Mostrar código-fonte de Wavelet

{{PEPB|Onduleta|ondaleta}}{{Nota de rodapé|O termo "[[wikt:onduleta|onduleta]]" encontra-se utilizado em obra da Universidade do Minho<ref>{{citar web|url=http://repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/1554/1/MJSoares_OnduletasProcSinal_Actas1%25C2%25AACNT.pdf|título=Onduletas e Processamento de Sinal|autor=M. J. Soares, Departamento de Matemática, Universidade do Minho, 4710 Braga, Portugal}}</ref> e o termo "[[wikt:ondaleta|ondaleta]]" foi usado em obra da Universidade de São Paulo.<ref>{{Citar livro|autor=MORETTIN, Pedro A.|ano=1999|título=Ondas e Ondaletas|subtítulo=da Análise de Fourier à Análise de Ondaletas|editora=Editora da Universidade de São Paulo|local=São Paulo}}</ref>}} {{langx|en|''wavelet''|tit=s}} é uma [[função (matemática)|função]] capaz de decompor e descrever ou representar outra função (ou uma série de dados) originalmente descrita no [[domínio do tempo]] (ou outra ou outras várias variáveis independentes, como o espaço), de forma a podermos analisar esta outra função em diferentes [[escala (medidas)|escala]]s de frequência e de [[tempo]]. A decomposição de uma função com o uso de ''wavelets'' é conhecida como "transformada ''wavelet''" e tem suas variantes [[#Transformada de wavelet contínua|contínua]] e [[Transformada discreta de wavelet|discreta]]. Graças à capacidade de decompor as funções tanto no [[domínio da frequência]] quanto no domínio do tempo, as funções ''wavelet'' são ferramentas poderosas de processamento de sinais, muito aplicadas na [[compressão de dados]], eliminação de ruído, separação de componentes no sinal, identificação de singularidades, detecção de auto-semelhança, e muito mais.

A exemplo de outras transformadas, sua definição pode ser expandida de forma a abarcar um maior número de dimensões; por exemplo, para tratamento de imagens, pode-se usar a transformada de ''wavelet'' bidimensional.

== De Fourier até ''wavelets'' ==
Na análise de Fourier podemos extrair apenas informações sobre o domínio da frequência, mas não podemos saber "quando" no tempo acontecem essas frequências que estudamos; enquanto isso, na análise com ''wavelets'' podemos extrair também informações da função no domínio do tempo. A resolução ou detalhamento da análise no domínio da frequência diminui enquanto a resolução no tempo aumenta, sendo impossível aumentar o detalhamento em um dos domínios sem diminuí-lo no outro (em uma [[analogia]] ao [[Princípio da incerteza de Heisenberg]], chama-se esta relação entre os domínios da frequência e do tempo de ''relação de incerteza'' ou simplesmente de ''princípio da incerteza''). Usando a análise de ''wavelets'', é possível escolher a melhor combinação dos detalhamentos para um objetivo estabelecido.

== Características ==
Para ser considerada uma ''wavelet'', uma função tem de atender as seguintes características:
# A área total sob a curva da função é 0, ou seja <math>
\int_{-\infty}^{\infty} \psi (t) dt = 0 \qquad (1a)
</math>
# A energia da função é finita, ou seja <math>
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2 dt \;\;\;< L \qquad L \in \mathbb{N} \qquad (1b)
</math>

[[Imagem:Wavelet - Mex Hat.png|thumb|Uma ''wavelet'' tipo ''chapéu mexicano''.]]
Estas condições são equivalentes a dizer que <math>\psi(t)</math> é quadrado integrável ou que pertence ao conjunto <math>\mathcal{L}^2(\R)</math> das funções quadrado integráveis. As propriedades acima sugerem que <math>\psi(t)</math> tende a oscilar acima e abaixo do eixo <math>t</math>, e que tem sua energia localizada em uma certa região, já que ela é finita (''condição de regularidade'').

