Mostrar código-fonte de Zero de Siegel

{{descrição curta|Contraexemplo potencial para a Hipótese de Riemann Generalizada, sobre zeros de L-funções de Dirichlet reais muito próximos de {{math|''s'' {{=}} 1}}}}
Em [[matemática]], mais especificamente na área de [[teoria analítica dos números]], um '''zero de Landau–Siegel''' ou simplesmente '''zero de Siegel''' (também conhecido como '''zero excepcional'''<ref name="seeiwa">Ver Iwaniec (2006).</ref>), nomeado em homenagem a [[Edmund Landau]] e [[Carl Ludwig Siegel]], é um tipo de [[contraexemplo]] potencial para a [[Hipótese de Riemann#Séries L de Dirichlet e outros corpos numéricos|Hipótese de Riemann generalizada]], sobre zeros de [[Função L de Dirichlet|funções L de Dirichlet]] associadas a [[Corpo quadrático|corpos de números quadráticos]]. Grosso modo, estes são possíveis zeros muito próximos (num sentido quantificável) de {{math|''s'' {{=}} 1}}.

==Motivação e definição==
O modo como zeros de Siegel aparecem na teoria de funções L de Dirichlet é como possíveis exceções para as ''região livre de zeros'' clássicas, que podem ocorrer somente quando a [[função L]] é associada a um [[caráter de Dirichlet]] real.

=== Caráteres de Dirichlet reais primitivos ===
Para um inteiro {{math|''q'' &ge; 1}}, um '''caráter de Dirichlet''' módulo {{math|''q''}} é uma [[função aritmética]] <math display="inline">\chi:\mathbb{Z}\to\mathbb{C}^{*}</math> satisfazendo as seguintes propriedades:
* ([[Função multiplicativa#Definição|Completamente multiplicativa]]) <math display="inline">\chi(mn) = \chi(m)\chi(n)</math> para todo {{math|''m''}}, {{math|''n''}};
* (Periódica) <math display="inline">\chi(n+q) = \chi(n)</math> para todo {{math|''n''}};
* ([[Suporte (matemática)|Suporte]]) <math display="inline">\chi(n) = 0</math> se <math>\mathrm{gcd}(n,q) > 1</math>.
Isto é, {{math|''&chi;''}} é o levantamento de um [[homomorfismo]] <math display="inline">\widetilde{\chi}:(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times} \to \mathbb{C}^{*}</math>.

O caráter '''trivial''' é o caráter módulo 1, e o caráter '''principal''' módulo {{math|''q''}}, denotado <math display="inline">\chi_0~(\mathrm{mod}~q)</math>, é o levantamento do homomorfismo trivial <math display="inline">(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}\ni a \mapsto 1 \in \mathbb{C}^{*}</math>. Um caráter <math display="inline">\chi~(\mathrm{mod}~{q})</math> é chamado de '''imprimitivo''' se existe um inteiro <math display="inline">d\neq q</math> com <math display="inline">d\mid q</math> tal que o homomorfismo induzido <math display="inline">\widetilde{\chi}:(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times} \to \mathbb{C}^{*}</math> fatora-se em
:<math>(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}\twoheadrightarrow (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{\times} \xrightarrow{\widetilde{\chi'}} \mathbb{C}^{*}</math>
para algum caráter <math display="inline">\chi'~(\mathrm{mod}~{d})</math>; caso contrário, <math display="inline">\chi~(\mathrm{mod}~{q})</math> é chamado de '''primitivo'''. Um caráter <math display="inline">\chi</math> é '''real''' (ou '''quadrático''') se este é igual ao seu [[conjugado complexo]] <math>\overline{\chi}</math> (definido como <math>\overline{\chi}(n) := \overline{\chi(n)}</math>), ou equivalentemente <math display="inline">\chi^2 = \chi_0</math>. Os ''caractéres de Dirichlet reais primitivos'' estão em correspondência biunívoca com os [[Símbolo de Kronecker|símbolos de Kronecker]] <math display="inline">(D|\,\cdot\,): \mathbb{Z} \to \{-1,0,1\}</math> para <math display="inline">D\in\mathbb{Z}</math> um [[discriminante fundamental]] (isto é, o [[Discriminante de um corpo de números algébricos|discriminante]] de um [[corpo quadrático]]).<ref>Veja Satz 4, §5 de Zagier (1981).</ref> Uma maneira de definir <math display="inline">(D|\,\cdot\,)</math> é como a função aritmética completamente multiplicativa determinada por (para {{math|''p''}} primo):
:<math>\bigg(\frac{D}{p}\bigg)=\begin{cases}1, &(p)\text{ é decomposto em } \mathbb{Q}(\sqrt{D})\\ -1, &(p)\text{ é inerte } \cdots\\ 0, &(p)\text{ ramifica } \cdots\end{cases}, \quad \bigg(\frac{D}{-1}\bigg) = \text{sinal de }D.</math>
Portanto, é comum escrever <math display="inline">\chi_D := (D|\,\cdot\,)</math>, os quais são caráteres primitivos reais módulo <math display="inline">|D|</math>.

