Complexo de cadeias

Em topologia algébrica e em álgebra homológica, um complexo de cadeias é uma sequência de grupos abelianos e homomorfismos. Um complexo de cocadeias é semelhante a um complexo de cadeias, exceto que seus homomorfismos seguem uma convenção diferente. A homologia de um complexo de cocadeias é chamada de cohomologia.

Definições

Um complexo de cadeia é uma sequência de grupos abelianos ou módulos ..., A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, ... conectados por homomorfismos (chamados de operadores de fronteira ou diferenciais) d_n : A_n → A_n−1, de forma que a composição de quaisquer dois mapas consecutivos seja o mapa zero. Explicitamente, os diferenciais satisfazem d_n ∘ d_n+1 = 0, ou com índices suprimidos, d² = 0. O complexo pode ser escrito da seguinte forma.

$\cdots \to A_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\to }{A}_n\stackrel{d_n}{\to }{A}_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\to }{A}_{n-2}\to \cdots \stackrel{d_2}{\to }{A}_1\stackrel{d_1}{\to }{A}_0\stackrel{d_0}{\to }{A}_{-1}\stackrel{d_{-1}}{\to }{A}_{-2}\stackrel{d_{-2}}{\to }\cdots$

tais que $d_n\circ d_{n+1}=0$.

Os complexos de cadeias fazem parte da definição dos grupos de homologia.