.wolfram.com/RationalTriangle.html}}</ref> (Isto segue do [[teorema de Niven]].) São mais úteis porque podem ser facilmente lembrado e qualquer [[Múltiplos|múltiplo]] dos lados produz as mesmas relações. Usando a fórmula de Euclides para gerar triplas pitagóricas, os lados devem estar na relação

:{{nowrap|''m''{{sup|2}} − ''n''{{sup|2}} : 2''mn'' : ''m''{{sup|2}} + ''n''{{sup|2}}}}

onde ''m'' e ''n'' são quaisquer inteiros positivos tal que {{nowrap|''m'' > ''n''}}.

===Triplas pitagóricas comuns===
{{Main|Terno pitagórico}}

Existem diversas triplas pitagóricas bem conhecidas, incluindo aquelas com lados nas relações:

:{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
!align="right"|3:||align="center"|4 ||align="left"|:5

|-
!align="right"|5:||align="center"|12||align="left"|:13
|-
!align="right"|8:||align="center"|15||align="left"|:17
|-
!align="right"|7:||align="center"|24||align="left"|:25
|-
!align="right"|9:||align="center"|40||align="left"|:41
|}

Os triângulos 3&nbsp;:&nbsp;4&nbsp;:&nbsp;5 são os únicos triângulos retângulos com lados em [[progressão aritmética]]. Triângulos baseados sobre triplas pitagóricas são [[Triângulo heroniano|heronianos]], significando que os mesmos tem áreas bem como lados inteiros.

O possível uso do triângulo 3&nbsp;:&nbsp;4&nbsp;:&nbsp;5 no [[Antigo Egito]], com o suposto uso de uma corda com nós para marcar tal triângulo, e a questão de se o teorema de Pitágoras era conhecido naquele tempo, tem sido muito debatido.<ref name=Cooke2011>{{citar livro|último =Cooke |primeiro =Roger L. |título=The History of Mathematics: A Brief Course |url=https://books.google.com/books?id=wOGh7XPowAMC |edição=2nd |ano=2011|publicado=John Wiley & Sons |isbn=978-1-118-03024-0 |páginas=237-238}}</ref> Isto foi conjecturado a primeira vez pelo historiador [[Moritz Cantor]] em 1882.<ref name=Cooke2011/> É sabido que ângulos retos foram definidos precisamente no Antigo Egito; que os então ''agrimensores'' usavam cordas para medições;<ref name=Cooke2011/> que [[Plutarco]] registrou em ''[[Moralia]]'' ({{ca.}} 100 d.C.) que os egípcios admiravam o triângulo 3&nbsp;:&nbsp;4&nbsp;:&nbsp;5<ref name=Cooke2011/> e que o [[Papiro Berlim 6619]] do [[Império Médio]] (antes de 1700 a.C.) estabeleceu que ''a área de um quadrado de 100 é igual àquela de dois quadrados menores. O lado de um é ½ + ¼ do lado do outro."<ref>{{citar livro|autor =Gillings, Richard J. |título=Mathematics in the Time of the Pharaohs |publicado=Dover |data=1982 |página=161}}</ref> O historiador da matemática Roger L. Cooke observa que "é difícil imaginar alguém se interessar em tais condições sem saber o teorema de Pitágoras."<ref name=Cooke2011/> Contra isso, Cooke observa que nenhum texto egípcio anterior a 300 a.C. menciona o uso do teorema para encontrar o comprimento dos lados de um triângulo, e que existem maneiras mais simples de construir um ângulo reto. Cooke conclui que a conjectura de Cantor permanece incerta: ele supõe que os antigos egípcios provavelmente conheceram o teorema de Pitágoras, mas que "não há evidência de que o usaram para construir ângulos retos".<ref name=Cooke2011/>

As seguintes são todas as relações de triplas pitagóricas com razões expressas em mais baixa forma (além das cinco menores listadas acima) com ambos os lados não-hipotenusa menores que 256:

:{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="left"
!align="right"|11:||align="center"|60||align="left"|:61||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
!align="right"|12:||align="center"|35||align="left"|:37
|-
!align="right"|13:||align="center"|84||align="left"|:85
|-
!align="right"|15:||align="center"|112||align="left"|:113
|-
!align="right"|16:||align="center"|63||align="left"|:65
|-
!align="right"|17:||align="center"|144||align="left"|:145
|-
!align="right"|19:||align="center"|180||align="left"|:181
|-
!align="right"|20:||align="center"|21||align="left"|:29
|-
!align="right"|20:||align="center"|99||align="left"|:101
|-
!align="right"|21:||align="center"|220||align="left"|:221
|}