=== Região livre de zeros clássica ===

A '''função L de Dirichlet''' associada ao caráter <math display="inline">\chi~(\mathrm{mod}~q)</math> é definida como a [[continuação analítica]] da [[série de Dirichlet]] <math display="inline">L(s,\chi) = \sum_{n\geq 1} \chi(n) n^{-s}</math> definida para <math display="inline">\mathrm{Re}(s)>1</math>, onde ''s'' á uma [[Análise complexa|variável complexa]]. Para <math>\chi</math> não-principal, esta continuação é [[função inteira|inteira]]; caso contrário esta possui um [[Polo (análise complexa)|polo simples]] de [[Resíduo (análise complexa)|resíduo]] <math display="inline">\prod_{p\mid q}(1-p^{-1})</math> em {{math|''s'' {{=}} 1}} como sua única singularidade. Para <math display="inline">\mathrm{Re}(s)>1</math>, funções L de Dirichlet podem ser expressas como o [[produto de Euler]] <math display="inline">L(s,\chi) = \prod_{p} (1 - \chi(p)p^{-s})^{-1}</math>, donde segue que <math display="inline">L(s,\chi)</math> não possui zeros nesta região. O [[Teorema do número primo#Teorema do número primo para progressões aritméticas|teorema dos números primos para progressões aritméticas]] é equivalente (em certo sentido) a <math display="inline">L(1+it,\chi) \neq 0</math> (<math display="inline">\forall t\in\mathbb{R}</math>). Além disso, pela [[função L de Dirichlet#Equação funcional|equação funcional]], pode-se refletir estas regiões via <math display="inline">s\mapsto 1-s</math> para concluir que, com a exceção de inteiros negativos com mesma paridade que {{math|''&chi;''}},<ref>{{math|''&chi;'' (mod ''q'')}} é ''par'' se {{math|''&chi;''(-1) {{=}} 1}}, e ''ímpar'' se {{math|''&chi;''(-1) {{=}} -1}}.</ref> todos os outros zeros de <math display="inline">L(s,\chi)</math> estão em <math>\{0<\mathrm{Re}(s)<1\}</math>. Esta região é chamada de '''faixa crítica''', e zeros nesta região são chamados de '''zeros não-triviais'''.

O teorema clássico em regiões livres de zeros (Grönwall<ref>{{citar periódico | último=[[Thomas Hakon Grönwall|Grönwall]] | primeiro=T. H. | ano=1913 | periódico=Rendiconti di Palermo | volume=35 | páginas=145–159 | title=Sur les séries de Dirichlet correspondant à des charactères complexes | idioma=fr}}</ref>, Landau<ref name="seeland">{{citar periódico | último=[[Edmund Landau|Landau]] | primeiro=E. | ano=1918 | periódico=Göttinger Nachrichten | páginas=285–295 | título=Über die Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper | idioma=de}}</ref>, Titchmarsh<ref>{{citar periódico | último=[[Edward Charles Titchmarsh|Titchmarsh]] | primeiro=E. C. | ano=1930 | periódico=Rendiconti di Palermo | volume=54 | páginas=414–429 | título=A divisor problem}}</ref>) diz que existe um [[número real]] ([[Resultados efetivos em teoria dos números|efetivamente computável]]) <math display="inline">A>0</math> tal que, escrevendo <math>s=\sigma + it</math> para a variável complexa, a função<math display="inline">L(s,\chi)</math> não possui zeros na região
:<math>\sigma > 1 - \frac{A}{(\log q(|t|+2))}</math>
se <math display="inline">\chi~(\mathrm{mod}~q)</math> é não-real. Se <math display="inline">\chi</math> é real, então existe no máximo um zero nesta região, necessariamente ''real'' e ''simples''. Este possível zero é chamado '''zero de Siegel'''.

