Relação (matemática)

Em matemática, uma relação é uma correspondência (ou associação) entre elementos de dois conjuntos não vazios. Mais especificamente, seja $R$ uma relação definida do conjunto $A$ com o $B$. O conjunto $A$ é denominado conjunto de partida e o conjunto $B$ é denominado conjunto de chegada. A correspondência (ou relação) entre um dado elemento $a\in A$ com um elemento $b\in B$, quando definida, é denotada pelo par ordenado $(a,b)$, onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida $A$ e o segundo do conjunto de chegada $B$.

Os conjuntos de partida e de chegada não tem necessariamente que ter uma estrutura. Entretanto, segundo o tipo de estrutura que é sobreposta a esses conjuntos e o tipo de restrição que se impõe à própria relação, tem-se tipos especiais de relações, cada qual com um nome específico.

Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções.

Fundamentos

Matematicamente, uma relação é qualquer subconjunto de um produto cartesiano. Em termos mais explícitos, definimos uma relação $R$ como sendo um conjunto de pares ordenados $(a,b)$ tais que $a$ pertença ao conjunto $A$ e que $b$ pertença ao conjunto $B$, i.e.:

$R\subseteq A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\wedge b\in B\}$

Note-se que o próprio conjunto cartesiano é uma relação, dado que todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo. Até o conjunto vazio pode ser considerado uma relação, mas deve-se tomar alguns cuidados em definições e teoremas para se evitarem paradoxos e contradições.

Relações entre elementos do mesmo conjunto

Um tipo importante são as relações em que $A=B$, ou, em outras palavras, subconjuntos de $A\times A$. Os tipos de propriedades que essas relações podem ter são:

• Reflexiva:

$(a,a)\in R\mathrm{\forall }a\in A$

• Simétrica:

$(a,b)\in R\to (b,a)\in R$

• Antissimétrica:

$(a,b)\in R\wedge (b,a)\in R\to (a,b)=(b,a)$

• Transitiva:

$(a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\to (a,c)\in R$

Relações de equivalência

Predefinição:AP É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

Relações de ordem

Predefinição:AP É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Relação Composta

Seja $R$ uma relação de $A$ para $B$ e $S$ uma relação de $B$ para $C$. Então podemos definir a relação composta de $S$ com $R$ dos conjuntos $A$ com $C$, usualmente denotada por $S\circ R$. Ou seja, define-se:

$S\circ R:=\{(x,z)\in A\times C\mid \mathrm{\exists }y\in B,(x,y)\in R\wedge (y,z)\in S\}$

Um cuidado deve ser tomado com essa notação, que é consistente com a notação de função composta, porque S e R parecem estar invertidas.

Relação Inversa

Analogamente ao conceito de função inversa, podemos definir a relação inversa da relação $R\subset A\times B$:

$R^{-1}=\{(y,x)\in B\times A\mid (x,y)\in R\}$

Note-se que nem sempre:

$R\circ R^{-1}=I{d}_B$.

Ver também

• Álgebra relacional

• Diagrama entidade relacionamento
• Função matemática
• Modelo relacional
• Relação binária
• Relação de equivalência
• Teoria da ordem

Bibliografia

• Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics, John Meldrum, trans. Springer-Verlag.
• Halmos, P.R. (1960) Naive Set Theory. Princeton NJ: D. Van Nostrand Company.
• Lawvere, F.W., and R. Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics, Cambridge Univ. Press.
• Suppes, Patrick (1960/1972) Axiomatic Set Theory. Dover Publications.
• Tarski, A. (1956/1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger, trans. 1st edition, Oxford University Press. 2nd edition, J. Corcoran, ed. Indianapolis IN: Hackett Publishing.
• Ulam, S.M. (1990) Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Los Alamos Collaborators in A.R. Bednarek and Françoise Ulam, eds., University of California Press.