Essa característica de energia concentrada em uma região finita é que diferencia a análise usando ''wavelets'' da [[Transformada de Fourier|análise de Fourier]], já que esta última usa as funções de seno e cosseno que são periódicas e infinitas. Uma outra forma de expressar a característica de regularidade é dizer que a transformação de ''wavelet'' é um [[operador local]] no domínio do tempo.

Para ser utilizada na análise de sinais uma função ''wavelet'' precisa também de outra característica que chamamos de ''condição de admissibilidade'', e que permite a existência da "transformada inversa de ''wavelet''". Esta característica será discutida mais abaixo.

[[Imagem:Wavelet - Morlet.png|thumb|Uma ''wavelet'' de Morlet.]]
Alguns exemplos de funções que atendem estas características são a função ''wavelet'' de Morlet (ver figura ao lado):

<math>
\psi(t)=e^{-t^2}cos \left ( \pi t \sqrt{\frac{2}{\ln{2}}} \right ) \approx e^{-t^2} \cos{(2.885 \pi t)} \qquad (2a)
</math>

e a curva conhecida como ''chapéu mexicano'' ({{langx|en|''mexican hat''}}), definida por:

<math>
\psi(t) = (1 - 2t^2)e^{-t^2} \qquad (2b)
</math>

que é a segunda [[derivada]] da função [[Gaussiana]] <math>-0.5e^{-t^2}</math>

== Transformada de ''wavelet'' contínua ==
A transformada de ''wavelet'' decompõe uma função definida no domínio do tempo em outra função, definida no domínio do tempo e no domínio da frequência. Ela é definida como:

<math>
W(a,b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \frac{1}{\sqrt{|a|}}\psi^* \left ( \frac{t-b}{a} \right ) dt. \qquad (3a)
</math>

que é uma função de dois parâmetros reais, ''a'' e ''b''. o símbolo * indica o [[conjugado complexo]]. Se definirmos <math>\psi_{a,b}(t)</math> como:

<math>
\psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{|a|}}\psi^* \left ( \frac{t-b}{a} \right ), \qquad (3b)
</math>

Podemos reescrever a transformada como o produto interno das funções <math>f(t)</math> e <math>\psi_{a,b}(t)</math>:

<math>
W(a,b) = \left \langle f(t), \psi_{a,b}(t) \right \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi_{a,b}^*(t) dt. \qquad (3c)
</math>

A função <math>\psi(t)</math> que equivale a <math>\psi_{1,0}(t)</math> é chamada de "''wavelet'' mãe" ({{langx|en|''mother wavelet''}}) enquanto as outras funções <math>\psi_{a,b}(t)</math> são chamadas de "''wavelets'' filhas". Estas têm a mesma forma geral que a ''wavelet'' mãe.

O parâmetro ''b'' indica que a função <math>\psi(t)</math> foi transladada no eixo ''t'' de uma distância equivalente a ''b'', sendo então um ''parâmetro de translação''. Já o parâmetro ''a'' causa uma mudança de escala, aumentando (se <math>a > 1</math>) ou diminuindo (se <math>a < 1</math>) a ''wavelet'' formada pela função. Por isto o parâmetro ''a'' é conhecido como ''parâmetro de escala'' ({{langx|en|''scaling parameter''}}). As ''wavelets'' filhas constituem, por conseguinte, uma família de curvas com forma idêntica à da ''wavelet'' mãe, deslocadas no tempo e escaladas em amplitude. No domínio do tempo, a transformada de ''wavelet'' é uma medida da [[correlação]] entre o sinal ''f(t)'' e as ''wavelets'' filhas.

O termo <math>\frac{1}{\sqrt{|a|}}</math> é um fator de normalização que garante que a energia de <math>\psi_{a,b}(t)</math> seja independente de ''a'' e de ''b'', tal que:

<math>
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi_{a,b} (t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2 dt \qquad (3d)
</math>
<ref group="nota">Alguns autores empregam o fator de normalização |a|<sup>-1</sup> em lugar de |a|<sup>-½</sup>, de forma a normalizar a amplitude em vez da energia.</ref>

Há um vasto número de diferentes ''wavelets'', cada adequada para diferentes aplicações.