A [[Hipótese de Riemann#Séries L de Dirichlet e outros corpos numéricos|Hipótese de Riemann generalizada]] (HRG) afirma que para todo <math display="inline">\chi~(\mathrm{mod}~q)</math>, todos os zeros não-triviais de <math display="inline">L(s,\chi)</math> estão na reta <math display="inline">\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}</math>.

=== Definindo "zeros de Siegel" ===
{{não resolvido|matemática|Existe <math display="inline">\delta >0</math> para o qual <math display="inline">L(\sigma,\chi_D)\neq 0</math> para todo discriminante fundamental {{math|''D''}} se <math display="inline">1-\frac{\delta}{\log|D|} < \sigma < 1 </math>?}}

A definição de zeros de Siegel como apresentada acima depende da constante {{math|''A''}} na região livre de zeros. Isto muitas vezes torna complicado lidar com estes objetos, uma vez que em muitas situações o valor preciso da constante {{math|''A''}} é de pouco interesse.<ref name="seeiwa" /> Assim, é comum trabalhar com enunciados relacionados, tanto afirmando quanto negando, a existência de uma família ''infinito'' de tais zeros, como em:
* '''Conjectura''' ("zeros de Siegel não existem"): ''Se <math display="inline">\beta_D</math>'' denota o maior zero real de <math display="inline">L(s,\chi_D)</math>, então <math>1-\beta_D \gg \frac{1}{\log|D|}</math>.

Tanto a possibilidade de existência quanto a de não-existência de zeros de Siegel têm grande impacto em assuntos relacionados de [[teoria dos números]], a conjectura "zeros de Siegel não existem" servindo como um substituto mais fraco, apesar de poderoso e às vezes completamente suficiente, para HRG (veja abaixo para um exemplo envolvendo o Teorema de Siegel–Tatuzawa e o problema de [[número idôneo|números idôneos]]). Uma formulação equivalente de "zeros de Siegel não existem" que não faz referência explícita a zeros é o enunciado:
:<math>\frac{L'}{L}(1,\chi_D) = O(\log|D|).</math>
A equivalência pode ser derivada por exemplo usando a região livre de zeros junto com estimativas clássicas para o número de zeros não-triviais de <math display="inline">L(s,\chi)</math> até certa altura.<ref>Veja o Capítulo 16 de Davenport (1980).</ref>

== Estimativas de Landau–Siegel ==
O primeiro avanço na questão destes zeros veio de Landau, que mostrou que existe uma constante absoluta {{math|''B'' &gt; 0}} efetivamente computável tal que, se <math display="inline">\chi_D</math> e <math display="inline">\chi_{D'}</math> são caráteres reais primitivos de módulo distinto, e <math display="inline">\beta, \beta'</math> são zeros reais de <math display="inline">L(s,\chi_D), L(s,\chi_{D'})</math> respectivamente, então
:<math>\min\{\beta,\beta'\} < 1- \frac{B}{\log|DD'|}.</math>
Isto está dizendo que, se zeros de Siegel existem, então eles não podem ser muito numerosos. A forma como este resultado foi provado foi via uma argumento de 'torção', que levanta o problema para a [[função zeta de Dedekind]] do corpo biquadrático <math display="inline">\mathbb{Q}(\sqrt{D},\sqrt{D'})</math>. Esta técnica ainda é aplicada bastante em trabalhos modernos.

