Mostrar código-fonte de Unidades de Lorentz-Heaviside

'''Unidades de Lorentz–Heaviside''' (ou '''unidades de''' '''Heaviside–Lorentz''' ) constituem um sistema de unidades (particularmente unidades eletromagnéticas) dentro do CGS, nomeado por [[Hendrik Antoon Lorentz]] e [[Oliver Heaviside]]. Eles partilharam com CGS-Unidades Gaussianas a unidade da [[constante elétrica]], {{math|''ε''<sub>0</sub>}} e a [[constante magnética]], {{math|''µ''<sub>0</sub>}} não aparece, tendo sida implicitamente incorporada no sistema de unidade e nas equações eletromagnéticas. As unidades de Lorentz–Heaviside podem ser consideradas normalizadoras de {{math|1=''ε''<sub>0</sub> = 1}} e {{math|1=''µ''<sub>0</sub> = 1}}, ao mesmo tempo que revisam as [[equações de Maxwell]], para usar a [[velocidade da luz]], {{math|''c''}} como alternativa.<ref name="Littlejohn" /><ref>{{citar periódico|último =Silsbee|primeiro =Francis|título=Systems of Electrical Units|periódico=JOURNAL OF RESEARCH of the National Bureau of Standards – C. Engineering and Instrumentation|volume=66C|número=2|páginas=137–183|data=abril–junho de 1962|url=http://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/66C/jresv66Cn2p137_A1b.pdf|doi=10.6028/jres.066C.014}}</ref>

Unidades de Lorentz–Heaviside, como as unidades do [[SI]], mas ao contrário das [[unidades Gaussianas]], são racionalizadas, ou seja, não aparecem explicitamente fatores de {{math|4''π''}} nas equações de Maxwell.<ref name="Littlejohn">{{citar web|url=http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1112/notes/emunits.pdf|formato=pdf|título=Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory|obra=Physics 221A, University of California, Berkeley lecture notes|autor =Littlejohn, Robert|data=outono de 2011|acessodata=2008-05-06}}</ref><ref name="Kowalski">Kowalski, Ludwik, 1986, "[http://alpha.montclair.edu/~kowalskiL/SI/SI_PAGE.HTML A Short History of the SI Units in Electricity,] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090429035624/http://alpha.montclair.edu/~kowalskiL/SI/SI_PAGE.HTML|date=2009-04-29}}"  ''The Physics Teacher'' 24(2): 97–99. [https://dx.doi.org/10.1119/1.2341955 Alternate web link (subscription required)]</ref> O fato de essas unidades estarem sendo racionalizadas explica em parte seu apelo na [[teoria de campos quânticos]]: a teoria fundamental [[Lagrangiana]] não possui fatores de {{math|4''π''}} nessas unidades.<ref name="Littlejohn" /> Consequentemente, unidades Lorentz–Heaviside diferem-se por fatores de {{math|{{sqrt|4''π''}}}} nas definições dos campos elétrico e magnético e de [[carga elétrica]]. São frequentemente utilizadas na cálculos [[relativísticos]] e são a unidade utilizada na Física de alta energia ([[Física de partículas|física de partícula]]). Particularmente, são convenientes quando realizado cálculos que consideram mais de três dimensões, como na [[Teoria das cordas|Teoria das Cordas]].

== Comprimento–Massa–Quadro de Tempo ==

Como nas unidades Gaussianas, as unidades de Heaviside–Lorentz (HLU neste artigo) considera as dimensões de ''comprimento–massa–tempo''. Isso significa que todas as unidades elétricas e magnéticas são são ''unidades derivadas'', dependentes dos tamanhos de comprimento e força.

Equação de Coulomb, usada para derivar a unidade de carga, é {{math|1=''F'' = ''QQ''/''r''<sup>2</sup>}} no sistema Gaussiano e {{math|1=''F'' = ''qq''/4''πr''<sup>2</sup>}} no HLU. A unidade da carga então se relaciona com {{math|1=1 dyn cm<sup>2</sup> = 1 esu<sup>2</sup> = 4''π'' hlu}}, sendo então, a carga da HLU de {{math|{{sqrt|4''π''}}}}, maior do que a gaussiana (ver abaixo), e o resto segue-se.

Quando a análise dimensional utilizar unidades no SI, incluindo {{mvar|ε}} e {{mvar|μ}} para converter as unidades, o resultado fornece a conversão de e para as unidades de Heaviside–Lorentz. Por exemplo, carga é {{math|{{sqrt|''εL''<sup>3</sup>''MT''<sup>−2</sup>}}}},  quando determinamos {{math|''ε'' {{=}} 8.854 pF/m}}, {{math|''L'' {{=}} 0.01 m}}, {{math|''M'' {{=}} 0.001 kg}}, e {{math|''T'' {{=}} 1}} segundo, esses valores são {{val|9.409669|u=C|e=-11}}. Esse é o tamanho da unidades HLU de carga.