=== ''Wavelets'' discretas ===
''Coiflets''
* ''Cohen-Daubechies-Feauveau wavelet''
* ''Daubechies wavelet''
* ''[[#Haar wavelet|Haar wavelet]]''
* ''Mathieu wavelet''
* ''Legendre wavelet''
* ''Villasenor wavelet''
* ''Symlets''

=== ''Wavelets'' contínuas ===
Reais
* ''Beta wavelet''
* ''Hermitian wavelet''
* ''Hermitian hat wavelet''
* ''[[#Mexican hat wavelet|Mexican hat wavelet]]''
* ''Meyer wavelet''
* ''Shannon wavelet''
* ''[[#Gaussian wavelet|Gaussian wavelet]]''
* ''[[#Cos-gaussian wavelet|Cos-gaussian wavelet]]''
* ''[[#Gabor wavelet|Gabor wavelet]]''
Complexas
* ''Complex Mexican hat wavelet''
* ''[[#Morlet wavelet|Morlet wavelet]]''
* ''Shannon wavelet''

== Transformada inversa de ''wavelet'' ==
Como usamos ''wavelets'' para transformar uma função, precisamos também da transformada inversa, de forma a recompor o sinal no domínio do tempo a partir da sua decomposição. Se chamarmos de <math>\Psi(\omega)</math> a [[transformada de Fourier]] da função <math>\psi(t)</math>:

<math>
\Psi(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(t)e^{-i\omega t}dt = \sqrt{a} \cdot \Psi(a \omega) \cdot e^
{-i \omega t} \qquad \omega = \frac{2 \pi}{a} \qquad(4a)
</math>

e se <math>W(a,b)</math> for a transformada de ''wavelet'' da função <math>f(t)</math> usando a ''wavelet'' <math>\psi(t)</math>, então temos que a transformada inversa é dada por:

<math>
f(t) = \frac{1}{C} \iint\limits_{-\infty -\infty}^{\ \ \ \infty\ \infty} \frac{1}{|a|^2}W(a,b)\psi_{a,b}(t)da \  db, \qquad (4b)
</math>

onde <math>C = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\Psi(\omega)|^2}{|\omega|}dw. \qquad (4c)
</math>

Este parâmetro <math>C</math> necessita ser finito e positivo, o que nos leva a uma nova restrição. Esta restrição sobre o valor de <math>C</math> é a ''condição de admissibilidade'' citada anteriormente.<ref group="nota">Sheng (2000) chama a essa condição ''condição de identidade'', uma vez que ela implica que, ao operar-se a transformação sobre o sinal, mantém-se informação suficiente para que este possa ser reconstituído; e chama ''condição de admissibilidade'' às equações (1a) e (1b).</ref>

== Transformada de ''wavelet'' discreta ==
{{Artigo principal|Transformada discreta de wavelet}}

É derivada da transformada contínua fazendo-se ''a'' e ''b'' variáveis discretas, em lugar de contínuas, através de uma [[Amostragem de sinal|amostragem]]. O usual é tomar

<math>a \;=\; N^j \qquad b \;=\; k M a \qquad j,k \in \mathbb{N}</math>

A ''wavelet'' mãe resultante é uma grade (matriz) de valores ''h[j,k]'' relacionada à ''wavelet'' contínua ''ψ(t)'' pela expressão

<math>h[j,k] \;=\; N^{\frac{-j}{2}} \cdot \psi \left( \frac{t}{N^j} - kM \right)</math>

Quanto mais próximo de 1 o valor de ''N'', mais a versão discreta se aproxima da versão contínua. ''N'' normalmente é feito igual a 2 e ''M'' igual a 1, para agilizar os cálculos em computadores e obter-se um número de coeficientes ''h<sub>i,j</sub>'' não muito grande, e ainda conservando toda a informação original de ''f(t)''.