Este efeito de 'repulsão', após análise mais cuidadosa, levou Landau ao seu teorema de 1936,<ref>{{Cite journal | last=[[Edmund Landau|Landau]] | first=E. | year=1936 | journal=[[Acta Arithmetica]] | pages=1–18 | title=Bemerkungen zum Heilbronnschen Satz | language=de}}</ref> que diz que para todo <math display="inline">\varepsilon > 0</math>, existe <math display="inline">C(\varepsilon)\in\mathbb{R}_{+}</math> tal que, se <math display="inline">\beta</math> é um zero real de <math display="inline">L(s,\chi_D)</math>, então <math display="inline">\beta < 1 - C(\varepsilon)|D|^{-\frac{3}{8} - \varepsilon}</math>. Contudo, no mesmo ano, e no mesmo volume do mesmo periódico, Siegel<ref>{{Cite journal | last=Siegel | first=C. L. | year=1935 | journal=[[Acta Arithmetica]] | volume=1 | issue=1 | pages=83–86 | title=Über die Klassenzahl quadratischer Zahlkörper | doi=10.4064/aa-1-1-83-86 | language=de | url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav1i1p83bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-aa-1935-1-1;6 | trans-title=On the class numbers of quadratic fields}}</ref> melhorou diretamente esta estimativa para
:<math>\beta < 1 - C(\varepsilon)|D|^{-\varepsilon}.</math>
Tanto a demonstração de Landau quanto a de Siegel não fornecem algoritmos para calcular <math display="inline">C(\varepsilon)\in\mathbb{R}_{+}</math> explicitamente, tornando-as uma instância de um [[Resultados efetivos em teoria dos números|resultado não-efetivo]].

=== Teorema de Siegel–Tatuzawa ===
Em 1951, [[Tikao Tatsuzawa|T. Tatuzawa]] demonstrou uma versão 'quase' efetiva do teorema de Siegel,<ref>{{Cite journal | last=Tatuzawa | first=T. | year=1951 | journal=Japanese Journal of Mathematics | volume=21 | pages=163–178 | title=On a theorem of Siegel}}</ref> mostrando que para qualquer <math display="inline">0 < \varepsilon < \frac{1}{11.2}</math> fixo, se <math display="inline">|D| > e^{1/\varepsilon}</math> então
:<math>L(1,\chi_D) > 0.655|D|^{-\varepsilon}, </math>
''com a possível exceção de no máximo um discriminante fundamental.'' Usando a 'quase efetividade' deste resultado, [[Peter J. Weinberger|P. J. Weinberger]] (1973)<ref>{{Cite journal | last=Weinberger | first=P. J. | year=1973 | journal=Acta Arithmetica | volume=22 | pages=117–124 | title=Exponents of the class group of complex quadratic fields}}</ref> mostrou que a lista de Euler de 65 [[número idôneo|números idôneos]] está completa com a possível exceção de no máximo um elemento.

== Relação com corpos quadráticos ==
Zeros de Siegel são mais que um problema artificial devido à natureza do argumento para deduzir regiões livres de zeros, e de fato possuem conexões profundas com a aritmética de corpos quadráticos. Por exemplo, a identidade<math display="inline">\zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{D})}(s) = \zeta(s) L(s,\chi_D)</math> pode ser interpretada como uma formulação analítica da [[lei da reciprocidade quadrática]]. A conexão per se entre a distribuição de zeros próximos de {{math|''s'' {{=}} 1}} e aritmética vem mais precisamente da [[Fórmula de classe numérica|Fórmula do número de classes de Dirichlet]]:
:<math> L(1,\chi_D) =
\begin{cases} \dfrac{2 \pi}{w_D \sqrt{|D|}}  \, h(D), &\text{se } D < 0 \\[.5em]
\dfrac{\log\varepsilon_D}{\sqrt{D}}\, h(D), &\text{se } D > 0,
\end{cases}</math>
onde:
* <math display="inline">h(D)</math> é o [[Grupo de classes do ideal|número de classes de ideais]] de <math display="inline">\mathbb{Q}(\sqrt{D})</math>;
* <math display="inline">w_D</math> é número de [[Raiz da unidade|raízes da unidade]] em <math display="inline">\mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> ({{math|''D'' &lt; 0}});
* <math display="inline">\varepsilon_D</math> é a [[Unidade fundamental (teoria dos números)|unidade fundamental]] de <math display="inline">\mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> ({{math|''D'' &gt; 0}}).
Desta forma, [[Limitantes superiores e inferiores|estimativas]] para o maior zero real de <math display="inline">L(s,\chi_D)</math> pode ser traduzido em estimativas para <math display="inline">L(1,\chi_D)</math> (via, por exemplo, o fato de que <math display="inline">|L'(\sigma,\chi)| = O(\log^2 q)</math> para <math display="inline">1-\frac{1}{\log q} \leq \sigma \leq 1</math>),<ref>Veja (11) no Capítulo 14 de Davenport (1980).</ref> que por sua vez se tornam estimativas para <math display="inline">h(D)</math>. Trabalhos clássicos na área tratam estas três quantidades de forma essencialmente intercambiável, apesar de o caso {{math|''D'' &gt; 0}} trazer complicações adicionais relacionadas à unidade fundamental.