Como as unidades de Heaviside–Lorentz continuam sendo usadas para separar unidades elétricas e magnéticas, fez faz necessário adicionar uma constante quando quantidades elétricas e magnéticas aparecem na mesma fórmula. Como no sistema Gaussiano, essa constante aparece como a velocidade eletromagnética, {{math|''c''}}.

== Racionalização ==

Na forma do sistema independente, as equações de Maxwell são

: <math> \begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho / \beta, \\
 \quad \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0, \\
 \quad \kappa \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\
 \quad \kappa \nabla \times \mathbf{H} &= \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{J} / \beta,
\end{align}</math>

juntamente com {{math|1='''D''' = ''ε''<sub>0</sub>'''E'''}} e {{math|1='''B''' = ''μ''<sub>0</sub>'''H'''}}.
A constante {{math|''β''}} e {{math|''κ''}} variam de sistema para sistema. Pode-se representar como {{math|1=''ε''<sub>0</sub>''μ''<sub>0</sub>''c''<sup>2</sup> = ''κ''<sup>2</sup>}}.

: O sistema Gaussiano aplica {{math|1=''β'' = 1/4''π''}}, {{math|1=''κ'' = ''c''}}.
: O sistema HLU aplica {{math|1=''β'' = 1}}, {{math|1=''κ'' = ''c''}}.
: O sistema do SI aplica {{math|1=''β'' = 1}}, {{math|1=''κ'' = 1}}.

A racionalização permite substituir a constante da radiância ({{math|''γ''}} = intensidade no raio<sup>2</sup>/raiz) com a constante divergente da gaussiana ({{math|''β''}} = fluxo por uma superfície/fonte fechada). Pode-se, facilmente, representar por {{math|1=''γ'' = 4''πβ''}}, considerando o caso da esfera que circunda o ponto, e a intensidade como densidade de fluxo. Os modelos mais antigos estabelecem {{math|1=''γ'' = 1}}, enquanto os sistemas racionalizados possuem {{math|1=''β'' = 1}}.  Geralmente na física as equações racionalizadas possuem um fator que se relacionar com o simetria espacial efetiva: {{math|2}} para simetria planar, {{math|2''π''}} para simetria cilíndrica e {{math|4''π''}} para simetria esférica.

A constante {{math|''κ''}} conecta as unidades elétrica e magnética pela equação {{math|1=''Q'' = ''Iκt''}}.  Quando os sistemas elétricos e magnéticos são definidos como nos sistemas Gaussiano ou Heaviside–Lorentz, {{math|1=''κ'' = ''c''}} deriva das equações de onda eletromagnética. A maioria dos sistemas possuem {{math|1=''κ'' = 1}}, onde os sistemas elétricos e magnéticos são conectados pela equação {{math|1=''Q'' = ''It''}}. Portando, a maioria dos livros usam {{math|1=''Q'' = ''It''}} ao invés de {{math|1=''Q'' = ''Iκt''}}.

== Equações de Maxwell com fontes ==

Com as unidades de Lorentz–Heaviside, [[equações de Maxwell]] no [[espaço livre]] com fontes assumem a seguinte forma:

: <math> \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho \,</math>

: <math> \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \,</math>

: <math> \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \,</math>

: <math> \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t} + \frac{1}{c} \mathbf{J} \,</math>

onde {{math|''c''}} é a [[velocidade da luz no vácuo]]. Aqui {{math|1='''E''' = '''D'''}} é o [[campo elétrico]], {{math|1='''H''' = '''B'''}} é o [[campo magnético]], {{math|''ρ''}} é a [[densidade de carga]], e {{math|'''J'''}} é a [[Densidade de corrente elétrica|densidade da corrente]].

A equação da [[força de Lorentz]] é:

:: <math>\mathbf{F}_q = q \left(\mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}_q}{c} \times \mathbf{B}\right) \,</math>

aqui {{math|''q''}} é a carga de uma partícula de teste com o vetor velocidade {{math|'''v'''<sub>''q''</sub>}} e {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} é a combinação das forças elétrica e magnética atuando na partícula teste.