De forma similar, a transformada discreta é uma matriz de coeficientes ''W<sub>j,k</sub>'' dados por

<math>W[j,k] \;=\; \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^n f[k] \cdot h^*[j,k] \;=\; \langle f,h \rangle \qquad (3e)</math>

onde o asterisco denota o conjugado complexo e ''f[k]'' é a sequência de amostras obtida de ''f(t)''. A distância entre os pontos da grade ''W'' não é uniforme, refletindo a propriedade de auto-escalamento da transformada de ''wavelet'' contínua. Os limites ''n'' e ''m'' são determinados indiretamente pela escolha de ''N'' e ''M''.

A transformação inversa é uma operação mais delicada, uma vez que a amostragem pode levar a perda de informação. Por isso, não se pode simplesmente aplicar a fórmula da inversão, que é uma versão discreta das fórmulas (4b) e (4c)

<math>f(t) \cong f[k] \;=\; \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^n W[j,k] \cdot h[j,k] \;=\; \langle W,h^* \rangle \qquad (4d)</math>

sem verificar se os coeficientes ''W'' foram calculados adequadamente. Por esse motivo, existe outra técnica para a inversão, baseada na [[Análise multi-resolução|análise do sinal em múltiplos níveis de resolução]] por meio de [[#Codificação de sub-bandas|codificação de sub-bandas]] ({{langx|en|''subband coding''}}): a teoria das "[[#Wavelets ortonormais|''wavelets'' ortonormais]]", desenvolvida por [[Stéphane Mallat|Mallat]] e [[Yves Meyer|Meyer]] em 1986.

Em aplicações práticas, como é muito difícil obter uma expressão analítica para a transformada contínua, é a versão discreta, calculada por computador, que é empregada. Um dos motivos da popularidade da transformada de ''wavelet'' discreta é a existência de um [[algoritmo]] que permite calcular os coeficientes com esforço de ordem O(L), onde ''L'' é o tamanho dos dados origiais (ou seja, das amostras de ''f(t)'' e de ''ψ(t)''). Esse algoritmo é chamado de "transformada rápida de ''wavelet''" ({{langx|en|''FWT'', ''Fast Wavelet Transform''}}). Deve-se salientar que ele é ainda mais eficiente do que o muito conhecido algoritmo da [[transformada rápida de Fourier]] (FFT).

=== ''Subband coding'' ===
Seja uma função ''p(t)'' a resposta de um [[filtro passa-baixa]]. A partir dela pode-se gerar uma família de funções ''p<sub>j,k</sub>'' tais que

<math>p_{j,k}(t) \;=\; 2^{\frac{-j}{2}} \cdot p \left( \frac{t}{2^j} - k \right) \qquad (3e)</math>

Se essas funções forem aplicadas ao sinal a ser analisado ''f(t)'' por meio de uma operação de correlação análoga a (3c)

<math>g_{j,k}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot p_{j,k}^*(t) \; dt \qquad (3f)</math>

isso "alisará" o sinal, resultando numa aproximação ''g<sub>j,k</sub>(t)'' para aquela escala definida pelos parâmetros ''j'' e ''k''. Cada filtragem equivale a uma [[Downsampling|sub-amostragem (''downsampling'')]] adicional por um fator igual a 2. A perda de detalhe em cada filtragem é dada pela diferença entre duas funções ''g'' consecutivas:

<math>d_{j,k}(t) = g_{j,k}(t) \;-\; g_{j,k-1}(t) \qquad (3g)</math>

O sinal original pode ser perfeitamente reconstruído a partir da soma das funções ''d<sub>j,k</sub>(t)''. Assim, a representação por meio das funções ''d<sub>j,k</sub>(t)'' não leva a perda de informação e ainda constitui uma representação mais compacta de ''f(t)''. Matematicamente, o que ocorre é que a [[autocorrelação]] do sinal, que é dada exatamente pelo conjunto das funções ''g<sub>j,k</sub>(t)'', constitui uma redundância, que foi eliminada no processo.