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="left"
!align="right"|24:||align="center"|143||align="left"|:145||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
!align="right"|28:||align="center"|45||align="left"|:53
|-
!align="right"|28:||align="center"|195||align="left"|:197
|-
!align="right"|32:||align="center"|255||align="left"|:257
|-
!align="right"|33:||align="center"|56||align="left"|:65
|-
!align="right"|36:||align="center"|77||align="left"|:85
|-
!align="right"|39:||align="center"|80||align="left"|:89
|-
!align="right"|44:||align="center"|117||align="left"|:125
|-
!align="right"|48:||align="center"|55||align="left"|:73
|-
!align="right"|51:||align="center"|140||align="left"|:149
|}

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="left"
!align="right"|52:||align="center"|165||align="left"|:173||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
!align="right"|57:||align="center"|176||align="left"|:185
|-
!align="right"|60:||align="center"|91||align="left"|:109
|-
!align="right"|60:||align="center"|221||align="left"|:229
|-
!align="right"|65:||align="center"|72||align="left"|:97
|-
!align="right"|84:||align="center"|187||align="left"|:205
|-
!align="right"|85:||align="center"|132||align="left"|:157
|-
!align="right"|88:||align="center"|105||align="left"|:137
|-
!align="right"|95:||align="center"|168||align="left"|:193
|-
!align="right"|96:||align="center"|247||align="left"|:265
|}

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
!align="right"|104:||align="center"|153||align="left"|:185
|-
!align="right"|105:||align="center"|208||align="left"|:233
|-
!align="right"|115:||align="center"|252||align="left"|:277
|-
!align="right"|119:||align="center"|120||align="left"|:169
|-
!align="right"|120:||align="center"|209||align="left"|:241
|-
!align="right"|133:||align="center"|156||align="left"|:205
|-
!align="right"|140:||align="center"|171||align="left"|:221
|-
!align="right"|160:||align="center"|231||align="left"|:281
|-
!align="right"|161:||align="center"|240||align="left"|:289
|-
!align="right"|204:||align="center"|253||align="left"|:325
|-
!align="right"|207:||align="center"|224||align="left"|:305
|}
{{clear}}

===Triplas pitagóricas quase isósceles===
Triângulos retângulos isósceles não podem ter lados com valores inteiros, porque a relação da hipotenusa com qualquer dos outros lados é {{sqrt|2}}, mas [[Raiz quadrada de dois#Inexistência de um número racional cujo quadrado seja 2|{{sqrt|2}} não pode ser expressa como uma relação de dois inteiros]]. Contudo, existem infinitos triângulos retângulos ''quase isósceles''. Existem triângulos retângulos com lados inteiros para os quais os comprimentos dos [[Cateto|lados não-hipotenusa]] diferem por um.<ref>{{citation
|último1 = Forget |primeiro1 = T. W.
|último2 = Larkin |primeiro2 = T. A.
|número= 3
|periódico= Fibonacci Quarterly
|páginas= 94–104
|título= Pythagorean triads of the form ''x'', ''x''&nbsp;+&nbsp;1, ''z'' described by recurrence sequences
|url = http://www.fq.math.ca/Scanned/6-3/6-3/forget.pdf
|volume = 6
|ano= 1968}}.</ref><ref>{{citation
|último1 = Chen |primeiro1 = C. C.
|último2 = Peng |primeiro2 = T. A.
|periódico= The Australasian Journal of Combinatorics
|mr = 1327342
|páginas= 263–267
|título= Almost-isosceles right-angled triangles
|url = http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/11/ajc-v11-p263.pdf
|volume = 11
|ano= 1995
}}.</ref> Tais triângulos retângulos quase isósceles podem ser obtidos recursivamente,

:''a''<sub>0</sub> = 1, ''b''<sub>0</sub> = 2
:''a''<sub>''n''</sub> = 2''b''<sub>''n''−1</sub> + ''a''<sub>''n''−1</sub>''
:''b''<sub>''n''</sub> = 2''a''<sub>''n''</sub> + ''b''<sub>''n''−1</sub>''

''a''<sub>''n''</sub> é o comprimento da hipotenusa, ''n'' = 1, 2, 3, .... Equivalentemente,

:<math>(\tfrac{x-1}{2})^2+(\tfrac{x+1}{2})^2 = y^2</math>

onde {''x'', ''y''} são as soluções da [[equação de Pell]] {{nowrap|''x''{{sup|2}} − 2''y''{{sup|2}} {{=}} −1}}, com a hipotenusa ''y'' sendo os termos ímpares dos [[Número de Pell|números de Pell]] '''1''', 2, '''5''', 12, '''29''', 70, '''169''', 408, '''985''', 2378... {{OEIS|id=A000129}}.. As menores triplas pitagóricas resultantes são:<ref>{{OEIS|A001652}}</ref>