Em ambos os sistemas, Gaussiano e Heaviside–Lorentz, as unidades elétricas e magnéticas são derivadas dos sistemas mecânicos. A carga é definida através da equação de Coulomb, na qual {{math|1=''ε'' = 1}}. No sistema gaussiano, a equação de Coulomb é {{math|1=''F'' = ''QQ''/''R''<sup>2</sup>}}. No sistema de Heaviside-Lorentz, {{math|1=''F'' = ''qq''/4''πR''<sup>2</sup>}}. Daí, têm-se {{math|1=''QQ'' = ''qq''/4''π''}}, que as unidades Gaussianas são maiores por um fator de {{math|{{sqrt|4''π''}}}}. Outras quantidades são vistas a seguir.

: <math> q_\mathrm{LH} \ = \ \sqrt{4\pi} \ q_\mathrm{G} </math>

: <math> \mathbf{E}_\mathrm{LH} \ = \ {\mathbf{E}_\mathrm{G} \over \sqrt{4\pi}} </math>

: <math> \mathbf{B}_\mathrm{LH} \ = \ {\mathbf{B}_\mathrm{G} \over \sqrt{4\pi}} </math>.

== Lista das equações e comparações com outros sistemas de unidades ==

Essa seção possui uma lista das fórmulas básicas do eletromagnetismo, dados pelas unidades Lorentz–Heaviside, Gaussiana e SI. A maioria dos nomes dos símbolos não são dados; para explicações e definições completas, por favor clique no artigo apropriado dedicado a cada equação.

=== Equações de Maxwell ===
{{main|Maxwell's equations}}

Aqui estão as equações de Maxwell, em ambas as formas, macroscópica e microscópica. Somente a "forma diferencial" das equações é dada, não a "forma integral"; para obter-se a aplicação da forma integral do [[teorema divergente]] ou [[Teorema de Stokes|teorema de Kelvin-Stokes]].

Ver em: Equações de Maxwell

{{Table of Maxwell equations}}

=== Outras leis básicas ===
{{Table of electromagnetic laws}}

=== Materiais dielétricos e magnéticos ===

Abaixo estão as expressões para vários campos em um meio dielétrico. É assumido aqui, por simplificação, que o meio é homogêneo, linear, isotrópico e não dispersivo, de modo que a [[permissividade]] é uma constante simples.
{| class="wikitable" cellpadding="8"
!Unidades de Lorentz–Heaviside
!Unidades Gaussianas
!SI
|-
|<math>\mathbf{D} = \mathbf{E}+\mathbf{P}</math>
|<math>\mathbf{D} = \mathbf{E}+4\pi\mathbf{P}</math>
|<math>\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E}+\mathbf{P}</math>
|-
|<math>\mathbf{P} = \chi_\text{e}\mathbf{E}</math>
|<math>\mathbf{P} = \chi_\text{e}\mathbf{E}</math>
|<math>\mathbf{P} = \chi_\text{e}\epsilon_0\mathbf{E}</math>
|-
|<math>\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}</math>
|<math>\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}</math>
|<math>\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}</math>
|-
|<math>\epsilon = 1+\chi_\text{e}</math>
|<math>\epsilon = 1+4\pi\chi_\text{e}</math>
|<math>\epsilon/\epsilon_0 = 1+\chi_\text{e}</math>
|}
onde

* '''E''' e '''D''' são o [[campo elétrico]] e [[Campo de deslocamento elétrico|campo de deslocamento]] respectivamente;
* '''P''' é a [[densidade de polarização]];
* <math>\epsilon</math>é a [[permissividade]];
* <math>\epsilon_0</math>é a [[Constante de permissividade do vácuo|permissividade do vácuo]] (utilizada no sistema SI, mas assume um valor numérico de 1 em unidades gaussianas e unidades Lorentz–Heaviside, que podem ser omitidas);
* <math>\chi_\text{e}</math>é a susceptibilidade elétrica

As quantidades <math>\epsilon</math>em ambas as unidades, Lorentz–Heaviside e Gaussianas, e <math>\epsilon/\epsilon_0</math>no SI são adimensionais, e elas possuem o mesmo valor numérico. No entanto, a [[Susceptibilidade elétrica|suscetibilidade elétrica]] <math>\chi_e</math>não possui unidade em todos os sistemas, porém apresentam ''diferentes valores numéricos'' para o mesmo material:

:: <math>\chi_\text{e}^\text{SI} = \chi_\text{e}^\text{LH} = 4\pi \chi_\text{e}^\text{G}</math>

Seguindo, aqui estão as expressões para campos variados em um meio magnético. Novamente, assume-se que o meio é homogêneo, linear, isotrópico e não dispersivo, portanto a [[permeabilidade]] é uma constante simples.