=== Zeros de Siegel como 'fenômenos quadráticos' ===
Há um sentido no qual a dificuldade associada ao fenômeno de zeros de Siegel em geral é inteiramente restrita a extensões quadráticas. É uma consequência do [[Teorema de Kronecker-Weber|Teorema de Kronecker–Weber]], por exemplo, que a [[função zeta de Dedekind]] <math display="inline">\zeta_{K}(s) = \sum_{I\subseteq \mathfrak{O}_K} [\mathfrak{O}_K: I]^{-s}</math> de um [[Extensão abeliana|corpo de números abeliano]] <math display="inline">K/\mathbb{Q}</math> pode ser escrita como um produto de funções L de Dirichlet.<ref>Teorema 10.5.25 em {{Cite book|last=Cohen|first=H.|author-link=Henri Cohen|url=https://www.springer.com/gp/book/9780387498935|title=Number Theory: Volume II: Analytic and  Modern Tools|date=2007|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-49893-5|series=Graduate Texts in Mathematics, Number Theory|location=New York|language=en}}.</ref> Sendo assim, se <math display="inline">\zeta_{K}(s)</math> possui um zero de Siegel, então existe um subcorpo <math display="inline">F\subseteq K</math> com <math display="inline">[F:\mathbb{Q}] = 2</math> tal que <math display="inline">\zeta_{F}(s)</math> possui um zero de Siegel.

Enquanto para o caso não-abeliano <math display="inline">\zeta_{K}(s)</math> pode em geral ser fatorado apenas em termos de [[Função L de Artin|funções L de Artin]], o mesmo resultado vale:

* '''Teorema''' ([[Harold Stark|Stark]], 1974)'''.'''<ref>Lema 8 em {{Cite journal|last=Stark|first=H. M.|date=1974-06-01|title=Some effective cases of the Brauer-Siegel Theorem|url=https://doi.org/10.1007/BF01405166|journal=Inventiones mathematicae|language=en|volume=23|issue=2|pages=135–152|doi=10.1007/BF01405166|issn=1432-1297}}</ref> Seja <math display="inline">K/\mathbb{Q}</math> um corpo de números de grau {{math|''n'' &gt; 1}}. Existe uma constante <math display="inline">c(n)</math> (<math display="inline">= 4</math> se <math display="inline">K/\mathbb{Q}</math> é normal, <math display="inline">= 4n!</math> caso contrário) tal que, se existe um <math display="inline">\beta</math> real no intervalo
:<math display>1 - \frac{c(n)}{\log|\Delta_K|} \leq \beta < 1</math>
:com <math display="inline">\zeta_K(\beta) = 0</math>, então existe um subcorpo quadrático <math display="inline">F\subseteq K</math> tal que <math display="inline">\zeta_{F}(\beta)=0</math>. Aqui, <math display="inline">\Delta_K</math> denota o [[Discriminante de um corpo de números algébricos|discriminante]] da extensão <math display="inline">K/\mathbb{Q}</math>.