:{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
!align="right"|        3 :||align="center"|              4      ||align="left"|:         5
|-
!align="right"|       20 :||align="center"|             21      ||align="left"|:        29
|-
!align="right"|      119 :||align="center"|            120      ||align="left"|:       169
|-
!align="right"|      696 :||align="center"|            697      ||align="left"|:       985
|-
!align="right"|    4.059 :||align="center"|          4.060      ||align="left"|:     5.741
|-
!align="right"|   23.660 :||align="center"|         23.661      ||align="left"|:    33.461
|-
!align="right"|  137.903 :||align="center"|        137.904      ||align="left"|:   195.025
|-
!align="right"|  803.760 :||align="center"|        803.761      ||align="left"|: 1.136.689
|-
!align="right"|4.684.659 :||align="center"|&nbsp;4.684.660&nbsp;||align="left"|: 6.625.109
|}

Alternativamente, os mesmos triângulos podem ser obtidos dos [[Número quadrado triangular|números quadrados triangulares]].<ref>{{citation
|último = Nyblom |primeiro = M. A.
|número= 4
|periódico= The Fibonacci Quarterly
|mr = 1640364
|páginas= 319–322
|título= A note on the set of almost-isosceles right-angled triangles
|url = http://www.fq.math.ca/Scanned/36-4/nyblom.pdf
|volume = 36
|ano= 1998
}}.</ref>

===Progressões aritmética e geométrica===
[[Imagem:Kepler triangle.svg|direita|miniatura|Um '''triângulo de Kepler''' é um triângulo retângulo formado por três quadrados com áreas em progressão geométrica de acordo com a '''[[proporção áurea]]'''.]]
{{Artigo principal|Triângulo de Kepler}}

O triângulo de Kepler é um triângulo retângulo cujos lados estão em [[progressão geométrica]]. Se os lados são formados da progressão geométrica ''a'', ''ar'', ''ar''<sup>2</sup> então sua relação comum ''r'' = {{sqrt|''φ''}} onde ''φ'' é a proporção áurea. Seus lados estão portanto na razão {{nowrap|1 : {{sqrt|''φ''}} : ''φ''}}. Assim, a forma do triângulo de Kepler é unicamente determinada (até um fator de escala) pela condição que os seus lados estejam em progressão geométrica.

O triângulo 3–4–5 é o único triângulo retângulo (até um fator de escala) cujos lados estão em uma [[progressão aritmética]].<ref>{{citation
|último1 = Beauregard |primeiro1 = Raymond A.
|último2 = Suryanarayan |primeiro2 = E. R.
|doi = 10.2307/2691431
|número= 2
|periódico= [[Mathematics Magazine]]
|mr = 1448883
|páginas= 105–115
|título= Arithmetic triangles
|volume = 70
|ano= 1997
}}.</ref>

===Lados de um polígono regular===
[[Imagem:Euclid XIII.10.svg|miniatura|Os lados de um [[pentágono]], [[hexágono]] e [[decágono]], inscritos em círculos congruentes, formam um triângulo retângulo]]
Seja <math> a = 2 \sin(\frac{\pi}{10})=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{\phi}</math> o comprimento do lado de um [[decágono]] regular inscrito no círculo unitário, onde ''φ'' é a [[proporção áurea]]. Seja <math>b=2\sin(\frac{\pi}{6})=1</math> o comprimento do lado de um [[hexágono]] regular no círculo unitário, e <math>c=2\sin(\frac{\pi}{5})=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}</math> o comprimento do lado de um [[pentágono]] regular no círculo unitário. Então {{nowrap|''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} {{=}} ''c''{{sup|2}}}}, e assim estes três comprimentos formam os lados de um triângulo retângulo.<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII10.html Euclid's ''Elements'', Book XIII, Proposition 10].</ref> O mesmo triângulo forma a metade de um [[retângulo de ouro]]. O mesmo pode ser também encontrado dentro de um [[icosaedro regular]] com lado de comprimento ''c'': o segmento de reta mais curto de qualquer vértice''V'' ao plano de seus cinco vizinhos tem comprimento ''a'', e os pontos extremos deste segmento de linha juntamente com quaisquer vizinhos de ''V'' formam os vértices de um triângulo retângulo com lados ''a'', ''b'' e ''c''.<ref>[http://ncatlab.org/nlab/show/pentagon+decagon+hexagon+identity nLab: pentagon decagon hexagon identity].</ref>

{{Referências|col=2}}

==Ver também==
*[[Triângulo inteiro]]
*[[Espiral de Teodoro]]

==Ligações externas==
*[http://www.mathopenref.com/triangle345.html 3&nbsp;:&nbsp;4&nbsp;:&nbsp;5 triangle]
*[http://www.mathopenref.com/triangle306090.html 30–60–90 triangle]
*[http://www.mathopenref.com/triangle454590.html 45–45–90 triangle]{{Spaced ndash}} com animações interativas

{{DEFAULTSORT:Triangulo retangulo especial}}
[[Categoria:Geometria euclidiana plana]]
[[Categoria:Triângulos]]