A funções ''d<sub>j,k</sub>(t)'' podem ser computadas de outra forma: por meio de uma filtragem obtida pela correlação do sinal filtrado com uma função ''q(t)'' que é a resposta de um [[filtro passa-alta]]

<math>d_{j,k}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} g_{j,k-1}(t) \cdot q_{j,k}^*(t) \; dt  \qquad (3h)</math>

A relação entre duas funções ''q'' sucessivas é a mesma dada por (3f).

O sinal original pode ser perfeitamente reconstruído a partir da soma das funções ''g<sub>1,1</sub>(t)'' e ''d<sub>1,1</sub>(t)''. Além disso, qualquer uma das aproximações ''g<sub>j,k</sub>(t)'' pode ser reconstruída a partir das funções ''g'' e ''d'' posteriores, referentes a ''k'' + 1.

A técnica de ''subband coding'', na prática, não utiliza apenas um par de filtros como descrito acima, e sim um conjunto de filtros passa-faixa, para maior eficiência e precisão.

=== ''Wavelets'' ortonormais ===
''Wavelets'' [[Ortonormalidade|ortonormais]] são obtidas através da decomposição do sinal por meio de duas funções ''ψ'' e ''φ'', a primeira sendo a ''wavelet'' mãe e a segunda, a "''wavelet'' pai" ou "função de escalamento". A ''wavelet'' pai é uma [[função contínua]] e de quadrado integrável, mas não satisfaz a condição (1a); em geral, seu valor médio é normalizado em 1. Usualmente, os valores são reais. ''ψ'' e ''φ'' satisfazem a (3f).

As ''wavelets'' pai e mãe descrevem o banco de filtros passa-faixa a ser empregados na análise por meio de ''subband coding''.

O cálculo das funções ''ψ'' e ''φ'' discretas comporta algumas sutilezas adicionais em relação às versões contínuas representadas nas fórmulas acima. Mais importante, as ''wavelets'' pai e mãe precisam atender à chamada "[[Reconstrução perfeita|condição de reconstrução perfeita]]".

== Propriedades ==
=== Conservação da energia ===
Após a transformação, a energia do sinal se conserva, pois vale a relação

<math>
\iint\limits_{-\infty -\infty}^{\ \ \ \infty\ \infty} \left| \frac{W(a,b)}{a} \right| ^2 \; db \; da \;=\; C \int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} f(t) \right| ^2 \; dt \qquad (5a)
</math>

que equivale ao [[teorema de Parseval]] para a transformada de Fourier.

=== Quase-ortogonalidade ===
Uma vez que as diversas ''wavelets'' possuem escalas diferentes e estão defasadas no tempo, elas não constituem uma [[base ortogonal]]. No entanto, como pode-se sempre reconstruir o sinal original a partir da transformada, diz-se que elas constituem uma "base quase-ortogonal"; essa base contém informação redundante, mas não se perde informação na transformação.

=== Localidade ===
Apesar de qualquer função quer atenda às equações (1a), (1b) e (4c) poder ser empregada como ''wavelet'' mãe, em aplicações práticas em geral se exige a condição adicional

<math>\int_{-\infty}^{\infty} t^p \cdot \psi(t) \; dt \;=\; 0 \qquad p \in \mathbb{N}^* \qquad (5b)</math>

Quanto maior o valor de ''p'', mais localizada é a ''wavelet'' no tempo, e por conseguinte também ''W(a,b)'', que decai no mínimo tão rápido quanto a<sup>p+½</sup> o que é bastante vantajoso. Isso implica a ''wavelet'' ser localizada no domínio da frequência também, não apenas no domínio do tempo. Essa propriedade é também conhecida como "regularidade da ''wavelet''".