== "Zeros de Siegel não existem" para ''D'' < 0 ==
Quando lidando com corpos quadráticos, o caso <math display="inline">D>0</math> tende a ser mais complicado devido ao comportamento da unidade fundamental. Dessa forma, é comum tratar os casos <math display="inline">D<0</math> e <math display="inline">D>0</math> separadamente. Muito mais é conhecido para o caso de discriminantes negativos:

=== Cotas inferiores para ''h''(''D'') ===
Em 1918, [[Erich Hecke|Hecke]] mostrou que "zeros de Siegel não existem" para <math display="inline">D<0</math> implica que <math display="inline">h(D) \gg \sqrt{|D|}(\log|D|)^{-1}</math><ref name="seeland"/> (cf. [[Problema do número de classe]]). Isto pode ser estendido para uma equivalência, como é uma consequência do Teorema 3 em [[Andrew Granville|Granville]]–[[Harold Stark|Stark]] (2000):<ref name="seegrst">{{Cite journal|last=Granville|first=A.|last2=Stark|first2=H.M.|date=2000-03-01|title=ABC implies no “Siegel zeros” for L-functions of characters with negative discriminant|url=https://doi.org/10.1007/s002229900036|journal=Inventiones mathematicae|language=en|volume=139|issue=3|pages=509–523|doi=10.1007/s002229900036|issn=1432-1297}}</ref>
:<math>\text{``zeros de Siegel não existem'' para } D<0 \quad\iff\quad h(D) \gg \frac{\sqrt{|D|}}{\log|D|}\sum_{(a,b,c)} \frac{1}{a}, </math>
onde a soma percorre [[Forma quadrática|formas quadráticas binárias]] reduzidas<ref>Uma forma quadrática {{math|''ax''{{sup|2}} + ''bxy'' + ''cy''{{sup|2}}}} é dita ''reduzida'' se: ''(1)'' {{math|&minus;''a'' &lt; ''b'' &le; ''a'' &lt; c}} '''ou''' ''(2)'' {{math|0 &le; ''b'' &le; ''a'' {{=}} c}}.</ref> <math display="inline">ax^2 + bxy + cy^2</math> de discriminante <math display="inline">b^2 - 4ac = D</math>. Usando isso, Granville e Stark mostraram que uma certa versão uniforme da [[conjectura abc]] para corpos de números implica "zeros de Siegel não existem" para discriminantes negativos.

Em 1976, [[Dorian Goldfeld|D. Goldfeld]]<ref>{{Cite journal|last=Goldfeld|first=Dorian M.|date=1976|title=The class number of quadratic fields and the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer|url=http://www.numdam.org/item/?id=ASNSP_1976_4_3_4_623_0|journal=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze|language=fr|volume=3|issue=4|pages=623–663}}</ref> demonstrou a seguinte cota inferior para <math display="inline">h(D)</math>, incondicional e efetiva:
:<math>h(D) \gg \prod_{p\mid D} \bigg(1-\frac{2\sqrt{p}}{p+1}\bigg)\, \log|D|. </math>

=== Multiplicação complexa ===
Outra equivalência para "zeros de Siegel não existem" para <math display="inline">D<0</math> pode ser dada em termos de cotas superiores para [[Função de altura|alturas]] de [[Multiplicação complexa|módulos singulares]]:
:<math>h(j(\tau_D)) \ll \log|D|, </math>
onde:
* <math display="inline">h</math> é a [[Função de altura|altura logarítmica ingênua]] para corpos de números;
* <math display="inline">j</math> é a função [[J-invariante|j-invariante]];
* <math display="inline">\tau_D := (D+\sqrt{D})/2</math>.
O número <math display="inline">j(\tau_D)</math> gera o ''corpo de classe de Hilbert'' de <math display="inline">\mathbb{Q}(\sqrt{D})</math>, que é definido como a sua [[extensão abeliana]] não-ramificada maximal.<ref>Teorema II.4.1 em {{Citation | last=Silverman | first=Joseph H. | author-link=Joseph H. Silverman | title=Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves | year=1994 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York | isbn=978-0-387-94325-1 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=151}}.</ref> Esta equivalência é uma consequência direta dos resultados em Granville–Stark (2000),<ref name="seegrst"/> e pode ser vista em C. Táfula (2019)<ref>{{cite arxiv|author=Táfula, C.|title=On Landau-Siegel zeros and heights of singular moduli|year=2019|class=math.NT|eprint=1911.07215}}</ref>. 

