Teorema de Ptolomeu

Predefinição:Sem fontes O teorema de Ptolomeu refere-se a qualquer quadrilátero inscritível por uma circunferência, e pode ser enunciado da seguinte forma:

"O produto das diagonais é igual a soma dos produtos dos lados opostos". Isto é, sendo m e n suas diagonais, a,b,c e d seus lados, vale que:

$m\cdot n=a\cdot c+b\cdot d$

. Este teorema pode ser demonstrado da seguinte maneira:

Ilustração do teorema

Construção do teorema.

Seja, como na figura ao lado, um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência de centro O. Vamos provar que $AC.BD=AB.CD+AD.BC$, isto é, provar que o produto das diagonais é igual a soma dos produtos dos lados opostos. Para isso, a partir do vértice A traçamos uma semirreta que intersecciona a semirreta $\overrightarrow{CD}$ num ponto P tal que$m\mathrm{\angle }BAC=m\mathrm{\angle }DAP$. Dado que o quadrilátero ABCD é inscritível, podemos dizer que seus ângulos opostos são suplementares ( ver [1]). Assim, é verdade que $\mathrm{\angle }ABC$ é suplementar a $\mathrm{\angle }ADC$. Da mesma maneira, temos que $\mathrm{\angle }ADP$ é suplementar a $\mathrm{\angle }ADC$, o que segue daí que são iguais: $m\mathrm{\angle }ABC=m\mathrm{\angle }ADP$. Assim, observe então que os triângulos BAC e DAP têm dois ângulos congruentes e podemos concluir que estes são semelhantes entre si pelo caso ângulo-ângulo (ver [2]). Disto é válido dizer que $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DP}$, que é o mesmo que $DP=\frac{(AD)(BC)}{AB}$. Como construímos que $m\mathrm{\angle }BAD=m\mathrm{\angle }CAP$, segue que $m\mathrm{\angle }BAD=m\mathrm{\angle }CAP$e, da semelhança de triângulos que acabamos de mostrar, que $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AP}$. Então, pelo caso lado-ângulo-lado de semelhança de triângulos (ver [3]), dizemos que os triângulos ABD e ACP são semelhantes. Por conseguinte, também podemos inferir disso que $\frac{BD}{CP}=\frac{AB}{AC}$, que é o mesmo que $CP=\frac{(AC)(BD)}{AB}$. Mas perceba pela figura ao lado que $CP=CD+DP$. Substituindo tudo que já encontramos nessa expressão, teremos que $\frac{(AC)(BD)}{AB}=CD+\frac{(AD)(BC)}{AB}$. Resolvendo a expressão, podemos concluir então que$AC.BD=AB.CD+AD.BC$, como queríamos.