=== Transformada de Fourier da ''wavelet'' mãe ===
De acordo com as propriedades da transformada de Fourier, a condição (1a) implica

<math>\Psi(0) \;=\; 0 \qquad (5c)</math>

e a condição (5b) implica

<math>\left. \frac{d ^n}{d \omega ^n} \Psi(\omega) \right|_{\omega = 0} \;=\; 0 \qquad n \;\le\; p \qquad (5d)</math>

Isso significa que, quanto mais localizada no tempo for a ''wavelet'' mãe, mais achatado é o seu espectro em ω = 0.

=== Linearidade ===
<math>\mathcal{W} \{ cf(t) + dg(t) \} \;=\; c \cdot \mathcal{W} \{ f(t) \} \;+\; d \cdot \mathcal{W} \{ g(t) \} \qquad (5e)</math>

=== Deslocamento no tempo ===
<math>\mathcal{W} \{ f(t + c) \} \;=\; W(a,b - c) \qquad (5f)</math>

=== Escalamento no tempo ===
<math>\mathcal{W} \{ f(ct) \} \;=\; \sqrt{\frac{1}{c}} \cdot W(ac,bc) \qquad (5g)</math>

=== Transformada de uma constante ===
<math>\mathcal{W} \{ k \} \;=\; 0 \qquad (5h)</math>

=== Transformada de uma função linear ===
<math>\mathcal{W} \{ t \} \;=\; - i \sqrt{a^3} \cdot \left. \frac{d}{d \omega} \Psi ^* (\omega) \right|_{\omega = 0} \qquad (5i)</math>

onde ''i'' é a [[unidade imaginária]] e ''*'' indica o conjugado complexo. Em geral, devido a (5b), W(a,b) = 0 neste caso.

== Análise ==
A análise de ''wavelet'' é feita pela aplicação sucessiva da transformada de ''wavelet'' com diversos valores para ''a'' e ''b'', representando a decomposição do sinal original em diversos componentes localizados no tempo e na frequência, de acordo com estes parâmetros. Cada ''wavelet'' possui melhor ou pior localização nos domínios da frequência e do tempo, por isso a análise pode ser feita com ''wavelets'' diferentes de acordo com o resultado desejado.

A análise ''wavelet'' traz consigo uma análise em resoluções múltiplas, onde o nível de resolução é dado pelo índice <math>a</math>. Nesta análise em resoluções múltiplas, geramos uma sequência de subespaços encaixantes, onde as funções de base numa escala <math>a_0</math> não "enxergam" detalhes de tamanho menor que <math>2^{-a_0}</math>.

=== Transformação como um filtro ===
A transformada de ''wavelet'' pode ser interpretada como o resultado da passagem do sinal por um banco de [[Filtro passa-faixa|filtros passa-faixa]] de resolução variável. O [[Fator Q|fator de qualidade (ou fator Q)]] desses filtros é dado pela fórmula tradicional

<math>Q \;=\; \frac{\omega_c}{\Delta \omega} \qquad (6a)</math>

onde ω<sub>c</sub> é a [[frequência central]] e Δω é a [[largura de banda]] de cada filtro, que por sua vez é dada por

<math>\Delta \omega \;=\; \sqrt{\frac{\int_{-\infty}^{\infty} \omega^2 \cdot |G(\omega)|^2 \; d \omega}{\int_{-\infty}^{\infty} |G(\omega)|^2 \; d \omega}} \qquad (6b)</math>

onde G(ω) é a [[resposta em frequência]] do filtro. Para a transformada de ''wavelet'',

<math>\omega_c(a) \;=\; \frac{1}{a} \; \omega_c(1) \qquad (6c)</math>

e

<math>\Delta \omega (a) \;=\; \sqrt{\frac{\int_{-\infty}^{\infty} \omega^2 \cdot |\Psi(a \omega)|^2 \; d \omega}{\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(\omega)|^2 \; d \omega}} \;=\; \sqrt{\frac{\int_{-\infty}^{\infty} (a \omega)^2 \cdot |\Psi(a \omega)|^2 \; d (a \omega)}{\int_{-\infty}^{\infty} a ^2 \cdot |\Psi(a \omega)|^2 \; d (a \omega)}} \;=\; \frac{1}{a} \; \Delta \omega (1) \qquad (6d)</math>

ou seja, a frequência central e a largura de banda de cada filtro são inversamente proporcionais a ''a'', o fator de escala. Com isso, o fator de qualidade Q é constante, o que proporciona uma análise com a mesma fidelidade em todas as escalas.