{| class="wikitable" cellpadding="8"
!Unidades de Lorentz–Heaviside
!Unidades Gaussianas
!SI
|-
|<math>\mathbf{B} = \mathbf{H}+\mathbf{M}</math>
|<math>\mathbf{B} = \mathbf{H}+4\pi\mathbf{M}</math>
|<math>\mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{H}+\mathbf{M})</math>
|-
|<math>\mathbf{M} = \chi_\text{m}\mathbf{H}</math>
|<math>\mathbf{M} = \chi_\text{m}\mathbf{H}</math>
|<math>\mathbf{M} = \chi_\text{m} \mathbf{H}</math>
|-
|<math>\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}</math>
|<math>\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}</math>
|<math>\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}</math>
|-
|<math>\mu = 1+\chi_\text{m}</math>
|<math>\mu = 1+4\pi\chi_\text{m}</math>
|<math>\mu/\mu_0 = 1+\chi_\text{m}</math>
|}
onde,

* '''B''' e '''H''' são [[Campo magnético|campos magnéticos]];
* '''M''' é [[magnetização]];
* <math>\mu</math> é a [[permeabilidade magnética]];
* <math>\mu_0</math>é a [[Permeabilidade do vácuo|permeabilidade no vácuo]] (usada no sistema SI, mas assume um valor numérico de 1 em unidades gaussianas e unidades Lorentz–Heaviside, que podem ser omitidas);
* <math>\chi_\text{m}</math>é a [[susceptibilidade magnética]]

As quantidades <math>\mu</math>em ambas as unidades, Lorentz–Heaviside e Gaussianas, e <math>\mu/\mu_0</math>no SI são adimensionais, e elas possuem o mesmo valor numérico. No entanto, a [[Susceptibilidade elétrica|suscetibilidade elétrica]] <math>\chi_\text{m}</math>não possui unidade em todos os sistemas, porém apresentam ''diferentes valores numéricos'' para o mesmo material:

:: <math>\chi_\text{m}^\text{SI} = \chi_\text{m}^\text{LH} = 4\pi \chi_\text{m}^\text{G}</math>

=== Vetor e potenciais escalares ===
{{main|Magnetic vector potential|Electric potential}}

Os campos elétrico e magnético podem ser escritos em termos de um vetor potencial '''A''' e um potencial escalar <math>\phi</math>:

{| class="wikitable" cellpadding="8"
!Nome
!Unidades Lorentz–Heaviside
!Unidades Gaussianas
!SI
|-
|[[Campo elétrico]]<br />(estática)
|<math>\mathbf{E} = -\nabla\phi</math>
|<math>\mathbf{E} = -\nabla\phi</math>
|<math>\mathbf{E} = -\nabla\phi</math>
|-
|Campos elétrico<br />(geral)
|<math>\mathbf{E} = -\nabla\phi-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
|<math>\mathbf{E} = -\nabla\phi-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
|<math>\mathbf{E} = -\nabla\phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
|-
|[[Campo magnético|Campo B magnético]]
|<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}</math>
|<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}</math>
|<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}</math>
|}

== Regras gerais para traduzir uma fórmula ==

Para converter qualquer fórmula nas unidades Lorentz–Heaviside unidades Gaussianas ou para unidades no SI, substitua cada símbolo na coluna Lorentz–Heaviside pela expressão correspondente na coluna das unidades Gaussianas ou na coluna do SI (vice versa para converter de outra maneira). Isso reproduzirá qualquer fórmula específica dada na lista acima, como as equações de Maxwell.