Uma relação precisa entre alturas e valores de funções L foi obtida por [[Pierre Colmez|P. Colmez]] (1993<ref>{{Cite journal|last=Colmez|first=Pierre|date=1993|title=Periodes des Varietes Abeliennes a Multiplication Complexe|url=https://www.jstor.org/stable/2946559|journal=Annals of Mathematics|volume=138|issue=3|pages=625–683|doi=10.2307/2946559|issn=0003-486X}}</ref>, 1998<ref>{{Cite journal|last=Colmez|first=Pierre|date=1998-05-01|title=Sur la hauteur de Faltings des variétés abéliennes à multiplication complexe|url=https://doi.org/10.1023/A:1000390105495|journal=Compositio Mathematica|language=en|volume=111|issue=3|pages=359–369|doi=10.1023/A:1000390105495|issn=1570-5846}}</ref>), que demonstrou que, para uma [[curva elíptica]] <math display="inline">E_D/\mathbb{C}</math> com [[multiplicação complexa]] por <math display="inline">\mathbb{Z}[\tau_D]</math>, tem-se
:<math> -2 h_{\mathrm{Fal}}(E_D) - \frac{1}{2} \log|D| = \frac{L'}{L}(0,\chi_D) + \log 2\pi, </math>
onde <math display="inline">h_{\mathrm{Fal}}</math> denota a [[Função de altura|altura de Faltings]].<ref>Veja o diagrama na subseção 0.6 de Colmez (1993). Há uma pequeno erro de digitação no canto superior direito deste diagrama, que deveria ler "<math display="inline">-2 h_{\mathrm{Fal}}(X) - \frac{1}{2}\log D</math>".</ref> Via as relações padrões <math display="inline">h_{\mathrm{Fal}}(E_D) = \frac{1}{12}h(j(\tau_D)) + O(\log h(j(\tau_D)))</math><ref>Proposição 2.1, Capítulo X de {{Cite book|url=https://www.springer.com/gp/book/9780387963112|title=Arithmetic Geometry|date=1986|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-96311-2|editor-last=Cornell|editor-first=G.|location=New York|language=en|editor-last2=Silverman|editor-first2=J. H.}}</ref> e <math display="inline">\frac{L'}{L}(1,\chi_D) = -\frac{L'}{L}(0,\chi_D) - \log|D| + \log 2\pi + \gamma</math>,<ref>Consequência da [[Função L de Dirichlet#Equação funcional|equação funcional]], onde {{math|&gamma; {{=}} 0.57721...}} é a [[constante de Euler–Mascheroni]].</ref> o teorema de Colmez também fornece uma demonstração para a equivalência acima.

== Consequências da existência de zeros de Siegel ==
Apesar de que espera-se que a [[Hipótese de Riemann#Séries L de Dirichlet e outros corpos numéricos|Hipótese de Riemann generalizada]] seja verdadeira, enquanto a conjecture "zeros de Siegel não existem" continua aberta é interessante estudar quais são as consequências de tais contraexemplos severos à hipótese. Outra razão para estudar esta possibilidade é o fato de que a demonstração de certos teoremas incondicionais requerem a divisão em dois casos: primeiro um argumento assumindo zeros de Siegel não existem, e então outro assumindo que zeros de Siegel existem. O exemplo mais famoso de um teorema deste tipo é o [[Teorema de Linnik]] sobre o menor [[número primo]] numa [[progressão aritmética]].

Listamos alguns exemplos de fatos que seguem da existência de zeros de Siegel.