== Aplicações ==
<!-- traduzido parcialmente da Wikipédia em inglês: http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet#Applications -->
Em geral a transformada contínua de ''wavelet'' é usada na análise de sinais, enquanto a sua versão discreta é usada na [[compressão de dados]]. Logo, a transformada discreta é usada em engenharia e [[ciência da computação]], enquanto a transformada contínua é usada na pesquisa científica.

As transformadas de ''wavelet'' são hoje empregadas numa vasta gama de aplicações, substituindo com frequência a tradicional [[transformada de Fourier]] e também a [[transformada de Fourier de curto termo]]. Diversas áreas da [[física]] viram esta mudança de paradigma, incluindo a [[dinâmica molecular]], [[cálculos ab initio]], [[astrofísica]], localização de [[matriz de densidade]], [[geofísica]] sísmica, [[óptica]], [[turbulência]] e [[mecânica quântica]]. Esta mudança também vem ocorrendo no [[processamento de imagem]], análises de [[pressão sanguínea]], [[ritmo cardíaco]] e [[ECG]], análise de [[DNA]] e [[proteínas]], [[climatologia]], [[processamento de sinais]] em geral, [[reconhecimento de voz]], [[computação gráfica]] e [[análise multifractal]]. Na [[visão computacional]] e no [[processamento de imagens]] a noção de escala de espaço e operadores de derivadas Gaussianas são vistos como representações multi-escalares canônicas.

Um uso que vem crescendo é na compressão de dados. Como outras transformadas (a [[transformada discreta de cosseno]] sendo a mais comum), as transformações de ''wavelet'' podem ser usadas para transformar dados e codificar de forma eficiente os dados transformados, resultando em compressão. O padrão [[JPEG 2000]] para [[compressão de imagens]] usa ''wavelets'' biortogonais. Isso quer dizer que o mesmo conjunto de funções pode ser usado tanto na transformada quanto na sua inversa.
<!-- traduzido parcialmente da Wikipédia em inglês (fim) -->

Em análise de sinais, a transformada de ''wavelet'' possui as mesmas aplicações que a transformada de Fourier de curto termo, isto é, a análise de sinais não estacionários, mas elimina a principal desvantagem desta, que é o fato de a janela deslizante apresentar um tamanho fixo. Com isso, uma função que possui um [[suporte (matemática)|suporte]] finito no domínio do tempo, como é o caso dos sinais físicos reais, possui um espectro cujo suporte é infinito no domínio da frequência. Em outras palavras, o sinal é localizado no tempo, mas seu espectro não é. O fato de a janela deslizante da transformada de ''wavelet'' possuir tamanho ajustável ao sinal analisado permite que o espectro de uma função local no tempo seja também local na frequência. Isso se comprova através da equação (4a), que mostra que os coeficientes do espectro decaem exponencialmente com a frequência.

== Lista ==
Abaixo encontram-se uma lista de ''wavelets''.<ref group="nota">Na literatura especializada aparecem versões que diferem das seguintes por fatores normalizadores (constantes) diversos.</ref>

=== ''Gaussian wavelet'' ===
Também chamada de ''derivative-gaussian wavelet'', é muito utilizada, devido à sua elevada [[#Localidade|regularidade]], pois as derivadas de Ψ(ω) até a ordem ''n'' - 1 são nulas.