{| class="wikitable" cellpadding="8"
!Nome
!Unidades Lorentz–Heaviside
!Unidades Gaussianas
!SI
|-
|[[Velocidade da luz]]
|<math> c </math>
|<math> c </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} </math>
|-
|[[Campo elétrico]], [[Potencial elétrico]]
|<math> \left(\mathbf{E}, \varphi\right) </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{4\pi}} \left(\mathbf{E}, \varphi\right) </math>
|<math> \sqrt{\epsilon_0} \left(\mathbf{E}, \varphi\right) </math>
|-
|[[Campo de deslocamento elétrico]]
|<math> \mathbf{D} </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\mathbf{D} </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0}}\mathbf{D} </math>
|-
|[[Carga elétrica|Carga]], [[Densidade de carga]], [[Corrente elétrica|Corrente]],<br />[[Densidade de corrente elétrica|Densidade da corrente]], [[Densidade de polarização]],<br />[[Momento do dipolo elétrico|Momento dipolo elétrico]]
|<math> \left(q, \rho, I, \mathbf{J},\mathbf{P}, \mathbf{p}\right) </math>
|<math> \sqrt{4\pi} \left(q, \rho, I, \mathbf{J},\mathbf{P}, \mathbf{p}\right) </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0}}\left(q, \rho, I, \mathbf{J},\mathbf{P},\mathbf{p}\right) </math>
|-
|[[Campo magnético|Campos B Magnético]], [[Fluxo magnético]],<br />[[Vetor potencial magnético]]
|<math> \left(\mathbf{B}, \Phi_\text{m},\mathbf{A}\right) </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{4\pi}} \left(\mathbf{B}, \Phi_\text{m},\mathbf{A}\right) </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{\mu_0}}\left(\mathbf{B}, \Phi_\text{m},\mathbf{A}\right) </math>
|-
|[[Campo magnético|Campos H magnético]]
|<math> \mathbf{H} </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{4\pi}} \mathbf{H} </math>
|<math> \sqrt{\mu_0}\mathbf{H} </math>
|-
|[[Momento magnético]], [[Magnetização]]
|<math> \left(\mathbf{m}, \mathbf{M}\right) </math>
|<math> \sqrt{4\pi} \left(\mathbf{m}, \mathbf{M}\right) </math>
|<math> \sqrt{\mu_0}\left(\mathbf{m}, \mathbf{M}\right) </math>
|-
|[[Permissividade Relativa]], [[Permeabilidade relativa|Permeabilidade Relativa]]
|<math> \left(\epsilon, \mu\right) </math>
|<math> \left(\epsilon, \mu\right) </math>
|<math> \left(\frac{\epsilon}{\epsilon_0}, \frac{\mu}{\mu_0}\right) </math>
|-
|[[Susceptibilidade elétrica|Suscetibilidade elétrica]], [[Susceptibilidade magnética|Suscetibilidade magnética]]
|<math> \left(\chi_\text{e}, \chi_\text{m}\right) </math>
|<math> 4\pi \left(\chi_\text{e}, \chi_\text{m}\right) </math>
|<math> \left(\chi_\text{e}, \chi_\text{m}\right) </math>
|-
|[[Condutividade elétrica|Condutividade]], [[Condutância elétrica|Condutância]], [[Capacitância]]
|<math> \left(\sigma, S, C\right) </math>
|<math> 4\pi \left(\sigma, S, C\right) </math>
|<math> \frac{1}{\epsilon_0}\left(\sigma,S,C\right) </math>
|-
|[[Resistividade]], [[Resistência elétrica|Resistência]], [[Indutância]]
|<math> \left(\rho,R,L\right) </math>
|<math> \frac{1}{4\pi} \left(\rho,R,L\right) </math>
|<math> \epsilon_0\left(\rho,R,L\right) </math>
|}

== Substituindo CGS com unidades naturais ==

Quando se toma equações padrões no sistema SI pela bibliografia, e estabelece {{math|1=''ε'' = ''μ'' = ''c'' = 1}} para [[unidades naturais]], as equações resultantes seguem a formulação e os tamanhos da Heaviside–Lorentz. A conversão não requer cargas para o fator {{math|4''π''}}, diferente para as equações Gaussianas. As lei da equação do inverso do quadrado de Coulomb no SI é {{math|1='''F''' = ''q''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>/4''πεr''<sup>2</sup>}}. Estabelece {{math|1=''ε'' = 1}} para obter a forma HLU: {{math|1='''F''' = ''q''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>/4''πr''<sup>2</sup>}}. A forma Gaussiana não possui {{math|4''π''}} em seu denominador.

Estabelecendo {{math|1=''c'' = 1}} com HLU, as equações de Maxwell e de Lorentz tornam-se as mesmas para o exemplo no SI com {{math|1=''ε'' = ''μ'' = ''c'' = 1}}.

: <math> \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho \,</math>

: <math> \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \,</math>

: <math> \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{ \partial \mathbf{B}} {\partial t} \,</math>

: <math> \nabla \times \mathbf{B} =  \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t} + \mathbf{J} \,</math>

:: <math>\mathbf{F}_q = q (\mathbf{E} + \mathbf{v}_q \times \mathbf{B}) \,</math>

Porque essas equações podem ser facilmente relacionadas ao trabalho de SI, estilo HLU (i.e. racionalizado) esses sistemas estão se tornando mais usuais.

{{Referências}}

== Ligações externas ==

* [http://mysite.du.edu/~jcalvert/phys/hlu.htm Heaviside–Lorentz units]

{{Systems of measurement}}

{{DEFAULTSORT:Lorentz-Heaviside units}}
[[Categoria:Relatividade especial]]
[[Categoria:Eletromagnetismo]]