Princípio de Fermat

Dos três feixes de luz que emergem do ponto roxo apenas os que chegarem ao caminho óptico extremo(máximo ou mínimo) serão caminhos reais de luz.

O Princípio de Fermat, em ótica é um princípio do tipo extremo e estabelece que: Predefinição:Cita

Este enunciado não é completo e não cobre todos os casos, mas existe uma forma moderna do Princípio de Fermat que diz: Predefinição:Cita Isso que dizer que, se expressarmos o trajeto percorrido pela luz entre dois pontos $0_1$ e $0_2$ por meio de uma função chamada caminho ótico definida como ${ℒ}_{O_1{O}_2}[n(\overrightarrow{r})]$ a trajetória real da luz seguirá um caminho extremo a respeito desta função:

$\delta {ℒ}_{O_1{O}_2}[n(\overrightarrow{r})]=\delta \underset{O_1}{\overset{O_2}{\int }}n(\overrightarrow{r})ds=0.$

A característica importante como diz o enunciado, é que as trajetos próximos ao "verdadeiro" requerem tempos aproximadamente iguais. Desta forma, o Princípio de Fermat lembra o Princípio de Hamilton e as Equações de Euler-Lagrange.

Vejamos alguns exemplos da aplicação do princípio para deduzir as leis da Ótica Geométrica.

Equação da trajetória de um raio luminoso

A equação da trajetória de um raio luminoso real em um sistema ótico é:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n(\overrightarrow{r})-\frac{d}{ds}[n(\overrightarrow{r})\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}]=0$

e se deduz a partir do Princípio de Fermat.

Aplicando o princípio de Fermat, toda variação sobre uma trajetória de um raio luminoso real deve ser nula. Portanto;

$\delta {ℒ}_{O_1{O}_2}[n(\overrightarrow{r})]=\delta \underset{O_1}{\overset{O_2}{\int }}n(\overrightarrow{r})ds=\underset{O_1}{\overset{O_2}{\int }}\delta (n(\overrightarrow{r}))ds+\underset{O_1}{\overset{O_2}{\int }}n(\overrightarrow{r})\delta (ds)=$

=$\underset{O_1}{\overset{O_2}{\int }}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n(\overrightarrow{r})\cdot \delta \overrightarrow{r}ds+\underset{O_1}{\overset{O_2}{\int }}n(\overrightarrow{r})\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}\cdot \frac{d(\delta \overrightarrow{r})}{ds}ds=\underset{O_1}{\overset{O_2}{\int }}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n(\overrightarrow{r})\cdot \delta \overrightarrow{r}ds+{[n(\overrightarrow{r})\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}\cdot \delta \overrightarrow{r}]}_{O_1}^{O_2}-\underset{O_1}{\overset{O_2}{\int }}\frac{d}{ds}[n(\overrightarrow{r})\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}]\cdot \delta \overrightarrow{r}ds=0.$

Quando a variação sobre os extremos não existe resta que:

$\underset{O_1}{\overset{O_2}{\int }}[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n(\overrightarrow{r})-\frac{d}{ds}(n(\overrightarrow{r})\frac{d\overrightarrow{r}}{ds})]\cdot \delta \overrightarrow{r}ds=0\mathrm{\forall }\delta \overrightarrow{r}$

portanto o integrando deve se anular e resta a equação da trajetória.

A interpretação da equação é importante. A trajetória permanece no plano e ele que varia o índice de refração $n(\overrightarrow{r})$. Isso pode ser observado escrevendo a equação em termos dos vetores unitários ${\hat{u}}_t$ e ${\hat{u}}_n$:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n(\overrightarrow{r})=\frac{d}{ds}[n(\overrightarrow{r})\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}]=\frac{dn(\overrightarrow{r})}{ds}\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}+n(\overrightarrow{r})\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{s}^2}=\frac{dn(\overrightarrow{r})}{ds}{\hat{u}}_t+\frac{n(\overrightarrow{r})}{\rho (\overrightarrow{r})}{\hat{u}}_n$

sendo $\rho$ o raio da circunferência osculatriz no ponto $\overrightarrow{r}$ à trajetória.

Lei da reflexão

Predefinição:AP Se supormos que um raio de luz sai do ponto A em direção a uma superfície plana, que suponhamos seja refletora, e viaja até um ponto B. Qual será a trajetória seguida pela luz? Neste caso a luz viaja durante todo o caminho pelo mesmo meio, com o mesmo índice de refração e, portanto, com a mesma velocidade. Assim, o tempo necessário para percorrer o caminho entre A e B (passando pela superfície P) será a distância APB dividida pela velocidade da luz no meio. Como a velocidade é uma constante, a trajetória real, que segue o Princípio de Fermat, será a mais curta.

Lei da refração

O raio de luz se propaga de A a B passando por P, que é um ponto móvel sobre o eixo das abcissas.

Com o Princípio de Fermat se pode deduzir a Lei de Snell, que afirma que o produto do índice de refração do primeiro meio de propagação com o seno do ângulo de incidência é equivalente ao produto do índice de propagação do segundo meio com o seno do ângulo refratado.

$n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2$

Ao apresentar o fenômeno analiticamente, em um plano cartesiano:

Seja um meio de propagação com índice de refração $n_1$ e um segundo meio de propagação com índice de refração $n_2$ tais que situamos a superfície que separa os dois meios de modo que coincida com o eixo das abcissas.

Sejam $A=(x_A,y_A)$ e $B=(x_B,y_B)$ dois pontos fixos situados do plano, de modo que A está situado no primeiro meio, e B no segundo meio.

Seja um raio de luz que se propaga de A a B atravessando a superfície que separa os dois meios no ponto $P=(x,0)$.

O seguinte passo é deduzir o tempo que demora o raio para percorrer $\overline{AP}$ e $\overline{PB}$.

Sejam $v_1$ e $v_2$ as velocidades de propagação da luz no primeiro e segundo meio respectivamente.

$t_1=\frac{\overline{AP}}{v_1}=\frac{\sqrt{(x_A-x{)}^2+{y_A}^2}}{v_1}$; $t_2=\frac{\overline{PB}}{v_2}=\frac{\sqrt{(x-x_B{)}^2+{y_B}^2}}{v_2}$

$t=\frac{\sqrt{(x_A-x{)}^2+{y_A}^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(x-x_B{)}^2+{y_B}^2}}{v_2}$

Se buscarmos o valor de $x$ quando $t$ é mínimo, é equivalente ao encontramos o valor de $x$ para o qual a função derivada de $t$ assume valor 0.

$\frac{dt}{dx}=-\frac{x_A-x}{v_1\sqrt{(x_A-x{)}^2+{y_A}^2}}+\frac{x-x_B}{v_2\sqrt{(x-x_B{)}^2+{y_B}^2}}=0$

$\frac{x_A-x}{v_1\sqrt{(x_A-x{)}^2+{y_A}^2}}=\frac{x_B-x}{v_2\sqrt{(x-x_B{)}^2+{y_B}^2}}$

$\frac{x_A-x}{v_1\overline{AP}}=\frac{x_B-x}{v_2\overline{PB}}$

$\frac{1}{v_1}\sin {\alpha }_1=\frac{1}{v_2}\sin {\alpha }_2$

$\frac{c}{v_1}\sin {\alpha }_1=\frac{c}{v_2}\sin {\alpha }_2$

$n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2$