Mostrar código-fonte de Valor principal de Cauchy

Em [[Matemática]], o '''valor principal de Cauchy''', denominado a partir de [[Augustin Louis Cauchy]], é um método de atribuir valores a certas [[integral imprópria|integrais impróprias]] indeterminadas. O valor principal de Cauchy assume um papel fundamental no estudo das [[Transformada de Hilbert|Transformadas de Hilbert]].<ref>{{citar livro|título = Singular Integral Equations|edição = |local = |editora = Birkhauser|ano = 2000|página = |isbn = 978-1461271239|autor=Estrada, Ricardo |coautor = Kanwal, Ram}}</ref>

== Nomenclatura ==
O valor principal de Cauchy admite diversas notações diferente na literatura variando conforme autores:

: <math>PV \int f(x)\,\mathrm{d}x,\quad  \int_L^*  f(z)\, \mathrm{d}z,\quad -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm{d}x,</math> <math>P\ ,</math> P.V. <math>, \mathcal{P}\ ,</math> <math>P_v\ ,</math> <math>(CPV).</math>

==Formulação==

O valor principal de Cauchy é definido conforme o tipo de [[singularidade matemática|singularidade]] do integrando ''f'':

* Se ''b'' é uma singularidade isolada no intervalo ''(''a'',c)'', então define-se o valor princiapal de Cauchy em torno de'' b'' como:

::<math>PV\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \left[\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{b+\varepsilon}^c f(x)\,\mathrm{d}x\right]</math>
sempre que este limite existe e é finito mesmo que a integral imprópria associada não existe, isto é, quando o [[limite duplo]]

<math>\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon,\eta \rightarrow 0+} \left[\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{b+\eta}^c f(x)\,\mathrm{d}x\right]</math> não existe.

* Se ''f'' é integrável em cada intervalo finito [''-a,a''], então

::<math>PV\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x</math>
sempre que este limite simétrico existe e é finito, mesmo quando a integral imprópria associada não existe, isto é, quando o limite duplo
::<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm{d}x= \lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^bf(x)\,\mathrm{d}x
</math> não existe.

;ou
* Em termos de integrais de contorno de uma [[função complexa]] ''f''(''z''); ''z''&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;''iy'', com um polo no contorno. Seja ''L''(''ε'') a porção do contorno ''L'' fora do cículo de centro no polo e raio ''ε''. O valor principal de Cauchy é definido como:<ref name="Kanwal">{{citar livro|autor = Ram P. Kanwal |título=Linear Integral Equations: theory and technique |página= 191 |url =http://books.google.com/books?id=-bV9Qn8NpCYC&pg=PA194&lpg=PA194&dq=+%22Poincar%C3%A9-Bertrand+transformation%22#PPA191,M1
|isbn=0-8176-3940-3 |ano=1996 |publicado=Birkhäuser |local=Boston |edição=2nd Edition}}</ref>

::<math>\mathrm{P} \int_{L} f(z) \ \mathrm{d}z = \int_L^*  f(z)\ \mathrm{d}z = \lim_{\varepsilon \to 0 } \int_{L( \varepsilon)} f(z)\ \mathrm{d}z, </math>

:onde as duas notações comuns para o valor principal de Cauchy estão presentes no lado esquerdo desta expressão.

==Exemplos==

Considere o diferente comportamento dos seguintes limites:

:<math>\lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{\mathrm{d}x}{x}+\int_a^1\frac{\mathrm{d}x}{x}\right)=0,</math>

:<math>\lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-2 a}\frac{\mathrm{d}x}{x}+\int_{a}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}\right)=\ln 2.</math>

O primeiro é o valor principal de Cauchy de

:<math>\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}{\  }
</math> que constitui uma integral imprópria mal definida.

Similarmente, temos

:<math>\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}=0,</math>

mas

:<math>\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}=-\ln 4.</math>
O primeiro é o valor principal de Cauchy de
:<math>\int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}{\  }</math> que constitui uma integral imprópria mal definida.

== Teoria das distribuições ==

Seja <math> {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) </math> o espaço das [[função suave de suporte compacto|funções suaves de suporte compacto]] na [[reta real]] <math> \mathbb{R} </math>. Então o [[funcional]]

:<math> \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) \,:\, {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) \to \mathbb{C} </math>

definido via Valor Principal de Cauchy como

:<math> \left[ \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) \right](u) = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\mathbb{R} \setminus [- \varepsilon;\varepsilon]} \frac{u(x)}{x} \, \mathrm{d} x = \int_{0}^{+ \infty} \frac{u(x) - u(- x)}{x} \, \mathrm{d} x \quad \forall u \in {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) </math>

é uma [[Teoria das distribuições|distribuição]].  Esta distribuição é um exemplo de distribuição que não pode ser expressa como uma função real ou [[medida de Radon]]<ref>{{citar web|URL = http://terrytao.wordpress.com/2009/04/19/245c-notes-3-distributions/|título = 245C, Notes 3: Distributions|data = 19 de abril de 2009|acessadoem = 8 de julho de 2014|autor = Terence Tao|publicado = }}</ref> aparece, por exemplo, na [[transformada de Fourier]] distribucional da [[função de Heaviside]].<ref>{{citar livro|título = Outline of Fourier Analysis|sobrenome = Hsu|nome = Hwein|edição = |local = Nova Iorque|editora = Associated Educational Services Corp.|ano = 1967|página = 141|isbn = }}</ref>

Este limite está bem definido não apenas para funções suaves de suporte compacto: basta que  <math> u </math> seja integrável, com suporte compacto e diferenciável na origem.

Esta distribuição é a inversa da função <math> x </math> e é quase a única com esta propriedade, isto é:
:<math> x f = 1 \quad \Rightarrow \quad f = \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) + K \delta, </math>
onde <math> K </math> é uma constante e <math> \delta </math> distribuição [[Função delta de Dirac|delta de Dirac]].

O conceito de valor principal de Cauchy pode ser generalizado para uma classe maior de [[núcleo (transformadas integrais)|núcleo]] [[integral singular|integrais singulares]], no [[espaço euclidiano]] <math> \mathbb{R}^{n} </math>. Se <math> K </math> tem uma singularidade isolada na origem, mas é localmente integrável fora da origem, então a distribuição valor principal é definida nas funções suaves de suporte compacto como
:<math> [\operatorname{p.\!v.} (K)](f) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\mathbb{R}^{n} \setminus B_{\varepsilon(0)}} f(x) K(x) \, \mathrm{d} x. </math>
Este limite pode não estar bem definido e mesmo que esteja bem definido pode não representar uma distribuição  Ele está, no entanto, bem definido se <math> K </math> é uma [[função homogênea]] de grau <math> -n </math> cuja integral sobre qualquer esfera centrada na origem é nula. Este é o caso, por exemplo, das [[transformada de Riesz|transformadas de Riesz]].


{{referências}}

[[Categoria:Cálculo integral]]
[[Categoria:Funções generalizadas]]