<math> \psi(t) \;=\; \frac{d ^ n }{d t^n} \; e^{\frac{-t^2}{2}}</math>

=== ''Cos-gaussian wavelet'' ===
Também chamada de ''cosine-gaussian wavelet'', é a parte real da ''[[#Morlet wavelet|Morlet wavelet]]''.

<math> \psi(t) \;=\; \cos(\omega_0 t) \cdot e^{\frac{-t^2}{2}}</math>

=== ''Haar wavelet'' ===
[[Imagem:Haar wavelet.svg|thumb|direita|''Haar wavelet'']]
{{Artigo principal|Transformada de Haar}}

Introduzida por [[Haar]] em 1910, não encontrou muita aplicação na prática por apresentar baixa [[#Localidade|regularidade]].

<math> \psi(t) \;=\; \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1 & 0 < t < \frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2}  < t < 1 \\ 0 & t > 1 \end{cases}</math>

=== ''Mexican hat wavelet'' ===
Introduzida por [[Dennis Gabor]], é a [[#Gaussian wavelet|gaussiana]] com ''n'' = 2.

<math> \psi(t) \;=\; (1 - t^2) \cdot e^{\frac{-t^2}{2}}</math>

=== ''Gabor wavelet'' ===
Derivada da transformada de Fourier de curto termo e empregada por Martinet, Morlet e Grossmann na análise de padrões sonoros.

<math> \psi(t) \;=\; e^{i a \omega_0 t} \cdot e^{\frac{-t^2}{2a^2}}</math>

onde ''i'' é a unidade imaginária. A rigor, não atende ao critério (1a), mas se aproxima o suficiente para valores adequadamente grandes de ω<sub>0</sub>.

=== ''Morlet wavelet'' ===
Derivada da ''[[#Gabor wavelet|Gabor wavelet]]'', é dada por

<math> \psi(t) \;=\; e^{i \omega_0 t} \cdot e^{\frac{-t^2}{2}}</math>

onde ''i'' é a unidade imaginária. Sua parte real é a ''[[#Cos-gaussian wavelet|cos-gaussian wavelet]]''.

== Ver também ==
* [[Transformada de Fourier]]
* [[Transformada de Haar]]
* [[Transformada discreta de wavelet]]

{{Notas e referências}}

== Bibliografia ==
* {{Citar livro|título=ANALISE DE SINAIS PARA ENGENHEIROS|subtítulo=Uma abordagem via Wavelets|autor=de Oliveira, Hélio Magalhães|editora=BRASPORT|edição=1|ano=2007|páginas=268|isbn=9788574522838}}
* {{Citar livro|título=ANALISE DE FOURIER E WAVELETS |subtítulo=sinais estacionários e não estacionários|autor=de Oliveira, Hélio Magalhães|editora=Editora universitária UFPE|edição=1|ano=2007|páginas=342|isbn=978857315417}}
* {{Citar livro|título=ONDAS E ONDALETAS |subtítulo=Da Análise de Fourier à Análise de ondaletas|autor=Morettin, Pedro A.|editora=edUSP|edição=1|ano=1999|páginas=276|isbn=8531405092}}
* {{Citar livro|autor=SALOMON, David|título=Data Compression|subtítulo=The Complete Reference|editora=Springer|local=Nova Iorque|ano=2000|edição=2|língua=en}}
* {{Citar livro|autor=SHENG, Yunlong|título=Wavelet Transform|subtítulo=cap. 10 - in'' Poularikas, A. - ''THE TRANSFORMS AND APPLICATIONS HANDBOOK|editora=CRC Press|local=Boca Raton|ano=2000|edição=2}}

== Ligações externas ==
* [http://www.patternizando.com.br/2013/05/transformadas-discretas-wavelet-e-fourier-em-java/ Biblioteca em Java]{{Ligação inativa|1=data=maio de 2019 }}

[[Categoria:Análise numérica]]
[[Categoria:Processamento de imagem]]
[[Categoria:Palavras, frases e expressões em inglês]]
{{Título em itálico}}