=== Infinitude de primos gêmeos ===
{{main|Primos gêmeos}}

Um dos resultados mais impressionantes nesta direção é o teorema de 1983 de [[Roger Heath-Brown|Heath-Brown]]<ref>{{Cite journal|last=Heath-Brown|first=D. R.|date=1983-09-01|title=Prime Twins and Siegel Zeros|url=https://academic.oup.com/plms/article/s3-47/2/193/1524169|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|language=en|volume=s3-47|issue=2|pages=193–224|doi=10.1112/plms/s3-47.2.193|issn=0024-6115}}</ref> que, seguindo [[Terence Tao|Tao]],<ref>{{Cite web|date=2015-08-27|title=Heath-Brown’s theorem on prime twins and Siegel zeroes|url=https://terrytao.wordpress.com/2015/08/26/heath-browns-theorem-on-prime-twins-and-siegel-zeroes/|access-date=2021-03-13|website=What's new|language=en}}</ref> pode ser enunciado como a seguir:
* '''Teorema''' (Heath-Brown, 1983)'''.''' Pelo menos uma das seguintes afirmações é verdadeira: ''(1)'' Zeros de Siegel não existem. (''2)'' Existem infinitos [[primos gêmeos]].

=== Problema da paridade ===

O ''problema da paridade'' em [[teoria dos crivos]] se refere, grosso modo, ao fato de que argumentos de crivos tendem em geral a serem incapazes de distinguir entre inteiros com um número par de divisores primos de inteiros com um número ímpar de divisores primos. Isto causa muitas cotas superiores em estimativas de crivos, como a do [[Crivo linear|crivo linear]]<ref>Veja o Capítulo 9 de {{Cite book|last=Nathanson|first=Melvyn B.|url=https://www.springer.com/gp/book/9780387946566|title=Additive Number Theory The Classical Bases|date=1996|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-94656-6|series=Graduate Texts in Mathematics|location=New York|language=en}}</ref> serem o dobro do esperado. Em 2020, [[Andrew Granville|Granville]]<ref>{{cite arxiv|author=Granville, A.|title=Sieving intervals and Siegel zeros|year=2020|class=math.NT|eprint=2010.01211}}</ref> mostrou que assumindo a existência de zeros de Siegel é possível demonstrar que as cotas superiores geral para o problema de crivar intervalos são ótimas, o que significa que, se zeros de Siegel existem, então o fator extra de 2 vindo do fenômeno da paridade não seria puramente uma limitação do método.

==Ver também==
* [[Hipótese de Riemann]]

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* {{Cite journal|last=Davenport|first=H.|author-link= Harold Davenport|date=1980|title=Multiplicative Number Theory|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-5927-3|journal=Graduate Texts in Mathematics|language=en-gb|doi=10.1007/978-1-4757-5927-3|issn=0072-5285}}
* {{Citation|last=Iwaniec|first=H.|author-link=Henryk Iwaniec|title=Conversations on the Exceptional Character|date=2006|url=https://doi.org/10.1007/978-3-540-36364-4_3|work=Analytic Number Theory: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, Italy, July 11–18, 2002|pages=97–132|editor-last=Friedlander|editor-first=J. B.|series=Lecture Notes in Mathematics|place=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/978-3-540-36364-4_3|isbn=978-3-540-36364-4|editor2-last=Heath-Brown|editor2-first=D. R.|editor3-last=Iwaniec|editor3-first=H.|editor4-last=Kaczorowski|editor4-first=J.}}
* {{Cite book|last=Montgomery|first=H. L.|author-link1=Hugh Lowell Montgomery|url=https://www.cambridge.org/core/books/multiplicative-number-theory-i/4E45519B26115AEEA4839C6C38206ACD|title=Multiplicative Number Theory I: Classical Theory|last2= Vaughan|first2=R. C.|author-link2= Bob Vaughan|date=2006|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-84903-6|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|location=Cambridge}}
* {{Cite book|last=Zagier|first=D. B.|author-link=Don Zagier|url=https://www.springer.com/de/book/9783540106036|title=Zetafunktionen und quadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie|date=1981|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-10603-6|series=Hochschultext|location=Berlin Heidelberg|language=de}}

{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Zero Siegel}}
[[Categoria:Funções Zeta e L]]
[[Categoria:Teoria analítica dos números]]